Engenharia Elétrica

PROGRAD / COSEAC – ENGENHARIA ELÉTRICA - GABARITO
Prova de Conhecimentos Específicos
1a QUESTÃO: (1,0 ponto)
Seja
f ( x, y )
R
a
região
interior
ao
círculo
x2 y 2 † 4
e
seja
f definida
4 x2 y2 .
Calcule
∫∫ f ( x, y)dx.dy .
R
Cálculos e respostas:
O gráfico de f é um hemisfério de raio r 2 unidades e a região R forma a base deste
hemisfério. O sólido acima de R e abaixo de f é, portanto, um sólido hemisférico de raio
r
2 unidades (ver figura); logo, seu volume vale:
Portanto,
∫∫
R
4 x 2 y 2 dx.dy
16S
3
7
1 ⎛ 4 3 ⎞ 16S
u.v.
⎜ Sr ⎟
2⎝3
3
⎠
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2a QUESTÃO: (1,0 ponto)
Considerando-se os conceitos de álgebra vetorial, calcule
A
1,0,1 , B
2,1,3 e C
5,1,0 .
Cálculos e respostas:
1 0 -1
1 3
2 3
2 1
AxB • C = 2 1 3 = 1.
- 0.
+ (-2).
= 3 - 0 +7 = 10
-1 0
5 0
5 -1
5 -1 0
8
AxB • C , sendo:
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3a QUESTÃO: (1,0 ponto)
Para a superfície quádrica x 2 9 y 2 z 2 81 :
a) ache as interseções com x, y e z , se existirem;
b) discuta a simetria;
c) ache as seções perpendiculares aos eixos coordenados;
d) ache os traços;
e) identifique a superfície;
f) esboce o gráfico.
Cálculos e Respostas:
Dividindo por 81, vemos que a equação tem a forma
x 2 y2 z2
a 2 b2 c2
1 , onde a=9,
b=3 e c=9.
a) As interseções com x são (”9,0,0). Não há interseção com y. As
interseções com z são (0,0, ”9).
b) Todas as variáveis estão elevadas ao quadrado; logo, a superficie é
simétrica em relação a todos os três planos coordenados, todos os eixos
coordenados e a origem.
k é a curva z 2 9 y 2 81 k 2 , que é uma
hipérbole exceto quando k ”9 . Quando k ”9 , a interseção com o
plano x k é o par de retas concorrentes z ”3 y .
c) A interseção com o plano x
A interseção com o plano y
k é o circulo x 2 z 2
81 9k 2 de raio
81 9k 2 .
A interseção com o plano z k é a curva x 2 9 y 2 81 k 2 , que é uma
hipérbole exceto quando k ”9 , que é o caso de duas retas concorrentes
x ”3y .
d) Os traços são achados fazendo k 0 em (c ). O traço yz é uma hipérbole
z2 9 y2
81 . O traço xy é a hipérbole x 2 9 y 2
circuito x z
2
2
81 . O traço xz é o
81 .
e) A superfície é um hiperbolóide de uma folha – na verdade um hiperbolóide
de revolução em torno do eixo y .
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Cálculos e respostas:
f) O gráfico está representado abaixo
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4a QUESTÃO: (1,0 ponto)
Seja w x 4 y 2 z sen xy . Verifique por cálculo direto que
™3w
™x™y™z
™ 3w
™z™y™x
Cálculos e respostas:
™w
™2w
x4 y2 e
2x 4 y ,
™y™z
™z
™3w
de modo que
8 x 3 y . Por outro lado,
™x™y™z
Neste caso,
™w
™x
4x 3 y 2 z y. cos
de modo que
™3w
™x™y™z
™3w
™z™y™x
8x3 y
™2w
™y™x
xy e
8x 3 yz cos xy xy.sen xy ,
8 x 3 y . Portanto,
™3w
™z™y™x
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5a QUESTÃO: (1,0 ponto)
a)
e 2t i e 2t j , e w e 5t . Ache:
(5.sen 2t )i (5. cos 2t ) j , S
Seja R
d
R
dt
b)
d
R.S
dt
c)
d
( wS )
dt
Cálculos e respostas:
a)
d
R
dt
5.sen.2t i (5. cos .2t ) j .>10. cos .2t i (10.sen.2t ) j @
2
2
R dR
.
R dt
(5.sen.2t ) (5. cos .2t )
50.sen2t. cos 2t 50 cos 2t.sen2t
5
b)
0
d
dR
dS ⎡
R.S =
.S + R.
= (10.cos2t)i - (10.sen2t) j ⎤⎦ . ⎡⎣ e i + e j ⎤⎦ +
dt
dt
dt ⎣
+ ⎡⎣ 5.sen2t i + (5.cos2t) j ⎤⎦ . ⎡⎣ 2.e i - 2.e j ⎤⎦ =
= 10.cos2t.e - 10.sen2t.e + 10.sen2t.e - 10.cos2t.e =
2t
2t
2t
-2t
-2t
2t
-2t
= 10(cos2t + sen2t)(e - e )
2t
c)
d
( wS)
dt
-2t
dw
dS
S w
dt
dt
5e 5 t e 2 t i e 2 t j e 5 t (2.e 2 t i 2e 2 t j)
5e
3t
i 5e
7 t
j 2e 3t i 2e 7 t j 3e 3t i 7e 7 t j
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-2t
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6a QUESTÃO: (1,0 ponto)
Um ventilador de 5 HP é usado em uma sala grande para promover a
circulação de ar.
Admitindo-se que essa sala seja bem isolada e selada, determine o aumento
da energia interna depois de uma hora de operação.
