Tema 08_Equações do 2º grau

EQUAÇÕES DO 2º GRAU
CONTEÚDOS

Equações do 2º grau

Processo resolutivo de uma equação

Discriminante de uma equação
AMPLIANDO SEUS CONHECIMENTOS
Iniciaremos agora o estudo das equações do 2º grau com uma incógnita. As equações são
constantemente utilizadas para resolver problemas que aparecem no dia a dia. Vamos
discutir o uso das equações resolvendo o problema da reforma da casa de Pedro.
Na reforma de sua casa, Pedro decidiu ampliar a sala, essa decisão impactou na falta de
material, isso porque todo o piso já estava comprado. Antes da ampliação Pedro tinha
disponível 16 m² de piso, quantidade que seria ideal para execução da obra. Com as novas
medidas, a sala que antes era quadrada, ficou retangular, sofrendo o aumento de 1,5 m em
seu comprimento e 0,5 m em sua largura. Ao término da ampliação, a sala está com 5,5 m
de comprimento e 4,5 m de largura.
Como é possível afirmar que a sala ficou com 5,5 m de comprimento após a ampliação?
Para pensar sobre a situação colocada, vamos fazer um esboço que representa a sala de
Pedro antes e depois da reforma.
Sala antes da reforma
Área = 16 m²
Sala após a reforma
5,5 m
4,5 m
A sala antes da reforma tinha o formato quadrado, e a medida de seu lado era
desconhecida. Para encontrar essa medida, vamos
identificá-la como x.
Assim:
Tendo a sala o formato quadrado, vale lembrar que a área
do quadrado é igual a medida do lado ao quadrado, E
portanto, a área da sala é:
x.x = 16
x² = 16
Para determinar a medida inicial do comprimento da sala, descrevemos uma equação. Essa
equação recebe o nome de equação do 2º grau com uma incógnita.
Identifica-se como equação do 2º grau na incógnita x, toda equação que apresenta a forma
ax² + bx + c = 0. Em que a, b e c são números reais e a ≠ 0.
Em uma equação do 2º grau os valores a, b e c são chamados de coeficientes da equação.
No caso da equação que representa a área da sala, ela é identificada como equação do 2º
grau incompleta, isso porque ela não apresenta o coeficiente b.
Antes de determinar a medida inicial da sala de Pedro, vamos discutir um pouco mais as
equações do 2º grau com uma incógnita.
Essas equações podem ser divididas em completas e incompletas. Veja alguns exemplos:

2x² + 2x = 0, temos uma equação do 2º grau na incógnita x. Essa equação é
incompleta e apresenta apenas os coeficientes a e b, em que a = 2 e b = 2.

4y² - 100 = 0, temos uma equação do 2º grau na incógnita y. Essa equação é
incompleta e apresenta apenas os coeficientes a e c, em que a = 4 e c = - 100.

x² - 4x + 4 = 0, temos uma equação do 2º grau na incógnita x. Essa equação é
completa e portanto apresenta os coeficientes a, b e c, em que a = 1, b = - 4 e
c = 4.
Em uma equação do 2º grau fazemos as seguintes identificações, em relação aos
coeficientes:

O coeficiente a está relacionado a incógnita que está elevada a segunda potência.

O coeficiente b está relacionado a incógnita que está elevada a primeira potência.

O coeficiente c é identificado como termo independente. É o coeficiente sem a
incógnita.
A forma reduzida de uma equação
Quando uma equação está escrita na forma ax² + bx + c = 0, dizemos que ela está escrita
na forma reduzida de uma equação. A equação x² = 16, que representa a medida inicial da
sala de Pedro não está representada em sua forma reduzida. Para representá-la, podemos
aplicar o princípio aditivo. Acompanhe:

x² = 16
x² - 16 = 16 – 16 ( aplicamos o princípio aditivo somando – 16)
x² - 16 = 0 ( forma reduzida da equação)
Vejamos mais alguns exemplos de como representar uma equação em sua forma reduzida:

