Lista de Exercícios 37 - Integrais de Funções Trigonométricas

UNEMAT – Universidade do Estado de Mato Grosso
Campus Universitário de Sinop
Faculdade de Ciências Exatas e Tecnológicas
Curso de Engenharia Civil
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I
Lista de Exercícios – Integrais de Funções Trigonométricas
1) Calcule a integral.
a)
∫ ( 2sen x + 3cos x ) dx
∫ ( 2sen x + 3cos x ) dx = ∫ 2sen x dx + ∫ 3 cos x dx
∫ ( 2sen x + 3 cos x ) dx = 2∫ sen x dx + 3∫ cos x dx
∫ ( 2sen x + 3cos x ) dx = −2cos x + 3sen x + C
b)
∫ (1 − cossec t cotg t ) dt
∫ (1 − cossec t cotg t ) dt = ∫ dt − ∫ ( cossec t cotg t ) dt
∫ (1 − cossec t cotg t ) dt = t − ( cossec t ) + C
∫ (1 − cossec t cotg t ) dt = t + cossec t + C
c)
∫ ( cos sec θ − cosθ ) dθ
2
∫ ( cos sec θ − cosθ ) dθ = ∫ cos sec θ dθ − ∫ cosθ dθ
∫ ( cos sec θ − cosθ ) dθ = −cotgθ − senθ + C
2
2
2
d)
∫ sen 2x dx
1
∫ sen 2x dx = 2 ∫ 2 ⋅ sen 2x dx
u = 2 x ⇒ du = 2dx
1
∫ sen 2x dx = 2 ∫ sen u du
1
∫ sen 2x dx = 2 ( − cos u ) + C
1
∫ sen 2x dx = − 2 cos 2x + C
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Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I
e)
∫ xcosx
2
dx
∫ xcosx
2
dx =
1
2xcosx 2 dx
∫
2
u = x 2 ⇒ du = 2 xdx
1
cos u du
2∫
1
2
∫ xcosx dx = 2 senu + C
1
2
2
∫ xcosx dx = 2 senx + C
∫ xcosx
f)
∫ sec
2
∫ sec
2
u=
2
dx =
x
dx
2
x
1
x
dx = 2∫ sec 2 dx
2
2
2
x
1
⇒ du = dx
2
2
x
dx = 2∫ sec 2 u du
2
2 x
∫ sec 2 dx = 2tg u + C
x
2 x
∫ sec 2 dx = 2tg  2  + C
∫ sec
g)
2
∫ tg3x dx
1
∫ tg3 x dx = 3 ∫ 3tg3 x dx
u = 3 x ⇒ du = 3dx
1
∫ tg3 x dx = 3 ∫ tg u du
1
∫ tg3 x dx = − 3 ln cos u + C
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Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I
1
∫ tg3 x dx = − 3 ln cos3 x + C
h)
∫ tg
3
x sec 2 x dx
u = tg x ⇒ du = sec 2 x dx
∫ tg
3
x sec 2 x dx = ∫ u3 du
u4
+C
4
tg4 x
3
2
tg
x
sec
x
dx
=
+C
∫
4
3
2
∫ tg x sec x dx =
i)
∫ cotgπ x dx
1
∫ cotg (π x ) dx = π ∫ π cotg (π x ) dx
u = π x ⇒ du = π dx
1
∫ cotg (π x ) dx = π ∫ cotgu du
1
∫ cotg (π x ) dx = π ln sen u + C
1
∫ cotg (π x ) dx = π ln sen (π x ) + C
j)
∫ cossec 2x dx
1
∫ cossec 2x dx = 2 ∫ 2cossec 2x dx
u = 2 x ⇒ du = 2 dx
1
∫ cossec 2x dx = 2 ∫ cossec u du
1
∫ cossec 2x dx = 2 ln cossec u − cotg u + C
1
∫ cossec 2x dx = 2 ln cossec 2x − cotg2x + C
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Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I
k)
sec 2 2 x
∫ tg 2x dx
sec 2 2 x
1 2sec 2 2 x
=
dx
dx
∫ tg 2x
2 ∫ tg 2 x
u = tg 2 x ⇒ du = 2sec 2 2 x dx
sec 2 2 x
1 du
∫ tg 2x dx = 2 ∫ u
sec 2 2 x
1
∫ tg 2x dx = 2 ln u + C
sec 2 2 x
1
∫ tg 2x dx = 2 ln tg 2x + C
l)
sec x tg x
∫ sec x − 1 dx
u = sec x − 1 ⇒ du = sec x tg x dx
sec x tg x
∫ sec x − 1 dx = ∫
du
u
sec x tg x
∫ sec x − 1 dx = ln u + C
sec x tg x
∫ sec x − 1 dx = ln sec x − 1 + C
m)
sen x
∫ 1 + cos x dx
sen x
−sen x
∫ 1 + cos x dx = −∫ 1 + cos x dx
