Introdução à Lógica de Predicados

Introdução à Lógica de Predicados
Matemática Discreta I
Rodrigo Ribeiro
Departamento de Ciências Exatas e Aplicadas
Universidade de Federal de Ouro Preto
10 de dezembro de 2012
Motivação (I)
Considere o seguinte argumento:
Todo homem é mortal. Sócrates é um homem. Logo,
Sócrates é mortal.
Após pensar um pouco...
Vemos claramente que este argumento é válido.
Portanto, vamos representá-lo usando a lógica
proposicional.
R. Ribeiro
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Motivação (II)
Porém ao tentar representar...
Percebemos que não existe nenhum conectivo!
Isto é, que o argumento é formado apenas por
proposições atômicas.
Sendo assim, temos que o argumento seria
representado como:
Fórm.
Prop.
A
Todo homem é mortal
B
Sócrates é um homem
C
Sócrates é mortal
R. Ribeiro
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Motivação (III)
O sequente correspondente ao argumento é:
A, B
`
C
Mas...
É fácil notar que não é possível deduzir
partir de
A e B.
C
Mas o argumento parecia correto...
R. Ribeiro
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a
Motivação (IV)
O Problema é que...
A lógica proposicional não é capaz de
representar armações contendo "todos", "para
todos", "alguns", "somente um"...
Tais armativas ocorrem com frequência em
matemática:
Todo número par é divisível por 2.
Todo número inteiro maior que 1 ou é primo ou
produto de primos.
R. Ribeiro
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Lógica de Predicados (I)
A Linguagem da Lógica de Predicados
A lógica de predicados consiste da lógica
proposicional aumentada com quanticadores,
predicados e variáveis.
Todas as regras de dedução natural e raciocínio
algébrico que vimos, continuam sendo válidas
para a lógica de predicados.
R. Ribeiro
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Lógica de Predicados (II)
Predicados
Um predicado é uma armação de que um
objeto
x
possui uma determinada propriedade.
Tais armativas devem ser verdadeiras ou falsas.
Armativas podem envolver elementos de um
conjunto ou variáveis que podem assumir valores
deste conjunto.
Exemplos:
5 é um número par.
x > y.
José gosta de Maria.
R. Ribeiro
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Lógica de Predicados (III)
Universo de Discurso
Damos o nome de Universo de Discurso ao
conjunto que é referido por uma fórmula da
lógica de predicados
Exemplo:
A armativa: "Todo número par é divisível por 2".
Possui como universo de discurso o conjunto dos
números inteiros.
R. Ribeiro
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Lógica de Predicados (IV)
Mais sobre Predicados
Normalmente representamos predicados de
maneira concisa.
Exemplos:
José gosta de Maria. Podemos representar este
fato por: gosta(José, Maria). Onde gosta é um
predicado de dois parâmetros, onde cada um destes
é um elemento de um conjunto que contém
pessoas.
x é um adolescente. Podemos representar este fato
por adolescente(x).
R. Ribeiro
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Lógica de Predicados (V)
Mais sobre Predicados
Exemplos:
par(2)
f (x , , g (y ))
2
Predicados que não possuem parâmetros são
variáveis proposicionais.
R. Ribeiro
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Lógica de Predicados (VI)
Quanticadores
A lógica de predicados possui dois
quanticadores:
Quanticador universal: representado pelo símbolo
∀
Quanticador existencial: representado pelo
símbolo
∃
R. Ribeiro
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Lógica de Predicados (VII)
Quanticador Universal
F (x ) é uma fórmula da lógica de predicados,
contendo a variável x , então ∀x .F (x ) é uma
Se
fórmula da lógica de predicados.
O signicado de
∀x .F (x )
é: Para todo elemento
x pertencente ao universo de discurso, a fórmula
F (x ) deve ser verdadeira.
R. Ribeiro
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Lógica de Predicados (VIII)
Exemplos
Considere como universo de discurso o conjunto
dos números naturais (N).
nn
∀ . ≥ 0:
esta fórmula é verdadeira.
Considere agora, como universo de discurso o
conjunto de todos os seres humanos.
x gosta(x ,
∀ .
Maria)
R. Ribeiro
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Lógica de Predicados (IX)
Quanticador Existencial
F (x ) é uma fórmula da lógica de predicados,
contendo a variável x , então ∃x .F (x ) é uma
Se
fórmula da lógica de predicados.