Cálculos e Respostas:
Por superposição, Q=0, com 'EP
trabalho realizado é:
W
s⎞
W ⎞
⎛
⎛
(5 HP).⎜ 746
⎟.(1h).⎜ 3600 ⎟
HP ⎠
h⎠
⎝
⎝
0 e 'EC
0 , a primeira lei fica W
'U . O
1,343 x10 7 J
O sinal negativo é usado, de acordo com convenção, porque o trabalho é realizado
sobre o sistema. Finalmente, o aumento de energia interna é:
'U (1,343 x107 ) 1,343 x107 J ou 13,43 MJ
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7a QUESTÃO: (1,0 ponto)
A pressão estática inicial em um duto de ar, conforme figura, é medida com um
piezômetro como 16 mm de água. Uma sonda Pitot no mesmo local indica 24 mm de
água.
a) Calcule a velocidade de ar a 20 “C;
b) Calcule também o número de Mach;
c) Comente sobre a compressibilidade do escoamento.
Cálculos e Respostas:
a) A equação de Bernoulli é aplicada entre dois pontos na linha de corrente que
termina no ponto de estagnação da sonda de Pitot. O ponto 1 esta a
montante e p2 é a pressão total no ponto 2; logo, sem nenhuma mudança de
elevação,
V12 P1 PT
J
2g J
A pressão medida com o piezômetro é U1 Jh 9810x 0,016 157 Pa. Usamos a lei de
gás ideal para calcular a densidade.
U
p
RT
157 101.000
287 x (273 20)
1,203
kg
m3
em que a pressão atmosférica-padrão, que é de 101.000 Pa (já que nenhuma
elevação foi dada), é adicionada, uma vez que a pressão absoluta é necessária na
equação precedente. As unidades são checadas, usando-se Pa=N/m2 e J=N.m. A
velocidade é, então:
V1
2
(p T p1 )
p
2.(0,024 0,016x 9810
1,203
11,42
m
,
s
em que as unidades podem ser verificadas, utilizando-se kg=N.s2/m.
b) Para achar o numero de Mach, devemos calcular a velocidade do som, que é
c
kRT
1,4 x 287 x 293
343
m
s
b) O número de Mach é, então, M
V
c
11,44
343
14
0,0334
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Cálculos e respostas:
c) Obviamente, o escoamento pode ser assumido como incompressível, uma vez que
M < 0,3. A velocidade teria de ser muito maior antes de a compressibilidade ser
significativa.
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8a QUESTÃO: (1,0 ponto)
Uma bola de 50 g é arremessada de uma janela com uma velocidade inicial de
8 m/s e um ângulo de 30“ para cima em relação à horizontal.
a) Determine a energia cinética da bola no ponto mais alto da trajetória.
b) Calcule a velocidade da bola quando se encontra 3 metros abaixo da janela.
c) A resposta do item b depende da massa da bola ou do ângulo de arremesso, ou de
nenhum dos dois? Justifique.
Cálculos e respostas:
a) No topo da trajetória, a componente vertical da velocidade da bola é zero, enquanto
sua componente horizontal continua sendo v h v 0 . cos 30“ , onde v0 é o módulo da
velocidade da bola. A energia cinética K da bola de massa m é, portanto,
K
1 2
mvh
2
1
2
(50 x10 3 ).>8
. cos 30“@ 1,2 J .
2
b) Quando a bola se move com uma velocidade v a uma distancia h 3 m abaixo da
janela, sua energia potencial é menor que o seu valor inicial, a diferença sendo
igual a
mgh . A conservação de energia então fornece
1 2
mv0
2
1 2
mv mgh ,
2
obtendo-se
v
v 02 2gh
8 2 (2).(9.8).(3)
11
m
.
s
c) Pela expressão anterior, percebe-se que v não depende nem da massa da bola
nem do ângulo inicial.
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9a QUESTÃO: (1,0 ponto)
Suponha que a mesma quantidade de calor, por exemplo, 260 J, é transferida por
condução de um reservatório a 400 K para outro a:
a) 100 K
b) 200 K
c) 300 K
Calcule o valor da entropia em cada caso.
Cálculos e Respostas:
a) Se Tc=100 K,
260
400
'S H
QH
TH
'S
'S H 'S C
0,65
J
K
QC
TC
2,6
J
K
'S
0,65 1,3 0,65
J
K
'S
0,65 0,87 0,22
'S C
0,65 2,6 1,95
260
100
J
K
b) Se Tc=200 K,
'S C
QC
TC
J
260
1,3
200
K
c) Se Tc=300 K,
'S C
QC
TC
260
300
0,87
J
K
17
J
K
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10a QUESTÃO: (1,0 ponto)
Um objeto de 5 kg numa superfície horizontal sem atrito é ligado a uma mola com
constante 1000 N/m. O objeto é deslocado 50 cm horizontalmente e empurrado a uma
velocidade inicial de 10 m/s, na direção do ponto de equilíbrio.
a)
b)
c)
d)
Qual a frequência do movimento?
Qual a energia potencial inicial do sistema bloco-mola?
Qual a energia cinética inicial?
Qual a amplitude da oscilação?
Cálculos e respostas:
a) A frequência do movimento é: f
w
2S
b) A energia potencial inicial é U 0
k.'x 2
2
c) A energia cinética inicial é K 0
2,25Hz
m.v 02
2
(0,5).(1000).(0,5) 2
(0,5).(5).(10) 2
d) Com a conservação de energia temos: E
xm
18
250J
U 0 K0
0,87 m
125J
k .xm2
2