um breve relato da construção da linguagem matemática ao longo

UM BREVE RELATO DA CONSTRUÇÃO DA LINGUAGEM
MATEMÁTICA AO LONGO DA HISTÓRIA
Autor: Maurílio Antônio Valentim
Instituição: Universidade Bandeirante de São Paulo
E-mail: [email protected]
Resumo:
Utilizamos a linguagem tão naturalmente em nosso cotidiano para nossa comunicação que ela
nos parece simples, mas a Linguística demonstra que isso não é tão s imples. As palavras
utilizadas como base deste processo são carregadas de ideologias. Muito tem se discutido
sobre linguagem no contexto escolar na disciplina de Matemática. Relatos de profissionais
sobre as dificuldades no ensino e aprendizagem são muitas delas relacionadas com a
linguagem materna e a simbólica utilizadas principalmente no conteúdo algébrico. Neste
artigo procuro trazer um breve relato sobre a história da linguagem Matemática conjeturando
ser importante conhecer como se deu as transformações ocorridas ao longo do tempo e dando
subsídios para se conhecer possíveis barreiras epistemológicas que elas podem provocar. O
texto é produto de pesquisas realizadas no curso de Doutorado sobre as contribuições de
narrativas no processo de construções de significados em alunos do segundo ciclo do Ensino
Fundamental.
Palavras-chave: Linguagem; Matemática; História
Texto completo
A ferramenta Google, de vasta utilização em busca na internet, traz como resultado de
pesquisa, realizada em 2 de outubro de 2012, a pergunta “Qual a origem da matemática?”
aproximadamente 2.880.000 (dois milhões, oitocentos e oitenta mil) resultados em 0,15
segundos. Isto demonstra como esta questão é polêmica.
Podemos definir que existem duas correntes que respondem a esta pergunta com
perspectivas diferentes: uma afirma que a Matemática já existia antes do homem e a outra que
ela foi idealizada por ele.
Trabalharemos na perspectiva que ela foi criada pelo homem baseada na teoria de
Jerome Bruner que afirma que a narrativa constrói a realidade e não representa a realidade,
assim a Matemática seria uma criação humana.
Boyer (1974) afirma que no início se pensava que a Matemática ocupava-se somente
pela percepção do mundo pelos nossos sentidos e com a persistência da raça humana no
principio lógico da sobrevivência do mais hábil e que assim houve o desenvolvimento dos
conceitos Matemáticos.
Segundo Boyer (1974) a Matemática atual tem origem nas idéias de número, de
formas e grandezas e hoje, após procurar definir na realidade o que é a Matemática, há um
consenso entre a maioria de pesquisadores que ela é uma ciência das regularidades, dos
padrões.
O conceito de número não surgiu de uma descoberta individual e em um determinado
espaço-tempo, ele foi resultado de um processo longo e que foi motivado pela linguagem.
Podemos citar, entre algumas línguas, a língua grega que mantinha uma gramática que
distinguia um, dois e mais de dois o que difere da linguagem atual onde temos o singular e o
plural.
Temos ainda hoje grupos que contam até dois e quantidade acima de dois é
simplesmente chamado de muitos e outros que fazem grupos de dois em dois, pois para eles
não há necessidade de contagem de muitos objetos.
A figura abaixo traz um cronograma com o surgimento da escrita na história em
relação a alguns povos abordando um espaço de tempo entre 3.500 A/C e 1500 D/C.
Esquema cronológico representando a extensão de algumas civilizações antigas e
medievais. (Boyer, 1974, p.2)
De acordo com o esquema proposto acima podemos verificar que a escrita aparece
primeiro, mas nem Heródoto nem Aristóteles se arriscaram a determinar as origens da
Matemática já que não havia registros que pudessem justificar. Só para registro em nosso
trabalho, mas sem almejar uma definição histórica para a origem da Matemática vamos
considerar, levando em conta os desenhos e figuras do homem neolítico como precursores da
geometria, como ordem de surgimento a Geo metria, a Aritmética e a Álgebra. Não estamos
estancando datas ou eras já que o surgimento e ou a criação de ideias são oriundas de
manifestações anteriores, ou seja, elas coexistiram e se aprimoraram muitas das vezes se
justificando e consolidando.
Segundo a psicologia o que nos difere dos animais é a linguagem e para Boyer ela foi
“essencial para que surgisse o pensamento matemático abstrato” (p.3). Ele exemplifica
citando a relação entre medidas usadas hoje com o corpo humano.
A tendência da linguagem de se desenvolver do concreto para o
abstrato pode ser percebida em muitas das medidas de comprimento
em uso atualmente. A altura de um cavalo é medida em “palmos” e as
palavras “pé” e “ell” (ou elbow, cotovelo) também derivaram de
partes do corpo. (BOYER, 1974, p.3)
Mas estas relações podem não ser fáceis de serem compreendidas. As simbologias
utilizadas podem não ter uma correspondência na língua atual o que impede sua compreensão.
