Secção Áurea Secção Áurea

O Período Pré
Pré--Industrial e a
Geometria Euclidiana
Os números racionais
„
Com o sistema de numeração hindu ficou fácil escrever qualquer
número, por maior que ele fosse. 0, 13, 35,
98, 1.024, 3.645.872. Como estes números foram criados pela
necessidade prática de contar as coisas da natureza, eles são
chamados
h
d d
de números
ú
naturais.
i
Os números naturais simplificaram muito o trabalho com
números
ú
ffracionários.
i á i
Não
Nã havia
h i mais
i necessidade
id d de
d escrever
um número fracionário por meio de uma adição de dois
fracionários, como faziam os matemáticos egípcios. O número
fracionário passou a ser escrito como uma razão de dois
números naturais.
A palavra razão em matemática significa divisão.
divisão Portanto,
Portanto os
números inteiros e os números fracionários podem ser expressos
como uma razão de dois números naturais. Por isso, são
chamados de números racionais.
O Número de Ouro - Secção Áurea
As Pirâmides
d Gi
de
Giza no
Cairo utiliza a
relação áurea.
Os egípcios foram os primeiros a usar matemática na arte.
arte
Eles atribuíam propriedades mágicas à seção áurea e
usavam esta relação para construir as pirâmides.
O Número de Ouro - Secção Áurea
O Número de Ouro - Secção Áurea
„
Se examinarmos da seção transversal
da pirâmide, observamos um
triângulo retângulo, também
conhecido por triângulo egípcio. A
relação da altura inclinada da
pirâmide (hipotenusa do triângulo) e
a distância do centro na terra
(metade da dimensão baixa) é o
número 1,61804... que difere do phi
por uma unidade
id d na quinta
i t casa
decimal. Se considerarmos o lado do
triângulo em 2 unidades, então os
lados do triângulo retângulo terá a
proporção: 1: raiz quadrada de phi :
phi, sendo que a altura da pirâmide é
raiz quadrada de (phi).
(phi)
O Número de Ouro
Secção Áurea
„
David, de
David
Miguel
Ângelo
Os temas e as técnicas do
período clássico foram utilizados
pelos artistas do renascimento.
Michelangelo (1475-1564) e
Raphael (1483-1530)
inspiraram-se na relação áurea
para construir suas
composições.
õ
As proporções
õ de
David de Michelangelo são de
acordo com a relação áurea.
O Número de Ouro - Secção Áurea
„
Pitágoras (560-480 BC),
f um geômetra
foi
ô
grego que
tinha especial interesse
pela seção áurea. Ele
provou que a base
b
para as
proporções humanas estão
no segmento áureo.
Mostrou também que o
corpo humano deve ser
construído, em suas partes
pela proporção áurea
áurea.
Detalhe de Pythagoras,
no Quadro de Raphael Escola de Atena.
Os números racionais
Secção Áurea no Parthenon em Atenas
As
descobertas
de Pitágoras
sobre as
proporções
õ
da figura
humana
tiveram
grande
efeito na
arte grega.
Cada parte do Parthenon, em Atenas, foi construída a
partir da proporção áurea.
Secção Áurea no Parthenon em Atenas
Secção Áurea no Parthenon em Atenas
Secção Áurea no Parthenon em Atenas
Secção Áurea no Parthenon em Atenas
Templo Malatestiano
O estudos de Alberti das
proporções da fachada mostram a
grande preocupação com as formas
geométricas e com a simetria.
Em 1456 em Florença ele foi
encarregado da fachada da Igreja de
S t M
Santa
Maria
i Novelle,
N
ll onde
d é visível
i í lo
uso das formas consideradas
perfeitas pelos clássicos: quadrado,
triângulo e círculo.
círculo
Ele projetou as igrejas de San
Sebastiano - 1460 e San Andrea
(1470), ambas em Mântua. São os
únicos edifícios inteiramente
concebidos por Alberti.
Alberti
O Renascimento
e a Matemática
Masaccio
Trindade
dade
(1427--28)
(1427
Afresco
(6.67 x 3.17 m)
Santa Maria Novella
Novella, Florença
De fato,, a noção
ç de
identidade forjada pelo
modelo racionalista de
Descartes, que exige um
distanciamento entre o
sujeito que observa e
aquilo ou aquele que é
observado.
