HOU exersise: Cepheids – the unusual stars - if

Medir o Universo:
distâncias das Cefeidas
Weronika Śliwa
Editado por Michał Czerny
Traduzido por Maria Leonor Cabral
(Escola Secundária da Cidadela)
Adaptado por Maria de Fátima Oliveira Saraiva e Cássio Murilo Ávila
(Universidade Federal do Rio Grande do Sul - UFRGS)
Cefeidas, uma classe especial de estrelas variáveis
Introdução: medir distâncias em Astronomia não é uma tarefa fácil …
Como se podem medir as distâncias às estrelas? E às galáxias? O brilho não é uma medida
confiável, porque dois objetos completamente diferentes, um deles pouco luminoso mas a
curta distância, e outro mais luminoso mas muito distante, podem parecer iguais no céu. Por
muitos séculos, os astrônomos desconheciam que as estrelas estavam a distâncias diferentes
da Terra – muitos modelos antigos assumiam que todas as estrelas estavam sobre uma esfera
em rotação.
A primeira medição a uma estrela por um método confiável só se realizou no século XIX, em
que se utilizou um método geométrico para medir as distâncias de algumas estrelas – o
método da paralaxe (ver Anexo 1). Começa-se assim a ter uma noção da forma e tamanho da
nossa Galáxia, a Via Láctea.
Quando se entra no século XX, a questão que se punha era: as nebulosas que se observam no
céu noturno, serão objetos localizados dentro da nossa Galáxia, ou serão outras galáxias
semelhantes à nossa? A resposta não pode ser dada pelo método da paralaxe, pois este método
só pode ser aplicado a estrelas próximas (até cerca de 150 pc ~ 500 anos-luz).
No início do século XX, Henrietta Leavitt levou a cabo um estudo detalhado de uma classe
especial de estrelas variáveis, as cefeidas, e descobriu que estas estrelas possuem
características únicas que nos permitem determinar a distância a que se encontram. O método
descoberto por Henrietta Leavitt foi essencial para se determinar, pela primeira vez, a
distância à Grande Nuvem de Magalhães e a Andrômeda, o que provou que estas eram
galáxias separadas da nossa Via Láctea. Os astrônomos utilizam as cefeidas para determinar a
distância a sistemas estelares na nossa galáxia e a galáxias próximas (até ~ 20 Mpc ~ 60
milhões anos-luz).
Utilizando observações de cefeidas da Grande Nuvem de Magalhães, podemos fazer na sala
de aula o mesmo tipo de análise que Henrietta fez e que provou que existem galáxias para
além da Via Láctea. Só precisamos conhecer as propriedades das cefeidas.
Cefeidas, velas padrão
As cefeidas são estrelas super-gigantes, muito luminosas: a sua luminosidade é milhares ou
mesmo dezenas de milhares de vezes a luminosidade do Sol. Uma cefeida é uma estrela
variável, que pulsa: o seu tamanho e temperatura à superfície variam periodicamente, fazendo
com que a sua luminosidade varie. Tipicamente, as cefeidas clássicas têm períodos de alguns
dias.
Fig. 1. Curva de luz de uma cefeida clássica típica, com
período de 4,5 dias.
Estas estrelas possuem uma propriedade muito interessante e útil, que relaciona a sua
luminosidade média com o período de variabilidade. As cefeidas mais luminosas variam mais
lentamente do que as menos luminosas. Por exemplo:
-
uma cefeida cujo período seja de 3 dias emite por segundo 800 vezes mais energia do
que o Sol; P=3 dias  L = 800 LSol
uma cefeida cujo período seja de 30 dias, é 10 000 vezes mais luminosa do que o Sol;
P=30 dias  10000 LSol
Uma vez estabelecida a relação entre o período e a luminosidade média das cefeidas, basta
medirmos o período de variabilidade de uma determinada cefeida para determinar a sua
luminosidade média (quantidade de energia emitida).
