álgebra linear – 2010/11 folha de exerc´ıcios 3.1. inversa de uma

álgebra linear – 2010/11
3.1. inversa de uma matriz
folha de exercı́cios
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departamento de matemática
1. Seja A =
universidade de aveiro
−5
2
.
2 −1
−1
(a) Mostre que A
=
−1 −2
, usando a definição de inversa.
−2 −5
−1
(b) Sem efectuar cálculos, indique (A−1 ) .
2. Em cada caso, use o algoritmo de inversão de matrizes para encontrar a inversa
da matriz dada.




1 0 1
1 3 −1
3 −7
0 ;
(a)
;
(b)  2 2 3 ;
(c)  −1 0
−2
5
0 3 1
0 2 −1

(d) 


3 5
1
1 2 −1 ;
−1 0
1

1
 −1
(f) 
 5
2

2
1
2

−3 −1 −1 ;
(e)
5
2
1
1
0
7
5

0
1
1 −1 
.
3
5 
6
1
3. Em cada caso, encontre a matriz invertı́vel A que satisfaz a equação matricial
dada.
−1
1
0
2 −3
−1
T
(a) (3A) =
;
(b) (5A) =
;
−5 −1
−1
4
T
(c) 2A − 3I
−1
=
3 2
;
1 1
−1
(d) (A
1 2
− 3I) = 5
;
3 4
T
−1 T
−1
1
0
3 1
1 1
−1
T
=
;
(f) 2
− 5A
= 4AT
.
(e) A − 3
1 1
−2 3
2 −1


−1 −10
4
3 −1 . Para cada caso, encontre a matriz X que satisfaz a
4. Seja A =  0
1
5 −1
equação matricial dada.


2 −1
2 3 −1


0 ;
(a) AX = 1
(b) XA =
.
−1 0
5
0 −3




0 5 −2
0 0
1
1  e B =  2 0 −2 . Resolva a
5. Considere as matrizes A =  3 0
1 1
0
−1 3
0
equação matricial
−1
X −1 + XB −1
= A.
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


1 −2
1
1 0



1 −1 , B = 2 3
6. Sejam A = 0
1 −1
1
1 3
T
T
AX1 = 1 2 3 e BX2 = 1 −1 2 .

0
4 e sejam X1 e X2 matrizes tais que
7
Determine:
(a) A−1 e B −1 ;
(b) X1 e X2 , usando a alı́nea anterior.
3 −4
7. Mostre que se U =
e AU = 0 então A = 0.
7
5
8. (a) Simplifique (I − A)(I + A).
(b) Se A2 = 0, mostre que I − A é invertı́vel e (I − A)−1 = I + A.
(c) Se A3 = 0, mostre que I − A é invertı́vel e (I − A)−1 = I + A + A2 .
(d) Generalize, ou seja, se An = 0, determine (I − A)−1 , para qualquer n ∈ N.
−1
2
9. Seja A uma matriz invertı́vel tal que (7A)−1 =
. Determine A.
4 −7
10. Seja A uma matriz quadrada tal que A2 − 3A + I = 0. Mostre que A−1 = 3I − A.
11. Diz-se que uma matriz M é ortogonal se M −1 = M T . Prove que:
cos θ sen θ
(a) A =
é ortogonal;
sen θ cos θ
Sugestão: recorde a noção de inversa de uma matriz.
(b) se M e N são matrizes ortogonais então M N é ortogonal.
mat
ua
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soluções
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1. (b) A.
2. (a)
5 7
;
2 3
(b)
2
−1


2 −5 −7
4
4 ;
(d) 18  0
2 −5
1
1
0
3. (a)
;
−5 −1 7 11
(e) 12
;
−1 −3


−14 −4
5 −4 ;
4. (a) 14 
11 −12


10 −13 −8
16
9 .
5.  −11
−28
40 22

0
1
−1

0
6. (a) A = −1
−1 −1
T
(b) X1 = 5 2 0 e
1
3


0 −1
0
−5
1 −1 ;
;
(c)  1
3
2
2 −3




9
0 −2
1
−1 −3 −1

8
3 −1
0 
1
.
2
8
4 ;
(e) 2
(f) 
 −7 −2
1
0 
1 −1 −1
−16 −3
3 −1
2 − 12
23 −15
1 4 1
1
;
(c)
;
(d) 34
;
25 3 2
−1
3
−10
8
3 −1
21
.
40
2
1
(b)
(f)
(b)
1
4
−4 −16 4
.
17
35 13



9
0
0
1
7 −4 ;
1  e B −1 = 91  −10
3 −3
3
1
T
4
X2 = 1 − 25
.
9
3
8. (a) I − A2 ;
(d) (I − A)−1 = I + A + A2 + · · · + An−1 , para todo n ∈ N.
1 7 2
9. A = 7
.
4 1
mat
ua