σ 01 10

FÍSICA ATÓMICA E NUCLEAR
2003/2004
FOLHA 2: ÁTOMOS HIDROGENÓIDES: MOMENTO MAGNÉTICO; MOMENTO ANGULAR INTRÍNSECO
E MOMENTO ANGULAR TOTAL; INTERACÇÃO SPIN-ORBITAL
1. Considere o átomo de hidrogénio no estado fundamental. Determine:
(a) o momento magnético do átomo;
(b) a frequência de Larmor quando este é colocado numa região em que o campo magnético é de
2.5 T.
2. Considere as matrizes de Pauli:
σ x = 10 01 ; σ y =  i0 −0i  ; σ z = 10 −01 ;
 




(a) Mostre que σx2 = σy2 = σz2 = 1;
(b) Mostre que [σx,σy]=2 i σz e permutações cíclicas de x, y e z.
(c) Mostre que as matrizes de Pauli anticomutam.
r r
3. Considere o hamiltoniano Ĥ = Ĥ o + χ (r )L ⋅ S . Sabendo que Ĥ o , L2, S2, Lz e Sz comutam entre
si, mostre que Ĥ comuta com L2, S2, J2 e Jz mas não comuta com Lz e Sz.
r r
4. Calcule os valores próprios da equação L ⋅ S Ψnljm j = α Ψnljm j , quando l = 1 e s = ½.
5. Considere o desdobramento do nível de energia do estado n = 2, l = 1 do átomo de hidrogénio
devido à interacção spin-orbital, relativamente à energia E0 do estado n = 2 do átomo de Bohr
(desdobramento de estrutura fina).
(a) Quantos são os desvios de energia observados e qual a amplitude de cada um deles?
(b) Determine a razão entre os desvios de energia calculados na alínea anterior e a energia E0.
r
(c) Calcule a intensidade do campo magnético interno B que actua sobre o momento de dipolo
magnético de spin do electrão?
(d) Calcule o valor da frequência de precessão do spin electrónico, no sistema em que o núcleo está
em repouso.
6. A experiência de Stern-Gerlach foi realizada
z
originalmente com um feixe de átomos de prata e
encontra-se esquematizada na figura 1. O feixe foi
produzido aquecendo prata dentro de um forno, foi
colimado e depois submetido a um campo
magnético não uniforme na direcção do eixo dos z.
(a)
Calcule a distância P2P3 sabendo que
• Os átomos de prata têm momento angular
orbital nulo e o feixe separa-se em dois após passar
pelo magnete;
fendas
P3
P1
P2
forno
L
l
Fig. 1 - Experiência de Stern-Gerlach
• A velocidade dos átomos de prata à saída do forno é dada aproximaamente por v=(3kT/M)1/2,
onde k é a constante de Boltzmann e M é a massa de um átomo de prata;
• A temperatura do forno é de 600 K;
• O gradiente do campo magnético é dado por
∂B
=103 T/m;
∂z
• O comprimento dos polos do magnete é L = 0,1 m;
• A distância ao detector é l = 1 m.
(b)
A polarização P define-se como o valor expectável normalizado do spin: P =
justificando, qual é a polarização
i)
<χ| σ |χ>.
Diga,
do feixe à saída do forno;
ii) de cada um dos feixes que emergem da experiência.
7. Um feixe de partículas com j = 1 tem a direcção do eixo do y´s e é submetido a uma experiência
de Stern-Gerlach cujo magnete P tem a direcção do eixo dos x’s. Cada um dos três feixes
emergentes é separado e submetido a uma segunda experiência de Stern-Gerlach (ver figura). Os
magnetes Q, R e S da segunda experiência têm
um campo magnético na direcção z.
(a) Em quantos feixes são separadaos cada um dos
três feixes quando emergem dos magnetes Q, R e
S?
(b) Qual a proporção relativa do número de átomos
em cada caso?
P
(c) Um estudante pôs a seguinte questão: “É
possível, com esta experiência, seleccionar um
feixe de átomos que têm Jx = h quando emergem
do magnete P e Jz = h quando emergem do
magnete Q. Significa isto que os dois magnetes P
e Q permitiram medir simultâneamente as
componentes x e z do momento angular?”. Como responderia a esta questão?
Q
?
R
?
S
?
(d) O que sucederia se o feixe a que o estudante se refere passasse por um terceiro magnete de SternGerlach com um campo magnético ao longo do eixo dos x?
8. Designou-se por P um feixe polarizado de átomos com número quântico de spin ½, momento
angular orbital nulo e momento angular de spin + h /2 na direcção do eixo dos x. O feixe Q é
semelhante ao feixe P mas é não polarizado, ou seja, é constituído por uma mistura de átomos em
que a probabilidade de encontrar átomos com momento angular de spin + h /2 e - h /2 é igual em
qualquer direcção do espaço.
(a) Se os dois feixes forem submetidos separadamente a uma experiência de Stern-Gerlach com
campo magnético na direcção z, haverá alguma diferença entre os feixes emergentes nos dois
casos? Justifique
(b) Como se podem distinguir experimentalmente os feixes P e Q?