u = 1 + cos x ⇒ du = −sen x dx
sen x
∫ 1 + cos x dx = − ∫
du
u
sen x
∫ 1 + cos x dx = − ln u + C
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Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I
sen x
∫ 1 + cos x dx = − ln 1 + cos x + C
n)
cossec 2 x
∫ cotg3 x dx
Resolução 1:
1
cossec x
sen2 x dx
dx
=
∫ cotg3 x
∫ cos3 x
sen3 x
cossec 2 x
1
sen3 x
dx
=
⋅
∫ cotg3 x
∫ sen2 x cos3 x dx
2
cossec 2 x
sen x
∫ cotg3 x dx = ∫ cos3 x dx
−sen x
cossec 2 x
∫ cotg3 x dx = −∫ cos3 x dx
u = cos x ⇒ du = −sen x dx
cossec 2 x
du
∫ cotg3 x dx = −∫ u3
cossec 2 x
−3
∫ cotg3 x dx = −∫ u du
cossec 2 x
u −2
∫ cotg3 x dx = − −2 + C
cossec 2 x
1
∫ cotg3 x dx = 2u 2 + C
cossec 2 x
1
∫ cotg3 x dx = 2cos2 x + C
Resolução 2:
1
2
cossec 2 x
x dx
3
∫ cotg3 x dx = ∫ sen
cos x
sen3 x
cossec 2 x
1
sen3 x
dx
=
⋅
∫ cotg3 x
∫ sen2 x cos3 x dx
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Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I
cossec 2 x
sen x
∫ cotg3 x dx = ∫ cos3 x dx
cossec 2 x
sen x
1
∫ cotg3 x dx = ∫ cos x ⋅ cos2 x dx
cossec 2 x
2
∫ cotg3 x dx = ∫ tg x ⋅ sec x dx
u = tg x ⇒ du = sec 2 x dx
cossec 2 x
∫ cotg3 x dx = ∫ u du
cossec 2 x
u2
∫ cotg3 x dx = 2 + C
cossec 2 x
tg2 x
dx
=
+C
∫ cotg3 x
2
o)
∫ e sen ( e ) dx
x
x
u = e x ⇒ du = e x dx
∫ e sen ( e ) dx = ∫ sen u du
∫ e sen ( e ) dx = −cos u + C
∫ e sen ( e ) dx = −cos ( e ) + C
p)
x
x
x
x
x
x
x
( )
∫e
−x
tg e− x dx
∫e
−x
tg e− x dx = − ∫ −e − x tg e− x dx
( )
( )
u = e − x ⇒ du = −e − x dx
∫e
∫e
∫e
q)
−x
−x
−x
( )
tg ( e ) dx = ln cos u + C
tg ( e ) dx = ln cos ( e ) + C
tg e− x dx = − ∫ tg u du
−x
−x
∫ ( sen2x + cos 2x )
−x
2
dx
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Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I
∫ ( sen2x + cos 2x )
∫ ( sen2x + cos 2x )
∫ ( sen2x + cos 2x )
∫ ( sen2x + cos 2x )
(
)
2
dx = ∫ sen2 2 x + 2sen2 x cos 2 x + cos2 2 x dx
2
dx = ∫ (1 + sen4 x ) dx
2
dx = ∫ dx + ∫ sen4 x dx
2
dx = ∫ dx +
1
4sen4 x dx
4∫
dx = ∫ dx +
1
sen u du
4∫
u = 4 x ⇒ du = 4dx
∫ ( sen2x + cos 2x )
2
1
cos u + C
4
1
2
∫ ( sen2x + cos 2x ) dx = x − 4 cos 4 x + C
∫ ( sen2x + cos 2x )
r)
2
dx = x −
∫ x cos x dx
∫ u dv = uv − ∫ v du
dv = cos xdx ⇒ v = senx
u = x ⇒ du = dx
∫ x cos x dx = x sen x − ∫ sen x dx
∫ x cos x dx = x sen x + cos x + C
s)
∫ x sec
2
x dx
∫ u dv = uv − ∫ v du
dv = sec 2 xdx ⇒ v = tg x
u = x ⇒ du = dx
∫ x sec
∫ x sec
2
x dx = x tgx − ∫ tgx dx
2
x dx = x tgx + ln cos x + C
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Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I
2) Calcule a integral definida
π
a)
4
4x
∫ cos 3
dx
0
4x
∫ cos 3
u=
dx =
3 4
4x
cos dx
∫
4 3
3
4x
4
⇒ du = dx
3
3
4x
3
cos u du
4∫
4x
3
∫ cos 3 dx = 4 sen u + C
4x
3
4x
∫ cos 3 dx = 4 sen 3 + C
∫ cos 3
π
dx =
π
4x
3
 4 x  4
∫0 cos 3 dx = 4 sen  3 
0
π
4
4
4x
dx =
3
4 π 
 4 
sen  ⋅  − sen  ⋅ 0  