O signicado de
um elemento
x
∃x .F (x )
é: Existe pelo menos
pertencente ao universo de
discurso, que faça a fórmula
R. Ribeiro
F (x ) ser verdadeira.
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Lógica de Predicados (X)
Exemplos
Considere como universo de discurso o conjunto
dos números naturais (N).
nn
∃ . ≤ 0:
esta fórmula é falsa.
Considere agora, como universo de discurso o
conjunto de todos os seres humanos.
x gosta(x ,
∃ .
Maria)
R. Ribeiro
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Lógica de Predicados (XI)
Signicado dos Quanticadores
U = {u1, u2, ..., un }, um universo de
discurso tal que |U | = n ∧ n 6= ∞.
Então o signicado de ∀x .p (x ) é:
Seja
p(u1) ∧ p(u2) ∧ ... ∧ p(u )
n
E o signicado de
∃x .p (x )
é:
p(u1) ∨ p(u2) ∨ ... ∨ p(u )
n
R. Ribeiro
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Lógica de Predicados (XII)
Exemplos
U = {2, 3, 4} e par (x ) e impar (x )
dois predicados sobre U .
Então as fórmulas ∀x .par (x ) ∨ impar (x ) e
∃x .¬impar (x ) ∧ x < 1 podem ser expandidas
Considere
como:
par impar
par impar
impar
impar
par impar
impar
( (2) ∨
(2)) ∧ ( (3) ∨
(3)) ∧
( (4) ∨
(4))
(¬
(2) ∧ 2 < 1) ∨ (¬
(3) ∧ 3 <
1) ∨ (¬
(4) ∧ 4 < 1)
R. Ribeiro
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Lógica de Predicados (XIII)
Escopo de Quanticadores
Para entender o conceito de escopo de
quanticadores é necessário conhecer os
conceitos de variáveis livres e ligadas.
R. Ribeiro
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Lógica de Predicados (XIV)
Variáveis livres e ligadas
Uma variável é dita ser livre em uma fórmula se
esta não possui nenhum quanticador.
Exemplo:
x ypx y z
∀ .∃ . ( , , ).
Nesta fórmula
variável livre.
z
é uma
Uma variável é dita ser ligada se esta está
associada a um quanticador.
Exemplo:
variáveis
∀x .∃y .p (x , y , z )
x y
e
. Nesta fórmula as
são ligadas.
R. Ribeiro
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Lógica de Predicados (XV)
Escopo de um Quanticador
Seja
α
uma fórmula qualquer da lógica de
predicados. Então o escopo de
∀
na fórmula
∀x .α é toda a fórmula α. Toda ocorrência de x
em α será ligada ao quanticador ∀. A denição
de escopo para o quanticador ∃ é idêntica.
R. Ribeiro
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Lógica de Predicados (XVI)
Traduzindo Para a Lógica de Predicados
Processo simples e similar a lógica proposicional.
Mas devemos levar em conta predicados e
quanticadores.
Exemplo: Considere como universo de discurso o
conjunto de todas as pessoas e objetos.
x y gosta(x , y )
∀x .∀y .gosta(x , mae (y )) → gosta(y , x )
∀x .aluno (x ) → ¬gosta(x , fazer (Prova))
Todo mundo gosta de alguém.
∀ .∃ .
Todos gostam de quem gosta de sua mãe.
Alunos não gostam de fazer provas.
R. Ribeiro
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Lógica de Predicados (XVII)
Exercício
Represente as seguintes frases:
Se amanhã chover, então todos devem levar
guarda-chuvas.
Todos que gostam de Carlos, não gostam de
seus primos.
Ninguém foi a festa de Manoel.
Todos os gregos são europeus, mas nem todo
europeu é grego.
Todos gostam da mãe de Maria.
R. Ribeiro
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Sintaxe (I)
Fórmulas bem formadas
Antes de descrevermos como é a semântica de
fórmulas da lógica de predicados, devemos denir
primeiramente, o que é uma fórmula sintaticamente
correta.
R. Ribeiro
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Sintaxe (II)
Fórmulas da lógica de predicados
Fórmulas da lógica de predicados podem
denotar:
Elementos do universo de discurso em questão.
Valores lógicos
Sendo assim, a sintaxe será divida em duas
categorias:
Termos que denotam elementos.
Fórmulas que denotam valores lógicos.
R. Ribeiro
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Sintaxe (III)
Termos
O conjunto de termos
a) Seja
V
T
é denido como:
o conjunto contendo todas as variáveis
da lógica de predicados. Então,
b) Se
c
T ⊆ V.
