Circuitos Elétricos - Instituto Monitor - e

Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais.
Circuitos Elétricos
a
i
óp
C
o
ã
n
s
o
d
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v
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R
.
a
d
a
iz
r
o
t
au
s
o
d
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t
os
s
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di
s.
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r
to
u
a
129
Cópia não autorizada. Reservados todos osCdireitos
autorais.
IRCUITOS ELÉTRICOS
3E
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v
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s
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R
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ó
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não
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3ª Edição
- Março/2006
Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais.
s.
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to
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a
Apresentação............................................................................................................ 7
s
to
i
Lição 1 – Divisor de Tensão
re
Introdução ................................................................................................................
9
i
d
1. Divisor de Tensão Sem Carga ........................................................................
9
s
1.1 Circuito com Tensão de Saída Fixa ou Constante .................................. 9
o
1.2 Circuito com Tensão de Saída Variável ousAjustável ........................... 10
o
2. Divisor de Tensão com Carga .......................................................................
15
d
to
Lição 2 – Divisor de Corrente
s
Introdução ..............................................................................................................
19
o
d
1. Divisor de Corrente Fixa ou Constante
....................................................... 19
a
2. Divisor Variável de Corrente .......................................................................
20
v
r
3. Divisor de Corrente com Limites
Mínimo,
Máximo
ou
Ambos
.................
20
e
s
Exercícios Propostos .............................................................................................
23
e
R
.
Lição 3 – Leis de Kirchhoff
a
Introdução ..............................................................................................................
27
d
a
1. Conceitos Básicos
.........................................................................................
27
z
i
2. As Leis de Kirchhoff
.................................................................................... 27
or Lei de Kirchhoff ...................................................................... 27
2.1 Primeira
t
u Lei de Kirchhoff ...................................................................... 28
2.2 Segunda
a
3. Utilização
das Leis de Kirchhoff para a Solução de Redes Elétricas ....... 29
oResolução
3.1
de Exercício com Mais Malhas ............................................. 29
ã
n Propostos ............................................................................................. 33
Exercícios
a
i
p 4 – Teorema de Thévenin
óLição
C Introdução .............................................................................................................. 35
Índice
1. Tensão Thévenin (Eth) e Resistência Thévenin (Rth) ..................................
2. Determinação de Eth e Rth para o Componente Escolhido ........................
2.1 Exemplo de Aplicação ............................................................................
Exercícios Propostos .............................................................................................
35
35
36
39
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○
○
○
○
129/5
○
Cópia Lição
não5 autorizada.
Reservados todos os direitos autorais.
– Teorema de Norton
Introdução ..............................................................................................................
1. Corrente e Resistência de Norton ...............................................................
2. Determinação de IN e RN para um Componente ........................................
2.1 Exemplo de Aplicação ............................................................................
Exercícios Propostos .............................................................................................
41
41
42
43
47
s.
i
a
r
to
u
a
Lição 6 – Teorema de Superposição de Efeitos
Introdução .............................................................................................................. 49
1. Método de Solução de Circuitos Elétricos .................................................. 49
Exercícios Propostos ............................................................................................. 52
s
o
it
e
r
di
Lição 7 – Conceitos e Tipos de Filtros
Introdução ..............................................................................................................
1. Tipos de Filtros .............................................................................................
2. Filtro Passa Baixa .........................................................................................
2.1 Características da Tensão de Saída .......................................................
3. Filtro Passa Alta ...........................................................................................
3.1 Características da Tensão de Saída .......................................................
4. Diferenciador ................................................................................................
5. Integrador .....................................................................................................
Exercícios Propostos .............................................................................................
s
o
d
o
t
os
55
55
56
56
56
57
62
63
64
s
o
d
Lição 8 – Corrente Alternada
a
v
Introdução ..............................................................................................................
67
r
1. Definição .......................................................................................................
67
e
s
2. Circuito com Corrente Alternada................................................................
68
e
2.1 Indutor e Indutância
............................................................................... 68
R
.
3. Circuito em CA com
Indutância
Pura ......................................................... 70
a
d .................................................................................... 71
4. Circuito RL em Série
a
..................................................................................... 73
5. Circuito RL Paralelo
iz
r
6. Capacitor .......................................................................................................
76
o
t
7. Correção do Fator de Potência (FP) ............................................................ 80
8. Impedância
au Complexa .................................................................................. 82
8.1 o
Circuitos RL ............................................................................................ 82
ã
8.2 Circuito RC .............................................................................................. 86
n
8.3 Circuitos Mistos RLC ............................................................................. 90
a
i
Exercícios
Propostos ............................................................................................. 97
p
ó
C Respostas dos Exercícios Propostos .................................................................... 100
Bibliografia ............................................................................................................ 101
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○
○
○
○
129/6
○
Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais.
Apresentação
s.
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r
O objetivo deste fascículo é a orientação e o aprendizado de todato
a
u
estrutura de circuitos especiais, principalmente os com vários circuitos
a
com número elevado de fontes e resistores.
s
to será
i
A transformação de fonte de corrente e fonte de tensão também
re para ajumostrada nesta disciplina, sendo apresentadas várias teorias
i
d
dar o aluno a este desenvolvimento.
s
oque correspondem à
Estaremos abordando, ainda, os Circuitos RLC
s
soma de impedâncias de um circuito alimentado
por tensão e corrente
do conhecimento
alternada. Esse estudo o ajudará a ampliaroseu
sobre as
t
perdas de energia de um circuito.
s
o
d
Bom estudo!
a
v
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○
○
○
○
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○
lição
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1
Divisor de Tensão
○
Introdução
○
○
○
I
○
O objetivo desta lição é o estudo de circuito usando Divisor de Tensão e Divisor de
Corrente. O circuito Divisor de Tensão é utilizado quando se deseja obter valores de tensão que não poderiam ser conseguidos através de simples associação de pilhas ou baterias comerciais, ou ainda, quando a tensão da
fonte que se possui é superior ao valor de tensão desejada.