5x² - 14x + 24 = 3x²
5x² - 3x² - 14x + 24 = 3x² - 3x² (aplicamos o princípio aditivo somando – 3x²)
2x² - 14x + 24 = 0 (forma reduzida da equação)

x.( x - 5) = - 4
x² - 5x = - 4 ( aplicamos a distributiva)
x² - 5x + 4 = - 4 + 4 (aplicamos o princípio aditivo somando + 4)
x² - 5x + 4 = 0 ( forma reduzida da equação)
Resolução das equações incompletas
Equações na forma ax² + c = 0
Iniciaremos o processo resolutivo utilizando a equação x² = 16 , a qual representa a medida
inicial da sala de Pedro.
Vamos lembrar que a forma reduzida dessa equação é: x² - 16 = 0. Neste caso a equação
não apresenta o coeficiente b. Temos a = 1 e c = - 16.
Resolvendo a equação:
x² - 16 = 0 ( equação dada)
x² - 16 + 16 = 16 ( aplicamos o princípio aditivo e somamos + 16)
x² = 16
x =  16
x=-
16
x = - 4 ou
x=+
16
x=+4
Temos dois valores que representam as raízes da equação, são eles: - 4 e 4.
Considerando que essa equação representa a medida da área da sala de Pedro, sendo x
a medida do lado da sala, neste caso, o valor de x será apenas o valor positivo. Logo,
sabemos agora que medida inicial da sala de Pedro era de 4,0 m, passando a ter 5,5 m de
comprimento após a reforma.
Veja que a resolução da equação permitiu responder a pergunta que gerou nossos
estudos. Lembra-se dela?
“Como é possível afirmar que a sala ficou com 5,5 m de
comprimento após a ampliação? ”
Já temos a resposta:
Sabemos que após a reforma, a sala ficou com 5,5 m de comprimento porque inicialmente
sua medida era de 4,0 m, e considerando a ampliação de 1,5 m, a medida final será de
5,5 m.
Raízes da equação: Um número é identificado como raiz quando ao substituí-lo no lugar
da incógnita, ele torna a igualdade verdadeira.
Equações na forma ax² + bx = 0
Dada a equação 2x² - 2x = 0, o primeiro passo para resolvê-la é aplicar a fatoração.
Vamos lá!
2x.( x – 1) = 0 ( aplicando a fatoração)
Sendo 2x.( x – 1) = 0, temos 2.x = 0 ou x -1 = 0, resolvendo cada uma dessas equações,
temos:
2.x = 0
x=
0
2
x=0
Saiba mais:
A fatoração é a transformação de uma soma ou
ou
x–1=0
x=1
Fatorando a expressão
32 + 48
subtração de termos, em um produto de dois ou mais
fatores.
Vamos entender melhor!
Para fatorar a expressão ao lado, o primeiro passo é
encontrar um número que seja divisor comum dos
2.16 + 3.16
16.( 2 + 3)
Observe que:
32 + 48 = 16.( 2 + 3)
números 32 e 48. Neste caso, os dois termos são pares,
logo são divisíveis por 2. Porém, na fatoração, devemos encontrar o maior divisor comum
entre os termos da expressão que deseja-se fatorar. Sendo assim, deve-se considerar não
somente um divisor comum, mas o maior divisor comum entre os termos envolvidos.
Entre os números 32 e 48, o maior divisor será o número 16. Logo, podemos expressar os
números 32 e 48 por meio de multiplicações que envolvem o número 16.
Ao escrever 32 como 2.16 e 48 como 3.16, observa-se que há um fator comum, ou seja, o
próprio número 16.
Colocamos então esse fator comum em evidência, representamos a soma 32 + 48 por meio
de uma multiplicação de termos.
As raízes da equação são 0 e 1. Dizemos que esse é o conjunto solução da equação. Para
representar esse conjunto utilizamos a seguinte simbologia: S = {0,1}.
O processo resolutivo de equação completa
Para discutir o processo resolutivo de uma equação completa, suponha um retângulo que
apresenta comprimento de medida igual a (x + 5), largura igual a x e área igual a 24 m².
x
(x + 5)
