13 TEORIA ELETRÔNICA DA MAGNETIZAÇÃO

ELETROMAGNETISMO I
13
113
TEORIA ELETRÔNICA DA
MAGNETIZAÇÃO
Vimos anteriormente que a passagem de uma corrente elétrica por um condutor, dá origem a um
campo magnético em torno deste. Sabemos também que existem campos magnéticos provenientes
de certos materiais, comumente chamados de imãs permanentes. Estes materiais são capazes de
manter certo magnetismo residual, quando postos na presença de um campo magnético externo.
Entretanto, quer seja este campo provocado por uma corrente elétrica ou devido a um imã
permanente devemos saber que a origem de ambos é a mesma. Resumindo podemos dizer que todo
campo magnético é provocado pela circulação de uma corrente elétrica.
13.1 – EFEITO DO FERRO EM CAMPOS MAGNÉTICOS ESTÁTICOS
O ferro aumenta o efeito magnético provocado por uma corrente elétrica em torno dele. Por exemplo,
o campo magnético no centro de um solenóide quando enrolado em torno de uma pequena barra de
ferro é muito maior do que aquele com o mesmo solenóide envolto em um núcleo de ar. Podemos
definir o ferro como um “bom condutor de fluxo magnético", em analogia ao cobre como bom condutor
de corrente elétrica. Esta propriedade que o ferro e outros materiais magnéticos possuem é utilizada
para criar intensos campos magnéticos, manipulá-los e guiá-los por onde desejarmos.
13.1.1 – Magnetismo natural
Utilizaremos o modelo atômico para representar a estrutura dos materiais, cujo elemento básico é o
átomo, com um núcleo, positivamente carregado e orbitado por cargas negativas (elétrons) em torno
dele. Podemos observar sem maiores dificuldades que um elétron girando em grande velocidade em
torno do núcleo, forma um laço de corrente, conforme sugerido pelo modelo descrito na figura 13.1.
r
Este laço de corrente tem um momento magnético (dipolo) m , perpendicular ao plano deste laço ou
espira, cuja intensidade é igual ao produto da corrente equivalente I de um elétron pela área A
limitada pela espira. A direção é dada pela regra da mão direita, orientada pelo percurso da corrente
(cargas positivas), ou seja, o percurso oposto ao do elétron em órbita.
r
Quando essa espira de corrente é colocada na presença de um campo magnético externo B , um
torque é produzido e tende a alinhar o momento do laço de corrente com o campo externo, dado por:
r r r
T = m× B
(13.1)
T = mBsenθ
(13.2)
O módulo do torque resultante é:
m
m
θ
Área A
I
I
Figura 13.1 Elétron girando em torno de um núcleo.
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B
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114
Assim que o alinhamento é obtido o torque torna-se nulo (θ = 0).
Considere a situação na figura 13.2a, com uma infinidade de laços atômicos de corrente, orientados
aleatoriamente no interior de um meio material. Quando um campo magnético externo é aplicado os
momentos magnéticos atômicos tendem a se alinhar na direção deste campo, segundo o ilustrado na
figura 13.2b.. Este conjunto formado por milhares de laços atômicos alinhados na mesma direção
pode ser considerado como uma única espira delimitada pelo contorno do material em uma secção
transversal, mostrado na figura 13.2c. Estendendo esta análise, tomando milhares dessas espiras
empilhadas, como na figura 13.2d, obtemos uma capa de corrente cilíndrica, semelhante a um
solenóide.
m
m
m
m
m
m
m
B
m
B
B=0
m
B
m
m
m
m
m
m
B
B
m
m
m
m
m
m
m
(a)
(b)
(c)
Momento Magnético
Resultante
I
(d)
N espiras
Figura 13.2 (a) - Momentos atômicos aleatoriamente direcionados, (b) - alinhados com um campo
externo, (c) - vista frontal mostrando grande laço externo, (d) - laços de corrente empilhados, como
em um solenóide.