○
○
○
○
○
○
○
○
V
○
s
o
d
o
t
os
s.
i
a
r
to
R1 u
a B
s
to R2
Vs
i
e
A
r
i
d Fig. 1
○
○
○
○
○
Analisando o circuito, temos:
Req = R1 + R2
○
sOnde:
o
d Req é a resistência equivalente.
a
v
r
A corrente no circuito será calculada
e
s
pela
expressão:
e
R
.
a
V
V
d
I=
=
a
R
R +R
z
i
1. Divisor de Tensão Sem
Carga
or
t
A tensão de saída Vs será a tensão na reu
O circuito Divisor de
Tensão Sem Carga
a
sistência R2. Pela lei de Ohm, temos:
é aquele onde a corrente de saída ou de carga
o
é nula (zero), ou seja,
ã não existe nada acoplado
Vs = R2 . I
aos terminais denVs.
a
i
p
Substituindo-se “I” pela sua expressão,
1.1 Circuito
com Tensão de
ó
temos:
Saída
C Fixa ou Constante
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
A tensão que se deseja obter através desse tipo de circuito é comumente denominada
de tensão de saída (Vs) e pode ser um valor
fixo ou variável. À saída deste circuito podemos ou não acoplar um outro, e, desta forma
podemos ainda dizer que os circuitos
divisores de tensão podem ser fixos ou variáveis e com ou sem carga.
1
2
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
eq
○
Este circuito nada mais é do que um circuito de resistores em série; através de cada
resistor, pode-se obter uma parcela da tensão total da fonte, conforme a figura 1.
R 2 .V
R1 + R2
○
○
○
○
○
○
○
○
Vs =
○
○
○
Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais.
○
○
○
○
129/9
○
Instituto Monitor
Cópia não autorizada.
Reservados
os direitos
Esta equação pode
ser denominada todos
equação para
o circuito autorais.
divisor de tensão, e podemos descrevê-la da seguinte maneira: “a
tensão de saída em um circuito divisor de tensão será igual ao produto da resistência em que se deseja obter esta tensão pela tensão
da fonte, dividido pela soma da resistência do circuito.”
Vejamos um exemplo de como dimensionar os valores das resistências do circuito, sabendo-se que a resistência vista pela fonte é de 3KΩ.
R1
B
30V
R2
A
Fig. 2
s
o
it
Vs = 20V
e
r
di
os
s.
i
a
r
to
u
a
s
o
d
R .Vto
Req = R1 + R2 = 3KΩ e V =
+R
R s
o
d
Substituindo os valores, temos:
a
v
r
R .30
se K ⇒ R = 60 K
20 =
⇒ R .30 =e20.3
3K
30
R
.
a
logo R = R d
− R = 3K − 2 K = 1K Ω
za
i
1.2 Circuito
orcom Tensão de Saída Variável ou Ajustável
t
1.2.1
au Circuito Seletor de Tensões
o
ã
n Nesse caso, a tensão de saída pode assumir vários valores sem
Temos:
2
s
1
2
2
2
1
eq
2
2
todos; os valores são intermediários entre dois consecutia assumir
i
vos, ou seja, ocorrem “saltos” de tensão. Esse circuito é uma vaóp riável do primeiro, utilizando-se ainda uma chave seletora e vários
C
resistores fixos.
Tomemos o ponto A, da figura 3, como um ponto comum para
todas as tensões.
Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais.
○
○
○
○
129/10
○
Instituto Monitor
Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais.
R3
Fig. 3
D
C
R2
V
B
R1
Vs
A
Com a chave na posição B, temos:
Vs = VBA = VR1
Na posição C, temos:
Vs = VCA = V(R1 + R2)
os
Na posição D, temos:
s
o
d
o
É importante não esquecer que a tensão
assumir alguns
t maspode
valores entre 0 (zero) e o valor da fonte,
não
poderá
assumir
s
o
todos eles.
d
a
vpara o circuito, os valores das tenVejamos como determinar,
r
sões de saída em cada uma e
das posições da chave.
s
e
R
.
a
d
a
R4
iz
1K5Ω
+r
o
t
V = 17V
R3
u
1KΩ
3
a o
R2
4
ã
2
3K3Ω
n
Vs = VDA = V(R1 + R2+ R3) ou ainda Vs = V
a
i
óp
C
s
o
it
e
r
di
s.
i
a
r
to
u
a
1
R1
B
2K7Ω
A
Vs
Fig. 4
Posição 1
=
+
+
+
=
+
+
+
=
=
=
Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais.
○
○
○
○
129/11
○
Instituto Monitor
Cópia nãoPosição
autorizada.
Reservados todos os direitos autorais.