Na Terra, quando observamos uma cefeida, podemos medir a quantidade de energia que nos
alcança por unidade de tempo e de área, ou seja, o fluxo de energia. Se já soubermos a
luminosidade da cefeida, então podemos determinar a distância a que a estrela se encontra
através da fórmula:
F=
L
2
4 πr
(1)
em que F é o fluxo de energia, ou seja, a quantidade de energia que se recebe por unidade de
tempo e por unidade de superfície perpendicular à direção de uma estrela; r é a distância a que
se encontra a estrela; e L é a quantidade de energia emitida pela estrela por unidade de tempo,
ou seja, a sua luminosidade.
Este método utiliza o mesmo princípio que é frequentemente utilizado para se medir
distâncias à noite quando se vê uma luz distante: se soubermos (ou assumirmos) a potência da
lâmpada, podemos avaliar a distância a que a lâmpada se encontra avaliando o brilho que nos
chega.
Exemplo de aplicação da fórmula 1
A luminosidade do Sol é LSol = 3.85 x 1026 W, e o fluxo de energia solar que atinge uma
unidade de superfície na Terra é FSol = 1370 W/m2. Então, a distância a que se encontra o Sol
é:
r=

3,85 x 1026
=1,5 x 1011 m
4π1370
Fotometria
Para construir a curva de luz (gráfico do brilho da estrela versus tempo) precisamos medir o
fluxo da estrela em datas diferentes. Isto é feito realizando fotometria nas diferentes imagens.
Em astronomia, a fotometria é a técnica que mede o fluxo da radiação dos objetos
astronômicos. Os CCDs registam a quantidade de fótons que lhes chega em cada pixel,
transformando cada fóton num sinal eléctrico mensurável. Assim, o valor da intensidade de
um pixel é uma medida dos fóton que lhe chegaram. Se somarmos a intensidade de todos os
pixels que compõe a estrela na imagem, podemos pensar que temos uma medida do fluxo da
estrela, embora em unidades pouco significativas (ADUs – Analogic to Digital Units). Mas na
verdade, em cada pixel, não chegou apenas a radiação da estrela, mas também a radiação
difusa do céu, que vamos querer subtrair.
Quando se faz Fotometria de Abertura, o truque é considerar uma circunferência com um
raio que inclua toda a estrela e somar a intensidade de todos os pixels dentro dessa
circunferência. De seguida, considerar a coroa definida por uma circunferência com cerca de
duas vezes o raio da circunferência escolhida para a estrela e a circunferência da estrela.
Nessa coroa, só estamos a medir a radiação do céu e serve para estimar a contribuição do céu
na região próxima da estrela. Então, podemos subtrair a contribuição do céu,
proporcionalmente à área da estrela, ao valor integrado da intensidade da área que a estrela
ocupa.
Mesmo assim, o valor a que se chega ainda não é somente devido a radiação vinda da estrela.
Tem que levar em conta todas as contribuições instrumentais, tais como, o ruído do próprio
CCD, a excitação térmica dos elétrons e um patamar eletrônico que existe sempre no CCD e
que varia. E após corrigir todos estes fatores, se quisermos comparar com medições realizadas
em outros dias e/ou com outros telescópios, é necessário calibrar para uma escala absoluta!
Quando não são necessários valores absolutos, pode-se recorrer à Fotometria Relativa, e
tem-se o trabalho facilitado. Numa mesma imagem, as contribuições instrumentais e
exteriores no CCD são as mesmas para todas as estrelas, de forma que a razão entre o fluxo de
duas estrelas de brilho constante é sempre o mesmo, independentemente das circunstâncias
das observações. Assim, a razão da fotometria de duas estrelas de brilho constante é também
constante para dias diferentes e telescópios diferentes.
No caso da observação de uma cefeida, que é uma estrela de luminosidade variável, se
realizarmos fotometria relativa a uma estrela de luminosidade constante que apareça na
mesma imagem, a razão entre as fotometrias variará em dias diferentes apenas devido à
variação da luminosidade da cefeida.
Assim podemos construir a curva de luz da cefeida baseando-nos na fotometria relativa da
cefeida e de estrelas de referência.
