Capítulo 6 - Porto Editora

1. Introdução ao estudo da trigonometria. Razões
trigonométricas no triângulo rectângulo (revisão)
Capítulo 6
1.
Pág. 175
2.2 a)
b)
c)
______________________________________________
2.1 a)
Pág. 176
d)
b)
_______________________________________________
3.
Pág. 177
c)
_______________________________________________
4.1
d)
Pág. 178
1. Introdução ao estudo da trigonometria. Razões
trigonométricas no triângulo rectângulo (revisão)
Capítulo 6
7.1
4.2
Pág. 181
______________________________________________
5
Pág. 179
______________________________________________
6.1
7.2
Pág. 180
6.2
_______________________________________________
8
Pág. 182
6.3
_______________________________________________
9.1
Pág. 183
2
Capítulo 6
9.2
1. Introdução ao estudo da trigonometria. Razões
trigonométricas no triângulo rectângulo (revisão)
_______________________________________________
1.
Pág. 184
9.3
2.
3
Capítulo 6
1. Introdução ao estudo da trigonometria. Razões
trigonométricas no triângulo rectângulo (revisão)
3.
_______________________________________________
4.
7.
Pág. 185
5.
8.
8.1
6.
______________________________________________
4
Capítulo 6
8.2
1. Introdução ao estudo da trigonometria. Razões
trigonométricas no triângulo rectângulo (revisão)
9.1
8.3
9.2
10.
9.
10.1
10.2
5
Capítulo 6
1. Introdução ao estudo da trigonometria. Razões
trigonométricas no triângulo rectângulo (revisão)
10.3
11.
12.
6
2. Generalização da noção de ângulo. Razões
trigonométricas de um ângulo qualquer (revisão)
Capítulo 6
1.
Pág. 188
1.1
2.4
1.2
______________________________________________
2.1
Pág. 189
2.5
2.2
2.6
2.3
2. Generalização da noção de ângulo. Razões
trigonométricas de um ângulo qualquer (revisão)
Capítulo 6
5.1
2.7
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
3.
5.7
_______________________________________________
6.1
______________________________________________
4.1
Pág. 194
4.2
4.3
4.4
______________________________________________
5.
Pág. 195
Pág. 198
2. Generalização da noção de ângulo. Razões
trigonométricas de um ângulo qualquer (revisão)
Capítulo 6
6.2
7.2
______________________________________________
7.1
Pág. 199
_______________________________________________
1.
Pág. 200
Capítulo 6
2. Generalização da noção de ângulo. Razões
trigonométricas de um ângulo qualquer (revisão)
2.
6.
3.
4.
7.
5.
8.
4
2. Generalização da noção de ângulo. Razões
trigonométricas de um ângulo qualquer (revisão)
Capítulo 6
12.
13.
______________________________________________
9.1
Pág. 201
9.2
9.3
9.4
10.1
10.2
10.3
11.
14.
11.1
11.2
Capítulo 6
2. Generalização da noção de ângulo. Razões
trigonométricas de um ângulo qualquer (revisão)
17.
15.
16.
3. Funções trigonométricas como funções reais de
variável real. Utilização das funções trigonométricas na modelação de situações reais
Capítulo 6
1.1
Pág. 209
1.7
1.8
1.2
_______________________________________________
2.
Pág. 213
1.3
_______________________________________________
3.
Pág. 214
1.4
1.5
1.6
_______________________________________________
1.
Pág. 216
3. Funções trigonométricas como funções reais de
variável real. Utilização das funções trigonométricas na modelação de situações reais
Capítulo 6
2.
6.2
3.
6.3
4.
5.
2.1 b)
7.
_______________________________________________
6.1
Pág. 217
Capítulo 6
3. Funções trigonométricas como funções reais de
variável real. Utilização das funções trigonométricas na modelação de situações reais
9.2
9.3
8.
9.1
4. Equações trigonométricas. Fórmulas
trigonométricas
Capítulo 6
1.1
Pág. 220
1.2
_______________________________________________
2.1
Pág. 221
2.2
2.3
_______________________________________________
3.1 a)
Pág. 222
4. Equações trigonométricas. Fórmulas
trigonométricas
Capítulo 6
3.1 b)
3.3
3.2
4. Equações trigonométricas. Fórmulas
trigonométricas
Capítulo 6
4.
Pág. 224
5.
4.1
4.2
4.3
_______________________________________________
6.
6.1
6.2
4.4
Pág. 225
4. Equações trigonométricas. Fórmulas
trigonométricas
Capítulo 6
6.3
7.2
6.4
_______________________________________________
8.1
_______________________________________________
7.1
Pág. 228
8.2
8.3
8.4
7.2
Pág. 229
4. Equações trigonométricas. Fórmulas
trigonométricas
Capítulo 6
8.5
10.2
_______________________________________________
9.1
11.
Pág. 233
9.2
12.1
12.2
_______________________________________________
10.1
Pág. 232
_______________________________________________
13.1
π 
1 − cos  
π 
π 
4
 4 =
=
sin   = sin 
 2 
2
 8