2
VS2 =
( R1 + R2 ).V
(2 K 7 + 3K 3).17 6000 . 17
=
=
= 12V
R1 + R2 + R3 + R4
8K 5
8500
Posição 3
VS3 =
( R1 + R2 + R3 ).V
(2 K 7 + 3K 3 + 1K ).17 7000 . 17
= 14V
=
==
R1 + R2 + R3 + R4
8K 5
8500
ou
s
s.
i
a
r
to
u
a
R4 .V
1K 5.17
1500.17
o
VS3 = V - VS4 =
= VS3 = 17 =
== 17 -it
R1 + R2 + R3 + R4
8K 5
e 8500
25500
17 = 17 - 3 = 14V
8500
s
o
d
o
t
Posição 4
os
r
di
s
o
d
a
1.2.2 Tensão Variável entre
0
v e V (0 < Vs < V)
r
eapenas um potenciômetro ou resistor
s
Nesse caso, utilizamos
e aos terminais da fonte de tensão (figuvariável ligado diretamente
R
.
ra 5).
a
d
a
A resistência
equivalente ao circuito será a própria resistênz
i
cia nominal rdo potenciômetro (Rpot). A tensão de saída Vs será obo ponto A de referência do circuito e o ponto C, contato
tida entreto
móvel do
au potenciômetro.
oAlterando-se a posição do contato móvel do potenciômetro,
ã
n
V S 4 = V = 17V
obtemos todos os valores possíveis de tensão V entre zero e o valor
s
a
da
fonte,
pois
estando
o
contato
móvel
parado
em
uma posição quali
p
teremos dividido a resistência do potenciômetro em duas reó quer,
sistências (R1 e R2).
C
Fig. 5
R1
R1
ou
Rpot
R2
R2
Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais.
○
○
○
○
129/12
○
Instituto Monitor
○
○
autorizada. Reservados todos
os direitos
Para as demais
posições do autorais.
contato mó○
vel, a tensão Vs será a tensão sobre R1 mais
um pedaço R do potenciômetro, até atingir o
valor máximo, quando forem coincidentes os
pontos C e D. Neste caso, Vs = V (da fonte).
○
○
Cópia não
Onde:
Rpot = R1 + R2
○
○
○
Observando a figura 6, temos:
○
○
B
○
D
○
C.
s
i
V
B ra
V
to Vs
R1
Vs
u
A
a
A
s
Fig. 6
o
Fig.
7
it
Obs.: o valor nominal do potenciômetro é
e
determinado considerando-o um resistor
ir
d
2º) Neste caso, o limite será para um valor
fixo.
máximo.
osNotemos que, em relação ao
exemplo
a) Ponto C é coincidente
s anterior, ocorre basicamente a ino
versão entre os pontos A e D das figuras.
com o ponto A: Vs = 0
d
o
t Quando o contato móvel do potenciômetro
b) Ponto C é coincidente
s
com o ponto B: Vs = VBA = V = VRpot
o (ponto C) estiver coincidindo com o ponto B, a
d
tensão Vs será tensão sobre o potenciômetro,
a ou
ainda, a tensão no resistor R1.
c) Para o ponto C numa posição qualquer, di- v
r
ferente de A e B: Vs poderá assumir quale
D
s
quer valor diferente de zero e V da fonte,
e
R1
como em controles de volume e balanço
R de
.
canais estereofônicos, etc.
a
B
V
d
C
Rpot
1.2.3 Tensão Variável comza
i
r < VS < V) ou
Limite Inferior (Vmín
Vs
o
A
t
Limite Superior (0 < Vs < Vmáx)
Fig. 8
au
Em um circuito,
oàs vezes é necessário liã
mitar a variação da tensão de saída. O cirn
Para as demais posições do contato mócuito que permite limitar os valores a partir
a
i
vel, a tensão Vs assumirá valores menores
de um valor mínimo
ou até de um valor máxido que o da tensão da fonte, diminuindo até
mo é praticamente
o mesmo; muda apenas o
óp
C
zero quando o ponto C coincidir com o ponponto de referência da tensão (ponto A). Ve○
Rpot
○
○
C
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
Rpot
to A.
○
○
○
○
jamos dois exemplos.
Existe ainda a possibilidade de se limitar a tensão em um valor mínimo e um máximo no mesmo circuito (Vmím ≤ Vs ≤ Vmáx), o
que pode ser obtido pela combinação dos circuitos anteriores, conforme a figura 9.
○
○
○
○
○
○
○
1º) Neste caso, o limite será para um valor
mínimo, pois quando o contato móvel do
potenciômetro (ponto C) estiver coincidindo com o ponto B, a tensão Vs será a tensão sobre o resistor R1.
○
○
○
Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais.
○
○
○
○
129/13
○
Instituto Monitor
Cópia não autorizada. Reservados todos
os direitos autorais.
E
R1
D
Rpot
V
Fig. 9
C
B
R2
Vs
s.
i
Neste caso, o limite inferior será o valor da tensão sobre o ra
resistor R2 (ponto C coincidente com o ponto B), e o limite superior to
u
será a tensão da fonte menos a tensão sobre o resistor R1 (ponto C
a
coincidente com o ponto D).
s
o
it
Portanto, podemos afirmar que a tensão de saída Vs assumirá
e
r
valores entre VR2 e (V - VR1).
di
V £V £V -V
os
s
o
d sem carga, de modo
Para projetar um circuito divisor da tensão
o
t fonte de 220V, que pode
que 88V ≤ Vs ≤ 140V, dispõe-se de uma
s
fornecer uma potência de 800mW. o
d
a
Da fonte, temos que:
v
r
e
s
e
R
.
R1
a
d
C
a
Rpot
z 200V
i
Fig. 10
or
t
R2
Vs
u
a
A
o
2
+3
nã 2
A
R2
a Pf
i
óp
C
=
S
R1
V
200
40000
40000.10
=
= R eq =
=
=
R eq
800
800.10 - 3
800.10 - 3
= 50 KΩ
Portanto, para o circuito, temos:
Req = R1 + Rpot + R2 = 50KΩ
Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais.