Sendo a área de um retângulo obtida ao multiplicar a medida de seu comprimento por sua
largura, temos:
x .( x + 5) = 24 ( aplicando a distributiva)
x² + 5x = 24
x² + 5x – 24 = 24 – 24 ( aplicando o princípio aditivo)
x² + 5x – 24 = 0
Ao resolver a equação apresentada, encontramos a medida x, que representa a largura do
terreno. Para determinar as raízes dessa equação, um dos processos resolutivos é
realizado ao utilizar a fórmula de Bhaskara. Vejamos como ocorre esse processo:
Resolução da equação completa do 2º grau
Para resolver as equações completas do 2º grau faremos uso da tão conhecida fórmula de
Bhaskara, a qual é descrita pela expressão: x =
- b  b²  4ac
2a
Curiosidade
Bhaskara era um matemático hindu e viveu no século XII. Nesse período a escrita algébrica
ainda não era conhecida. Somente no século XVI que essa notação passa a ser utilizada.
Foi o francês François Viète que iniciou o desenvolvimento da escrita algébrica, permitindo
assim o uso da álgebra para descrever resoluções e até mesmo permitir a padronização
das tais chamadas fórmulas. A exemplo temos a fórmula utilizada para extração das raízes
de uma equação do 2º grau, a famosa fórmula de Bhaskara.
Na verdade Bhaskara não conheceu essa fórmula, e somente aqui no Brasil atribui-se esse
nome a fórmula resolutiva para extração das raízes de uma equação do 2º grau. Registros
históricos mencionam que métodos resolutivos para solucionar equações do 2º grau já eram
conhecidos pelos babilônios. Batizar a fórmula com o nome de Bhaskara ocorreu por volta
de 1960, e alguns registros indicam que isso tenha ocorrido com o objetivo de fazer uma
espécie de homenagem a um dos mais importantes matemáticos hindus (Bhaskara), que
apresentou em duas das suas obras, resolução de problemas que envolviam as equações
do 2º grau.
Vamos agora utilizar a fórmula resolutiva, para resolver a equação x² + 5x – 24 = 0.
Para utilizar a fórmula de Bhaskara, vamos seguir os seguintes passos:
1º: Identifique os coeficientes da equação:
a=1
b=5
c = - 24
2º: Calcule separadamente o valor da raiz
b²  4.a.c . Para tanto, substitua os valores dos
coeficientes.
5²  4.1.(24)
25  96
121  11
4º: Após calcular a raiz, substitua o valor encontrado na expressão. Neste momento,
substitua também os coeficientes a e b por seus respectivos valores.
x
 5  11
2.1
5º: Agora que você já tem todos os valores substituídos, você realizará dois cálculos.
O primeiro será da seguinte maneira:
x1 
 5  11
2.1
x1 
6
 3 ( primeira raiz da equação)
2
O segundo será realizado desta forma:
x2 
 5  11
2.1
x2  
16
 8 ( segunda raiz da equação)
2
Após todos esses passos, chegamos aos valores que representam as raízes da equação.
Neste caso específico, uma das raízes representa a medida da largura do terreno, como
temos uma das raízes negativas, sabemos que o comprimento inicial é de 3 m, ou seja,
valor da raiz positiva. Portanto, o terreno tem largura igual a 3 m e comprimento igual a 8
m.
O discriminante de uma equação
Você acabou de estudar o processo resolutivo da equação do 2º grau por meio da utilização
da fórmula da Bhaskara. Analisaremos agora o número de raízes de uma equação a partir
do estudo do discriminante. Para tanto, é preciso que seja compreendido qual é a expressão
que está sendo chamada de discriminante.
Na fórmula x =
 b  b²  4.a.c
2.a
, a expressão b² - 4.a.c, que é um número real, usualmente
é chamada de discriminante e representada pela letra grega
 ( delta).
Sendo assim, temos:

= b² - 4.a.c
E a fórmula resolutiva pode ser representada por x =
b 
2.a
.
Vejamos agora, algumas análises que podem ser feitas a partir do discriminante.
Dada a equação x² - 2x +1 = 0, vamos determinar as raízes dela, porém primeiro faremos
o cálculo do delta.
Acompanhe:

x=
x=
= b² - 4.a.c
 (-2)  0
2.1
b 
2.a

x=
= (-2)² - 4.1.1
20
2

=4–4
x1 =
20
1
2

=0
x2 =
2-0
1
2
Observe que neste caso, o valor do discriminante é igual a zero e a equação tem duas
raízes iguais.
Toda equação do 2º grau que apresentar o discriminante igual a zero, terá duas raízes
iguais. Podemos dizer que a equação apresenta uma única raiz real.
Vamos para mais uma análise:
Dada a equação x² - 20x + 99 = 0 vamos determinar suas raízes, semelhante ao primeiro
caso, iniciaremos pelo cálculo do discriminante.
Acompanhe: x =

x=
= b² - 4.a.c
 (-20)  4
2.1
b 
2.a

x=
= (-20)² - 4.1.99
20  2
2

x1=

= 400 - 396
20  2
 11
2
x2 =
=4
20 - 2
9
2
Observe que neste caso, o valor do discriminante é um número real positivo e a equação
apresenta duas raízes.
Toda equação do 2º grau que apresenta em seu discriminante um número maior que zero,
terá duas raízes reais e distintas.
E por último, faremos a análise da seguinte equação: x² - 2x + 2 = 0
Para calcular as raízes dessa equação, faremos o mesmo processo utilizado nos exemplos
anteriores.
Acompanhe: x =

x=
b 
2.a

= b² - 4.a.c
 (-2)   4
2.1
x=
= (-2)² - 4.1.2

=4-8

=-4
2 4
Observe que o valor do discriminante é
2
um número negativo. E, não existe raiz
real de um número negativo. Portanto,
dizemos que essa equação não tem raiz
real.
ATIVIDADES
1. Na equação x² + 4x – 140 = 0, identifique os coeficientes a, b e c.
2. Identifique como completa ou incompleta as equações do 2º grau.
a) - x² + 2x = 0
b) x² - 5x + 6 = 0
c) - 4r² + 6r = 0
d) 10x² + 3x – 1 = 0
e) x² - 25 = 0
f) 8x² + 56x = 0
g) x² = 1
h) 10y² = - 2y
i) 4x² = 0
3. Utilizando o conhecimento que você já construiu acerca das equações do 2º grau,
procure descrever uma equação que representa a seguinte situação:
O quadrado de um número, somado com o dobro desse número é igual a 35.
4. Represente a equação descrita no exercício 3 em sua forma reduzida.
5. Identifique os coeficientes da equação descrita no exercício 3 e classifique-a como
completa ou incompleta.
6. Represente, na forma reduzida, as seguintes equações:
a) x² - 7x = - 10
b) 3x² + 2 = 7x
c) 4y² + 8 = - 3
d) x. (x – 4) = + 8x
7. Na equação x² + 4x – 140 = 0, quais são suas raízes?
8. A medida do segmento AB somada a medida do segmento BC resulta em 21 cm.
Conhecendo as medidas de cada um desses segmentos, quantos centímetros o segmento
BC é maior que o AB ?
x²
4x
9. Resolvendo apenas o discriminante, coloque verdadeiro (V) ou falso (F) para as
seguintes afirmações:
a) A equação 2x² - 2x – 12 = 0 tem duas raízes iguais. ( )
b) A equação 3x² + 5x + 6 = 0 tem uma raiz.( )
c) A equação x² + 2x = 0 tem duas raízes reais distintas. ( )
d) A equação x² - 2x + 1 = 0 não tem raiz real. ( )
e) A equação 2x² - 12x + 48 = 0 tem duas raízes reais distintas. ( )
10. Dada a equação 12x² - 9x + 7 = 0, em relação a sua raiz pode-se afirmar que:
a) é um número real maior que zero.
b) é igual a zero.
c) é um número real menor que zero.
d) não existe no conjunto dos números reais.
11. O discriminante da equação 2x² - 20x + 48 = 0 é um número
a) inteiro positivo.
b) inteiro negativo.
c) primo.
d) múltiplo de 5.
12. O triângulo ilustrado tem área igual a 60 cm². Dado sua altura e a medida de seu
comprimento, pode-se afirmar que sua área pode ser expressa pela equação
Lembre-se:
Para calcular a área de um
triângulo
utiliza-se
seguinte expressão:
x
Área 
base x altura
2
x+2
a) x² + 2x – 60 = 0
b) x² + 2x – 120 = 0
c) 2x² - 4x – 120 = 0
d) 2x² + 2x – 60 = 0
a
13. As informações inseridas em um contrato de compra e venda de uma sala comercial de
formato quadrado, permitiam entender que ao subtrair da área da sala, a medida de seu
perímetro, o valor encontrado seria zero. O comprador questionou o corretor da imobiliária
dizendo que com essa informação é possível concluir que a sala tem um comprimento igual
a 4 metros, valor que difere da sala que ele visitou, a qual tem uma área igual a 64 m².
Em relação as informações mencionadas pelo comprador, é correto dizer que
a) a sala tem comprimento igual a 64 m.
b) a sala tem comprimento igual a 8 m.
c) a sala tem perímetro igual a 8 m.
d) a sala tem perímetro igual a 64 m.
14. A soma das medidas dos segmentos DE e EF é igual a 9 cm.
6x
3x²
Conhecendo as medidas de cada um deles, pode-se afirmar que o segmento DE é
a) 6 cm maior que o segmento EF .
b) 3 cm maior que o segmento EF .
c) 2 cm maior que o segmento EF .
d) 9 cm maior que o segmento EF .
15. A área de um retângulo de comprimento igual a x + 2 e largura igual a 2x – 3 é igual a
130 cm². Qual é a diferença entre a largura desse quadrilátero e seu comprimento?
LEITURA COMPLEMENTAR
Relações de Girard para equações do segundo grau
Já sabemos que uma “ equação do segundo grau na variável x e com coeficientes reais” é
uma equação da forma ax² + bx + c = 0,
Onde a, b e c são números reais, com a ≠ 0, ditos coeficientes da equação:

