Matrizes

ÁLGEBRA LINEAR
Exercı́cios - Matrizes
Lic. Ciências da Computação
2009/2010
1. Escreva a tabela das seguintes matrizes:
(a) A = [i + j]
i = 1, ..., 4
j = 1, ..., 5
;
(b) B = [bij ]
i = 1, ..., 4
j = 1, ..., 5
onde bij = |i − j|;
(c) A + 2B.
2. Escreva a matriz A = [aij ], quadrada de ordem n, tal que
½
(a) n = 3 e aij =
½
(c) n = 6 e aij =

 −1 se i > j
0 se i = j ;
(b) n = 3 e aij =

1 se i < j
1 se i + j é par
;
0 caso contrário
i + j se i > j − 1
.
2i/j caso contrário
3. Considere as matrizes:


2
1
4
 −1 −2 −1 
;
A=
 0
3
1 
3
0
1


3
0
1
 4 −1
2 
;
B=
 −1
2
1 
0
3 −1


−1
0
 2
3 

D=
 0 −3  .
1
1


1
3 −1
4
0 −2 −2  ;
C= 2
1 −1
4
0
Diga quais das seguintes expressões identificam matrizes, e em tais casos calcule-as.
(a) A + 2B;
(b) AB;
(c) AC + D;
(d) (A + B)C;
(e) ACD;

(f) 2ACA + A.

3 −1 −1
1 −1 . Verifique que:
4. Seja A =  1
1 −1
1
(a) A − 3A + 2I3 6= 03×3 ;
(b) A.I3 = A = I3 .A;
(c) A.03×3 = 03×3 ;
(d) 2A − 3A = −A.
1
Álgebra Linear CC - 2009/2010
Exercı́cios - Matrizes
5. Sejam K ∈ {R, C}, m, n ∈ N e A, B, C ∈ Mm×n (K). Mostre que
(a) A + B = B + A (comutatividade da adição).
(b) A + 0 = 0 + A (0 é o elemento neutro da adição).
(c) A + (−A) = (−A) + A = 0 (−A é o simétrico de A).
6. Sejam K ∈ {R, C}, m, n ∈ N, A, B ∈ Mm×n (K) e α, β ∈ K. Mostre que
(a) α(A + B) = αA + αB. (b) (α + β)A = αA + βA.
(c) (αβ)A = α(βA).
(d) 1A = A.
7. Sejam K ∈ {R, C}, α ∈ K e A, B, C, D, I, 0 ∈ M(K) (matrizes de dimensões tais que as
operações abaixo indicadas estejam definidas). Mostre que
(a) (AB)C = A(BC) (o produto de matrizes é associativo).
(b) A(B + C) = AB + AC (o produto de matrizes é distributivo em relação à adição),
(c) α(AB) = (αA)B = A(αB).
(d) AI = A = IA.
(e) A0 = 0, 0A = 0.
8. Se possı́vel calcule AB e BA sendo
·
(a) A =
1
2 3 0
1 −1 0 2
¸
e

0
 −1
B=
 −1
0


2 + i −1
4+i 
(b) A =  0
−3
−i
·
(c) A =
0 1
0 0
·
e
B=
¸
·
e


1 + 2i 0 1
0
−1 2i  e
(d) A = 
−1 + i 0 1
B=

1
2 
;
0 
3
1 − i 0 2 −2i
2
−i 1 0
1 0
0 0
¸
;
¸
;

i
0 −3i
2 1 + 4i  .
B= 2
1 − 3i 0
3i
9. Sejam A, B matrizes 2 × 2 reais tais que

·
AB − BA =
a
c
b
d
¸
Mostre que a + d = 0.
10. Seja A uma matriz do tipo m × (m + 5) e B uma matriz do tipo n × (11 − n) tais que AB e
BA estão definidas. Determine os valores possı́veis para m e n.
11. Determine a matriz X ∈ M4×2 (IR) tal que A + 3X = B, onde A = [2i − 3j]
B = [2i + 3j]
i = 1, ..., 4
j = 1, 2
.
2
i = 1, ..., 4
j = 1, 2
e
Álgebra Linear CC - 2009/2010
Exercı́cios - Matrizes
12. Demonstre a proposição: ”Para quaisquer matrizes A, B ∈ Mp×n (R), existe e é única a matriz
X tal que A + 3X = B”.
13. Dê exemplos de matrizes A e B tais que:
(a) A2 = −I;
(b) A2 = 02×2 e A 6= 0;
(c) AB = 02×2 , com A 6= 0 e B 6= 0;
(d) AB = 02×2 , com A e B sem elementos nulos;
(e) A, C e D tais que AC = AD e C 6= D.
(f) A e B tais que (A + B)(A − B) = A2 − B 2 ;
(g) A e B tais que (A + B)2 = A2 + B 2 + 2AB.
Sugestão: procurar as condições gerais a satisfazer e depois construir os exemplos.

