Raciocínio Algébrico para Lógica Proposicional

Raciocínio Algébrico para Lógica
Proposicional
Matemática Discreta I
Rodrigo Ribeiro
Departamento de Ciências Exatas e Aplicadas
Universidade de Federal de Ouro Preto
11 de dezembro de 2012
Motivação (I)
Lógica Proposicional
Até agora estudamos:
Tabelas Verdade
Dedução Natural
Uma delas baseada na semântica, isto é, no
siginicado dos conectivos.
E a outra baseada na sintaxe, isto é, no formato
sintático de uma fórmula.
Falta ainda uma última abordagem: a algébrica.
R. Ribeiro
Raciocínio Algébrico para Lógica Proposicional
Motivação (II)
Álgebra Booleana
A Álgebra Booleana consiste de um conjunto de
leis (axiomas), que permite provar que duas
fórmulas da lógica são equivalentes.
A Álgebra Booleana possui este nome em
homenagem a George Boole que foi o
matemático que desenvolveu a teoria da álgebra
booleana.
R. Ribeiro
Raciocínio Algébrico para Lógica Proposicional
Álgebra Booleana (I)
Operações Envolvendo Constantes
A∧⊥
A∨>
A∧>
A∨⊥
= ⊥ ∧
= > ∨
= A ∧
= A ∨
R. Ribeiro
nulo
nulo
ident.
ident.
Raciocínio Algébrico para Lógica Proposicional
Álgebra Booleana (II)
Simplicando uma Expressão Simples
(P ∧ >) ∨ ⊥ =
P ∧>=
P
R. Ribeiro
∨
∧
ident.
ident.
Raciocínio Algébrico para Lógica Proposicional
Álgebra Booleana (III)
Propriedades Básicas de
A
A∧B
A∧A
A∨A
A∧B
A∨B
(A ∧ B ) ∧ C
(A ∨ B ) ∨ C
⇒
⇒
=
=
=
=
=
=
∧
e
∨
A∨B
A
A
A
B ∧A
B ∨A
A ∧ (B ∧ C )
A ∨ (B ∨ C )
R. Ribeiro
imp. disj.
conj. imp.
∧
∨
∧
∨
∧
∨
idem.
idem.
com.
com.
assoc.
assoc.
Raciocínio Algébrico para Lógica Proposicional
Álgebra Booleana (IV)
Prove
(P ∧ ((Q ∨ R ) ∨ Q )) ∧ S = S ∧ ((R ∨ Q ) ∧ P )
(P ∧ ((Q ∨ R ) ∨ Q )) ∧ S =
(P ∧ (Q ∨ (Q ∨ R ))) ∧ S =
(P ∧ ((Q ∨ Q ) ∨ R )) ∧ S =
(P ∧ (Q ∨ R )) ∧ S =
S ∧ (P ∧ (Q ∨ R )) =
S ∧ (P ∧ (R ∨ Q )) =
S ∧ ((R ∨ Q ) ∧ P )
R. Ribeiro
Raciocínio Algébrico para Lógica Proposicional
Álgebra Booleana (V)
Distributividade e Leis de DeMorgan
A ∧ (B ∨ C )
A ∨ (B ∧ C )
¬(A ∧ B )
¬(A ∨ B )
= (A ∧ B ) ∨ (A ∧ C ) ∧ dist. ∨
= (A ∨ B ) ∧ (A ∨ C ) ∨ dist. ∧
=
¬A ∨ ¬B
DeMorgan
=
¬A ∧ ¬B
DeMorgan
R. Ribeiro
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Álgebra Booleana (VI)
Leis Envolvendo a Negação
¬>
¬⊥
A ∧ ¬A
A ∨ ¬A
¬(¬A)
=
=
=
=
=
R. Ribeiro
⊥ Neg. >
> Neg. ⊥
⊥ ∧ compl.
> ∨ compl.
A
Dupl. Neg.