a é dito o coeficiente de x²;

b é dito o coeficiente de x;

c é dito o coeficiente independente.
O que discutiremos aqui é que existem relações entre os coeficientes de uma equação
desse tipo e suas raízes. Essas relações foram descobertas pelo matemático Albert
Girard e, portanto, são conhecidas como relações de Girard.
(i) Uma das relações de Girard afirma que a soma das raízes de uma equação do
segundo grau é igual à razão entre o oposto do coeficiente de x e o coeficiente de x², ou
b
seja, a soma das raízes da equação ax² + bx + x = 0 é dada por  .
a
Veja uma maneira de demonstrar essa propriedade:
Pela fórmula resolutiva da equação do segundo grau, tem-se que as raízes da equação
ax² + bx + c = 0 são dadas por
x1 
b Δ
2a
e x2 
b Δ
2a
onde Δ  b²  4.a.c
Então a soma das raízes é igual a:
x1  x 2 
b Δ
2a
+
b Δ
2a
=
bb Δ  Δ
2a

 2b
2a

b
a
Assim, de fato,
x1  x 2 
b
a
(ii) Uma outra relação de Girard afirma que o produto das raízes de uma equação do
segundo grau é igual à razão entre o seu termo independente c e o seu coeficiente de x², o
que implica dizer que o produto das raízes da equação ax² + bx + c = 0 é dado por
c
.
a
Veja como demonstrar essa segunda propriedade:
Sendo,
b Δ
x1 
2a
e x2 
b Δ
2a
as raízes da equação do segundo grau ax² + bx + c = 0, o
produto dessas raízes será dado por:
x1.x 2 
  b  Δ    b  Δ  ( b)²  b Δ  b Δ  Δ b²  Δ b²  (b²  4.a.c) 4ac c

.
 =




4a²
4a²
4a²
4a² a
 2.a   2.a 
Logo, necessariamente,
x 1.x 2 
c
a
Aplicação: Para determinarmos a soma e o produto das raízes de uma equação do segundo
grau, não é necessário resolvê-la. Ilustraremos esse resultado com alguns exemplos.
Exemplo 1: Quais são os valores da soma e do produto das raízes de uma equação da
equação do segundo grau 2x² + 7x – 6 = 0?
Solução: Chamaremos S a soma e P o produto, então temos: S =
b