4
3 4
 3 
4x
dx =
3
π

sen − sen0 

4
3

4x
dx =
3 3
⋅
4 2
4x
dx =
3 3
8
∫ cos 3
0
π
4
∫ cos 3
0
π
4
∫ cos 3
0
π
4
∫ cos 3
0
2π
b)
∫
π
3
x
sec 2 dx
2
2
∫ sec
2
x
1
x
dx = 2∫ sec 2 dx
2
2
2
x
1
u = ⇒ du = dx
2
2
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Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I
x
dx = 2∫ sec 2 u du
2
2x
∫ sec 2 dx = 2tg u + C
x
2x
∫ sec 2 dx = 2tg  2  + C
∫ sec
2π
∫
3
π
2
2π
3
2
2π
  x  3
x
sec dx = 2  tg   
2
  2  π 2
2
∫
π
  1 2π 
x
 1 π 
sec 2 dx = 2  tg  ⋅
− tg  ⋅  

2
 2 2 
 2 3 
∫
π
x
π
 π
sec 2 dx = 2  tg − tg 
2
4
 3
∫
π
x
sec 2 dx = 2
2
2
2π
3
2
2π
3
(
)
3 −1
2
1
c)
∫ tg(1− x ) dx
0
∫ tg(1 − x ) dx = −∫ −tg(1 − x ) dx
u = 1 − x ⇒ du = −dx
∫ tg(1 − x ) dx = − ∫ tg u du
∫ tg(1 − x ) dx = ln cos u + C
∫ tg(1 − x ) dx = ln cos (1 − x ) + C
1
∫ tg(1 − x ) dx = ln cos (1 − x ) 
0
1
0
1
∫ tg(1 − x ) dx = ln cos (1 − 1) − ln cos (1 − 0 ) 
0
1
∫ tg(1 − x ) dx = ln cos0 − ln cos1
0
1
∫ tg(1 − x ) dx = ln1 − ln cos1
0
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Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I
1
∫ tg(1 − x ) dx = − ln cos1
0
3) Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do
eixo x , da região delimitada pelos gráficos das equações dadas.
y = sec x, y = 0, x = 0, x =
y = sec x ⇒ y =
π
4
1
cos x
b
Volume = π ∫ [ f ( x )] dx
2
a
π
Volume = π
4
∫ sec x dx
2
0
π
Volume = π [ tgx ]0 4
 π

Volume = π  tg − tg0 
 4

Volume = π [1 − 0]
Volume = π
4) Aproxime a integral definida
π
2
∫ f(x) dx,
0
 sen x
, x >0

f (x) =  x
1,
x =0
tomando n = 4 e aplicando (a) a Regra do Trapézio e (b) a Regra de
Simpson.
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Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I
a) Regra do Trapézio
∆x =
b−a
=
n
x0 = 0, x1 =
b
∫ f ( x ) dx ≈
a
π
2
∫
0
π
2
∫
0
π
2
∫
0
π −0
π
8
2
4
, x2 =
=
π
4
π
8
, x3 =
3π
π
, x4 =
8
2
b−a
f ( x0 ) + 2f ( x1 ) + … + 2f ( xn −1 ) + f ( xn ) 
2n 
sen x
π
f ( x0 ) + 2f ( x1 ) + 2f ( x2 ) + 2f ( x3 ) + f ( x 4 ) 
dx ≈
x
16 
sen x
π
dx ≈
[1,0000 + 1,9490 + 1,8006 + 1,5684 + 0,6366]
x
16
sen x
dx ≈ 1,3655
x
b) Regra de Simpson
b
∫ f ( x ) dx ≈
a
π
2
∫
0
π
2
∫
0
π
2
∫
0
b−a
f ( x0 ) + 4f ( x1 ) + 2f ( x2 ) + 4f ( x3 ) + … + 4f ( xn −1 ) + f ( xn ) 
3n 
sen x
π
f ( x0 ) + 4f ( x1 ) + 2f ( x2 ) + 4f ( x3 ) + f ( x4 ) 
dx ≈
x
24 
sen x
π
dx ≈
[1,0000 + 3,8980 + 1,8006 + 3,1369 + 0,6366]
x
24
sen x
dx ≈ 1,3708
x
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5) Calcule a integral.
a)
∫ sen
3
x cos2 x dx
∫ sen
∫ sen
∫ sen
3
x cos2 x dx = ∫ sen2 x sen x cos2 x dx
3
x cos2 x dx = ∫ 1 − cos2 x sen x cos2 x dx
3
x cos2 x dx = − ∫ − 1 − cos2 x sen x cos2 x dx
(
)
(
)
u = cos x ⇒ du = −sen xdx
∫ sen
∫ sen
3
3
(
x cos x dx = − ∫ ( u
)
x cos2 x dx = − ∫ 1 − u2 u2du
2
2
)
− u4 du
3
5
u u
+
+C
3 5
u5 u3
3
2
sen
x
cos
x
dx
=
− +C
∫
5 3
1
1
3
2
5
3
∫ sen x cos x dx = 5 cos x − 3 cos x + C
∫ sen
3π
b)
∫
π
3
x cos2 x dx = −
4
sen5 x cos3 x dx
2
∫ sen
∫ sen
5
x cos3 x dx = ∫ sen5 x cos2 x cos x dx
5
x cos3 x dx = ∫ sen5 x 1 − sen2 x cos x dx
(
)
u = sen x ⇒ du = cos xdx
∫ sen
∫ sen
(
)
5
x cos3 x dx = ∫ u5 1 − u2 du
5
x cos3 x dx = ∫ u5 − u7 du
(
)
1 6 1 8
u − u +C
6
8
1
1
5
3
6
8
∫ sen x cos x dx = 6 sen x − 8 sen x + C
∫ sen
3π
∫
π
4
2
5
x cos3 x dx =
3π
1
1
 4
sen x cos x dx =  sen6 x − sen8 x 
8
6
π 2
5
3
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Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I
3π
 1
1
1
5
3
6  3π 
8  3π   1
6 π 
8  π  
sen
x
cos
xdx
sen
sen
sen
sen
=
−
−
−