Podemos citar neste caso as dificuldades encontradas para entender as escr itas cuneiformes
em documentos encontrados que datam 4.000 anos.
No entanto Boyer afirma que houve uma demora para que palavras fossem
representativas de idéias numéricas já que era mais fácil utilizar símbolos concretos (marcas
em formas de cunha em tabletas de barro, por exemplo) e ressalta a importância da língua
para a consolidação do sistema decimal.
Se o problema da linguagem não fosse tão difícil talvez sistemas rivais
do decimal tivessem feitos maiores progressos. A base cinco, por
exemplo, foi uma das que deixaram a mais antiga evidência escrita
palpável; mas quando a linguagem se tornou formalizada, o dez já
predominava. As línguas modernas são construídas quase sem
exceção em torno da base dez, de modo que o número treze, por
exemplo, não é descrito como três e cinco/e cinco, mas como três e
dez.(idem, 1974, p.3)
O uso da escrita cuneiforme em tabletes de barro (como citado acima) que eram
cozidas ao sol diferente dos papiros egípcios fez com que fosse possível encontrar milhares
dela, mas mesmo assim a escrita egípcia foi decifrada antes. A iconização na escrita
mesopotâmica gradativamente tornou-se menor e transformou-se em combinações de cunhas.
No Egito, de acordo com Lima & Moises (2000), a palavra aha significa uma montão
e foi criada para conceber uma quantidade sem especificar o valor exato, ou seja, a
representação do que chamamos hoje de incógnita começou através de uma palavra dando
início a um desenvolvimento da linguagem Matemática. Assim, a partir dela
... o pensamento matemático começa a desenvolver uma linguagem
própria, diferente da linguagem usual das palavras. É, portanto, com a
Matemática egípcia, que a linguagem Matemática começa a se separar
da linguagem usual. Trata-se da linguagem Matemática através de
palavras, que apesar de ser um pequeno passo, quase despercebido por
ainda usar palavras, foi importante no sentido de criar um vocabulário
próprio – a língua da Matemática. A linguagem Matemática através de
palavras é o primeiro passo da criação da linguagem especificamente
Matemática para o qual são escolhidas as palavras que mais direta e
claramente expressam movimentos Matemáticos.(LIMA e MOISES,
2000, p. 27)
Dentro das características simbólicas a álgebra é um dos conteúdos que mais faz uso
dela sendo aplicada tanto dentro da aritmética quanto da geometria. Inexplicavelmente a
origem da palavra "álgebra" não se sujeita a uma etimologia clara como, por exemplo, a
palavra "aritmética", que deriva do grego arithmos que significa "número", ela é uma variante
latina da palavra árabe al-jabr ou al-jebr, usada no título de um livro, Hisab al-jabr w'almuqabalah, escrito em Bagdá por volta do ano 825 pelo matemático árabe Mohammed ibnMusa al Khowarizmi. De acordo com Boyer a tradução mais correta seria “ciência das
equações” sendo que hoje ela possui um significado muito mais amplo o que dificulta uma
definição mais objetiva levando também em consideração o contexto na qual ela pode ser
definida. Além disso, Oliveira (2002) destaca o não consenso sobre o significado de Álgebra
entre os estudiosos e evidencia o frequente conceito encontrado onde a Álgebra é entendida
como cálculo literal ou uma generalização da Aritmética.
Se tomarmos a definição o contexto da Matemática Acadêmica consultando ao “Atlas
des Mathématiques” e à enciclopédia de Matemática (Newman, 1964), ela é objeto de estudo
das propriedades dos conjuntos munidos de uma estrutura algébrica, como por exemplo, os
grupos, anéis, corpos, espaços vetoriais. Uma estrutura algébrica consiste em leis de
composição
internas
e externas,
possuindo
propriedades particulares,
tais
como
comutatividade, distributividade, associatividade, existência do elemento neutro, existência de
um inverso. Para os “não- matemáticos” o Dicionário Aurélio Junior define álgebra como
“parte da Matemática que estuda as operações e os cálculos em que aparecem letras no lugar
de alguns números” e ainda em outro dicionário de língua portuguesa encontramos que a
álgebra “como a parte da Matemática em se que estudam as leis e processos formais de
operações com entidades abstratas.” (Holanda, 1999).
Etimologicamente, em árabe, al-ga-bãra, referia-se à ciência da equiparação ou da
comparação. Podemos notar que, nos dicionários de língua portuguesa, aritmética refere-se ao
número, enquanto na designação do que significa álgebra focaliza-se a etimologia da palavra,
fazendo referência à resolução de equações.