é uma constante que representa um
elemento do universo de discurso, então
c) Seja
f
uma função
n-ária sobre termos e
c∈T
t1, t2, ..., tn ∈ T (n ≥ 0) então
f (t1, t2, ..., tn ) ∈ T .
R. Ribeiro
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Sintaxe (IV)
Termos
Considerando como universo de discurso o conjunto
de todas as cidades e estados, temos que:
Belo Horizonte é um constante representando a
capital de Minas Gerais
Se
capital
é uma função que a partir de uma
constante que representa um estado retorna a
respectiva capital deste, temos que
capital (Minas Gerais) denota o mesmo elemento
que a constante Belo Horizonte.
R. Ribeiro
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Sintaxe (V)
Fórmulas
F de
⊥, > ∈ F
O conjunto
a)
fórmulas é denido como:
p é um predicado n-ário e t1, t2, ..., tn são
termos, então p (t1 , t2 , ..., tn ) ∈ F .
b) Se
α ∈ F então ¬α ∈ F
Se α, β ∈ F então α ◦ β ∈ F , onde
◦ ∈ {→, ∨, ∧, ↔}.
Se x ∈ V e α ∈ F então ∀x .α ∈ F e ∃x .α ∈ F
c) Se
d)
e)
R. Ribeiro
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Sintaxe (VI)
Precedência
Seguiremos as mesmas convenções de
precedência que adotamos para a lógica
proposicional.
Adicionalmente, conseraremos que
quanticadores (∃, ∀) possuem a mesma
precedência de
¬.
R. Ribeiro
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Semântica (I)
Semântica da Lógica de Predicados
Para dar semântica a uma fórmula devemos
interpretá-la de acordo com o universo de
discurso
U.
Mas somente
U
Seja U = N.
∃ .∀ . ( , )
i jMi j
é suciente?
Com isso é possível determinar se
é verdadeira?
Não! Qual o signicado do predicado
Como determinar se
R. Ribeiro
M (i , j )
M
?
é verdadeiro?
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Semântica (II)
Semântica da Lógica de Predicados
Somente o universo de discurso não é suciente
para interpretar uma fórmula da lógica de
predicados.
Deve haver adicionamente maneiras de
interpretar:
Termos funcionais.
Predicados.
R. Ribeiro
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Semântica (III)
Semântica da Lógica de Predicados
Termos funcionais podem ser pensados como
funções
n-árias entre termos.
Para cada função
f
I
:U →U
f :T
→T,
deve existir
que associa cada constante em
sua respectiva interpretação em
R. Ribeiro
U.
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T
a
Semântica (IV)
Semântica da Lógica de Predicados
Predicados podem ser pensados como
de termos.
Para cada predicado
p :T ×T
P
(t1 , t2 ) ∈ P
, deve existir um
conjunto de pares de termos
p(t1, t2)
é verdadeiro se
R. Ribeiro
n-uplas
. Dizemos que
.
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Semântica (V)
Voltando ao Exemplo anterior...
U = N, e considere que para x , y ∈ N ,
M (x , y ) é verdadeiro se x ≥ y .
A fórmula ∃i .∀j .M (i , j ) é verdadeira?
Seja
Não! A fórmula representa a seguinte sentença:
existe um número natural que é maior que todos
os outros números naturais.
Mas e a fórmula
∀j .∃i .M (i , j )?
R. Ribeiro
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Semântica (VI)
Finalizando...
Interpretamos fórmulas da lógica de predicados
utilizando:
Um universo de discurso
Um conjunto de denições de predicados e
símbolos funcionais.
R. Ribeiro
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Semântica (VII)
Exercício
Considere como universo de discurso o conjunto
os seguintes predicados e símbolos funcionais:
par (x ): verdadeiro se x é par.
impar (x ): verdadeiro se x é ímpar.
s : N → N: função sucessor.
Qual o valor lógico das seguintes fórmulas?
1
2
3
∀n.par (n) ∨ impar (n).
∀n.impar (n) → par (s (n)).
¬∃n.par (n) ∧ impar (n).
R. Ribeiro
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N
e
Semântica (VIII)
Exercício
Considere a seguinte frase: Todos os unicórnios
possuem 5 patas.
Represente esta frase utilizando uma fórmula da
lógica de predicados.
Encontre universos de discurso e interpretações
de predicados e símbolos funcionais para sua
fórmula. Em seu modelo de interpretação, sua
fórmula é verdadeira?
R. Ribeiro
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