 2 



∫
6
 4 8
 4   6
 2 8
 

π

2
4
3π
∫
π
4
2
3π
∫
π
6
8
 

2  1  2    1 6 1 8  
 1
sen x cos x dx =  ⋅ 
−
⋅
−
⋅
1
−
⋅
1






8  
  6  2  8  2    6

5
4
2
3π
4
3
 1 1 1 1   1 1  
sen5 x cos3 x dx =  ⋅ − ⋅  −  −  
 6 8 8 16   6 8  
∫
π
sen5 x cos3 x dx =
1
1
1 1
−
− +
48 128 6 8
∫
π
sen5 x cos3 x dx =
8 − 3 − 64 + 48
384
∫
π
sen5 x cos3 x dx = −
2
3π
4
2
3π
4
11
384
2
c)
∫ cos θ dθ
2
cos2θ =
1
( cos 2θ + 1)
2
1
∫ cos θ dθ = ∫ 2 ( cos 2θ + 1) dθ
2
1
∫ cos θ dθ = 2 ∫ ( cos 2θ + 1) dθ
2
1
1
∫ cos θ dθ = 2 ∫ cos 2θ dθ + 2 ∫ dθ
2
1
1
∫ cos θ dθ = 4 ∫ 2cos 2θ dθ + 2 ∫ dθ
2
1
∫ cos θ dθ = 4 sen 2θ + θ + C
2
π
d)
∫ sen ( 3t ) dt
4
0
4
2
∫ sen ( 3t ) dt = ∫ sen ( 3t ) dt
2
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Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I
1
1 − cos ( 2t ) 
2
1
sen2 ( 3t ) = 1 − cos ( 6t ) 
2
sen2 t =
∫ sen ( 3t ) dt
4
∫ sen ( 3t ) dt
4
∫ sen ( 3t ) dt
4
∫ sen ( 3t ) dt
4
∫ sen ( 3t ) dt
4
∫ sen ( 3t ) dt
4
∫ sen ( 3t ) dt
4
∫ sen ( 3t ) dt
4
∫ sen ( 3t ) dt
4
∫ sen ( 3t ) dt
4
2
1

= ∫  1 − cos ( 6t )   dt
2

2
1
= ∫ 1 − cos ( 6t )  dt
4
1
= ∫ 1 − 2cos ( 6t ) + cos2 ( 6t )  dt
4
1
1
1
= ∫ dt − ∫ 2cos ( 6t ) dt + ∫ cos2 ( 6t ) dt
4
4
4
1
1
1 1

= ∫ dt −
6cos ( 6t ) dt + ∫  ( cos12t + 1)  dt
∫
4
12
4 2

1
1
1
= ∫ dt −
6 cos ( 6t ) dt + ∫ ( cos12t + 1) dt
∫
4
12
8
1
1
1
1
= ∫ dt −
6cos ( 6t ) dt + ∫ cos (12t )  dt + ∫ dt
∫
4
12
8
8
1
1
1
1
12cos (12t )  dt + ∫ dt
= ∫ dt −
6cos ( 6t ) dt +
∫
∫
4
12
96
8
1
1
1
1
= t − sen ( 6t ) +
sen (12t ) + t + C
4 12
96
8
3
1
1
= t − sen ( 6t ) +
sen (12t ) + C
8 12
96
π
π
1
1
3

∫0 sen ( 3t ) dt =  8 t − 12 sen ( 6t ) + 96 sen (12t ) 0
4
π
3
1
 3
1
1
1

∫ sen (3t ) dt =  8 π − 12 sen( 6π ) + 96 sen(12π ) −  8 ⋅ 0 − 12 sen( 6 ⋅ 0) + 96 sen(12 ⋅ 0)
4
0
π
3