De acordo com Baumgart (1994) a álgebra surgiu no Egito quase ao mesmo tempo em
que na Babilônia. Para problemas de equações lineares, os egípcios usavam um método de
resolução consistindo em uma estimativa inicial seguida de uma correção final - um método
ao qual os europeus posteriormente deram o nome um tanto abstruso de "regra da falsa
posição". Nesses problemas, o número procurado era sempre representado pela mesma
palavra: montão. Um problema do tipo: Um montão, sua metade, seus dois terços, todos
juntos são 26. Diga- me: Qual é a quantidade? Era resolvido de um modo muito engenhoso
utilizando esta regra do falso.
O sistema de numeração egípcio, relativamente primitivo em comparação com o dos
babilônios, ajuda a explicar a falta de sofisticação da álgebra egípcia. Os matemáticos
europeus do século XVI tiveram de estender a noção indo-arábico de número antes de
poderem avançar significativamente além dos resultados babilônios de resolução de equações
A álgebra que entrou na Europa (via Liber abaci de Fibonacci e traduções) havia
regredido tanto em estilo como em conteúdo. O semi-simbolismo (sincopação) de Diofanto e
Brahmagupta e suas realizações relativamente avançadas não estavam destinados a contribuir
para uma eventual irrupção da álgebra.
Com a divulgação da Geometria de Descartes, em 1637, via-se um sistema de escritura
que apresentava mecanismos inteiramente novos, em detrimento das escrituras retóricas,
anteriores à matemática grega e medieval. Tem-se, portanto,
[...] a passagem histórica progressiva entre uma escritura “grega” das
matemáticas, puramente retórica, quer dizer, inscrita na língua
comum, onde tudo se diz e se calcula em palavras, a uma escritura
simbólica onde o texto é quase reduzido a uma concatenação de
signos (letras, números, ou signos figurados), que é preciso de início
decifrá- los, depois interpretar segundo regras sintáxicas e semânticas
prescritas. (SERFATI, 1997, p. 5).
No entanto, segundo Serfati (1997), antes mesmo de Descartes, ou seja, com François
Viéte, no fim do século XVI, já se via um primeiro sistema de signos, unicamente constituído
de letras, que revolucionava os princípios anteriores de aquisição de conhecimento, at é então
inatingíveis, da matemática e das ciências. Neste sistema, Vié te “... introduziu a prática de se
usar vogais para representar incógnitas e consoantes para representar constantes.” (EVES,
1997, p.309). Assim sendo, a escritura e o cálculo se reorganizavam em torno de uma
convenção universal de interpretação, o que antes era em torno da geometria unida à retórica.
Temos em Viéte (1540-1603) o precursor do avanço simbólico da álgebra. Até então a
simbologia dentro dela vinha tendo um avanço bem modesto quando ele elaborou a resolução
"geral" das equações cúbicas e quárticas. Ifrah destaca a importância de tal feito ao comenta
que
... a álgebra não teria conhecido um tal avanço se esta generalização
do número não tivesse sido acompanhada por uma descoberta
igualmente fundamental, realizada em 1591 por François Viète e
aperfeiçoada em 1637 por René Descartes: a notação simbólica literal
,( 1998, p. 237)
O desenvolvimento da linguagem algébrica passou por três estágios até se tornar
razoavelmente estável no tempo de Isaac Newton mesmo admitindo que até os dias de hoje
ainda tenhamos símbolos diferentes para uma mesma representação. Os estágios foram, a
forma Retórica, aquela em se utiliza o sistema verbal e logicamente o escrito na forma como
se lê, o que era utilizado no Egito e na Babilônia; o Sincopado, que se abreviava algumas
palavras, o que podemos considerar como uma fase de transição entre elas; e a simbólica.
Moura e Souza utiliza de Fraile ao considerar que a linguagem retórica da álgebra é a
ferramenta inicial, a mais básica, a linguagem ordinária e
É com essa linguagem, retórica, que, após uma depuração e precisão
dos termos para que se evitem ambigüidades, fazem-se maravilhas:
“reflete-se, constroem-se teorias”. Tomemos, como exemplo, a lógica
aristotélica, que serve não apenas para se comunicar, mas também
como ferramenta de pensamento.(2005, p.4)
Em seu livro História da álgebra (uma visão geral) da coleção Tópicos de História da
Matemática John Baumgart (1994) retrata um exemplo típico de problemas encontrados em
escrita cuneiforme, em tábuas de argila que remontam ao tempo do rei Hammurabi. A
explanação, naturalmente, é feita na língua materna; e usa-se a notação decimal indo-arábica
em vez da notação sexagesimal cuneiforme. A coluna à direita fornece as passagens
correspondentes em notação moderna. Eis o exemplo:
1º) Comprimento, largura. Multipliquei comprimento por largura, obtendo assim a
área: 252. Somei comprimento e largura: 32. Pede-se: comprimento e largura.
x+y=k
2º) (Dado) 32 soma; 252 área.
xy=P
} ... (A)
3º) (Resposta) 18 comprimento; 14
largura.
