Lei de Faraday

Trabalho de Laboratório de
Electromagnetismo e Óptica
~ produzido por um
Campo magnético B
enrolamento percorrido por uma corrente eléctrica;
Lei de Faraday
Fernando Barão, Manuela Mendes, Filipe Mendes
Profs do Departamento de Física do IST
Departamento de Física, IST
Guia de Laboratório
Campo Magnético
Objectivos
• Estudo do campo magnético produzido por um enrolamento de
N espiras percorrido por uma corrente eléctrica.
• Utilização da lei de indução de Faraday para medição do campo
magnético.
Material
• Enrolamentos de espiras para produção de um campo magnético
e para indução de uma força electromotriz
• Gerador de sinais
• Osciloscópio de 2 canais
• Resistências de 10 kΩ
• Cabos para ligações eléctricas
F.Barao, M.Mendes, F.Mendes
Electrom. e Óptica (MEEC-IST)
2
Guia de Laboratório
1
1.1
Campo Magnético
Introdução teórica
Lei de Biot-Savart
Um condutor percorrido por uma corrente eléctrica produz um campo
~ Dividindo o condutor em elementos infinitesimais de
magnético B.
corrente Id~
ℓ, o campo magnético produzido por cada um destes elementos num dado ponto a uma distância r é de acordo com a lei de
Biot-Savart,
~ =
dB
µ 0 d~
ℓ×u
~r
I
2
4π
r
onde µ0 corresponde à permeabilidade magnética do vazio, que no
Sistema Internacional de Unidades (SI) onde o campo magnético se
~
exprime em Tesla (T), assume o valor 4π · 10−7 T.m/A. O campo B
é perpendicular quer ao elemento de corrente, quer ao vector posição ~
r
que liga o elemento de corrente ao ponto P ; no caso da figura em que
o elemento de corrente e o vector ~
r se encontram no plano do papel,
~ é perpendicular ao plano do papel e aponta na direcção
o campo B
oposta à do leitor. O campo magnético total no ponto P obtém-se,
integrando o campo magnético ao longo de todo o condutor,
~ =
B
1.2
µ0
4π
I
Z
d~
ℓ×u
~r
C
(1)
r2
Campo magnético no eixo de uma espira de corrente
O campo magnético produzido por uma espira de corrente de raio
R e percorrida por uma corrente eléctrica I pode ser obtida usando
coordenadas cilíndricas (R, θ, z). Assim, nestas coordenadas, o
campo magnético produzido por um elemento de corrente infinitesimal Id~
ℓ = I R dθ~
uθ num ponto P ao longo do eixo da espira e
√
a uma distância r = R2 + z 2 do elemento é:
~ =
dB
µ0
I
R dθ
4π R2 + z 2
(~
uθ × ~
ur )
A simetria existente na distribuição da corrente eléctrica tem como
consequência a existência de campo magnético somente segundo OZ,
uma vez que as componentes perpendiculares ao eixo da espira produzidas por elementos de correntes opostos, se anulam. Tem-se assim:
~ cos α
dBz = |dB|
~
onde α é o ângulo entre o eixo da espira e o campo B.