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115
Para esta análise o átomo foi considerado como tendo um único elétron orbitando o seu núcleo e
foram desprezados os movimentos de rotação do elétron (spin) e do núcleo em torno de seus
próprios eixos, bem como os efeitos da agitação térmica das moléculas, que podem vir a interferir no
processo de alinhamento. A grande maioria dos fenômenos que estudaremos será em escala
macroscópica, não requerendo uma visão rigorosa dos fenômenos microscópicos envolvidos. Esta
discussão, ainda que simplista, serve para que se tenha uma idéia do fenômeno da magnetização
possível de ocorrer nos meios materiais.
r
13.2 – O VETOR MAGNETIZAÇÃO M
Inicialmente vamos considerar N0 espiras enroladas em uma geometria toroidal de raio médio R e
secção transversal de área A, envolvendo um núcleo de ar ou de outro material de natureza não
magnética, conforme mostrado na figura 13.3a. Se este solenóide for percorrido por uma corrente I, a
densidade de fluxo magnético no interior do toróide será dada por:
B0 =μ 0
N0I
2πR
(13.3)
Sabemos que N 0 I (2πR ) pode ser considerado como uma densidade de corrente laminar K. Então:
B0 =μ 0 K =μ 0 H
(13.4)
Seção de Área A
R
R
BB00
Bm
B0
N0 espiras
I
I
I
(a)
N0+Nm espiras
I
(b)
Fig. 13.3 (a) Toróide com N0 espiras produzindo um campo B0 e (b) Toróide com Nm espiras
produzindo um Bm.
Se o mesmo enrolamento envolver um anel de ferro com a mesma área de secção transversal A e
raio médio R, o fluxo confinado no ferro será maior e conseqüentemente o valor de B aumentará.
Para que esta mesma densidade de fluxo B, estabelecida no anel de ferro, circule pelo toróide de ar,
um número adicional Nm de espiras deve ser enrolado em torno deste toróide não magnético. Desta
forma, o campo produzido será equivalente àquele obtido com N0 espiras em torno do toróide de
ferro, segundo pode ser mostrado pela figura 13.3b. Esta variação poderá ser dada por:
Bm =μ o
NmI
=μ 0 K '= μ 0 M
2πR
(13.5)
onde N m I (2πR ) = K' é a densidade laminar de corrente fictícia, responsável pelo aumento
(variação) do campo quando o núcleo é o de ferro. Nestas condições o campo magnético total B será
dado por:
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B = B 0 + B m = μ 0 (K + K ' )
116
(13.6)
ou ainda:
r
r r
B = μ 0 (H + M)
(13.7)
onde:
r
B = vetor indução magnética (T)
H = vetor intensidade de campo magnético (A/m)
r
M = vetor magnetização (A/m)
Embora esta análise tenha sido desenvolvida para o caso de um toróide, esta é uma relação vetorial
de aplicação geral.
Podemos considerar que o núcleo de ferro possui a capacidade de confinar um fluxo magnético maior
em relação ao núcleo de ar. O aumento da densidade de fluxo é atribuído ao meio material,
justificado matematicamente por uma permeabilidade magnética maior do que aquela m0 do ar.
Assim,
r
r
B = μH
(13.8)
r
Em uma analogia à eletrostática, onde o vetor polarização P está relacionado ao vetor intensidade
r
r
de campo elétrico E , na magnetostática o vetor magnetização M está relacionado ao vetor
r
intensidade de campo magnético H . Em meios isotrópicos, M e H estão na mesma direção, de
modo que o quociente entre eles pode ser obtido de forma escalar. Igualando as equações (13.7) e
(13.8) podemos dividir algebricamente os dois lados por H obtendo então:
⎛ M⎞
μ= μ 0 ⎜1+ ⎟
⎝ H⎠
(13.9)
Para os materiais ferromagnéticos, de maior interesse, esta relação em geral não é linear, ou seja, o
quociente entre M e H não pode ser obtido através de uma relação matemática exata. Entretanto
vamos, para o momento, escrever essa relação como sendo uma constante dada por:
χ=
M
H
(13.10)
onde χ é a susceptibilidade magnética do meio material em questão.