∫ sen ( 3t ) dt =  8 π − 0 + 0  − [0 − 0 + 0]
4
0
π
3
∫ sen ( 3t ) dt = 8 π
4
0
e)
∫ (1 + cosθ )
2
dθ
∫ (1 + cosθ ) dθ = ∫ (1 + 2cosθ + cos θ ) dθ
∫ (1 + cosθ ) dθ = ∫ dθ + ∫ 2cosθ dθ + ∫ cos θ dθ
2
2
2
2
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Curso de Engenharia Civil
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I
∫ (1 + cosθ )
2
dθ = ∫ dθ + 2∫ cosθ dθ + ∫
∫ (1 + cosθ )
2
dθ = ∫ dθ + 2∫ cosθ dθ +
∫ (1 + cosθ )
2
dθ
∫ (1 + cosθ )
2
dθ
∫ (1 + cosθ )
2
dθ
∫ (1 + cosθ )
2
dθ
π
f)
1
(1 + cos 2θ ) dθ
2
1
(1 + cos 2θ ) dθ
2∫
1
1
= ∫ dθ + 2∫ cosθ dθ + ∫ dθ + ∫ cos 2θ dθ
2
2
1
1
= ∫ dθ + 2∫ cosθ dθ + ∫ dθ + ∫ 2cos 2θ dθ
2
4
1
1
= θ + 2senθ + θ + sen2θ + C
2
4
3
1
= θ + 2senθ + sen2θ + C
2
4
4
∫ sen
4
x cos2 x dx
0
∫ sen
∫ sen
4
4
x cos2 x dx = ∫ sen2 x sen2 x cos2 x dx
x cos2 x dx = ∫ sen2 x ( sen x cos x ) dx
2
2
1
1

∫ sen x cos x dx = ∫ 2 (1 − cos2x )  2 sen2x  dx
1
4
2
2
∫ sen x cos x dx = 8 ∫ (1 − cos2x ) sen 2x dx
1
1
4
2
2
2
∫ sen x cos x dx = 8 ∫ sen 2x dx − 8 ∫ sen 2x cos2x dx
4
2
1
1 − cos ( 2 x ) 
2
1
sen2 2 x = 1 − cos ( 4 x ) 
2
sen2 x =
u = sen2 x
du = 2cos2 x dx
1 1
1
(1 − cos 4 x ) dx − ∫ 2sen2 2 x cos2x dx
∫
8 2
16
1
1
=
(1 − cos 4 x ) dx − ∫ u 2du
∫
16
16
1
1
1 u3
=
dx
−
cos
4
x
dx
−
⋅
16 ∫
16 ∫
16 3
1
1
u3
=
dx
−
4
cos
4
x
dx
−
16 ∫
64 ∫
48
3
x sen4 x sen 2 x
=
−
−
+C
16
64
48
∫ sen
4
x cos2 x dx =
∫ sen
4
x cos2 x dx
∫ sen
4
x cos2 x dx
∫ sen
4
x cos2 x dx
∫ sen
4
x cos2 x dx
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Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I
1
sen4 x sen3 2 x 
∫ sen x cos x dx = 16  x − 4 − 3  + C
4
π
4
∫
0
π
2
π
1 
sen4 x sen3 2 x  4
sen x cos x dx =
x−
−
16 
4
3  0
4
2
4
x cos2 x dx =
1  π 1
1
π 
1
1

− senπ − sen3  −  0 − sen0 − sen3 0 


16  4 4
3
2 
4
3

4
x cos2 x dx =

1  π
1
− 0 −  − (0 − 0 − 0)


16  4
3

4
x cos2 x dx =
1 π 1
−
16  4 3 
4
x cos2 x dx =
1 3π − 4
⋅
16 12
4
x cos2 x dx =
1
( 3π − 4 )
192
4
∫ sen
0
π
4
∫ sen
0
π
4
∫ sen
0
π
4
∫ sen
0
π
4
∫ sen
0
g)
∫ sen
3
x cos x dx
∫ sen
∫ sen
3
x cos x dx = ∫ sen2 x sen x cos x dx
3
x cos x dx = ∫ 1 − cos2 x sen x cos x dx
(
)
u = cosx ⇒ du = −senxdx
∫ sen
∫ sen
∫ sen
∫ sen
3
(
)
cos x dx = − ∫ (1 − u ) u du
cos x dx = ∫ ( u − 1) u du
x cos x dx = − ∫ 1 − cos2 x ( −sen x ) cos x dx
3
x
2
3
x
3
x cos x dx = ∫ u
(
7
u
∫ sen x cos x dx = 7
3
1
2
2
2
5
2
−u
3
u
−
3
2
1
2
) du
+C
2
2
7
3
2
2
3
∫ sen x cos x dx = 7 u 2 − 3 u 2 + C
1 2
2 
3
3
∫ sen x cos x dx = u 2  7 u − 3 u  + C
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Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I
∫ sen
h)
∫ cos
3
2
2
2

x cos x dx =  cos3 x − cosx  cos x + C
3
7

x tg3 x dx
2
3
2
∫ cos x tg x dx = ∫ cos x
sen3 x
dx
cos3 x
sen3 x
dx
cos x
sen2 x ⋅ sen x
2
3
x
x
dx
cos
tg
=
∫
∫ cos x dx
1 − cos2 x ⋅ sen x
2
3
x
x
dx
=
dx
cos
tg
∫
∫
cos x
2
3
∫ cos x tg x dx = ∫
(
)
u = cosx ⇒ du = −senxdx
(1 − cos x ) ⋅ ( −senx ) dx
2
∫ cos
∫ cos
2
2
x tg x dx = − ∫
3
x tg3 x dx = ∫
(
cos x
cos x − 1 ⋅ ( −sen x )
2
)
cos x
u2 − 1
du
u
1