As produções deste
período devem ser
consideradas por suas
características artesanais
e pelas marcas individuais
do criador deixado no
objeto
bj t criado.
i d Aqui,
A i
percebe-se que os
aspectos geométricos de
representação sustentamsustentam
se numa métrica plana
dada, sem quaisquer
instrumentos auxiliares de
observação.
b
ã
O Renascimento
e a Matemática
Na arquitetura
q
havia um interesse muito g
grande na
geometria, mas os artistas pareceram ter perdido
todo o interesse na seção áurea.
Lucas Pacioli
(1445-1514) era
(1445-1514),
um geômetra e
amigo dos
pintores do
renascimento e
redescobriu "o
segredo áureo
áureo"..
Ele realizou um
livro sobre o
phi q
que
número p
foi ilustrado por
Miguelangelo.
O Renascimento
e a Matemática
„http://www.lillian.com/
Lilian Schwartz,
M
Mona/Leo,
/L
1987
O Renascimento
e a Matemática
O Renascimento e a Matemática
Técnica utilizada para realizar perspectiva
Técnica utilizada para realizar perspectiva
O Renascimento
e a Matemática
O Renascimento
e a Matemática
O Renascimento
e a Matemática
O Renascimento
e a Matemática
Visite o web site da
Mona Lisa para ver
as proporções
áurea.
áurea
Mona Lisa Applet
http://ccins.camosun.bc.ca/
~jbritton/mona/jbmona.htm
O Renascimento
e a Matemática
O Renascimento
e a Matemática
O Renascimento
e a Matemática
O Renascimento e a Matemática
A Arte e a Matemática
As deduções euclidianas
perduraram por 1.500 anos
como sendo o conhecimento
matemático mais importante
que herdamos do
pensamento
pe
sa e to g
grego.
ego Talvez
a e
nenhum livro, além da Bíblia,
tenha tido tantas edições
como "Os
Os Elementos de
Euclides”, mas, certamente, o
seu conteúdo é o
pensamento matemático que
maior influência teve sobre a
história da humanidade.
A Arte e a Matemática
As deduções euclidianas
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como sendo o conhecimento
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Os Elementos de
Euclides”, mas, certamente, o
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a e
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Os Elementos de
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seu conteúdo é o
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maior influência teve sobre a
história da humanidade.
A Arte e
a Matemática
A Arte e
a Matemática
A Arte e
a Matemática
A Arte e a Matemática
A Arte e a Matemática
A Arte e a Matemática
A Arte e a Matemática
A Arte e a Matemática
A Arte e a Matemática
Técnica utilizada para realizar perspectiva
Técnica utilizada para realizar perspectiva
A Arte e a Matemática
A Arte e a Matemática
A Arte e a Matemática
Derivação geométrica do
Teorema de Pitágoras
a
2
2
h
a
2
h =a +b
D
b
C
Derivação geométrica das
identidades algébricas
2
2
(a + b) = a + 2ab + b
a
a
b
A
C
D
B b
b
a+b
a+b
2
Derivação geométrica das
identidades algébricas
2
2
(a - b) = a - 2ab + b
a
a-b
a-b
b
A
C
D
B b
b
a
2
Os Números Irracionais
Teorema:
Não existe números naturais p e q de tal maneira que p/q =
2
Demonstração:
Suponha, pelo contrário, que existiam esses números p e q. Se
p e q tiverem alguns fatores comuns, podemos anulá-los mas
também podemos admitir que isso já foi feito anteriormente e
que p e q não
ã tem
t
fatores
f t
comuns.
Elevando ao quadrado a identidade
2
p/q=
2
o resultado é:
2
p/q =2
Que, ordenado de outra maneira , dá
2
p = 2q
2
2
Esta equação diz-nos que p é um número par.
par Mas o quadrado de
qualquer número par é par e o quadrado de qualquer número ímpar é
um número ímpar.
Os Números Irracionais
2
Assim, como p é um número par, p também é par.
Conseqüentemente, p é do tipo p = 2r para qualquer número
ú
natural r. Aí, substituindo p = 2r na identidade temos:
2
p = 2r
e
2
4r = 2p
2
2
que, simplificando, dá
2
2r = q
2
Esta equação diz-nos que q é um número par. Deduz-se que,
como no caso de p e q é também um número par.
Acabamos de demonstrar que p e q são pares, o que contradiz o
pressuposto assumido inicialmente de que p e q não tinham
fatores comuns . Esta contradição implica que o pressuposto
original, que admite a existência
ê
de números
ú
naturais p e q, deve
ser falso. Ou seja, p e q com estas condições não existe.