○
○
○
○
129/14
○
Instituto Monitor
Cópia não autorizada.
Reservados todos os direitos autorais.
Para o valor mínimo:
V S m in = V R 2 =
V . R2
200. R 2
= 88 =
=
Re q
50K
200. R 2 = 88.50K = R 2 =
88.50 K
= 22 K Ω
200
Para o valor máximo:
=
+
=
=
+
+
⇒
⇒
+
=
⇒
_
=
⇒
Portanto,
2. Divisor de Tensão com Cargas
a
i
óp
C
s
o
d
o
t
os
s
o
it =
= e
r
di
=
s.
i
a
r
to
u
a +
o
d
a
Para este caso, basta acrescentarmos
a qualquer um dos circuiv
r
tos anteriores uma carga RL entre
os terminais de saída. Irá ocorrer,
e do circuito, sendo que a corrente
na saída, uma divisão na corrente
s
que percorre a carga seráedenominada IL, e a corrente no resistor de
R
saída do circuito será. denominada corrente de dreno (Id).
a
d
Vejamos o seguinte
circuito:
za
i
I
or
t
R1
au
B
o
Fig.
11
V
IL
R2
R L Vs = VL
nã
Id
A
A resistência equivalente do circuito será o resultado da associação em paralelo das resistências entre os pontos A e B, em série
com R1.
Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais.
○
○
○
○
129/15
○
Instituto Monitor
Cópia não autorizada.
A tensão de saídaReservados
será calculada pelatodos
equação:os direitos autorais.
VS =
a
i
óp
C
R2 . R L
.V
R2 + R L
V. R 2 . R L
, simplificando temos: V = V =
S
L
æ R .R æ
R1 R 2 + R1 R L + R 2. R L
R1 + çç 2 L çç
R
+
R
.
L è
è 2
is
a
r
Determinemos o valor da tensão de saída do circuito em vazio (Vso). o
t
au
s
o
2,2KΩ
it
R1
Fig. 12
e
B ir
d
110V
3,3KΩ s
Vs
R2
o
o
s
o A
d
to
V. R2
11.3,3K
36,3o
Ks
Vso =
=
=
dK = 6,6 K
R1 + R2 2,2 K + 3,3K = a
5,5
v
r
e A e B, uma carga de 1KΩ, vamos
Ligando-se, entre os pontos
s
determinar, ainda para oecircuito, o novo valor da tensão de saída.
R
.
a
d
za
i
2,2KΩ
R1
r
Fig. 13
A
o
t
11V
au
R L 1KΩ
R2
3,3KΩ
Vs
o
B
nã
Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais.
○
○
○
○
129/16
○
Instituto Monitor
Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais.
Vs =
V. R2. RL
11.3,3K.1K
=
R1.RL + R1.R2 + R2 .RL 2, 2 K .1K + 2, 2 K .3,3K + 3,3K .1K
Vs =
11.3300.1000
36300000
=
2200.1000 + 2200.3300 + 3300.1000
2200000 + 7260000 + 3300000
Vs =
36300000
= 2,84V
12760000
ou
R ' = Re qAB =
R1. R2
1K .3,3K
1.103.3,3.103
3,3.106
=
=
=
RL + R2 1K + 3,3 K 1.103 + 3,3.10 3 4,3.10 3
6
Re qAB = 0,7674.10. 10
VS =
-3
3
= 0,7674.10 = 767,4Ω
V . R'
11.767, 4
=
= VS = 2,84V
R1 + R ' 2,2K + 767,4
R1
Fig. 14
s
o
d
2,2KΩ
o
t
os
s
o
it
e
r
di
s.
i
a
r
to
u
a
B
s
o
d R2 3,3KΩ Vs RL
a
v
r
A
e
s
e
R
Usando o mesmo. processo para uma carga de 25KΩ
a
d
V ..R
z2aRL
VS =
i
R1.RL + rR1.R2 + R2 .RL
o
t
11.3,3K.25K
VS = au
2,2K.25K + 2,2K.3,3K + 3,3K.25K
o
11.3,3.10 3.25.10 3
nVSã=
3
3
3
3
3
3
11V
2,2.10 .25.10 + 2,2.10 .3,3.10
a
i
907,50.10 6
óp VS =
C
55.106 + 7,26.10 6 + 82,5.10 6
VS =
Cópia
25KΩ
+ 3,3.10 .25.10
907,50.10 6
= 6,27 V
144,76.10 6
Analisando o exemplo, podemos afirmar que à medida que aumenta o valor da resistência RL aumenta o valor da tensão de saída
Vs, aproximando-se cada vez mais do valor da tensão de saída em
nãovazio
autorizada.
Reservados todos os direitos
(Vso).
○
○
○
○
129/17
○
autorais.
lição
Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais.
2
s.
i
a
r
to
u
a
Divisor de Corrente
Como:
○
○
○
Introdução
○
s
o
it
e
ir
R .R
V=
.I d
R +R s
o
s
o
Podemos
ainda obter:
d
o
t
s
R .I
R .R
R
I
o
I =
. ⇒I =
.I
⇒I =
d
R
R
R
R
R
R
+
+
1. Divisor de Corrente
a
v
Fixa ou Constante
r
e
R .I
s
e, de forma análoga, I =
Tomemos como exemplo um circuitoecom
R +R
R
dois resistores fixos em paralelo. .
a
Desse modo, podemos afirmar que “uma
d
vez
conhecida a corrente total do circuito
I
a
z
paralelo, as correntes em cada resistor do cirri I2
I1
cuito serão calculadas multiplicando-se essa
o
+
t
corrente pelo resistor, do qual não se deseja
R2
R1 u
V
a
determinar a corrente, dividido pela soma das
o
resistências do circuito”.
nã
a Fig. 15
Determinemos as correntes I1 e I2 do ciri
cuito representado na figura 16.