= ∫  u −  du
u

1
= ∫ u du − ∫ du
u
1 2
= u − ln u + C
2
1
= cos2 x − ln cos x + C
2
2
3
∫ cos x tg x dx = ∫
i)
∫ cos
2
x tg3 x dx
∫ cos
2
x tg3 x dx
∫ cos
2
x tg3 x dx
∫ cos
2
x tg3 x dx
∫
1 − sen x
dx
cos x
∫
1 − sen x
1 − sen x 1 + sen x
dx = ∫
⋅
dx
cos x
cos x 1 + sen x
1 − sen x
1 − sen 2 x
∫ cos x dx = ∫ cos x (1 + sen x ) dx
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dx
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1 − sen x
cos 2 x
dx
=
∫ cos x
∫ cos x (1 + senx ) dx
∫
1 − sen x
cos x
dx = ∫
dx
cos x
1 + sen x
u = 1 + senx ⇒ du = cos x dx
1 − sen x
du
dx = ∫
cos x
u
1 − sen x
∫ cos x dx = ln u + C
1 − sen x
∫ cos x dx = ln 1 + senx + C
∫
j)
∫ sec
2
x tg x dx
Resolução 1:
u = tg x ⇒ du = sec 2 x dx
∫ sec
2
x tg x dx = ∫ udu
1 2
u +C
2
1 2
2
∫ sec x tg x dx = 2 tg x + C
∫ sec
2
x tg x dx =
Resolução 2:
∫ sec
2
x tg x dx = ∫ sec x sec x tg xdx
u = sec x ⇒ du = sec x tg x dx
∫ sec
2
x tg x dx = ∫ udu
1 2
u +C
2
1
2
2
∫ sec x tg x dx = 2 sec x + C
∫ sec
2
x tg x dx =
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Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I
k)
∫ sec
6
t dt
∫ sec
∫ sec
6
t dt = ∫ sec 4 t sec 2 t dt
6
t dt = ∫ sec 4 t tg2 t + 1 dt
(
)
2
u = tg t ⇒ du = sec 2t dt
∫ sec
∫ sec
6
6
(
t dt = ∫ ( u
)
2
t dt = ∫ u2 + 1 du
4
)
+ 2u2 + 1 du
1 5
1
u + 2 u3 + u + C
5
3
1 5 2 3
6
∫ sec t dt = 5 tg t + 3 tg t + tg t + C
∫ sec
π
l)
6
t dt =
3
∫ tg
5
x sec 4 x dx
0
∫ tg
∫ tg
5
x sec 4 x dx = ∫ tg5 x sec 2 x sec 2 x dx
5
x sec 4 x dx = ∫ tg5 x 1 + tg2 x sec 2 x dx
(
)
u = tg x ⇒ du = sec 2 x dx
∫ tg
∫ tg
(
)
5
x sec 4 x dx = ∫ u5 1 + u2 du
5
x sec 4 x dx = ∫ u5 + u7 du
(
)
1 6 1 8
u + u +C
6
8
1 6
1 8
5
4
∫ tg x sec x dx = 6 tg x + 8 tg x + C
∫ tg
x sec 4 x dx =
5
π
3
∫
0
π
π
1
1
 3
tg x sec x dx =  tg6 x + tg8 x 
8
6
0
5
3
∫ tg
5
0
π
3
∫
0
4
 1
π 1 π  1
1

x sec 4 x dx =  tg6 + tg8  −  tg6 0 + tg8 0  
3 8
3 6
8

 6
 1
tg5 x sec 4 x dx =   ⋅
 6
( 3)
6
+
1
⋅
8
( 3 )  −  61 ⋅ 0 + 81 ⋅ 0 
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8
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π
3
∫ tg
5
0
π
3
∫ tg
5
 1

