Análise de Funções de Densidade de Probabilidade utilizadas em

Universidade de Brasília
Faculdade de Tecnologia
Departamento de Engenharia Florestal
Análise das Funções Weibull, Normal e Sb Johnson na modelagem da distribuição
diamétrica de Eucalyptus urophylla na Região de Brasília- DF.
Fabrícia Conceição Menez Mota
José Imaña Encinas
Reginaldo Sergio Pereira
•
Distribuição Diamétrica
Introdução
 É básica para que a predição ou prognose da produção possa ser implementada.
 Possibilita que os modelos de distribuição por classe diamétrica forneçam uma
avaliação econômica de produtos discriminados por classe de diâmetro.
 Modelos de produção por classe de diâmetro fornecem o suporte na organização e
planejamento de povoamentos manejados que visam à produção de
multiprodutos florestais, permite estudar as mudanças ocorridas na estrutura
florestal ao longo do tempo.
•
Modelagem do crescimento
 Modelos biométricos ou descritivos: representa indiretamente o efeito do
ambiente e das práticas silviculturais, ( restrita, maior precisão na informação)
 Modelos baseados em processo ou mecanístico: associam a produtividade
florestal a processos ecofisiológicos, que controlam o crescimento (alocação de
biomassa, respiração, fotossíntese, nutrição e queda de folhas e galhos), (maior
generalização na informação).
 Atualmente tem-se modelos que envolvem os dois processos.
 Modelos não espaciais por classes do povoamento.
Introdução
São modelos que expressam o desenvolvimento do povoamento através da
descrição da evolução das distribuições diamétricas (SANQUETTA, 1996).

Três tipos fundamentais: processos de difusão, matrizes de transição, funções
probabilísticas.