Podemos agora escrever
μ = μ 0 (1+ χ)
(13.11)
μ =μ 0μ r
(13.12)
ou:
em que μ r =1+ χ é definida como sendo a permeabilidade relativa do meio material em relação ao
vácuo (espaço livre).
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117
13.3 - FERROMAGNETISMO, PARAMAGNETISMO E DIAMAGNETISMO
Todos os meios materiais apresentam algum efeito sob o ponto de vista magnético. Em alguns esses
efeitos são tão fracos, que tais materiais são classificados como não-magnéticos. Na realidade, o
único meio não magnético é aquele desprovido de matéria, ou seja, o vácuo ou espaço livre (tomado
com permeabilidade relativa igual a 1). De uma forma geral, os materiais são classificados de acordo
com o seu comportamento magnético em diamagnéticos, paramagnéticos e ferromagnéticos, como
veremos a seguir.
13.3.1. MATERIAIS DIAMAGNÉTICOS
Os materiais classificados como diamagnéticos possuem uma permeabilidade relativa ligeiramente
inferior a 1 (por exemplo o cobre, com μr = 0.999991) e apresentam a característica de, na presença
de um campo magnético, se opor a ele (figura 13.4). Em outras palavras, quando um material
diamagnético é colocado na presença de um campo magnético, suas linhas de campo são repelidas
por ele.
Figura 13.4 Comportamento de um material diamagnético.
13.3.2 MATERIAIS PARAMAGNÉTICOS
Por outro lado, os materiais ditos paramagnéticos possuem uma permeabilidade relativa
ligeiramente superior a 1 (por exemplo o alumínio, com μr = 1.00000036) de modo que seus
momentos magnéticos fiquem alinhados com as linhas de um campo magnético externo. O fluxo
magnético deste campo atravessa este tipo de material, de modo tal que as suas linhas de indução
permanecem praticamente inalteradas, como mostra a figura 13.5. Quando um material
paramagnético é colocado na presença de um campo magnético ele sofre atração por ele. Quando o
campo magnético externo é retirado, os dipolos magnéticos do material paramagnético voltam à sua
configuração original, desalinhados de modo a tornar nulo o momento dipolar resultante.
Figura 13.5 Comportamento de um material paramagnético.
13.3.3 MATERIAIS FERROMAGNÉTICOS
Finalmente, outros materiais são magneticamente classificados como ferromagnéticos, como por
exemplo, o ferro, o níquel, o cobalto, dentre outros. Apresentam a propriedade de fazer com que seus
momentos magnéticos se alinhem fortemente na direção de um campo magnético aplicado,
oferecendo um caminho preferencial para as linhas de indução, como pode ser ilustrado na figura
13.6. Como exemplo, uma liga de ferro com 3 % de silício possui uma permeabilidade relativa μr
máxima de 55000. Salientemos que a permeabilidade desses materiais não é constante, sendo, pois
função da intensidade do campo magnético aplicado, e do estado magnético anterior apresentado
pelo material.
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118
Figura 13.6 Comportamento dos materiais ferromagnéticos.
13.4 - A TEORIA DOS DOMÍNIOS MAGNÉTICOS
Para compreendermos melhor o fenômeno da magnetização em materiais ferromagnéticos vamos
explicar rapidamente a teoria de domínios dos materiais magnéticos.
Um domínio é definido como uma região de material dentro da qual todos os átomos têm o mesmo
alinhamento magnético, comportando-se como um pequeno imã permanente. Deverá haver um
número muito grande destes dentro de uma amostra de material. O número de domínios num material
magnético é determinado por um complexo balanço de energia dentro do volume de material, cujos
detalhes estão fora do escopo deste curso. Obteremos os esclarecimentos necessários considerando
o caso simplificado e ilustrado a seguir.