7
a
eP=
2
c
a

6
3
2
.
Exemplo 2: Quais são os valores da soma e do produto das raízes da equação
x² + 4x – 9 = 0.
Solução: Sendo S a soma e P o produto, então temos S =
P=
b
a

4
 4
1
e
c 9

 9.
a
1
Disponível em:<http://clubes.obmep.org.br/blog/texto_004-relacoes-de-girard/>. Acesso em: 24 maio 2016.
10h.
INDICAÇÕES
Consulte também na Biblioteca Digital do Portal EJA, na área de indicações o texto sobre
equações do segundo grau. No material você encontrará a proposta de resolução de
algumas equações. Você pode acessá-lo no seguinte endereço eletrônico:
http://www.eja.educacao.org.br/bibliotecadigital/indicacoes/textos_site/Lists/Texto/DispFor
m.aspx?ID=154&Source=http%3A%2F%2Fwww%2Eeja%2Eeducacao%2Eorg%2Ebr%2F
bibliotecadigital%2Findicacoes%2Ftextos%5Fsite%2FLists%2Ftexto%2Fmatematica%2E
aspx
REFERÊNCIAS
CELESTINO, Kamila Gonçalves. XI Encontro Nacional de Educação Matemática:
História da equação do segundo grau em livros didáticos. Curitiba, 2013. Disponível
em:<http://sbem.web1471.kinghost.net/anais/XIENEM/pdf/2832_1080_ID.pdf>.
Acesso
em: 16 maio 2016. 12h40min.
GIOVANNI, José Ruy. GIOVANNI, Jo´se Ruy Júnior. BENEDICTO, Castrucci. A conquista
da Matemática. São Paulo: FTD, 2015. p. 92 – 132.
OBMEP,
Clube
de
Matemática.
Relações
de
Girard.
Disponível
em:
http://clubes.obmep.org.br/blog/texto_004-relacoes-de-girard/>. Acesso em: 24 maio 2016.
10h.
SÃO PAULO (Estado). Secretaria da Educação (SEE). Educação de Jovens e Adultos:
Mundo do Trabalho modalidade semipresencial, v 1. Matemática: caderno do estudante.
Disponível
em:
<http://www.ejamundodotrabalho.sp.gov.br/ConteudoCEEJA.aspx?MateriaID=78&tipo=Alu
no>. Acesso em: 18 maio. 2016. 10h.
GABARITO
1.
a= 1 ( coeficiente que acompanha a incógnita que está elevada a segunda potência) .
b= 4 ( coeficiente que acompanha a incógnita elevada a primeira potência)
c= - 140 ( coeficiente sem incógnita, também chamado de termo independente)
2. Equações completas: b e d.
Equações incompletas: a, c, e, f, g, h, e i.
3. Identificando o número desconhecido como x, temos: x² + 2.x = 35
4. x² + 2.x – 35 = 35 – 35
x² + 2.x – 35 = 0
5. Os coeficientes são: a = 1, b = 2 e c = - 35. A equação é completa.
6.
a) x² - 7.x - 10 = - 10 + 10
x² - 7.x + 10 = 0
b) 3x² + 2 – 7.x = 7.x – 7.x
3x² + 2 – 7.x = 0
c) 4y² + 8 + 3 = - 3 + 3
4y² + 11 = 0
x² - 4.x - 8.x = 8.x – 8.x
d) x² - 4x = 8.x
x² - 12.x = 0
7. Para determinar as raízes da equação é necessário resolvê-la. Para tanto, faremos uso
da fórmula de Bhaskara.
x=
- b  b²  4ac
2a
x=
- 4  4²  4.1.(-140)
2.1
x=
- 4  576
2
x=
- 4  24
2
x2 =
x1 =
x=
- 4  16  560
2
- 4  24
20
=
 10
2
2
- 4  24
 28
=
 14
2
2
As raízes da equação são: - 14 e 10
8. Para saber quantos centímetros o segmento BC é maior que o AB , primeiro é
necessário resolver a equação que possibilita que a medida de cada um desses segmentos
seja conhecida.
x² + 4.x – 21 = 0
x² + 4.x = 21
x=
x=
- b  b²  4ac
x=
2a
- 4  100
2
- 4  4²  4.1.(-21)
x=
2.1
x=
- 4  10
x1=
2
- 4  10
2
=3
- 4  16  84
2.1
x2=
- 4  10
2
=-7
Ao resolver a equação encontramos dois possíveis valores que representam a raiz da
equação e consequentemente permitem determinar a medida de cada segmento. Sendo
um desses valores negativos, esse não será válido nessa situação, já que não existe
medida negativa. Utilizaremos então apenas a raiz 3, assim, temos:
AB =
x²
AB =
9
BC
= 4.x
BC
= 12
Se o segmento BC mede 12 cm e o segmento AB mede 9 cm,
BC
é 3 cm maior que
AB .
9.
a) F

