CURSO: MECÂNICA QUÂNTICA APLICADA PROFESSOR: PHILLIPE WILHELM COURTEILLE AUTOR: TIAGO GUALBERTO BEZERRA DE SOUZA DO ÁTOMO DE HIDROGÊNIO (H), ÀS MOLÉCULAS DIATÔMICAS (H2+), E ALÉM ( )! -Uma introdução a teoria LCAO e aos orbitais moleculares (OM)- INTRODUÇÃO A mecânica quântica foi extremamente bem sucedida em realizar uma descrição da matéria em nível atômico. As suas propriedades puderam ser descritas matematicamente de maneira analítica e em pleno acordo com os experimentos. Permitindo um melhor entendimento do seu comportamento e que previsões fossem feitas sobre os sistemas. Porém, embora a mecânica quântica trate com precisão o átomo de hidrogênio, ela é incompleta e não provê uma descrição analítica de sistemas mais complexos (átomos com mais de um elétron, átomos mais pesados, moléculas, et cetera). Mas já que a mecânica quântica se mostrou superior às outras teorias no nível atômico, é esperado que, com algumas aproximações e hipóteses, possamos usá-la e obter boas estimativas para os parâmetros desses sistemas mais complexos (métodos perturbativos independentes e dependentes do tempo, variacionais e a teoria LCAO). Desde que a maioria dos sistemas químicos são moléculas, se torna importante entender como a mecânica quântica é aplicada nesses sistemas. Por moléculas, diz-se um sistema de átomos quimicamente ligados. Nelas há um compartilhamento dos elétrons formando ligações covalentes. O que é diferente das ligações iônicas, em que os átomos se mantêm unidos para atração coulombiana. O objetivo deste trabalho é dar uma breve descrição quantitativa e qualitativa, principalmente, de uma das principais teorias da mecânica quântica que descreve as ligações moleculares, a teoria LCAO (do inglês, linear combination of atomic orbitals). A MAIS SIMPLES DAS MOLÉCULAS (H2+), e uma primeira aproximação A mais simples das moléculas diatômicas é o cátion da molécula de hidrogênio (H2+). Esse sistema é composto por apenas dois prótons e um elétron. Como ilustra a figura 1. Visto que dois núcleos estão interação ente todos os constituintes do presentes, deve-se considerar não apenas sistema. a interação entre o elétron e os núcleos, mas também a interação que os núcleos têm entre si. A expressão para a energia cinética, na hamiltoniana total do sistema, terá três termos, uma para cada partícula do sistema. Assim como a expressão para a energia potencial deve considerar a + Figura 1: Representação da molécula H2 A expressão da hamiltoniana é: ̂ tal que, e indiquem cada um dos núcleos, e , e as distâncias entre o elétron e cada um dos núcleos e a distância internuclear respectivamente. A hamiltoniana que descreve a molécula H2+ não possui solução analítica. E é aqui que a primeira aproximação se faz necessária, a fim de simplificar esse sistema. Considerando que o próton é muito mais pesado que o elétron ( ) podese supor que para o elétron o núcleo não se move. Embora o núcleo se mova, o seu movimento é tratado com independente (aprox. de Born-Oppenheimer). Essa aproximação conduz às seguintes equações: ( ( ) ( )) que mostram a separação da parte devida ao elétron e a parte devida ao núcleo, tal que, na parte eletrônica mantem-se R constante e na parte nuclear mantem-se a energia potencial eletrônica (Eel) fixa. As duas equações devem ser resolvidas simultaneamente. No entanto, geralmente despreza-se a equação do núcleo e estima-se o potencial eletrônico de considerações clássicas. Agora, um tratamento mais completo usa uma série de potências de R e calcula a energia para cada R. Desse procedimento podemos construir um gráfico da energia eletrônica em função da distância internuclear R. A figura 2, ao lado, mostra um esboço para a curva de energia potencial para o estado fundamental e os 3 primeiros estados excitados. A energia da molécula é mínima na distância de equilíbrio ( ), que não necessariamente é a mesma para os estados excitados. Nem todos os estados são estáveis. Alguns estados podem existir apenas por um curto período, pois o sistema nunca