F.Barao, M.Mendes, F.Mendes
Electrom. e Óptica (MEEC-IST)
3
Guia de Laboratório
Campo Magnético
√
Assim, tendo em conta que cos α = R/ R2 + z 2 e que os vectores
u
~θ e ~
ur são perpendiculares (portanto o módulo do produto externo
é 1!), pode-se calcular o campo magnético segundo o eixo da espira
como:
Z 2π
µ0
R2
Bz =
dθ
I
4π 0 (R2 + z 2 )3/2
µ0
IR2
=
[θ]2π
0
3/2
2
2
4π (R + z )
IR2
µ0
~
uz
~
(2)
B(z) =
2 (R2 + z 2 )3/2
Para se entender melhor o comportamento do campo magnético para
pontos do eixo a grandes distâncias z da espira, pode-se reescrever a
expressão (2) da seguinte forma:
~
B(z)
=
=
IR2
µ0
2
R3
µ0 I
i3/2
z 2
R
h
1+
u
~z
u
~z
h
2 R
1+
i3/2
z 2
R
(3)
O campo magnético no centro da espira (z = 0), vem:
~
B(z
= 0) =
1.3
µ0 I
2 R
(4)
u
~z
Campo magnético produzido por um enrolamento de N espiras
O campo magnético produzido por um enrolamento de N espiras
num ponto P ao longo do seu eixo pode em primeira aproximação ser
calculado somando os campos produzidos por cada uma das espiras,
~ =
B
N
X
~ espira
B
i=1
Esta aproximação é razoável se a espessura do enrolamento for pequena quando comparada com o seu raio. Tendo em conta a expressão
do campo magnético derivada para a espira (2), tem-se então para um
ponto a uma distância z ao longo do eixo da espira:
F.Barao, M.Mendes, F.Mendes
Electrom. e Óptica (MEEC-IST)
4
Guia de Laboratório
~
B(z)
=
µ0
2
Campo Magnético
N
I
h
R
1+
u
~z
i3/2
z 2
R
(5)
No centro do enrolamento (z = 0) o campo magnético vem dado
por:
~
B(z
= 0) =
µ0
I
N
u
~z
2
R
(6)
A expressão do campo magnético no eixo pode então ser reescrita
em termos do campo magnético existente no centro do enrolamento
como:
B(z=0)
B(z) = h
i3/2
z 2
1+ R
1.4
(7)
Força electromotriz num enrolamento: lei de indução magnética
Pensemos num enrolamento T composto por NT espiras circulares
~ produzido
de raio RT , exposto a um campo magnético uniforme B,
por um enrolamento externo (E). O fluxo do campo magnético que
atravessa o enrolamento T , devido ao campo externo, é dado por:
Z
~ ·~
B
n dS
(8)
ΦT E = N T
S
onde ~
n é um vector unitário e normal à área (S) da espira. Sendo Θ
~ tem-se:
o ângulo entre ~
n e B,
ΦT E = NT B πR2T cos Θ
(9)
Pela lei da indução de Faraday, a força electromotriz existente aos
terminais do enrolamento T depende da variação no tempo do fluxo
do campo magnético que o atravessa. Este fluxo de campo magnético
pode-se escrever como a soma do fluxo devido ao campo externo e do
fluxo auto-indutivo, ΦT T = LT IT :
ΦT = ΦT T + ΦT E = LT IT + NT πR2T cos Θ B
onde LT é o coeficiente de auto-indução do enrolamento. Vem então
para a força electromotriz:
F.Barao, M.Mendes, F.Mendes
Electrom. e Óptica (MEEC-IST)
5
Guia de Laboratório
ε=−
Campo Magnético
dΦT
dt
dIT
dB
= −LT
− NT πR2T cos Θ
dt
dt
(10)
O sinal negativo indica-nos que a polaridade da força electromotriz
induzida é definida de forma a opôr-se a variação de fluxo.
1.4.1
Variação do campo magnético
~ é produzido por um enrolaConsideremos que o campo magnético B
mento de N espiras circulares de raio R que é atravessado por uma
corrente eléctrica variável I(t). Assim, a variação no tempo do campo
magnético deve-se à variação da corrente eléctrica. Por exemplo, no
centro do enrolamento (z = 0), a variação do campo magnético (6)
expressa-se como:
dB
d µ0
I
N dI
=
N
= µ0
(11)
dt
dt 2
R
2R dt
1.4.2
Corrente eléctrica triangular
~ é percorrido por
Admitamos que o enrolamento produtor do campo B
uma corrente de forma triangular no tempo de amplitude I0 , tal como
se mostra na figura ao lado. A derivada da corrente é uma constante,
ora positiva (troço ascendente) ora negativa (troço descendente), de
valor
dI
∆I
I0 − (−I0 )
2I0
I0
+I 0
Ipp
−I 0
(12)
+ε 0
onde T = 1/f é o período da corrente.