óp a Lei de Ohm, podemos escreUtilizando
C
ver:
V = Req .I
○
○
○
○
○
○
De forma análoga ao circuito divisor de
tensão, às vezes se faz necessário limitar a
corrente elétrica em um circuito ou parte
dele; neste caso, usamos o circuito divisor de
corrente, que basicamente nada mais é do que
um circuito de resistências em paralelo, onde
a corrente total do circuito é dividida entre
as várias resistências do mesmo. Esta lição
tem por objetivo, o estudo das Leis de
Kirchhoff.
2
○
○
1
2
○
○
○
○
○
○
○
○
1
○
○
eq
1
2
2
1
1
○
1
1
2
1
1
2
○
○
○
○
1
○
1
○
2
2
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
1
○
I2
I1
I = 2A
○
○
V
V
e I2 =
I1 =
R1
R2
R1
1KΩ
R2
3KΩ
○
○
○
○
○
V
○
Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais.
○
Fig. 16
○
○
○
○
○
129/19
○
Instituto Monitor
○
○
Cópia não autorizada. Reservados todos
osa posição
direitos
autorais.
Variando-se
do cursor
móvel do
○
I .R1
2.1K
2K
=
⇒ I2 =
= 0,5 K
R1 + R2 1K + 3K
4K
○
I2 =
potenciômetro (C), iremos variar as intensidades das correntes I1 e I2, de modo que:
○
I .R 2
2 .3 K
6K
=
⇒ I1 =
= 1,5 A
R1 + R2 1K + 3K
4K
○
○
I1 =
○
○
○
○
a) Quando o ponto C estiver coincidindo com
o ponto A, teremos: R2 = Rpot, logo I1 = I e
I2 = 0.
○
.
s
i
b) Quando o ponto C estiver coincidindo com
a
o ponto B, teremos: R1 = Rpot,rlogo I2 = I e
Neste caso, utilizaremos um potenciôto
I1= 0.
metro com resistência nominal Rpot. A ligau
a
ção será efetuada para que a ligação em paPodemos
então
concluir
que as duas cors
ralelo necessária ocorra entre as duas frao
rentes (I1 e I2) variam
ções de resistências que constituem o
it seus valores entre 0
(zero) e I.
e
potenciômetro e é variável, pois, alterandoir
se o posicionamento do cursor móvel do
d
potenciômetro (C), alteram-se os valores das
3. Divisor de
s Corrente com Limites
o
frações correspondentes a cada trecho do
Mínimo, Máximo ou Ambos
s
potenciômetro, lembrando que a soma das
o
resistências do circuito permanece constand alguns circuitos é necessário limitar
Em
o
te e igual a Rpot.
a tvariação da corrente elétrica em um coms
o ponente ou em um determinado trecho do cird
cuito. Para simplificarmos a análise, vamos
a
I1
I
considerar que a corrente I1 corresponde à
v
A R
r
corrente de saída (Is) do divisor.
e
V
Rpot s
C
e
I2 B R R
A figura 18 mostra um divisor com limite
.
máximo de corrente Is, pois com o contato
a
móvel do potenciômetro no ponto A, R2 será
d
ou
a
igual a Rpot, e R1 igual a R.
iz
r
I1
o
I
t
R1
I
I1
aCu
V
A
o
I2
Rpot
V
ã
R2
C
n
I2
B
R
a Fig. 17
i
p
Fig. 18
Onde: ó
C
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
2. Divisor Variável de Corrente
○
○
○
○
1
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
2
○
I1 será igual a zero quando o contato móvel estiver coincidindo com o ponto B, pois
R2 = 0 (zero) e R1 = Rpot + R. Portanto, I1 será
uma corrente que irá variar de zero até I1máx.
○
○
Rpot = R1+R2
○
○
○
Cópia não autorizada.
Se alterarmos a posição da resistência R,
passando-a para o ramo percorrido por I2
Reservados
todos os direitos autorais.
(conforme a figura 19) teremos um divisor de
○
R 2 .I
R .I
e I2 = 1
e
R pot
R pot
○
I1 =
○
○
○
○
○
○
Desse modo, podemos escrever:
○
○
○
○
129/20
○
Instituto Monitor
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
Cópiacom
não
autorizada.
Reservados
todos
os direitos
autorais.
corrente
limite
mínimo, pois quando
o
b) Quando
o contato
móvel estiver
coincidincontato do potenciômetro estiver no ponto B,
do com o ponto B, teremos:
R1 será igual a Rpot, e R2 igual a R; e ainda,
quando o contato do potenciômetro estiver
Ro
no ponto A, R1 = 0 e R2 igual a R mais Rpot, o
I S min = I 1 min =
.I
Ro + R pot + R
que significa I1 igual a I.
○
s.
i
a
I2
r
V
B
o
tcom
1ª) Ao invés de trabalharmos
geradores
R
u
de tensão, poderíamosasubstituí-los por
s(ideais), que são geFig. 19
geradores de corrente
o
radores que mantêm
it a corrente do circuiPortanto:
e
to constante para
r qualquer que seja a teni
são aplicada.