= b² - 4.a.c

= (-2)² - 4.2.(-12)

= 4 + 96
 = 100

= 5² - 4.3.6

= 25 – 72

= - 47

= (-2)² - 4.1.0

=4–0

=4

= (-2)² - 4.1.1

=4–4

=0

= (-12)² - 4.2.48

= 144 – 384

= - 240
b) F

= b² - 4.a.c
c) V

= b² - 4.a.c
d) F

= b² - 4.a.c
e) F

= b² - 4.a.c
10. A alternativa correta é letra D.
Para identificar a quantidade de raízes da equação, vamos calcular o valor do seu
discriminante.

= b² - 4.a.c

= (-9)² - 4.12.7

= 81 – 336

= - 255
Sendo o discriminante negativo, conclui-se que a raiz dessa equação não existe no conjunto
dos números reais.
11. A alternativa correta é a letra A.

= b² - 4.a.c

= ( -20)² - 4.2.48

= 400 – 384

= 16
12. A alternativa correta é letra B.
Sabendo que para calcular a área de um triângulo faz-se uso da expressão,
Área 
base x altura
, temos:
2
60 =
x(x  2)
0 = x² + 2x – 120
120 = x² + 2x
2
13. A alternativa correta é a letra B.
Considerando as observações do comprador e identificando como x a medida do
comprimento da sala, temos:
Área = x²
x² = 64
64
x=
x=8
Portanto, se o comprimento da sala é igual a 8 m.
14. Para saber a medida do segmento DE , pode-se estabelecer entre esses segmentos a
seguinte relação:
3x² + 6 x = 9
3x² + 6x – 9 = 0
Resolvendo a equação, tem-se:
x=
x=
- b  b²  4ac
x=
2a
- 6  144
6
- 6  6²  4.3.(-9)
x=
- 6  36  108
2.3
x=
- 6  12
6
x1 =
- 6  12
1
6
6
x2 =
- 6  12
6
Sendo x uma medida, utilizaremos neste caso apenas a raiz positiva.
Sendo:
EF =
3.x² e x = 1, EF é igual a 3.
DE =
6.x e x = 1, DE é igual a 6.
Se o segmento DE tem 6 cm e o segmento EF tem 3 cm, DE é 3 cm maior que EF .
 3
15. Para conhecer as medidas desse quadrilátero, vamos inicialmente fazer um esboço
para visualizar a descrição mencionada no exercício.
(x + 2)
(2.x – 3)
Temos então:
(x + 2). (2.x – 3) = 130
2x² - 3x + 4x – 6 = 130
2x² + x – 6 = 130
2x² + x – 6 – 130 = 0
2x² + x – 136 = 0
Dada a equação do 2º grau, utilizaremos a fórmula de Bhaskara para resolvê-la.
x=
x=
- b  b²  4ac
2a
- 1
1.089
4
x=
- 1  1²  4.2.(-136)
x=
2.2
x=
-1 33
4
x1 =
- 1  33
4
8
- 1  1  1.088
4
x2 =
- 1  33
 8,5
4
Calculada as raízes, observa-se que uma delas é negativa, como estamos trabalhando com
uma medida, utilizaremos apenas a raiz positiva.
Assim temos:
Comprimento = x + 2
Comprimento = 8 + 2
Comprimento = 10
Largura = 2.x – 3
Largura = 2.8 – 3
Largura = 16 – 3
Largura = 13
Portanto a largura é 3 cm maior que o comprimento