Na figura 13.7(a) temos uma amostra de material ferromagnético com os seus domínios
aleatoriamente direcionados, de forma que o magnetismo resultante é nulo. Neste caso, o material
não apresenta quaisquer características magnéticas macroscópicas.
Quando o campo magnético externo é aplicado gradativamente sobre o material, seus momentos
magnéticos começam a se alinhar com ele, segundo as figuras 13.7(b) e (c). No início, esse
alinhamento é obtido de maneira relativamente fácil, isto é, muitos domínios se alinham rapidamente
para um campo magnético ainda com pequena intensidade. Observamos no início que um mesmo
incremento no campo magnético irá resultar na resposta de um incremento na densidade de fluxo de
forma linear. Porém, à medida que o campo magnético vai sendo aumentado, notamos uma maior
dificuldade em se obter novos alinhamentos, dando origem a um processo de saturação magnética,
visto pela figura 13.7(d).
(a)
(b)
(c)
(d)
Figura 13.7 - (a) - Domínios magnéticos desalinhados, (b), (c) e (d) - se alinhando com o campo
externo
A densidade de fluxo conseguida pode ser descrita em função da intensidade do campo magnético
aplicado. Teremos assim uma curva de magnetização bastante familiar, mostrada na figura 13.8. À
medida que o campo magnético H vai sendo aumentado, podemos notar, em sua parte final, que um
grande aumento na sua intensidade irá produzir um pequeno aumento na densidade de fluxo B, como
seria de se esperar.
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Nesta curva de magnetização mostrada na figura 13.8, devemos destacar alguns pontos importantes:
Região L - μ é constante e a relação entre B e H pode ser admitida como linear.
r
Ponto J - "joelho" da curva ou o maior valor de B anterior à saturação, bastante utilizado em projetos
de máquinas elétricas.
Região S - região de saturação onde um grande aumento de H praticamente não causa variação em
B.
B (Wb/m2)
J
S
L
H (A/m)
Figura 13.8 Curva de magnetização de um material magnético.
Se depois que o campo for aplicado ao material ferromagnético, reduzirmos a sua intensidade até
zero, haverá ainda um magnetismo residual na amostra, contrariando o esperado que a densidade
de fluxo magnético também voltasse ao seu valor original, zero. Quando o campo magnético externo
é retirado, parte dos momentos magnéticos dos domínios volta a se desalinhar, porém outra parte
deles mantem o alinhamento obtido quando da aplicação do campo magnético externo.
Na verdade, quando o campo externo foi aplicado, uma energia foi introduzida no material, e o
mesmo sofreu uma reestruturação. Para mudar isto necessitamos de mais energia. Uma parte dessa
energia foi restituída pelo próprio material quando alguns de seus domínios voltaram á sua posição
original. Portanto, para voltar à situação de magnetismo resultante zero, um campo magnético
reverso deverá ser aplicado sobre o material.
Se a intensidade de campo magnético H aumentar gradativamente do zero até um valor positivo,
decrescendo em seguida até um valor negativo simétrico, passando por zero, e deste valor voltar a
zero novamente, obteremos um ciclo de histerese, mostrado na figura 13.9. O fenômeno da histerese
magnética é definido como o atraso causado na variação de B devido a uma variação em H.
Analisando o ciclo de histerese de um material magnético mostrado na figura a seguir, dois pontos e
uma região desta curva merecem destaque:
Densidade de fluxo residual (remanente) -Br- É a densidade de fluxo que permanece, mesmo após
o campo H ter sido retirado. Também é chamada de retentividade.
Força Coercitiva - Hc - Representa a intensidade de campo magnético reverso necessária para que
se obtenha uma densidade de fluxo nula , eliminando o campo remanente. Também é chamada de
coercitividade.
Curva de desmagnetização - é o segundo quadrante do ciclo de histerese, devido à aplicação do
campo reverso. É uma característica importante no material, utilizada para a obtenção dos
parâmetros de imãs permanentes.
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Curva de
desmagnetização
120
Br
Hc
Figura 13.9 - Ciclo de Histerese.