R.I
d
I
=I
=
e I
=I
=I
s
R+R
o
s
o I
ou seja, I1 será uma corrente que irá variar
d
ou
de I1mím até I.
toV
I
s
I
o
Para finalizar a análise do circuito divisor
d
de corrente, basta efetuar a composição dos a
v
dois circuitos divisores com limites mínimor
Fig. 21
e
e máximo.
es
R
2ª) Nos casos analisados, quando a corrente
Assim, teremos: I1mím < Is < Imáx.
a
de saída era a máxima e igual à corrente
Ad
total, ela era a corrente de curto-circuito
za I1
I
i
do gerador de tensão.
r Rpot
C
o
t I2 B
R
V
Exemplo:
u
a
Ro
o
I1
I2
nã Fig. 20
a
I = 2mA
i
p
R2 = 3KΩ
R1 = 2KΩ
ó o contato móvel estiver coincidina) Quando
C
do com o ponto A, teremos:
A
○
I1
Rpot
○
Vejamos algumas considerações importantes:
1 min
Smáx
1máx
○
S min
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
C
○
I
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
pot
○
○
○
.I
○
Ro + R pot + R
○
○
Fig. 22
○
○
○
I Smáx = I 1máx =
RO + R pot
○
○
○
Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais.
○
○
○
○
129/21
○
Instituto Monitor
Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais.
I1 =
I .R2
2m.3K
2.10−3.3.103
6
6.10−3
=
=
=
=
R1 + R2 2 K + 3K 2.103 + 3.103 5.103
5
I1 = 1, 2.10−3 = 1,2mA
I2 =
I .R1
2m.2 K
2.10−3.2.103
4
4.10−3
=
=
=
=
5
R1 + R2 2 K + 3K
2.103 + 3.103 5.103
s.
i
a
r
Dualidade - A partir de um gerador de tensão, podemos obter o to
gerador de corrente equivalente, ou vice-versa.
au
s
o
it
A
e
r
di
A
os
s
+
o
d
rI
E
o
t
s
rV
o
d
a
B
v
r
B
e
s
e
R
Fig. 23
.
a
d
a
z
Curiosidaderi
o
t
au
André-Marie
Ampère (1775 – 1836)
o
ã francês, desenvolveu diversos trabalhos sobre a
nFísico
I 2 = 0,8.10−3 = 0,8mA
a
i
óp
C
aplicação da matemática na física e realizou diversos
experimentos e descobertas no campo do eletromagnetismo. Analisou profundamente os fenômenos eletrodinâmicos e descobriu o princípio da telegrafia elétrica.
Em 1826, publicou a teoria dos fenômenos eletrodinâmicos. Segundo ele, todos os fenômenos elétricos, do magnetismo terrestre ao eletromagnetismo, derivam de um princípio único: a ação
mútua de suas correntes elétricas. Essa descoberta é uma das
mais importantes da física moderna. A unidade de medida de
corrente elétrica é ampère em sua homenagem.
Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais.
○
○
○
○
129/22
○
Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais.
Exercícios Propostos
s.
i
a
r
o R2.
1 – No Divisor de Tensão da figura 24, determine a tensão V2 no resistor de tsaída
u
a
R1 = 1 KΩ
s
to
i
V0 = 10 V
e
r
Fig. 24
i
R
=
4K7Ω
V2
2
d
s
o
s
o
d
to
s
o
d
a
v
r
e
s
e
R
.
a
d
a
iz
r
o
t
au
o
ã
n
a
i
p
ó
C
Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais.
○
○
○
○
129/23
○
Instituto Monitor
Cópia
não
autorizada.
Reservados
todos em
ossérie,
direitos
2 – Um
enfeite
de natal é formado
por 50 lâmpadas coloridas
conforme autorais.
mostra
a figura 25. Cada lâmpada está especificada para 1,5 V e 6 mW de potência. Determine o valor do resistor R1 para que o enfeite possa ser alimentado pela rede elétrica de 110 V.
R1
L1
Fig. 25
110 V
L2
L50
a
i
óp
C
o
ã
n
s
o
d
a
v
r
e
s
e
R
.
a
d
a
iz
r
o
t
au
s
o
d
o
t
os
s
o
it
e
r
di
s.
i
a
r
to
u
a
Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais.
○
○
○
○
129/24
○
Instituto Monitor
Cópia
não
autorizada.
Reservados
todos
os direitos
3 – Um
aparelho
de CD portátil
funciona, em condições
normais
de operação, autorais.
com as
seguintes especificações: 3 V/450 mW. Qual deve ser o valor do resistor R2 para que
esse aparelho opere a partir de uma fonte de 12 V, conforme a figura 26?
Fig. 26
R1
47Ω
12 V
R2
a
i
óp
C
o
ã
n
s
o
d
a
v
r
e
s
e
R
.
a
d
a
iz
r
o
t
au
s
o
d
o
t
os
s.
i
a
r
to
u
Aparelho de CD
a
3V/450mW
s
to
i
re
i
d
Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais.
○
○
○
○
129/25
○
Instituto Monitor
Cópia
não autorizada.
Reservados
os direitos
autorais.
4 – Sabemos
que no circuito representando
na figuratodos
27 a potência
dissipada pela
fonte
é de 36mW, determine o valor das resistências.
R1
18 V
R2
Fig. 27
16 V
R3
a
i
óp
C
o
ã
n
6,6 V
s
o
d
a
v
r
e
s
e
R
.
a
d
a
iz
r
o
t
au
s
o
d
o
t
os
s
o
it
e
r
di
s.
i
a
r
to
u
a
Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais.
○
○
○
○
129/26
○
lição
Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais.
3
Leis de Kirchhoff
R1
○
Introdução
B
○
○
○
A
○
As Leis de Kirchhoff nos permitem solucionar circuitos elétricos com qualquer grau
de complexidade. Entende-se por solucionar
circuitos elétricos a determinação de valores e sentidos de corrente e de tensões para
qualquer dispositivo de circuito.