Para este tipo de corrente eléctrica, obtém-se então a variação do
campo magnético no centro do enrolamento como:
−ε 0
dt
dB
dt
=
=
∆t
=
µ0 N
2 R
T /2
4
I0
T
=
= 2 µ0
F.Barao, M.Mendes, F.Mendes
T /2
=4
T
N I0 1
R
T
Electrom. e Óptica (MEEC-IST)
T/2
(13)
6
Guia de Laboratório
1.4.3
Campo Magnético
Corrente eléctrica sinusoidal
Consideremos agora que o enrolamento produtor de campo é percorrido por uma corrente eléctrica I sinusoidal e amplitude I0 ,
I = I0 sin(ωt). Tendo em conta que a derivada da corrente é dada
por:
dI
= I0 ω cos(ωt)
dt
(14)
a variação do campo magnético no centro do enrolamento vem dada
por:
N
dB
= µ0
I0 ω cos(ωt)
dt
2R
F.Barao, M.Mendes, F.Mendes
Electrom. e Óptica (MEEC-IST)
(15)
7
Guia de Laboratório
2
Campo Magnético
Trabalho experimental
2.1
Objectivos
Neste trabalho abordam-se os seguintes tópicos:
• produção de um campo magnético por um enrolamento de campo de N espiras.
• comparação do campo magnético produzido experimentalmente com o valor teórico calculado
a partir da lei de Biot-Savart.
• medição do campo magnético com um enrolamento-sonda, usando a lei de Faraday.
• estudo da variação do valor do campo magnético produzido com a frequência da corrente
eléctrica e com a distância ao enrolamento.
2.2
Montagem
Na montagem experimental a realizar em laboratório, existe um circuito primário composto por
uma resistência eléctrica R1 = 10 kΩ e por um enrolamento de N espiras circulares de raio
R e resistência eléctrica interna Ric = 830 Ω. Este é o circuito responsável pela produção do
~ que se pretende medir. Ao enrolamento existente neste circuito chamaremos
campo magnético B
o enrolamento de campo.
Existe ainda um circuito secundário composto por um enrolamento de NT espiras circulares
de raio RT e resistência eléctrica interna RiS = 220 Ω em série com uma resistência eléctrica
R2 = 10 kΩ. Ao enrolamento existente neste circuito chamaremos o enrolamento sonda ou
sonda de campo.
As resistências eléctricas R1 e R2 colocadas em ambos os circuitos servem para limitar as
correntes eléctricas existentes quer no enrolamento de campo, I, quer no enrolamento sonda,
IT .
No canal 1 do osciloscópio observa-se o sinal de tensão aplicado pelo gerador Vg (t) e no canal
2 observa-se a queda de tensão V2 existente aos terminais da resistência R2 . Aplicando a lei de
F.Barao, M.Mendes, F.Mendes
Electrom. e Óptica (MEEC-IST)
8
Guia de Laboratório
Campo Magnético
Faraday à malha constituída pelo enrolamento sonda e pelas resistências eléctricas R2 e Ris , tem-se:
V 2 + R i s IT = −
dΦT
V 2 + R i s IT − ε T = 0
⇒
dt
Note que para baixas frequências, os efeitos auto-indutivos no enrolamento sonda podem ser desprezados. Isto é, a variação do fluxo do campo magnético no enrolamento sonda e portanto a força
electromotriz εT é essencialmente devido ao campo magnético criado pelo enrolamento de campo.
A corrente eléctrica que percorre o circuito do enrolamento sonda é dado por:
IT =
εT
R2 + Ri s
onde εT é a força electromotriz medida aos terminais do enrolamento sonda.