1

x sec 4 x dx =  ⋅ 27 + ⋅ 81 − ( 0 + 0 ) 
8

 6

x sec 4 x dx =
9 81
+
2 8
x sec 4 x dx =
36 81
+
8
8
x sec 4 x dx =
117
8
0
π
3
∫ tg
5
0
π
3
∫ tg
5
0
m)
∫ tg
x sec x dx
∫ tg
∫ tg
3
x sec x dx = ∫ tg2 x tg x sec x dx
3
x sec x dx = ∫ sec 2 x − 1 tg x sec x dx
3
(
)
u = sec x ⇒ du = sec x tg xdx
∫ tg
3
(
)
x sec x dx = ∫ u2 − 1 du
1 3
u −u +C
3
1
3
3
∫ tg x sec x dx = 3 sec x − sec x + C
∫ tg
x sec x dx =
∫ tg
x dx
∫ tg
∫ tg
∫ tg
∫ tg
∫ tg
x dx = ∫ tg2 x tg x dx
3
n)
5
5
5
5
( )
x dx = ∫ ( sec x − 1) tg x dx
x dx = ∫ ( sec x − 2sec x + 1) tg x dx
2
2
4
2
2
5
x dx = ∫ sec 4 x tg x dx − ∫ 2sec 2 x tg x dx + ∫ tg x dx
5
x dx = ∫ sec 3 x sec x tg x dx − 2∫ sec x sec x tg x dx + ∫ tg x dx
u = sec x ⇒ du = sec x tg x dx
∫ tg
x dx = ∫ u3du − 2∫ u du + ∫ tg x dx
∫ tg
x dx =
5
5
1 4
1
u − 2 ⋅ u2 + ln sec x + C
4
2
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Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I
∫ tg
5
x dx =
1
sec 4 x − sec 2 x + ln sec x + C
4
tg3θ
o) ∫
dθ
cos4θ
tg3θ
3
4
∫ cos4θ dθ = ∫ tg θ sec θ dθ
tg3θ
3
2
2
∫ cos4θ dθ = ∫ tg θ sec θ sec θ dθ
tg3θ
3
2
2
∫ cos4θ dθ = ∫ tg θ 1 + tg θ sec θ dθ
(
)
u = tgθ ⇒ du = sec 2θ dθ
tg3θ
3
2
∫ cos4θ dθ = ∫ u 1 + u du
(
)
tg3θ
3
5
∫ cos4θ dθ = ∫ u + u du
(
)
tg3θ
1 4 1 6
∫ cos4θ dθ = 4 u + 6 u + C
tg3θ
1 4
1 6
∫ cos4θ dθ = 4 tg θ + 6 tg θ + C
p)
∫ cotg α cos sec α dα
3
3
∫ cotg α cos sec α dα = ∫ cotg α cos sec α cotg α cos sec α dα
∫ cotg α cos sec α dα = ∫ ( cossec α − 1) cos sec α cotg α cos sec α dα
3
3
3
3
2
2
2
2
u = cos sec α ⇒ du = − cos sec α cotgα dα
∫ cotg α cos sec α dα = ∫ (u − 1) u ( −du )
∫ cotg α cos sec α dα = ∫ (1 − u ) u du
∫ cotg α cos sec α dα = ∫ (u − u ) du
3
3
3
3
3
3
2
2
2
2
1
2
4
1
− u5 + C
5
1
1
3
3
3
5
∫ cotg α cos sec α dα = 3 cos sec α − 5 cos sec α + C
∫ cotg α cos sec α dα = 3 u
3
3
3
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Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I
q)
∫ cos sec x dx
cos sec x − cotg x
∫ cos sec x dx = ∫ cos sec x⋅ cos sec x − cotg x dx
u = cos sec x − cotg x
(
)
du = − cos sec x cotg x + cossec 2 x dx
cos sec 2 x − cos sec x cotg x
dx
cos sec x − cotg x
du
∫ cos sec x dx = ∫ u
∫ cos sec x dx = ln u + C
∫ cos sec x dx = ∫
∫ cos sec x dx = ln cos sec x − cotg x + C
r)
∫ sen 5 x sen 2 x dx
1
∫ sen 5 x sen 2 x dx = ∫ 2 cos ( 5 x − 2x ) − cos ( 5 x + 2 x ) dx
1
∫ sen 5 x sen 2 x dx = 2 ∫ cos ( 3 x ) − cos ( 7 x ) dx
1
1
∫ sen 5 x sen 2 x dx = 2 ∫ cos ( 3 x ) dx − 2 ∫ cos ( 7 x ) dx
1
1
∫ sen 5 x sen 2 x dx = 6 ∫ 3cos ( 3 x ) dx − 14 ∫ 7cos ( 7 x ) dx
1
1
∫ sen 5 x sen 2 x dx = 6 sen3 x − 14 sen7 x + C
s)
∫ cos 7θ cos 5θ dθ
1
∫ cos 7θ cos 5θ dθ = ∫ 2 cos ( 7θ − 5θ ) + cos ( 7θ + 5θ ) dθ
1
∫ cos 7θ cos 5θ dθ = 2 ∫ cos ( 2θ ) + cos (12θ ) dθ
1
1
∫ cos 7θ cos 5θ dθ = 2 ∫ cos ( 2θ ) dθ + 2 ∫ cos (12θ ) dθ
1
1
∫ cos 7θ cos 5θ dθ = 4 ∫ 2cos ( 2θ ) dθ + 24 ∫ 12cos (12θ ) dθ
1
1
∫ cos 7θ cos 5θ dθ = 4 sen2θ + 24 sen12θ + C
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6) Calcule
∫ sen x cos x dx
por quatro métodos: (a) a substituição
u = cos x , (b) a substituição u = sen x , (c)
sen2 x = 2sen x cos x e (d) integração por partes.
a)
∫ sen x cos x dx
∫ sen x cos x dx = −∫ −sen x cos x dx
u = cos x ⇒ du = −sen x dx
∫ sen x cos x dx = − ∫ u du
1
∫ sen x cos x dx = − 2 u
2
+ C1
1
∫ sen x cos x dx = − 2 cos x + C
2
1
b)
∫ sen x cos x dx
u = sen x ⇒ du = cos x dx
∫ sen x cos x dx = ∫ u du
1
∫ sen x cos x dx = 2 u
1
2
+ C2
∫ sen x cos x dx = 2 sen x + C
2
2
c)
∫ sen x cos x dx
1
∫ sen x cos x dx = 2 ∫ 2sen x cos x dx
1
∫ sen x cos x dx = 2 ∫ sen 2x dx
1
∫ sen x cos x dx = 4 ∫ 2sen2 x dx
u = 2 x ⇒ du = 2 dx
1
∫ sen x cos x dx = 4 ∫ sen u du
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a
identidade
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Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I
1
∫ sen x cos x dx = − 4 cos u + C
3
1
∫ sen x cos x dx = − 4 cos 2x + C
3
d)
∫ sen x cos x dx
u = sen x ⇒ du = cos x dx
dv = cos xdx ⇒ v = sen x
∫ sen x cos x dx = sen x ⋅ sen x − ∫ sen x cos x dx
∫ sen x cos x dx + ∫ sen x cos x dx = sen x
2∫ sen x cos x dx = sen x
2
2
1
∫ sen x cos x dx = 2 sen x + C
2
4
7) Determine a área da região limitada pelas curvas dadas.
y = sen x, y = sen3 x, x = 0, x = π
b
Área = ∫ [f ( x ) − g ( x )] dx
a
π
Área =
∫ ( sen x − sen x ) dx
2
3
0
π
Área =
∫ sen x (1 − sen x ) dx
2
2
0
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2
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Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I
π
Área =
2
∫ sen x cos x dx
2
0
π
2
Área = − ∫ −sen x cos2 x dx
0
u = cos x ⇒ du = −sen x dx
a = cos 0 = 1 e b = cos
π
2
=0
0
Área = − ∫ u 2 du
1
0
1
Área = − u 3 
1
3
1
Área = − 03 − 13 
3
1
Área =
3
8) Determine o volume obtido pela rotação da região limitada pelas
curvas dadas ao redor dos eixos especificados.
a) y = sen x, x = π , x = π , y = 0 ; ao redor do eixo x .
2
b
Volume = π ∫ [ f ( x )] dx
2
a
Volume = π
π
∫ ( sen x ) dx
π
2
2
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UNEMAT – Universidade do Estado de Mato Grosso
Campus Universitário de Sinop
Faculdade de Ciências Exatas e Tecnológicas
Curso de Engenharia Civil
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I
Volume = π
π
∫ sen x dx
π
2
2
Volume = π
π
1
∫ (1 − cos 2x ) dx
π 2
2
π
π
1