Raciocínio Algébrico para Lógica Proposicional
Álgebra Booleana (VII)
Exemplo:
P ∧ ¬(Q ∨ P ) = ⊥
P ∧ ¬(Q ∨ P ) =
P ∧ (¬Q ∧ ¬P ) =
P ∧ (¬P ∧ ¬Q ) =
(P ∧ ¬P ) ∧ ¬Q =
⊥ ∧ ¬Q =
¬Q ∧ ⊥ =
⊥
R. Ribeiro
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Álgebra Booleana (VIII)
Leis Envolvendo Implicação
A ∧ (A → B )
(A → B ) ∧ ¬B
(A ∨ B ) ∧ ¬A
(A → B ) ∧ (B → C )
(A → B ) ∧ (C → D )
(A ∧ B ) → C
A→B
A→B
(A → B ) ∧ (A → ¬B )
A↔B
R. Ribeiro
⇒
B
⇒
¬A
⇒
B
⇒
A→C
⇒ (A ∧ C ) → (B ∧ D )
=
A → (B → C )
=
¬A ∨ B
=
¬B → ¬A
=
¬A
= (A → B ) ∧ (B → A)
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Álgebra Booleana (IX)
Exercício
Represente cada um dos conectivos da lógica
proposicional utilizando apenas os conectivos
e
¬
∨.
R. Ribeiro
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Álgebra Booleana (X)
Exercício Solução
Não é necessário nos preocuparmos com
A∨B
¬A
e
pois estas fórmulas possuem apenas os
conectivos
¬
e
∨.
Conjunção:
A∧B
¬¬(A ∧ B )
¬(¬A ∨ ¬B )
R. Ribeiro
=
=
(
dup.neg .)
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Álgebra Booleana (XI)
Exercício Solução
Implicação:
A → B = ¬A ∨ B
Bicondicional:
A↔B
(A → B ) ∧ (B → A)
¬(¬(A → B ) ∨ ¬(B → A))
¬(¬(¬A ∨ B ) ∨ ¬(¬B ∨ A))
R. Ribeiro
=
= (def. ) ↔
= ∧ (def.)
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Álgebra Booleana (XII)
Formas Normais
Algumas aplicações (algoritmos) exigem que
uma fórmula da lógica fornecida como entrada
esteja em um determinado formato.
Consideraremos duas formas normais
Forma Normal Conjuntiva
Forma Normal Disjuntiva
R. Ribeiro
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Álgebra Booleana (XIII)
Forma Normal Conjuntiva Denições
Denomina-se por literal uma variável ou a
negação uma variável.
Denomina-se por cláusula uma disjunção de
literais.
Uma fórmula está na forma normal conjuntiva se
esta é uma conjunção de cláusulas.
R. Ribeiro
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Álgebra Booleana (XIV)
Convertendo para a Forma Normal Conjuntiva
2
↔ usando
A ↔ B = (A → B ) ∧ (B → A)
Elimine → usando A → B = ¬A ∨ B
3
Empurrar as negações para que quem
1
Elimine
aplicadas somente a variáveis utilizando as leis
de DeMorgan.
¬(A ∧ B ) = ¬A ∨ ¬B
4
5
e ¬(A ∨ B ) = ¬A ∧ ¬B
Elimine a dupla negação ¬¬A = A
Distribua o ∨ sobre ∧:
A ∨ (B ∧ C ) = (A ∨ B ) ∧ (A ∨ C )
R. Ribeiro
Raciocínio Algébrico para Lógica Proposicional
Álgebra Booleana (XV)
Exercício
Converta as seguintes fórmulas para a forma normal
conjuntiva.
(A ∨ B ) → ¬(C ∨ D )
¬(A ∧ ¬B )
(A ↔ B ) ↔ ¬(C → D ∧ A)
R. Ribeiro
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Álgebra Booleana (XVI)
Forma Normal Disjuntiva
Dizemos que uma fórmula está na forma normal
disjuntiva se esta é uma disjunção de conjunções de
literais. Se
l
ij
são literais, onde 1
então:
n
m
_^
i
l
≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m
ij
=1 j =1
é uma fórmula na forma normal disjuntiva.
R. Ribeiro
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Álgebra Booleana (XVII)
Convertendo para a Forma Normal Disjuntiva
2
↔ usando
A ↔ B = (A → B ) ∧ (B → A)
Elimine → usando A → B = ¬A ∨ B
3
Empurrar as negações para que quem
1
Elimine
aplicadas somente a variáveis utilizando as leis
de DeMorgan.
¬(A ∧ B ) = ¬A ∨ ¬B
4
5
e ¬(A ∨ B ) = ¬A ∧ ¬B
Elimine a dupla negação ¬¬A = A
Distribua o ∧ sobre ∨:
A ∧ (B ∨ C ) = (A ∧ B ) ∨ (A ∧ C )
R. Ribeiro
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Álgebra Booleana (XVIII)
Exercício
Converta as seguintes fórmulas para a forma normal
disjuntiva.
(A ∨ B ) → ¬(C ∨ D )
¬(A ∧ ¬B )
(A ↔ B ) ↔ ¬(C → D ∧ A)
R. Ribeiro
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