Observando a área no ciclo de histerese, podemos notar que esta pode indicar se o material possui
facilidade ou opõe dificuldade a ser magnetizado. Quando o ciclo possui uma área ampla,
entendemos que tanto a retentividade como a coercitividade são grandes, isto é, precisamos de um
campo reverso maior para que a densidade de fluxo remanente no material se anule.
Por outro lado, quando o ciclo de histerese é mais estreito, o material oferece uma oposição menor à
sua magnetização.
Sob o ponto de vista de magnetização, os materiais ferromagnéticos podem ser ainda classificados
conforme o ilustrado na figura 13.10 e descritos como:
Macios - apresentam um ciclo de histerese estreito (fácil magnetização)
Duros - apresentam ciclos de histerese largos (difícil magnetização).
Para finalizar esta seção, a relação entre B e H deveria ser uma linha reta, e não um laço se a relação
χ entre M e H fosse linear. A curva de magnetização de um determinado material é obtida tomandose os valores máximos positivos de B e H dentro de vários ciclos de histerese de modo que o primeiro
ciclo vá até um valor de H, o segundo até um valor um pouco maior, sempre iniciando do zero e
aumentando gradativamente o valor do campo magnético e assim por diante.
Completando, salientamos que a permeabilidade μ é definida como a relação entre B e H em cada
ponto nessa curva de magnetização. Assunto este que voltaremos mais tarde.
Macio
Duro
Figura 13.10 Materiais magneticamente duros e macios.
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121
13.5 - RELAÇÕES DE FRONTEIRA NO CAMPO MANÉTICO
Na fronteira entre dois meios, o campo magnético pode sofrer variações, tanto em direção como em
intensidade, da mesma forma já estudada, que ocorre com o campo elétrico. Analogamente, vamos
analisar o comportamento do campo magnético na fronteira entre dois meios de permeabilidades
diferentes, segundo duas componentes: uma normal e outra tangencial à fronteira entre estes meios.
Consideremos um volume incremental imerso em um campo magnético na interface entre dois meios
distintos como mostrado na figura 13.11 abaixo:
Bn1
Bn2
Figura 13.11 Elemento incremental de volume na fronteira entre dois meios.
Aplicando a ele a lei de Gauss para o magnetismo, posto que não existem cargas magnéticas
teremos:
r r
B
∫ ⋅ dS = 0
(13.13)
O desmembramento desta integral fechada mostra que o produto escalar acima é zero na superfície
lateral do cilindro, não se anulando nas superfícies paralelas à fronteira entre os meios orientados
r
pelo vetor dS sempre normal e externo em cada ponto da superfície fechada. Desta forma
B n1dS − B n 2 dS = 0
(13.14)
v
v
B n1 = B n 2
(13.15)
onde
Observamos então que existe uma continuidade na componente normal do vetor indução magnética
(ou densidade de fluxo) na interface entre dois meios. Ou seja:
As componentes normais do vetor indução magnética na fronteira entre os dois meios são iguais.
Lembrando que:
r r
B = μH
(13.16)
r
v
μ1H n1 = μ 2 H n 2
(13.17)
teremos que
ou ainda em termos de suas magnitudes:
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122
μ1 H n 2
=
μ 2 H n1
(13.18)
Ou seja, as componentes normais do vetor intensidade de campo magnético se relacionam pelo
inverso entre as permeabilidades dos meios.
Consideremos agora o caminho fechado abcda imerso em um campo magnético, na interface entre
os dois meios, como mostrado na figura 13.12 abaixo.
a
Ht1
d
Δy
μ1
b
c
Ht2
Δx
μ2
Figura 13.12 Caminho fechado abcda entre dois meios.