=
13.2
1−
2
2
2 =
2− 2
2− 2
=
4
2
π 
π
cos   = cos  4  =
8
 2
 


=
1+
2
Pág. 234
2
2 =
2+ 2
=
4
1 + cos
2
π
4 =
2+ 2
2
π 
Alternativamente, pode-se determinar cos  a partir
8
do resultado obtido na alínea anterior. Assim, recorrendo
à fórmula fundamental da trigonometria tem-se:
π 
π 
sin 2   + cos 2   = 1
 8
8
Como sin
π
2− 2
=
,vem:
8
2
4. Equações trigonométricas. Fórmulas
trigonométricas
Capítulo 6
2
 2− 2 
π

 + cos2   = 1


2
8



15.2 cos ( 2 x ) × cos (5 x ) =
2− 2
π 
π  4−2+ 2
⇔ cos   = 1 −
⇔ cos 2   =
 8
2
8
4
2
2+ 2
π  2+ 2
π 
⇔ cos2   =
⇔ cos   =
4
2
 8
 8
13.3
2
2 =
2
1+
2
1−
2− 2
2+ 2
(2 − 2 )
2 − ( 2)
2
=
14.1
_______________________________________________
Pág. 237
16. sin ( 3 x ) + sin( 6 x ) = 0
π 
1 − cos  
π 
π 
4
 4 =
=
tan   = tan 
 2 
π
8
1 + cos 


4
=
2
2
=
=
9x
 −3 x 
⇔ sin
 × cos 2  = 0
 2 


9x
3x
⇔ sin
 = 0 ∨ cos  2  = 0, pois cos ( −α ) = cos ( α )
 2 


9x
3x π
⇔
= kπ ∨
= + kπ , k ∈ ¢
2
2
2
2
π 2kπ
⇔ x = kπ ∨ x = +
, k ∈¢
9
3
3
( 2 − 2 )( 2 − 2 ) =
(2 + 2 )( 2 − 2 )
2− 2
2
17.1 cos x + cos ( 2 x ) = 0
x
1 − cos x
=±
2
2
Considerando que:
sin
sin2 x + cos 2 x = 1 e sin x = −
3
, vem:
2
2

3
1
1
2
2
−
 + cos x = 1 ⇔ cos x = ⇔ cosx = ±
4
2
 2 
π
3π
1
Uma vez que
<x<
, então cos x = − .
2
2
2
Assim, tem-se que:
x
sin = ±
2
Como
Então, se:
k = −1 → x = −
π
∨ x = − 3π
3
k = 0 →x =
π
x 3π
3
< <
, a solução é
.
4
2
4
2
−π , −
x
1 + cos x
cos = ±
2
2
Considerando que:
π π
, e π.
3 3
17.2 cos x + sen( 2 x ) = 0
π