○
○
○
○
○
○
V1
○
○
G
os
s
R3
o
it
e
r
L1
di
R4
H
s.
i
a
r
R2
to C
u
a
V2
D
R5
○
○
Fs
E
o
R6
L2
d
o
t 28
Fig.
s
o
d
a • 4 malhas externas: ABCDHGA,
v
ABHDEFGA, BCDEFGHB e
r
1. Conceitos Básicos
e
ABCDEFGA
s
e
Rede Elétrica - Associação de componentes
• 3 malhas internas: ABHGA, BCDHB e
R
elétricos, ativos ou passivos, interligados
de
.
DEFGHD
a
qualquer maneira, desde que formando
mad
• 6 ramos: BH, DH, GH, GAB, BCD e DEFG
a
lhas. É o mesmo que circuitos elétricos.
z
ri que compõe
• 4 nós: B,D,G e H (os pontos A, C, E e F não
Malha - Todo percurso fechado
o
são nós)
uma rede elétrica. Pode tser interna ou exu
terna.
a
2. As Leis de Kirchhoff
o
Ramo - Trecho qualquer
de um circuito eléã
trico compreendido
n entre dois nós consecu2.1 Primeira Lei de Kirchhoff
tivos.
a
i
Nó - Ponto
ópde interligação de um circuito elé“A soma das correntes elétricas que enC tem três ou mais fios de ligação.
trico que
tra num determinado nó é igual à soma das
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
As Leis de Kirchhoff formam o alicerce
de toda a análise das redes elétricas e apresentam vários teoremas, como Thevenin,
Norton, Superposição e outros, que serão estudados nas próximas lições.
correntes elétricas que sai desse mesmo nó”.
Esta lei também é conhecida como Lei dos
Nós.
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
Para o circuito elétrico da figura 28, vamos determinar as malhas externas e internas, os ramos e os nós que ele contém.
○
○
○
Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais.
○
○
○
○
129/27
○
Instituto Monitor
Cópia nãoExemplo:
autorizada. Reservados todos os direitos autorais.
I1
I2
I6
I3
Fig. 29
A
s.
i
a
r
to
u
Para a figura 29, podemos concluir que I1 + I4 = I2 + I3 + Ia
5+
I6. Para esta conclusão, basta aplicar-se a 1ª Lei de Kirchhoff
s
o
no nó A.
it
e
r
2.2 Segunda Lei de Kirchhoff
di
“A soma das tensões elétricas em uma malha
os qualquer, num
determinado sentido, é sempre igual à soma s
das tensões elétricas
o
dessa mesma malha no sentido oposto”. Esta lei também é conhed
cida como Lei das Malhas.
o
t
s
Nas figuras 30a e 30b, podemosoconcluir:
d
a
V1
V2
v
r
e
s
e
Vb2
Vb1 V
Vb3
Vb3
R
Vb1
b2
V1
.
Vb
a
Vb
d
V
zVa3 2
i
V3
or
t
u
Fig. a
30a
V4
V5
o
Fig. 30b
nã
I5
I4
a Na figura 30b, podemos aplicar a 2ª lei de Kirchhoff três vezes,
i
óp isto é, uma para cada malha, uma vez que o circuito possui duas
C
malhas internas e uma externa.
É importante lembrar que para a aplicação da 2ª lei de
Kirchhoff é preciso respeitar as polaridades das tensões elétricas
analisadas.
Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais.
○
○
○
○
129/28
○
Instituto Monitor
○
○
○
○
Cópia
não
autorizada.
Reservados
todos
os direitos autorais.
Isolando
VB temos:
3.
Utilização
das
Leis de Kirchhoff
para a Solução de Redes Elétricas
○
○
- VB = - VA + V1 + V2 + V3 + V4
○
Como regra geral, atribuímos um sinal (+)
para um aumento de tensão e um sinal (-) para
as quedas de tensão, na fórmula em que a
soma das tensões é igual a zero (2ª Lei de
Kirchhoff).
○
○
○
Multiplicando por (-1):
○
VB = VA – V1 – V2 - V3 – V4
○
○
s.
i
a
r
VB = 6 V
Exemplo:
to
u
3.1 Resolução de Exercício
a
Determine a tensão VB no circuito abaixo:
com Mais Malhas s
V2 = 3V
toA
i
re
i
d
I
V1 = 3V
V3 = 6V
R1
R2
R3
s
5Ω o
4Ω
8Ω
s
VA
VB = ?
20V
o
12V
V2
5V
V3
V1
6V
d
o
t
V4 = 2V
s
B
o
d
Fig. 32
Fig. 31
a
v
r
1º passo) Adotar uma corrente para cada maee
Para resolver, partimos do (+) da bateria
s
lha (sentido horário ou anti-horário).
e ao
percorremos todo o circuito até chegarmos
R
(-) da mesma. Ao passarmos pelos resistores,
.
2º passo) Estabelecer as correntes no nó A.
consideramos as quedas, atribuindoasinal (-) a
d
elas.
a
A
z
i
Fig.
33
I1
I2
A toda bateria no caminho
or que estiver em
I3
t
oposição, daremos sinalu (-) e, em caso cona
trário sinal (+).
o
Pela Lei dos Nós: I1 + I3 = I2
Obs.: não esqueça
nã que cargas de mesmo sinal se repelem
a e de sinais opostos se atrai
3º passo) Identificar todas as quedas de tenem.
p
são no circuito, lembrando que:
ó
C
• V = R.I
Assim, temos:
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
VB = 20 – 3 – 3 – 6 – 2
○
• O sentido da queda de tensão é sempre contrário ao sentido da corrente.