A queda de tensão aos terminais da resistência R2 é dada por:
V 2 = εT
2.3
R2
R2 + Ri s
Campo magnético produzido pelo enrolamento de campo
De acordo com o exposto na introdução teórica (expressão 5), o campo magnético produzido pelo
enrolamento de campo de N espiras circulares de raio R e percorrido por uma corrente I, para
pontos situados ao longo do seu eixo, é dado aproximadamente por:
~
B(z)
=
2.4
µ0 N I
2
R
1
h
1+
i3/2
z 2
R
(16)
~
ez
Força electromotriz induzida no enrolamento de teste (sonda)
O enrolamento sonda composto por NT espiras circulares de raio RT é colocado no eixo do
enrolamento de campo, a uma distância variável z. A variação no tempo do campo magnético
~ produzido pelo enrolamento de campo nessa região, provoca o aparecimento de uma força
B
electromotriz induzida, de acordo com a expressão (10). Em primeira aproximação, podemos considerar o campo magnético produzido pelo enrolamento de campo e que atravessa o enrolamento
de teste, como uniforme e igual ao existente no eixo do enrolamento de campo. Tendo em
conta o valor do campo magnético produzido pelo enrolamento de campo no seu eixo dado pela
expressão (16), pode-se calcular a força electromotriz induzida (desprezando a auto-indução) como
sendo:
εT = − cos Θ
µ0
2
N NT
πR2T
R
1
h
1+
dI
i3/2
dt
z 2
(17)
R
onde Θ é o ângulo que as normais aos dois enrolamentos fazem.
caso A: corrente I(t) triangular de amplitude I0 :
F.Barao, M.Mendes, F.Mendes
Electrom. e Óptica (MEEC-IST)
9
Guia de Laboratório
Campo Magnético
Como neste caso se tem dI/dt = 4I0 /T , vem:
εT = − cos Θ 2µ0 N NT I0
πR2T 1
R
1
h
T
1+
(18)
i3/2
z 2
R
caso B: corrente I(t) sinusoidal de amplitude I0 :
Como neste caso se tem dI/dt = I0 ω cos(ωt), vem:
µ0
εT = − cos Θ
2.5
2
N N T I0
πR2T
R
ω cos(ωt) h
1+
1
i3/2
z 2
R
(19)
Determinação do campo magnético a partir da medição da força
electromotriz
Da expressão (10) que relaciona a força electromotriz com a variação no tempo do campo magnético,
podemos retirar a lei de variação do campo magnético:
dB
dt
≃
ε
(20)
cos Θ πR2T NT
Assim, para extrairmos o valor máximo do campo magnético variável, integra-se a expressão anterior,
entre um tempo t0 onde a corrente seja nula (e portanto o campo magnético é nulo) e um tempo
t = t0 + T /4 em que a corrente é máxima (e portanto o campo!):
B0 =
1
cos Θ πR2T NT
Z
t0 +T /4
(21)
ε dt
t0
caso A: corrente triangular:
Da expressão (18) verifica-se que a força electromotriz induzida é constante ε0 e inverte o seu valor
em cada meio período ficando a expressão (21):
B0 =
ε0
cos Θ
πR2T
NT
Z
T /4
dt =
0
T
ε
4 NT πR2T cos Θ
(22)
caso B: corrente sinusoidal:
Da expressão (19) verifica-se que a força electromotriz induzida é neste caso variável no tempo e
dada por ε = ε0 ω cos(ωt). Assim a expressão (21) fica:
B0 =
ε0 ω
cos Θ πR2T NT
F.Barao, M.Mendes, F.Mendes
Z
0
T /4
cos(ωt)dt =
ε0
cos Θ πR2T NT
Electrom. e Óptica (MEEC-IST)
(23)
10
Guia de Laboratório
Campo Magnético
Electromagnetismo e Óptica - MEEC
Relatório do trabalho de Campo Magnético de Indução
Identificação do Grupo
N:
Nome:
N:
Nome:
N:
Nome:
Data de realização do trabalho:
/
/ 2011, Horas:
-
Atenção:
• Os quadros 2 e 6 podem e devem ser preenchidos antes da sessão de laboratório!