Exercício: determinação da distância à Grande Nuvem de Magalhães
utilizando uma cefeida
Para a realização do exercício é necessário o seguinte material:
1) Imagens da cefeida 43522, observada em diferentes datas: pasta “Cefeidas”;
2) Identificação, no céu, da cefeida 43522, em estudo: imagem IDCefeida.jpg;
3) Identificação de estrelas de referência no mesmo campo da cefeida: imagem
IDCefeida.jpg;
a. Estrela 43521 F=1,18 x 10−14 W/m2 , m=14,78 ;
b. Estrela 43541 F=6,1 x 10−15 W/m 2 , m=15,50 ;
c. Estrela 43520 F=1,31 x 10−14 W/m 2 , m=14,66 ;
4) Relação período-luminosidade das cefeidas relacionando o período e a magnitude
absoluta1 (que é uma medida de luminosidade): M= -2,81log  P -1,4
5) Relação entre a razão do fluxo de duas estrelas e suas respectivas magnitudes
aparente2 (também é medida de luminosidade): mcef −mref =−2,5log  F cef / F ref  ;
6) Relação entre as Luminosidades, magnitude absoluta (M) e magnitude aparente (m), e
 m− M+5  / 5
a distância (em parsecs): m−M= 5log  d −5  d  pc  =10
;
16
15
7) 1 pc= 3,086 x 10 m ; 1 ano-luz= 9,461 x 10 m ;
8) Software SalsaJ.
9) Planilha excel Cefeidas.xls
10) Máquina calcular gráfica ou ter o Solver instalado no Excel (se não aparece no menu
Ferramentas, ir ao Personalizar dentro do menu Ferramentas do Excel ou do
Office , e dentro do menu Personalizar escolher Ferramentas e seleccionar apenas o
Solver das opções para o Excel.
1. Magnitude Absoluta: é a magnitude aparente que um objeto teria se estivesse a uma
distância padronizada (10 parsecs). A magnitude absoluta nos permite comparar o
brilho de objetos sem levar em consideração as distâncias em que eles se encontram.
2. Magnitude Aparente: é uma escala para comparação do brilho das estrelas
desenvolvida pelo astrônomo grego Hiparco há mais de 2000 anos. A magnitude
aparente fornece uma forma de comparar quão brilhante um objeto parece em relação
a outro, mas não quão brilhante ele é. Isto porque a magnitude aparente depende da
distância em que o objeto se encontra.
Para medir a distância à cefeida 43522, na Grande Nuvem de Magalhães, começa-se por
construir a sua curva de luz, utilizando observações do projecto OGLE:
http://www.astrouw.edu.pl/~ogle/index.html
As imagens encontram-se na pasta Cefeidas (em formato FITS) e a data de observação pode
ser deduzida pelo nome do arquivo: por exemplo, CEP-43522-1999-10-24-03-25.FTS diz
respeito à observação da cefeida 43522, efectuada em 24 de Outubro de 1999 pelas 3:25h.
Todas as imagens mostram a mesma zona do céu. A Fig. 2 mostra a localização da cefeida
43522 e de estrelas de luminosidade constante (estrela 43521, estrela 43541, estrela 43520).
Todas as observações foram efectuadas nos comprimentos de onda do vermelho e do
infravermelho próximo.
Fig.2. A localização da cefeida em estudo e das estrelas de referência usadas para comparação.
Análise:
1. Realizar fotometria da cefeida e de uma estrela de comparação nas diferentes imagens,
escrevendo o resultado no arquivo excel Cefeidas.xls:
a. Abrir o arquivo Cefeidas.xls.
b. Abrir o SalsaJ.
c. No SalsaJ, abrir a primeira imagem da pasta “Cefeidas” [menu
“arquivo:Abrir”].
d. Registar a data e hora da observação no arquivo excel (através do nome do
arquivo).
e. No SalsaJ, ajustar a imagem de forma a distinguir perfeitamente as estrelas
[menu “Imagem:Ajustar Brilho/Contraste”; escolher Auto]. Encontrar a
cefeida e a estrela de comparação (escolher uma das três possíveis e não se
esquecer qual é, usando sempre a mesma estrela de referência).
f. Realizar a fotometria [menu “Análise:Fotometria”] clicando sobre a cefeida e
sobre a estrela de comparação - os resultados aparecem numa janela.
g. Registar os resultados da fotometria das duas estrelas na folha excel.
h. Repetir o procedimento para todos os arquivos.
2. Na folha de excel, a coluna Tempo foi calculada automaticamente de forma a
corresponder ao tempo, em dias, que passam desde a primeira observação.