⇔ cos x + cos  − 2 x  = 0
2

π 
 −x + π 

2  × cos  3 x − 2  = 0
⇔ 2cos 

2


2





x π
 3x π 

⇔ cos  − +  = 0 ∨ cos 
− =0
4
 2 4
 2
x π π
3x π π
⇔ − + = + kπ ∨
− = + k π, k ∈ ¢
2 4 2
2 4 2
π
π 2kπ
⇔ x = − − 2kπ ∨ x = +
,k ∈¢
2
2
3
3
, vem:
2
2

3
1
1
2
2
−
 +cos x = 1 ⇔ cos x = ⇔ cos x = ±
2
4
2


π
3π
1
Uma vez que
< x<
, então cos x = − .
2
2
2
Assim, tem-se que:
 1
1+  − 
x
 2 = ± 1 = ±1
cos = ±
2
2
4
2
π
x 3π
1 1
Como
< <
, as soluções são − e .
4
2
4
2 2
Então, se:
Nota: Por lapso, a solução que consta do manual não
está correcta.
_______________________________________________
15.1 sin ( 2 x ) × cos (3 x ) =
 3x 
 −x 
⇔ 2cos 
 × cos

 2 
 2 
 3x 
 x
⇔ cos 
 = 0 ∨ cos  −  = 0
 2 
 2
3x π
x π
⇔
= + kπ ∨ − = + k π , k ∈ ¢
2
2
2 2
π 2k π
⇔x= +
∨ x = −π − 2 k π , k ∈ ¢
3
3
π
∨ x = −π
3
3
k = 1 →x =π ∨ x = − π
2
Logo, no intervalo  −π , π , as soluções são:
 1
1−  − 
 2 = ± 3 = ± 3
2
4
2
sin2 x + cos2 x = 1 e sin x = −
 7 x − 3x 
 7x + 3 x 
= cos 
 × cos 
=
2
2




1


= cos ( 7 x ) + cos ( 3 x )  =
2
1
1
= cos ( 7 x ) + cos (3 x )
2
2
Pág. 236
 5x − x 
5x + x 
= sin 
 × cos
=
 2 
 2 
1
1
= sin ( 5 x ) − sen ( x )  =  sin ( 5 x ) +sen ( − x )  =
2
2
1
1
= sin ( 5 x ) + sin( − x )
2
2
7π
5π
∨ x =−
2
6
3π
π
k = −1 → x =
∨ x =−
2
6
π
π
k =0→x =− ∨ x=
2
2
5π
7π
k =1→x =−
∨ x=
2
6
Logo, no intervalo  −π , π , as soluções são:
k = −2 → x =
−
5π
π
π
π
,− , − e .
6
2
6
2
4. Equações trigonométricas. Fórmulas
trigonométricas
Capítulo 6
18.1 sin x + sin π + x  > 3
3

2
1.
Pág. 238
2x +π 
 π 
3  × cos  − 3  > 3
⇔ 2sin

2

 2  2




π

 π 3
⇔ 2sin x +  × cos  −  >
6

 6 2
π
3 3

⇔ 2sin  x +  ×
>
6 2
2

π
3
π
3


⇔ sin x +  >
⇔ sin x +  >
6 2 3
6 2


π
π 2π
⇔ + 2kπ < x + <
+ 2kπ , k ∈ ¢
3
6
3
π
π
⇔ + 2kπ < x < + 2kπ , k ∈ ¢
6
2
Então, se:
11
3
π < x<− π
6
2
π
π
k = 0 → < x<
6
2
13
5
k = 1→ π < x < π
6
2
Logo, no intervalo  −π , π , tem-se que:
k = −1 → −
π π
S =  , 
6 2
Nota: Por lapso, a solução apresentada no manual
2. cos ( α x ) = 0
⇔αx =
(B)
3.
não está correcta.
18.2 sin x − cos x > 1
4.
⇔ sin x − cos x > 1 ∨ sin x − cos x < −1
π