• Pesquise antecipadamente o valor do campo magnético terrestre existente na zona de Lisboa
• Nos cálculos a efectuar considere as seguintes características para os enrolamentos:
enrolamento de campo
- número de espiras, N = 2000
- raio, R = 7, 00 cm
enrolamento sonda
- número de espiras, NT = 2000
- raio, RT = 1, 75 cm
F.Barao, M.Mendes, F.Mendes
Electrom. e Óptica (MEEC-IST)
11
Guia de Laboratório
3
Campo Magnético
Procedimento experimental
3.1
Montagens e ambientação à aparelhagem
Montagem do circuito primário
• Proceda às ligações do circuito primário. Ligue o gerador de sinais ao enrolamento de
campo em série com a resistência de 10 kΩ. Ligue o canal 1 do osciloscópio ao gerador de
sinais.
• Produza uma onda triangular de amplitude 10 V e frequência 100 Hz e observe-a no osciloscópio. Verifique que a frequência do sinal gerado apresentada no mostrador do gerador de
sinais corresponde ao sinal que observa no osciloscópio.
Nota: um sinal de amplitude V0 = 10 V corresponde a um valor medido no ecrâ do osciloscópio pico-a-pico de Vpp = 2V0 = 20 V.
• Repita o procedimento para uma onda sinusoidal de características idênticas.
Montagem do circuito secundário
• Proceda agora às ligações do circuito secundário (ou de teste). Ligue o enrolamento sonda
em série com a resistência de 10 kΩ. Ligue a extremidade de um cabo ao canal 2 do
osciloscópio e as pontas da outra extremidade à resistência eléctrica de 10 kΩ, observando
assim a queda de tensão na resistência.
Circuito Primário
F.Barao, M.Mendes, F.Mendes
Electrom. e Óptica (MEEC-IST)
Circuito Secundário
12
Guia de Laboratório
3.2
Campo Magnético
Medição do campo magnético
• Registe no quadro 1 as características dos enrolamentos de campo e sonda com que vai
trabalhar bem como das resistências totais dos circuitos primário, R1 + Ric e secundário,
R2 + Ri s .
• Aplique uma tensão Vg (t) de forma triangular de frequência f = 100 Hz no enrolamento
de campo, com uma amplitude de sucessivamente 4, 6, 8 e 10 V.
• Preencha o quadro 2. Calcule a amplitude da corrente eléctrica I que percorre o circuito
primário bem como o campo magnético esperado, produzido pela bobine de campo.
• Coloque o enrolamento sonda no centro do enrolamento de campo. Faça a medição no
osciloscópio, da amplitude da queda de tensão na resistência R2 e calcule de seguida a força
electromotriz εT induzida no enrolamento sonda.
• Usando a expressão (22), determine o campo magnético no centro do enrolamento de
campo (quadro 3).
• Represente graficamente os valores de campo magnético esperado e medido em função da
tensão aplicada.
• Comente os resultados obtidos e compare os valores de campo obtido com o campo magnético
à superfície da Terra, em Lisboa.
F.Barao, M.Mendes, F.Mendes
Electrom. e Óptica (MEEC-IST)
13
Guia de Laboratório
3.2.1
Campo Magnético
Medidas
Características dos enrolamentos de espiras
Quadro 1
Enrolamento de campo
Enrolamento de teste
N =
R=
NT =
R1 + Ri c =
RT =
R2 + Ri s =
Determinação do campo magnético produzido pelo enrolamento de campo no seu centro
Utilizando a expressão (6), determine a
corrente eléctrica e o campo magnético
que espera observar (Besp ) no centro do
enrolamento de campo, para cada tensão
aplicada Vg .
Registe os valores medidos de amplitude da tensão
aplicada (Vg ), da tensão medida V2 , da amplitude
da força electromotriz induzida calculada (εT ) e o
campo magnético máximo calculado a partir da expressão (22).