3. Na folha de excel, a coluna Icef/Iref (=Fcef/Fref) é calculada automaticamente como a
razão entre a intensidade (o fluxo) da cefeida e a intensidade (o fluxo) da estrela de
referência, à medida que se preenchem os campos das colunas Icef e Iref.
4. Construir o gráfico Tempo vs Intensidade Relativa com as observações numa folha
de papel milimetrado – o gráfico é construído automaticamente na folha excel. Estes
pontos definem a curva de luz da cefeida.
5. Tentar encontrar uma função senoidal que corresponda ao gráfico de
F cef
 t  =B+Asen 2π t +Δφ .
F ref
P


Isto significa ter de encontrar quatro parâmetros: a intensidade relativa média da
cefeida B, amplitude da variação A, período P, e fase Δφ . É conveniente determinar
primeiro alguns valores aproximados dos seguintes parâmetros:
B – a intensidade média da cefeida pode ser estimada como o valor médio de Fcef/Fref
(= Icef/Iref);
A – pode-se estimar como metade da amplitude do gráfico de Fcef/Fref(t) desenhado no
papel milimetrado;
Δφ - a fase da função senoidal, se os primeiros pontos estão abaixo do valor médio de
Fcef/Fref(t), é negativa, se estiverem acima a fase é positiva, etc.
P – o Período pode avaliar-se “a olho” medindo o tempo (dias) entre dois “picos” ou
dois “vales” no gráfico desenhado.
Fig.3 Exemplo de uma curva de luz de uma estrela tipo cefeida
Opção 1 – continuar com a folha excel:
6. Introduzir nos campos ao lado de B, A, Δφ e P os respectivos valores estimados.
7. Na coluna Modelo aparece automaticamente a função teórica calculada com essa
estimativa de parâmetros. No gráfico aparece a linha com a curva teórica.
8. Na coluna erro é calculado automaticamente o desvio da função teórica relativamente
ao dado observacional. No fim da coluna, aparece a soma de todos os erros. Este é o
valor que vamos querer que seja o menor possível.
9. *Se tiver adicionado a função Solver no menu Ferramentas:
escolher no menu Ferramentas:Solver
a. Colocar na célula alvo o campo com a soma de todos os erros;
b. Escolher Min;
c. Colocar os campos com as variáveis da função (os valores de B, A, fase e P)
em “Alterando as células”;
d. Resolver.
e. Automaticamente os valores de B, A, Δφ e P foram ajustados, a coluna
Modelo foi recalculada e o gráfico atualizado.
*Se não tiver adicionado a função Solver no menu Ferramentas:
Os valores de B, A, fase e P podem ser ajustados “a olho” por tentativas, visto que o
gráfico é alterado automaticamente quando se altera um valor na célula. Altere,
cuidadosamente, não variando muito os valores das quatro variáveis, de maneira que o gráfico
desenhado pela planilha se encaixe da maneira mais aproximada possível dos pontos plotados,
como na Fig.3.
10. Tomar nota do Período e da intensidade relativa média da cefeida.
11. Com o valor do Período, utilizar a relação período-luminosidade entre o período e a
magnitude absoluta (M) das cefeidas para determinar a magnitude absoluta (M) da
cefeida 43522.
12. Com o valor da intensidade relativa média da cefeida e com o valor da magnitude
aparente (m) da estrela de referência, utilizar a relação entre as magnitudes aparentes e
a razão entre os fluxos de duas estrelas para calcular a magnitude aparente (m) da
cefeida 43522.
13. Agora, já com a magnitude absoluta (M) e a magnitude aparente (m) da cefeida,
utilizar a formula que relaciona as luminosidades, magnitudes absoluta e aparente,
com a distância em parsecs para obter a distância da Grande Nuvem de Magalhães
(onde está a cefeida) à nossa Galáxia. Em seguida faça a conversão do valor em
parsecs para metros e para anos-luz.
14. Problema: Qual será a incerteza associada ao resultado? Não esquecer que o resultado
depende da localização (desconhecida) da cefeida dentro da Grande Nuvem de
Magalhães, mas como o tamanho da Grande Nuvem de Magalhães é muito menor do
que a sua distância, esta incerteza é pouco significativa para o resultado.