π

⇔ sin x − sin  + x  > 1 ∨ sin x − sin  + x  < −1
2

2

 −π 
2x +π 
2  × cos 
2 >1∨
⇔ 2sin 
 2 


2




π
π
−

 2x +

2  × cos 
2  < −1
∨ 2sin 
 2 

2





π 
 π

⇔ 2sin  −  × cos x +  > 1 ∨
4
 4

π
π


∨ 2sin  −  × cos x +  < −1
 4

4 
π
π


⇔ − 2cos  x +  > 1 ∨ − 2cos  x +  < −1
4
4


π
2
π
2


⇔ cos  x +  < −
∨ cos x +  >
4
2
4
2


3π
π 5π
⇔
+ 2k π < x + <
+ 2k π ∨
4
4
4
π
π π
∨ − + 2k π < x + < + 2k π, k ∈ ¢
4
4 4
π
⇔ + 2 k π < x < π + 2k π ∨
2
π
∨ − + 2 k π < x < 0 + 2k π , k ∈ ¢
2
Então, se:
3
5
k = −1→ − π < x < −π ∨ − π < x < −2π
2
2
π
π
k =0 → < x<π ∨ − < x <0
2
2
5
3
k = 1 → π < x < 5 π ∨ π < x < 2π
2
2
Logo, no intervalo  −π , π  , tem-se que:
 π
 π

S = − , 0 ∪  , π 
 2
 2

5.
π
3
+ 2k π ∨ αx = π + 2k π , k∈ ¢
2
2
4. Equações trigonométricas. Fórmulas
trigonométricas
Capítulo 6
Pág. 239
_______________________________________________
8.1
8.2
6.
6.1
9.
10.
6.2
7.1
10.1
4. Equações trigonométricas. Fórmulas
trigonométricas
Capítulo 6
11.2
10.2
12.
11.
11.1
13. cos x + sen( 2 x ) = 0
π

⇔ cos x + cos  − 2 x  = 0
2

π 
 −x + π 

2  × cos  3 x − 2  = 0
⇔ 2cos 




2
2




3x π 
x π


⇔ cos  − +  = 0 ∨ cos 
− =0
4
 2 4
 2
x π π
3x π π
⇔ − + = + kπ ∨
− = + k π, k ∈ ¢
2 4 2
2 4 2
π
π 2kπ
⇔ x = − − 2kπ ∨ x = +
,k ∈¢
2
2
3
Então, se:
7π
5π
∨ x =−
2
6
3π
π
k = −1 → x =
∨ x =−
2
6
π
π
k =0→x =− ∨ x=
2
2
k = −2 → x =
Capítulo 6
5π
7π
∨ x=
2
6
Logo, no intervalo  −π , π , as soluções são:
k =1→x =−
−
5π
π
π
π
,− , − e .
6
2
6
2
4. Equações trigonométricas. Fórmulas
trigonométricas
5. Resolução de triângulos. Fórmulas dos
co-senos e dos senos
Capítulo 6
1.
2
2
Determinação de AB:
Se:
Pág. 242
( BC ) = 4 + 9 − 2 × 4 × 9cos42º
⇔ ( BC ) = 16 + 81 − 72 ×cos42º
2
2
AB
4
4 × sin81,3º
g C$ = 81,3º →
=
⇔ AB =
⇔ AB ≈ 5,91
sin42º
sinC$ sin42º
⇔ BC = 16 + 81 − 72 × cos42º
AB
4
4 × sin14,7º
g C$ = 14,7º →
=
⇔ AB =
⇔ AB = 1,53
sinC$ sin42º
sin42º
⇔ BC ≈ 6,6
2.
BC mede, aproximadamente, 6,60 cm.
Perímetro do triângulo ( P )
Determinação de B$ :
P = AB + AC + BC
$
122 = 132 + 192 − 2 × 13 × 19cos B
Se:
132 + 192 − 122
2 × 13 × 19
− 1  386 
$
⇔ B = cos 

