1a Lista de Exerc´ıcios Introduç˜ao a teoria de números - IME-USP

1a Lista de Exercı́cios
Introdução a teoria de números - 2011 - Prof. V.Futorny
I. Equaçoes Diofantinas Lineares e Congruências
1. Determine todas as soluções (x, y) ∈ Z × Z das equações abaixo, que verificam x ≥ 0 e
y ≥ 0.
(a)3x + 5y = 47
(b)47x + 29y = 999
(c)15x + 21y = 321
(d)30x + 17y = 300
2. Seja p um primo. Provar que a equação x4 + 4y 4 = p tem solução inteira se e só se p = 5.
Nesse caso, determinar suas soluções.
3. (i) Determinar todos os múltiplos positivos de 11 e de 9 cuja soma seja 270.
(ii) Determinar todos os naturais menores que 1000 que têm restos 9 e 15 quando divididos
respectivamente por 37 e 52.
4. Somando-se um certo múltiplo 6x de 6 com certo múltiplo 9y de 9, obtém-se 126. Trocando
x por y e y por x, a nova soma é 114. Determine x e y.
5. (1) Provar que a equação diofantina ax + by + cz = d tem solução se e só se mdc(a, b, c)|d.
(2) Resolver as equações (a)15x + 12y + 30z = 24
(b)35x + 55y + 77z = 1.
6. Ache que número entre 0 e 3 é congruente módulo 4 a soma 1 + 2 + 22 + ... + 219 .
7. Provar que n7 ≡ n(mod 42) para todo inteiro n.
8. Sejam m1 , m2 inteiros relativamente primos e seja a um inteiro arbitrário. Provar que:
a ≡ 0 (mod m1 · m2 ) ⇔ a ≡ 0 (mod m1 ) e a ≡ 0 (mod m2 )
O que ocorre se mdc(m1 , m2 ) 6= 1?
9. Determinar todos os inteiros positivos m tais que toda solução da congruência x2 ≡ 0(mod m)
também seja solução da congruência x ≡ 0(mod m).
10. Determine o resto das divisões de:
(a) 250 por 7
(c) (15 + 25 + ... + 1005 ) por 4.
(b) 4165 por 7
11. Resolva as seguintes congruências lineares:
(a) 25x ≡ 15 (mod 29)
(c) 3x − 7y ≡ 11(mod 13)
(b) 17x ≡ 3(mod 2.3.5.7)
II. Sistemas de Congruências Lineares
1. Resolver os seguintes sistemas de congruências lineares:
(a) x ≡ 1(mod 3); x ≡ 3(mod 5); x ≡ 5(mod 8); x ≡ 7(mod 11);
(b) x ≡ 2(mod 4); x ≡ 3(mod 5); x ≡ 4(mod 7); x ≡ 5(mod 9);
(c) x ≡ 7(mod 15); x ≡ 4(mod 32); x ≡ 19(mod 23)
(d) 21x ≡ 15(mod 45); 27x ≡ 33(mod 48); 22x ≡ 18(mod 46)
2. Determinar um certo inteiro entre 1 e 1200 tem como restos 1, 2, 6 quando dividindo respectivamente por 9, 11, 13. Determiná-lo.
3. Provar que as congruências x ≡ a(mod n) e x ≡ b(mod n) têm uma solução comum se e
somente se mdc(m, n)|a − b. Provar que a solução é única módulo mmc(m, n).
III. Teorema de Euler, Fermat e Wilson
1. Seja a um inteiro. Provar que:
(a) a21 ≡ a (mod 15) e a7 ≡ a (mod 42)
(b) Se mdc(a, 35) = 1 então a12 ≡ 1 (mod 35)
2. Sejam p um primo e a um inteiro tal que p † a. Provar que
(b) Se p > 2, a
p−1
2
≡ 1 (mod p) ou a
p−1
2
≡ −1 (mod p).
(c) O menor inteiro positivo e tal que ae ≡ (mod p) é divisor de (p − 1).
(d) Se e é o inteiro acima e x é um inteiro tal que ax ≡ 1 (modp) então e|x.
3. (a) Sejam p, q primos distintos e ı́mpares tais que (p−1)|(q−1). Mostre que se mdc(a, pq) = 1
então aq−1 ≡ 1 (mod pq).
4. Sejam a, n inteiros tais que mdc(a, n) =mdc(a − 1, n) = 1. Provar que:
1 + a + ... + aφ(n)−1 ≡ 0 (mod n)
5. Sejam m, n inteiros relativamente primos. Provar que
mφ(n) + nφ(m) ≡ 1 mod(m · n)
6. Determinar n se n = p2 q 2 com p, q primos diferentes e φ(n) é (a) 936, (b) 2200.
7. Resolver as equações: (a) φ(x) = 4,
(b) φ(x) = 12,
(c) φ(x) = 34 x,
(d) φ(x) = 54 x.
8. Determinar todos os números positivos inteiros n tais que φ(n) seja primo.
IV. Inteiros módulo m, números racionais
1. Mostre que o número de elementos inversı́veis de Zm é φ(m).
2. Sejam a, b, c ∈ Zm com mdc(c, m) = 1. Provar que se a · c = b · c então a = b.
3. Resolver em Zm
(a) 3x + 2 = 6x + 7, m = 8
(b) (2x + 3)5 + (3x + 2)5 + 5x = 0, m = 5
(c) 4x − 7 + 6x + 2 = 3x + 5x, m = 12
(d) x21 − x = 0, m = 5
(e) x2p − xp = 6, m = p, p é primo
4. Determinar todos os inteiros n tais que
n+17
n−4
seja o quadrado de um racional.
5. Para que valores de n ∈ Z a representação do racional
n2 +2n+3
n2 +3n+5
é irredutı́vel?
V - Anéis, ideais, quocientes
1. (a) Seja I = 17Z o ideal de Z. Prove que I é um ideal maximal de Z.
(b) Seja I = mZ, m ≥ 0, um ideal de Z. Como deve ser m para que I seja maximal?
2. Seja A = C([0, 1], R) o anel das funções contı́nuas do intervalo [0,1] com valores em R e seja
M um ideal de A. Prove que:
M é ideal maximal de A ⇐⇒ existe α ∈ [0, 1] tal que M = Mα = {f ∈ A | f (α) = 0}
3. (a) Prove que p(x) = x2 + 1 é irredutı́vel sobre Z11 e conclua que
Z11 [x]
é um corpo com
hp(x)i
121 elementos.
(b) Voce consegue generalizar esse resultado?
4. Seja C o corpo dos números complexos. Provar que
fismo.
R[x] ∼
= C. Explicite esse isomorhx2 + 1i
VI - Congruências de maior grau
1. Resolver x2 ≡ a(mod p), p = 4m + 3;
2. Provar que x2 + 2 ≡ 0(mod p) tem solução se e somente se p = 8m + 1 ou p = 8m + 3;
3. Provar que x2 + 3 ≡ 0(mod p) tem solução se e somente se p = 6m + 1;
4. Quantas soluções tem x2 ≡ 3(mod 31);
5. Quantas soluções tem x2 ≡ 5(mod 73);
6. Quantas soluções tem x2 ≡ 226(mod 563);
7. Resolver x2 ≡ 2(mod 311);
8. Resolver x2 ≡ 3(mod 277);
9. Resolver x5 − 8x4 + 9x2 − x + 12 ≡ 0(mod 3);
10. Resolver x7 − 6 ≡ 0(mod 5);
11. Resolver x3 + 4x2 − 3 ≡ 0(mod 5);
12. Resolver x4 + x + 4 ≡ 0(mod 11).