4º) Segue-se este método: Tome
metade de 32 (que é 16).
k/2
16 x 16 = 256
(k/2)2
256 - 252 = 4
(k/2)2 - P = t2
} ... (B)
A raiz quadrada de 4 é 2.
16 + 2 = 18 comprimento.
(k/2) + t = x.
16 - 2 = 14 largura
(k/2) - t = y.
5º)
(Prova)
Multipliquei
comprimento por 14 largura.
18 x 14 = 252 área
18
((k/2)+t) ((k/2)-t)
= (k2 /4) - t2 = P = xy.
Nota-se que na etapa (1º) o problema é formulado, na (2º) os dados são apresentados,
na (3º) a resposta é dada, na (4º) o método de solução é explicado com números e, finalmente,
na (5º) a resposta é testada.
De acordo com Baumgart (1994) a receita acima é usada em vários outros problemas
semelhantes tendo significado histórico e interesse atual por várias razões. Primeiro não é
desta maneira que se resolver na escola nos dias atuais a situação (A), pois resolvemos a
primeira equação para “y” em termos de “x”, substituir na segunda equação e, então, resolver
a equação quadrática resultante em “x”, ou seja, utilizamos o método de substituição. Os
babilônios também sabiam resolver sistemas por substituição, mas frequentemente preferiam
usar seu método paramétrico. Ou seja, usando-se notação moderna, eles concebiam “x” e “y“
em termos de uma nova incógnita (ou parâmetro) t fazendo x=(k/2)+t e y=(k/2)-t.
Então o produto xy = ((k/2) + t) ((k/2) - t) = (k/2)2 - t 2 = P
levava-os à relação (B): (k/2)2 - P = t 2
Em segundo lugar, a álgebra grega (geométrica) dos pitagóricos e de Euclides seguia
o mesmo método de solução, entretanto, em termos de segmentos de retas e áreas e ilustrada
por figuras geométricas. Mais tarde depois, outro grego, Diofanto, também usou a abordagem
paramétrica em seu trabalho com equações "diofantinas" dando início ao simbolismo
moderno introduzindo abreviações de palavras e evitando o estilo um tanto intrincado da
álgebra geométrica.
Em terceiro lugar, os matemáticos árabes (inclusive al-Khowarizmi) não usavam o
método empregado no problema acima; preferiam eliminar uma das incógnitas por
substituição e expressar tudo em termos de palavras e números
Outro exemplo que podemos citar é como ficaria a resolução da equação do segundo
através da fórmula de Bháskara.
Na linguagem algébrica retórica temos:
Multiplique ambos os membros da equação pelo número que vale quatro vezes o
coeficiente do quadrado e some a eles um número igual ao quadrado do coeficiente original
da incógnita. A solução desejada é a raiz quadrada disso.
Na linguagem algébrica sincopada:
A equação que nós escreveríamos como
era representada por ele na
forma:
“B in A quadratum plus C plano in A aequalia D solido”.
Na linguagem algébrica simbólica:
Nos dias atuais a utilização simbólica na Matemática tem caráter primordial onde
técnica precede o compreender, onde o manipular símbolos, na maioria vezes seguindo uma
série de regras que não fazem sentidos que acaba por dificultar a resolução de problemas de
forma significativa.
Mesmo considerando antes uma ordem supostamente cronoló gica da Geometria,
Aritmética e Álgebra deixamos clara a relação intrínseca entre elas que de acordo com Lins e
Gimenez (1997, p.10, 162) o ensino da aritmética e da álgebra não deve ser só articulado de
forma interdisciplinar a um só tempo, mas também no cotidiano do aluno auxiliando a
produzir significado.
Muitos autores vêm retratando a concepção estruturalista dada ao ensino da álgebra
onde o sintático predomina sobre a semântica dentro da linguagem Matemática. Apesar da
ênfase dada a Álgebra voltamos a salientar que a linguagem Matemática não é só constituída
pela mesma e que apesar de ser considerada uma língua própria, e para alguns pesquisadores
como uma língua universal, não se pode dissociá- la de nossa língua materna conforme
Machado (1993).
Outros autores como Powell e Bairral (2006), Machado (1993, 1947), Teberosky e
Tolchinsky (2007), Smole (1993), entre outros salientam e relacionam a importância da
linguagem nas aulas, seja a língua materna ou a Matemática.
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