Pela aplicação da lei de Ampère ao caminho fechado abcda, teremos a seguinte integral de linha:
r
r
∫ H ⋅ dL = I
(13.19)
Fazendo Δy tender a zero (interface entre os meios), a integração é feita apenas em Δx. Portanto:
Δx (H t 2 − H t1 ) = I
(13.20)
Ou ainda:
H t 2 − H t1 =
I
Δx
(13.21)
O termo I
representa uma densidade de corrente na superfície da fronteira (densidade laminar de
Δx
corrente), representada em nossos estudos pela letra k. Normalmente pode-se considerar que as
correntes estão confinadas nos enrolamentos, de forma que, na grande maioria dos casos, k = 0.
Assim:
r
v
H t 2 = H t1
(13.22)
Observamos então, neste caso, a continuidade da componente tangencial do vetor campo magnético.
Em termos de suas magnitudes podemos escrever também que:
Bt2 μ 2
=
B t1 μ 1
Ou seja:
As componentes tangenciais do vetor intensidade de campo magnético são iguais, e as
componentes tangenciais do vetor indução magnética se relacionam pela razão direta entre as
permeabilidades magnéticas dos meios.
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(13.23)
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123
Exemplo 13.1
Considere uma fronteira plana e desprovida de correntes, entre dois meios μ 1 e μ 2 , conforme a figura.
13.13 abaixo. Encontrar a relação entre os ângulos α1 e α2 que os campos magnéticos fazem com a
r
normal à interface entre os meios. Os meios são isotrópicos, isto é, com B e H na mesma direção.
α1
B1, H1
μ1
μ2
B2, H2
α2
Figura 13.13 Fronteira plana entre dois meios.
Solução:
H t 2 = H 2 senα 2
Pela continuidade das componentes normais
B n1 = B n 2
Pela
continuidade
tangenciais
das
onde
H1senα1 = H 2 senα 2
componentes
H t1 = H t 2
Pela relação entre as igualdades vem que:
H1senα1 H 2 senα 2
=
B1 cos α1 B 2 cos α 2
Logo
B n1 = B1 cos α1
Da relação
v
v
B = μH
E
B n 2 = B 2 cos α 2
Teremos então
Daí:
1
1
tgα1 =
tgα 2
μ1
μ2
B1 cos α1 = B 2 cos α 2
Da mesma forma
H t1 = H1senα1
e
ou ainda:
tgα1 μ1 μ r1
= =
tgα 2 μ 2 μ r 2
H t 2 = H 2 senα 2
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124
Exemplo 13.2
Considere uma interface entre um meio 1, de ferro doce com μr = 7000 e um meio 2, o ar (μr=1).,
ambos isotrópicos, mostrada na figura 13.14 a seguir.
a) se a indução B no ferro doce tem incidência normal à fronteira, encontre o ângulo α2;
b) se a indução B no ferro doce é quase tangente à superfície, com um ângulo α1 de 85 graus,
encontre o correspondente α2.
(1)
(1)
(2)
(2)
α1
α2
(a)
(b)
Figura 13.14 – Campo Magnético na fronteira Ferro-Ar. (a) incidência normal, (b) incidência quase
tangente (rasante).
Solução:
(a) Para uma incidência normal, não há desvio,
nem modificação do valor de B, pois:
tgα 2 =
B = Bn1 = Bn2
Logo α2 = α1 = 0.
tg 85 o 11,43
=
= 0,00163
7000 7000
α 2 = 0,09 o
(b) Considerando a incidência oblíqua, quase
tangente
tgα1 μ1 μ r1
= =
tgα 2 μ 2 μ r 2
tg 85 o
tg 85 o 7000
=
⇒ tgα 2 =
7000
tgα 2
1
Conforme pode ser observado, o campo
magnético que sai para o ar é praticamente
normal à interface entre o ferro e o ar, qualquer
que seja o ângulo de incidência do campo no
ferro.