Funções probabilísticas: a evolução das classes é expressa por funções
probabilísticas, onde os coeficientes são feitos função das características dos
povoamento (SCOLFORO, 2006).
 Modelos de produção:
 Modelos de produção explícito: propicia a predição da produção, ex. volume
por unidade de área.
 Modelos de produção implícito: propicia informações sobre a estrutura do
povoamento, ex. Funções probabilísticas.
•
Hipótese:
As funções de densidade de probabilidade Weibull e Normal aderem melhor aos
dados do DAP (diâmetro a altura do peito) em florestas eqüiâneas devido às
propriedades das funções e as características das florestas.
•
Objetivo:
O objetivo deste trabalho foi testar as funções de densidade de probabilidade,
Weibulll, Normal e Sb Johnson, na estimativa da distribuição diâmetrica de
Eucalyptus urophylla.
Objetivos específicos
•
Estimar os parâmetros das funções Normal e Sb Johnson pelo método dos
momentos.
•
Estimar os parâmetros da função Weibull pelo método dos percentis.
•
Aplicar o teste de Kolmogorov-Smirnov, para verificar a aderência dos dados em
cada função.
•
Definir a assimetria e curtose das curvas de freqüência observada da distribuição
diamétrica do Eucalyptus urophylla.
Material e Métodos
 Eucalyptus urophylla
 Idade dos povoamentos, 8 anos
 Intensidade amostral foi baseada na precisão de um limite de erro de 10% e 5% de
significância.
 165 árvores cubadas e respectivos DAP (Diâmetro Altura do Peito) e altura.
 Os parâmetros das funções foram estimados no software Excel, 2010.
 Foi analisada a descrição da distribuição diamétrica através de distribuições
matemáticas definidas como função de densidade de probabilidade (fdp).
Material e Métodos
•
As (fdp) devem satisfazer as seguintes condições:
•
f(x) ≥ 0 para os valores de x dentro do intervalo estabelecido.
•
f(x) dx = 1, determina que toda a área entre a curva representativa da função e no
intervalo seja igual a 1.
• f(x) = 0 se x está fora do intervalo.
Então pode se concluir que se x tiver contido num intervalo, dependerá da integral:
P (a ≤ x ≤ b) = ∫ f(x) dx
Material e Métodos
•
Função Weibull (2 parâmetros, 2P)
•
•
•
•
a= parâmetro de locação
b= parâmetro de escala
c= parâmetro de forma
x= variável de interesse (centro de classe)
Material e Métodos
•
Os parâmetros foram estimados pelo Método dos Percentis.
onde:
• D percentil = px1 quando percentil = p1
• D percentil = px2 quando percentil = p2
• n= número de indivíduos presente na amostra
Material e Métodos
•
Função Normal
•
•
•
•
•
x= centro de classe (cm)
σ = desvio padrão
µ = média aritmética
e = indica constante ‘e’ de Euler (2,71828182845905)
π = constante ‘pi’ (3,141592653589794)
Material e Métodos
•
Os parâmetros foram estimados pelo método dos momentos.
•
•
•
•
n = (número de diâmetros) tamanho da amostra analisada;
x = dados (diâmetros) da distribuição, i variando de 1 a n.
µ = média dos diâmetros
σ² = variância
Material e Métodos
•
Função Sb-Johnson
sendo que:
• ε = parâmetro de locação
• λ = parâmetro de escala
• δ e γ = definem a forma da distribuição
Material e Métodos
•
Os parâmetros da distribuição Sb de Johnson, método de momentos:
•
•
•
•
•
d = média aritmética dos diâmetros.
= limite mínimo estabelecido
λ = diâmetro máximo
γ = assimetria
δ = curtose
Material e Métodos
 Foi utilizada a fórmula da intensidade amostral:
n = t² + (cv %)²/ (LE %)
•
•
•
•
n = número de intensidade amostral
t = valor t de Student, obtido em função do grau de liberdade
cv = coeficiente de variação em porcentagem
LE = limite de erro pré-estabelecido em porcentagem
 Quantificou o número de classes a partir da fórmula de Sturges;
Material e Métodos
 Teste de Kolmogorov-sminorv:
D = SUP |f(x) – s(x)|
•
•
f(x) = valor da função de distribuição de freqüência acumulada estimada.
s(x) = valor da função de distribuição de freqüência acumulada observada.
Material e Métodos
Assimetria:
Momento centrado de terceira ordem:
Curtose
Momento centrado de quarta ordem:
Resultados
Quanto ao valor de g1 : - 0,69
• g1 = 0, a distribuição é denominada simétrica
• g1 > 0, tem-se uma distribuição assimétrica positiva
• g1 < 0, indicará assimetria negativa
Fonte: google
Resultados
•
•
•
•
Quanto ao valor de e g2 : 3,43
g2 > 3 Leptocúrtica é a distribuição que possui um pico relativamente alto,
coeficiente de curtose.
g2 = 3 Mesocúrtica é a curva intermediária, apresenta coeficiente de curtose.
g2 < 3 Platicúrtica, a curva que apresenta pico mais achatado, coeficiente de
curtose.
Fonte: http://www.mspc.eng.br
Resultados
•
•
•
Número de amostras necessárias = 54
De acordo com a fórmula de Sturges amplitude é de 3 cm.
Para o teste de Kolmogorov:
Tabela 1: Resultados obtidos pelo teste de Kolmogorov-Smirnov para Eucalyptus urophylla.
Função
Eucalyptus
Valor tabelado 95%
urophylla
Valor observado
Normal
0,141071248
Weibull
0,056464718 ns
Sb Johnson
0,048542868 ns
*ns- não significativo
0,105097
Resultados
 Função Sb Johnson:
Tabela 2: Estimativa dos parâmetros da função Sb Johnson (ε, δ, γ) para o Eucalyptus
urophylla,, de acordo com uma série de valores do diâmetro mínimo em porcentagem.
Série de
Valores
Frequência
estimada
F(x) -S(x)
Valor
tabelado a
95%
0,105097
ε
y
δ
0,95*dmin
4,076
1,032
1,203
164,82
0,048543
0,85*dmin
3,647
0,966
1,225
164,95
0,044318
0,75*dmin
3,218
0,898
1,246
165,05
0,040118
0,65*dmin
2,789
0,829
1,266
165,06
0,035605
0,55*dmin
2,360
0,758
1,284
164,99
0,030756
0,45*dmin
1,931
0,686
1,300
164,85
0,025646
0,35*dmin
1,502
0,612
1,315
164,65
0,023158
0,25*dmin
1,073
0,538
1,328
164,42
0,021547
0,15*dmin
0,483
0,463
1,339
164,16
0,020993
0,05*dmin
0,215
0,387
1,348
163,88
0,020758
Resultados
35
30
nº de árvores
25
20
15
10
5
0
5
7
9
11
13
15
17
19
21
23
25
27
29
31
33
35
PMC
Frequência observada
Frequência estimada; 5% dmin
Freq. estimada; 95% dmin
Figura 1. Freqüência estimada de acordo com ajuste do parâmetro “ε” para valores de 5% e 95% do dmin - diâmetro mínimo.
Resultados
 Função Weibull
Tabela 3: Parâmetros estimados para a função Weibull 2P
Coeficientes estimados
Valor
a
0
b
16,67
c
2,74
c =1 distribuição em forma de J invertido
c = 3,6 distribuição normal
c > 3,6 inclinação negativa
c < 3,6 inclinação positiva
Resultados
 Função Normal
A distribuição Normal foi determinada por dois parâmetros:
µ = 15,10 cm
σ = 5,55
De acordo com esses valores os dados apresentam variabilidade.
Resultados
35
30
Nº de árvores
25
20
15
10
5
0
5
7
9
11
13
15
17
19
21
23
25
27
29
31
33
PMC
Frequência observada
Normal
Weibull
Sb momentos
Figura 2: Distribuição observada e estimada , função Normal, Weibull e Sb Johnson para Eucalyptus urophylla.
35
Conclusão
 As funções Sb Johnson e Weibull ajustadas pelo método dos momentos, foram
eficientes na aderência aos dados de Eucalyptus urophylla.
 Rejeita se a hipótese do trabalho, pois as funções que melhor ajustaram os dados
do Eucalyptus urophylla, foram as funções Sb Johnson e Weibull ajustadas pelo
método dos momentos.
 A função Normal apresentou-se inapropriada na aderência dos dados em
Eucalyptus urophylla para as estimativas de indivíduos arbóreos por classes de
diâmetro.
 A curva da distribuição diâmetrica do Eucalyptus urophylla apresentou-se como
unimodal, assimétrica negativa e leptocúrtica.