 494 
⇔ B$ ≈ 38,6º
⇔ cosB$ =
g AB = 5,91 → P = 5,91 + 4 + 5 ⇔ P = 14,91
g AB = 1,53 → P = 1,53 + 4 + 5 ⇔ P = 10,53
Com aproximação às centésimas do centímetro, o perímetro do triângulo é 14,91 cm ou 10,53 cm.
Nota: Por lapso, a solução apresentada no manual não está
Determ inação de C$ :
correcta.
192 = 122 + 132 − 2 × 12 × 13cos C$
4.2 Determinação de C$ :
122 + 132 − 192
⇔ cos C$ =
⇔ cos C$ ≈ −0,1538
2 × 12 × 13
 −48 
⇔ C$ = cos− 1 

 312 
⇔ C$ ≈ 98,9º
6
5
=
sin52º sin C$
5 × sin52º
⇔ sinC$ =
6
⇔ sin C$ ≈ 0,657
_______________________________________________
3. Determinação de C$ :
Pág. 244
180º= A$ + B$ + C$
⇔ C$ = 180º −50º −39º
Há duas soluções para C$ :
C$ = 41º ou C$ = 139º
⇔ C$ = 91º
Determinação de $A:
180º = A$ + B$ + C$
Determinação de AC:
Se:
$ = 87º
C$ = 41º → $A = 180º −52º− 41º⇔ A
$C = 139º→ A$ = 180º −52º−139º ⇔ A
$ = −11º
AC
8,2
8,2 × sin39º
=
⇔ AC =
⇔ AC ≈ 5,16
sin39º sin91º
sin91º
Determinação de BC :
Como $A = −11º é impossível, tem-se que
$A = 87º e C$ = 41º.
BC
8,2
8,2 × sin50º
=
⇔ BC =
⇔ BC ≈ 6,28
sin50º sin91º
sin91º
Determinação de BC :
Perímetro do triângul o ( P )
6 × sin87º
BC
6
=
⇔ BC =
⇔ BC ≈ 7,60
$ sin52º
sin52º
sin A
P = AB + AC + BC
P = 8,2 + 5,16 + 6,28
P = 19,64
Perímetro do triângulo ( P )
Com aproximação às décimas do centímetro, o
perímetro do triângulo é 19,6 cm.
P = AB + AC + BC
_______________________________________________
4.1
Determinação de A$ :
Pág. 245
4
5
=
sin42º sin A$
5 × sin42º
⇔ sin $A =
4
$ ≈ 0,836
⇔ sin A
Há duas soluções para A$ :
$ = 56,7º ou $A = 123,3º
A
P = 5 + 6 + 7,60 ⇔ P = 18,60
O perímetro do triângulo é, aproximadamente, 18,60 cm.
_______________________________________________
1. ( AC ) = 82 +202 − 2 × 8 × 20 × cos45º
2
( )
Cálculo auxiliar
$A = sin − 1 ( 0,669)
⇔ AC
Se:
$A = 56,7º→ C$ = 180º −42º −56,7º ⇔ C$ = 81,3º
$ = 123,3º → C$ = 180º−42º −123,3º ⇔ C$ = 14,7º
A
= 64 + 81 − 320 × cos45º
⇔ AC ≈ 145 − 320 × 0,7071
⇔ A$ ≈ 56,8º
Determinação de C$ :
180º = A$ + B$ + C$
2
⇔ AC ≈ 15,4184
Resposta: (C).
2.
(
337
)
2
(
= 72 + 9 2
)
2
− 2 × 7 × 9 2 × cos B$
−1
⇔ 126 2 × cos B$ = 49 +162 − 337 ⇔ cos B$ =
2