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Exemplo 13.3
A região 1, com μ r1 =5 está no lado da interface plana 6x + 4y + 3z = 12 que inclui a origem. Na
r
1
região 2 μ r 2 =3 . Dado que H 1 = (3â x + 0,5â y ) (A/m), encontre os ângulos θ1 e θ 2 que os campos
μ0
formam com a normal à interface entre os meios..
r
Como B1 possui componentes positivas em â x
Solução:
e â y , escolhemos a solução positiva. Logo:
â n =
6â x + 4â y + 3â z
61
Daí:
⎛ 6â x + 4â y + 3â z
B n1 = 15â x + 2,5â y ⋅ ⎜⎜
61
⎝
(
)
Figura 13.15 - Plano 6x + 4y + 6z = 12
r
100
B n1 =
61
Admitindo meios isotrópicos
r
r
3â x + 0,5â y
B1 = μr1μ 0 H1 = 5μ 0
μ0
r
r
B n1 = B1 ⋅ â n = B1 .1. cos θ1
onde â n é o vetor unitário (versor) que dá a
direção normal ao plano.
100
61
Aâ x + Bâ y + Câ z
A 2 + B2 + C 2
Das relações de fronteira, pela continuidade de
r
Bn :
r
r
B n 2 = B n1 = B n1â n (não é produto escalar)
r
100 ⎛ 6â x + 4â y + 3â z
⎜
Bn2 =
61 ⎜⎝
61
Pela continuidade das componentes tangenciais
temos para o campo magnético:
r
r
H t1 = H t2 ⇒
6â x + 4â y + 3â z
61
⎞
⎟
⎟
⎠
r
600â x + 400â y + 300â z
Bn 2 =
61
Portanto, neste caso:
â n = ±
= 15 2 + 2,5 2 .1. cos θ1
θ1 = 32,65 o
Da geometria analítica, sabe-se que o versor
normal ao plano dado na figura 14.15, definido
pela equação do tipo Ax + By + Cz = D, pode ser
escrito da forma:
â n = ±
r
Então de B n1 = B1 ⋅ â n = B1 .1. cos θ1
r
B1 = 15â x + 2,5â y ( Wb / m 2 )
A intensidade da componente normal do vetor
indução magnética no meio 1 pode ser obtida
pelo seguinte produto escalar:
⎞
⎟
⎟
⎠
1 r
1 r
Bt1 =
Bt2
μ r1μ 0
μ r2μ 0
Logo:
r
μ r
B t 2 = r 2 B t1
μ r1
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Como
temos
r
r
r
B t1 = B1 − B n1 =
(15â
x
126
⎛ 600â x + 400â y + 300â z
+ 2,5â y − ⎜⎜
61
⎝
)
⎞
⎟
⎟
⎠
Então,
r
189â x −148,5â y −180â z
3r
B t 2 = B t1 =
5
61
Como
r 789â x + 251,5â y +120â z
B2 =
( Wb / m 2 )
61
r
Bn 2
600 2 + 400 2 + 300 2
cos θ 2 = v =
= 0,93
B2
789 2 + 251,5 2 + 120 2
onde
θ 2 = 21,03o
r r
r
B2 = Bn 2 + Bt 2
EXERCÍCIOS
1) - A interface entre 2 meios diferentes é normal a um dos 3 eixos cartesianos. Se
r
r
r
B1 = μ 0 (43.5aˆ x + 24.0aˆ z ) e B 2 = μ 0 (22.0aˆ x + 24.0aˆ z ) qual é a relação tgθ1
?
tgθ 2
2) - A região 1, com permeabilidade relativa μr1 = 6 está no lado do plano 2x + 4y + 4 z = 16 que
r
inclui a origem. Por outro lado, na região 2, adjacente μr2 = 3. Dado que H1 = 4aˆ x + 2aˆ y μ 0 ( A / m) ,
r r
encontre H 2 , B 2 , θ1 e θ 2 .
(
)
3) - Um meio ferromagnético de grande extensão possui um campo magnético uniforme de 2 T. Se a
permeabilidade relativa do meio é 200, encontre o valor de H dentro de (a) - Uma cavidade em
forma de um disco muito fino, com os seus lados planos paralelos a B. (b) - Idem, com os seus
lados planos perpendiculares a B.
UNESP – Naasson Pereira de Alcantara Junior – Claudio Vara de Aquino