Quadro 2: a preencher antecipadamente
Vg
I [A]
Besp [T]
Quadro 3: valores medidos
Vg [V] V2 [mV]
εT [mV]
B [T]
4V
6V
8V
10 V
Cálculos detalhados do campo magnético esperado Besp e campo magnético medido B, para
o valor de tensão aplicada de 4 Volts:
F.Barao, M.Mendes, F.Mendes
Electrom. e Óptica (MEEC-IST)
14
Guia de Laboratório
Campo Magnético
Representação gráfica dos valores de: 1) Besp = f (Vg ) e 2) B = f (Vg )
Comentários:
Comente os resultados obtidos e compare os valores de campo obtido com o campo
magnético à superfície da Terra, em Lisboa.
F.Barao, M.Mendes, F.Mendes
Electrom. e Óptica (MEEC-IST)
15
Guia de Laboratório
3.3
Campo Magnético
Medição da força electromotriz induzida
• Seleccione un sinal sinusoidal de tensão no gerador de sinais com uma amplitude de Vg = 5 V
e uma frequência de 50, 100, 500, 1000, 1500, 3000 e 5000 Hz.
• Registe a amplitude da queda de tensão V2 e calcule a força electromotriz induzida no enrolamento sonda, εT .
• Represente graficamente a variação da força electromotriz com a frequência. Comente os
resultados.
Quadro 4: valores medidos
f [Hz]
50
100
V2 [mV]
500
1000
1500
3000
5000
ε [mV]
Representação gráfica: ε(f )
Comentários:
F.Barao, M.Mendes, F.Mendes
Electrom. e Óptica (MEEC-IST)
16
Guia de Laboratório
3.4
Campo Magnético
Variação da força electromotriz com os ângulos dos enrolamentos
• Seleccione un sinal sinusoidal de frequência 100 Hz e amplitude 5 Volts, no circuito primário.
• Coloque o enrolamento de teste no centro do enrolamento de campo, sendo Θ o ângulo entre
os eixos dos enrolamentos.
• Registe a amplitude da queda de tensão aos terminais da resistência V2 e calcule a força
electromotriz induzida no enrolamento sonda, εT , para os ângulos Θ = 0◦ , 45◦ e 90◦ .
• Faça a razão entre as forças electromotrizes obtidas e comente os resultados.
Quadro 5: valores medidos
Θ
0◦
45◦
90◦
ε [mV]
Comentários:
ε(Θ = 45)
ε(Θ = 0)
=
F.Barao, M.Mendes, F.Mendes
Electrom. e Óptica (MEEC-IST)
17
Guia de Laboratório
3.5
Campo Magnético
Variação da força electromotriz com a distância ao enrolamento
• Seleccione um sinal sinusoidal de frequência 100 Hz e 10 Volts de amplitude no circuito
primário.
• Coloque o enrolamento de teste ao longo do eixo do enrolamento de campo, nas posições
z = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 8, 10, 15 cm.
• Registe para cada posição a amplitude da queda de tensão aos terminais da resistência V2 e
calcule a força electromotriz induzida no enrolamento sonda, εT .
• Faça a razão entre as forças electromotrizes obtidas nas diferentes distâncias z e o ponto
central z = 0. Compare os resultados com os valores previstos dados pela expressões derivadas
atrás.
Quadro 6: valores a calcular antecipadamente
N = 2000
z [cm]
ε(z) [mV]
ε(z)/ε(z = 0)
0
1
2
3
4
5
8
10
15
Cálculos detalhados para z = 0 e 10 cm
F.Barao, M.Mendes, F.Mendes
Electrom. e Óptica (MEEC-IST)
18
Guia de Laboratório
Campo Magnético
Quadro 7: valores medidos
z [cm]
V2 [mV]
ε(z) [mV]
0
ε(z)/ε(z = 0)
1
2
3
4
5
8
10
15
Representação gráfica dos valores medidos e calculados: ε(z)/ε(z = 0) em função de z
Comentários:
F.Barao, M.Mendes, F.Mendes
Electrom. e Óptica (MEEC-IST)
19