2+i
14. Seja A =  0
i
A = A1 + iA2 .
√

2 + 3i
1 − i  ∈ M3×2 (C). Determine matrizes reais A1 e A2 tais que
3
15. Simplifique a expressão seguinte onde A, B e C representam matrizes quadradas com a mesma
ordem,
A.(B + C) + B.(C − A) − (A + B).C.
16. Desenvolva a expressão (A + B)3 no caso de:
(a) A e B serem matrizes de ordem n quaisquer.
(b) A e B serem comutáveis.
17. Seja
·
a
G={
−b
b
a
¸
: a, b ∈ R}.
(a) Mostre que quaisquer dois elementos de G comutam entre si.
(b) Mostre que A, B ∈ G ⇒ AB ∈ G.



4
4
1
1 2 3
1 .
18. Verifique que a inversa da matriz A =  1 3 4  é a matriz B =  0 −1
−1
2 −1
1 4 4

19. Use a definição para calcular a inversa de cada uma das seguintes matrizes:




·
¸
·
¸
x 1 0
1 0 0
0 −1
2 3
D= 0 y 1 
A=
;
B=
;
C =  1 1 0 ;
−1 0
3 2
0 0 1
1 1 1
com x, y ∈ R.
3
Álgebra Linear CC - 2009/2010
Exercı́cios - Matrizes
·
¸
1 4
20. Mostre que a matriz A =
satisfaz a condição A2 − 2A + 13I2 = 02×2 . Conclua que
−3 1
1
A é invertı́vel e que A−1 = − 13
(A − 2I2 ).
21. Sejam C uma matriz invertı́vel e A = CBC −1 . Mostre que A é é invertı́vel se e só se B é
invertı́vel.
22. Dada uma matriz invertı́vel A, mostre que toda a potência de A é também invertı́vel.
23. Indique AT no caso de A ser




1 8
1 4 1
(b)  2 3 0 
(a)  3 4 
2 2
1 4 5
24. Sejam K ∈ {R, C}, A ∈ M(K) e α ∈ K . Mostre que
(a) (AT )T = A.
(b) (A + B)T = AT + B T .
(c) (αA)T = αAT .
(d) (AB)T = B T AT .
(e) (Ak )T = (AT )k , k ∈ N.
(f) Se A for invertı́vel, então (AT )−1 = (A−1 )T .
25. Verifique se é válida a igualdade AAT = AT A, para qualquer matriz A.
26. Sejam K ∈ {R, C}, n ∈ N, A ∈ Mn (K) e α ∈ K . Mostre que
(a) As matrizes A + AT e AAT são simétricas;
(b) Se as matrizes A e B são simétricas, então
i) As matrizes A + B e αA são simétricas;
ii) A matriz AB é simétrica se e só se AB = BA.
27. Sejam K ∈ {R, C}, m, n, p ∈ N, A ∈ Mm×n (K), B ∈ Mn×p (K) e α ∈ K. Mostre que
(a) (A∗ )∗ = A.
(b) (A + B)∗ = A∗ + B ∗ .
(c) (αA)∗ = αA∗ .
(d) (AB)∗ = B ∗ A∗ .
(e) (Ak )∗ = (A∗ )k , k ∈ N.
(f) Se A for invertı́vel, então (A∗ )−1 = (A−1 )∗ .
28. Diga quais das seguintes matrizes são simétricas, quais são ortogonais, quais são hermı́ticas
e quais são unitárias:




2
1+i 5−i
4
−i
2i
;
i
1
1 − i  ; (b) B =  1 − i 7
(a) A =  i
5 + i −i
−1
−2i 1 + i 0
·
(c) C =
√1
3
1
1+i
1 − i −1
"
¸
;
(d) D =
4
√2
5
√1
5
−1
√
5
√2
5
#
.