Volume =  x − sen2 x 
2
2
π
2
1
 π 1

π − sen2π  −  − sen π  


2 
2
 2 2

π
π

Volume = (π − 0 ) −  − 0  
2
2

Volume =
Volume =
Volume =
Volume =
π 
π
π
π− 

2
2
π π
⋅
2 2
π2
4
b) y = cos x, y = 0, x = 0, x = π , ao redor do eixo y = −1 .
2
(
b
)
Volume = π ∫ [f ( x )] − [ g ( x )] dx
a
π
Volume = π
2
∫ (1 + cos x )
0
π
Volume = π
2
2
2
− 12  dx

∫ (1 + 2cos x + cos x − 1) dx
2
2
0
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Curso de Engenharia Civil
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I
π
Volume = π
∫ ( 2cos x + cos x ) dx
2
2
0
π
Volume = π
2
∫
π
2cos x dx + π
2
∫ cos x dx
2
0
0
π
π
2
2
1
∫ cos x dx + π ∫ 2 (1 + cos 2x ) dx
Volume = 2π
0
π
Volume = 2π
0
2
∫ cos x dx +
0
π
Volume = 2π
π
2
π
2
π
2
∫ (1 + cos 2x ) dx
0
π
π
2
π
2
∫ cos x dx + 2 ∫ dx + 2 ∫ cos 2x dx
0
0
π
Volume = 2π [ sen x ]0 2 +
π
0
π
π
π
x ]0 2 + [ sen 2x ]0 2
[
2
4
π

 π π
 π
Volume = 2π sen − sen0  +  − 0  + [ sen π − sen0]
2

 2 2
 4
Volume = 2π +
π2
4
9) Uma partícula se move em uma linha reta com a função velocidade
v (t ) = sen ωt cos2 ωt . Determine sua função de posição s = f (t ) se
f (0) = 0 .
v (t ) = sen ωt cos2 ωt
s(t ) = ∫ sen ωt cos2 ωt dt
u = cos ωt ⇒ du = ( −sen ωt ) ω dt = −ω sen ωt dt
s(t ) = ∫ sen ωt cos2 ωt dt
1
s (t ) = −
ω∫
s (t ) = −
1
−ω sen ωt cos2 ωt dt
u du
ω∫
2
1 1 3
⋅ u +C
ω 3
1
s (t ) = −
cos3ωt + C
3ω
s (t ) = −
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Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I
s(0) = 0
s(0) = −
1
cos3(ω × 0 ) + C = 0
3ω
1
+C = 0
3ω
1
C=
3ω
−
Portanto:
1
1
cos3ωt +
3ω
3ω
1
s (t ) =
1 − cos3ωt
3ω
s (t ) = −
(
)
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