chega ao equilíbrio. Figura 2: Curva da energia potencial de uma molécula diatômica. INTRODUÇÃO A TEORIA LCAO – Orbitais moleculares (OM) Elétrons em moléculas são descritos aproximadamente com orbitais, assim como elétrons em átomos são descritos por orbitais. Ao invés de ser localizada no átomo individualmente, a função de onda do elétron se estende por toda a molécula. Existem vários meios de se descrever matematicamente um orbital molecular. Há um método que leva em consideração apenas os elétrons na camada de valência (ligação de valência). Contudo, o método mais simples e que também conduz a bons resultados é a teoria LCAO. Na teoria LCAO usa-se a teoria variacional linear para criar combinações lineares de orbitais atômicos de cada um dos constituintes da molécula a fim de modelar o orbital molecular. No caso da molécula H2+ invocamos o ansatz (um palpite educado!): ( ) ( ) Por razões de simetria, é razoável esperar que seja igual a , pois não há preferência do elétron pelo primeiro, ou segundo núcleo. O que nos deixa com duas possibilidades, a soma ou diferença de ( ) e ( ) (os índices H(1) e H(2) referem-se à função de onda do hidrogênio 1 e 2). Com essa consideração e assumindo que o elétron esteja no estado fundamental, temos duas combinações lineares dos orbitais atômicos para formar o orbital molecular (figuras 3 e 4). ( ( ) ( )) ( ) ( ( ) ( )) ( ) 𝜙𝐻 𝑠 𝑠 𝜙𝐻 Figura 3: Representação da combinação linear dos orbitais atômicos Figura 4: Representação pictográfica dos orbitais moleculares e O novo orbital molecular, chamado de , possui simetria cilíndrica e pode ser ligado/gerade ( ) ou anti-ligado/ungerade ( ). E só pela representação da nuvem eletrônica, já se pode inferir que possui menor energia que . Como toda função de onda útil na mecânica quântica, a função de onda molecular precisa ser normalizada. ∫ ( ∫ ⏟ ( ) ( ) ) √ a integral gera um número positivo e é conhecida como Integral de Superposição. Pronto! A teoria LCAO proveu uma função de onda aceitável, pelo menos em termos qualitativos, para o orbital molecular da molécula H2+. Agora podemos calcular as autoenergias para estes orbitais moleculares ( | ̂| ⟨ ⟩). Assumindo uma hamiltoniana puramente eletrônica e que a distância internuclear R, temos: ⏟ ∫ ( ) ̂ ( ) ∫ ( ) ̂ ( ) ∫ ( ) ∫ ̂ ( ) ( ) ̂ ( ) as igualdades e apenas são verdadeiras porque se trata de uma molécula homonuclear. Caso tratasse-se de uma molécula heteronuclear, cada termo seria distinto. É curioso notar que a soma das energias dos orbitais moleculares ( ) não é o mesmo que a soma das energias dos orbitais atômicos originais (figura 5). Este fato se torna evidente quando lembramos que a energia total do sistema inclui também a energia de repulsão entre os núcleos. 𝜎𝑢 𝜎𝑔 𝐻 𝐻 + (𝑂𝑀) 𝐻+ Figura 5: Diagrama de energia para os + orbitais moleculares da molécula H2 REALIZAÇÔES, da teoria LCAO As integrais de Superposição e Ressonância podem ser calculadas analiticamente se a aproximação de Born-Oppenheimer for utilizada, e caso contrário a sua solução deve ser calculada numericamente. Uma vez determinados os seus valores, a teoria LCAO prediz uma distância de equilíbrio para R de , e que a molécula H2+ no seu estado ligado possui uma energia de mais baixa do que a soma da energia dos dois átomos separados. Atualmente os valores experimentais aceitos para as grandezas citadas são ( ). Logo vemos que os resultados não são idênticos. Mas não são nada maus considerando as aproximações que fizemos! Outra conquista marcante da teoria LCAO, é que ela é bem sucedida ao explicar as propriedades paramagnéticas do oxigênio molecular. Feito que a teoria de valência falha, pois nela o oxigênio molecular seria diamagnético. Embora tenha apenas se dado ênfase na molécula H2+, por motivos didáticos, a teoria LCAO é vasta e aumenta de complexidade a medida que o sistema se torna mais complexo. LIVROS INTERESSANTES PHYSICAL CHEMESTRY – DAVID W. BALL – THOMSON BROOKS/COLE ATOMS, MOLECULES AND PHOTONS 2ºED – WOLFGANG DEMTRÖDER – SPRINGER