2
2
⇔ cos B$ = −
⇔ B$ = cos −1  −
 ⇔ B$ = 45º
2
2


Resposta: (A).
Pág. 246
5. Resolução de triângulos. Fórmulas dos
co-senos e dos senos
Capítulo 6
3.
( AB ) = 2 + 5 − 2 × 2 × 5 × cos120º
⇔ ( AB ) = 4 + 25 − 20 × cos120º
2
2
Determinação de AB:
2
AB
BC
=
sin62º sin90º
2
⇔ AB = 29 − 20 × ( −0,5)
⇔ AB ≈ 6,2449
Resposta: (B).
4.
7.
( A B)
2
= 3202 + 4502 − 2 × 320 × 450 × cos80º
Pág. 247
8 × sin60º
sin90º
⇔ A B ≈ 504,865
⇔ AB =
Com aproximação às décimas do metro, AB mede 504,9 m.
8
BD
=
sin90º sin60º
4
sin12º
$ =
⇔ sin ACB
8,492 × sin62º
⇔ AB ≈ 7,5
sin90º
8. Determinação da altura do triângulo:
$ :
5. Determinação de ACB
$
sin ACB
⇔ AB =
_______________________________________________
1
20 ×
20 × sin30º
2
⇔ BC =
⇔ BC =
sin120º
3
2
20
⇔ BC =
⇔ BC ≈ 11,55
3
Resposta: (B).
=
8,492 × sin62º
sin90º
Resposta: (A).
BC
20
=
sin30º sin120º
10
⇔ AB =
8 × sin60º
sin90º
⇔ BD ≈ 6,928
10 × sin12º
4
⇔ BD =
$ ≈ 0,519
⇔ sin ACB
$ = sin −1  10 × sin12º 
⇔ ACB


4


$ ≈ 31,3
⇔ ACB
Determinação de B$ :
$ + B$ + C$
180º = ACB
⇔ B$ = 180º −31,317º −12º
Determinação da área:
base × altura
2
12 × 6,928
Área =
2
⇔ Área ≈ 41,6
Área =
Com aproximação às décimas do centímetro quadrado,
a área do triângulo é 41,6 cm2 .
⇔ B$ ≈ 136,7
Nota: Por lapso, nenhuma das alternativas de resposta
está correcta.
9. Seja:
x a altura do triângulo [ ABD] e
y a altura do triângulo [ BCD ] .
6.
D
Determinação de x:
Sabe-se que:
D$ = 30º;
$ = 32º;
CBD
$ = 90º e
BAD
CD = 9 m
C
12
x
=
sin90º sin60º
⇔x=
12 × sin60º
⇔ x ≈ 10,392
sin90º
Determinação de y:
y2 = 122 + 52 − 2 × 12 × 5 × cos70º
⇔ y ≈ 11,312
B
A
Determinação de BC :
BC
9
=
sin30º sin32º
9 × sin30º
⇔ BC =
sin32º
⇔ BC ≈ 8,492
Determinação dos ângulos BCD e ACB:
$ = 180º −32º −30º
g BCD
= 118º
$ = 180º −BCD
$
g ACB
= 62º
Determinação da á rea de [ ABD] :
Área[ ABCD ] = Área[ ABD] + Área[BCD ]
5 × 10,392 20 × 11,312
+
2
2
= 139,1
=
2
A área do quadrilátero é, aproximadamente, 139,1 cm.
Nota: Por lapso, a solução apresentada no manual não está
correcta.
10.1 Determinação do ângulo T :
9
15
15 × sin27º
=
⇔ sin T$ =
sin27º sin T$
9
⇔ sin T$ ≈ 0,7566 ⇔ T$ = sin −1 ( 0,7566) ⇔ T$ ≈ 49,2º
5. Resolução de triângulos. Fórmulas dos
co-senos e dos senos
Capítulo 6
Determinação do ângulo OST :
$ = 180º−27º −49,2º
OST
= 103,8º
Determinação de OT :
OT
9
=
sin103,8º sin27º
⇔ OT =
9 × sin103,8º
sin27º
⇔ OT ≈ 19,3
Com aproximação às décimas do metro, OT mede 19,3 m.
10.2 Determinação do ângulo OST :
$ = 180º −OPS
$ − OSP
$
POS
(
$
= 180º −90º − 180º −OST
)
= 180º −90º − ( 180º −103,8º)
= 13,8º
Com aproximação às décimas do grau, o ângulo POS
tem amplitude de 13,8º.