○
○
○
○
○
○
○
○
VA – V1 – V2 – V3 – VB – V4 = 0
○
○
○
Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais.
○
○
○
○
129/29
○
Instituto Monitor
Cópia não autorizada.
Reservados
todos os direitos autorais.
I (adotado)
I (adotado)
1
2
A
I2
I1
I2
I3
-
-
5Ω R.I1
+
4Ω
R.I3
+
8Ω
R.I2
+
1
2
+
+
+
6V
5V
-
-
-
12V
s.
i
a
r
to
u
a
s
o
it
e
Fig. 34
ir
d
Lembre-se que a flecha de tensão é sempre contrária à corrente que passa pelo resistor, mas nas fontes o sentido
os é sempre do
(-) para o (+).
s
o
d
o
4º Passo) Levantamento das equações das
malhas
1 e 2. Estas equat
ções se referem à soma das quedas sde tensão de cada malha. O
termo será positivo (+) se tiver o mesmo
do sentido da corrente adotada, caso contrário, será negativoa(-).
v
r
e
Malha 1
s
e
6 – 5.I1 + 4.I3 – 5 = 0 . R
a
d
Malha 2:
za
i
5 – 4.I3 – 8.I
o2r– 12 = 0
t
u
Como:aI1 + I3 = I2 ⇒ I3 = I2 – I1
o
ã
Substituindo
nas equações, temos:
n
B
a
i
6 – 5.I + 4.(I – I ) – 5 = 0
óp 5 – 4.(I12 – I1) 2- 8.I12 – 12 = 0
C
Aplicando a propriedade distributiva fica:
6 – 5.I1 + 4.I2 – 4.I1 – 5 = 0
5 – 4.I2 + 4.I1 – 8.I2 – 12 = 0
Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais.
○
○
○
○
129/30
○
Instituto Monitor
Cópia nãoSomando
autorizada.
Reservados
todos os direitos autorais.
os termos comuns
temos:
- 9.I1 + 4.I2 + 1 = 0 ( × 3 )
+ 4.I1 – 12.I2 – 7 = 0
- 27.I1 + 12.I2 + 3 = 0
(+)
+ 4.I1 – 12.I2 – 7 = 0
- 23.I1 + 0 – 4 = 0
Somando as equações
- 23.I1 = 0 + 4
I1 = -
4
23
I1 = - 0,17A
os
s
o
it
e
r
di
s.
i
a
r
to
u
a
O sinal negativo representa que foi adotado o sentido errado
para a corrente da malha 1, e não interfere em nada. Substituindo
I1 na malha 2 temos:
s
o
d
o
t
4.I1 – 12.I2 – 7 = 0
s
o
4.(- 0,17) – 12.I2 – 7 = 0
d
a
v
r
- 0,68 – 12.I2 – 7 = 0
e
s
e
- 12.I2 = + 7 + 0,68
R
.
a
7,68
d
I2 = 12
a
iz
r
o
I2 = - 0,64A
t
au
Novamente
temos o sinal negativo indicando que adotamos seno
tido
errado
de
corrente.
nã
a I3 = I2 – I1
i
óp I3 = - 0,64 – (-0,17)
C
I3 = - 0,47A
Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais.
○
○
○
○
129/31
○
Instituto Monitor
Cópia não autorizada.
Reservados
todos
os direitos
Note que os sinais
não interferem, porém,
ao fazer
as substi- autorais.
tuições nas equações, devemos considerá-lo.
Resumo
1º passo Adotar um sentido para as correntes de malha.
2º passo Estabelecer correntes dos nós.
3º passo Identificar todas as quedas de tensão.
4º passo Fazer o levantamento das equações da malha.
5º passo Resolver o sistema de equações.
s
o
it
e
r
di
6º passo Substituir para determinação das correntes.
Curiosidade
os
s
o
d
Físico alemão, trabalhou como professorode física e mat
temática. Em 1826, publicou seu trabalho “Exposição
s
Matemática das Correntes Galvânicas”,
o demonstrando
d
as Leis de Ohm. A unidade de
medida
de resistência
a
v
elétrica é ohm em sua homenagem.
r
e
es
R
.
a
d
za
i
or
t
au
o
ã
n
George Simon Ohm (1789 – 1854)
a
i
óp
C
s.
i
a
r
to
u
a
Anotações e Dicas
Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais.
○
○
○
○
129/32
○
Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais.
Exercícios Propostos
1 - Calcule a corrente e as quedas de tensão através de R1 e R2.
Fig. 35
R1
R2
20Ω
10Ω
I1
+
40V
-
a
i
óp
C
o
ã
n
+
s
o
20V
d
a
v
r
e
s
e
R
.
a
d
a
iz
r
o
t
au
s
o
d
o
t
os
s
o
it
e
r
di
s.
i
a
r
to
u
a
+
50V
-
Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais.
○
○
○
○
129/33
○
Cópia
não autorizada.
Reservados
direitos
autorais.
2 - (Concurso
dos Correios 01/2003)
No circuito datodos
figura 36,os
calcule
a tensão sobre
o
resistor 3.
Fig. 36
R1
R2
15Ω
10Ω
+
+
R3
3V
12Ω
3V
-
-
a
i
óp
C
o
ã
n
s
o
d
a
v
r
e
s
e
R
.
a
d
a
iz
r
o
t
au
s
o
d
o
t
os
s
o
it
e
r
di
s.
i
a
r
to
u
a
Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais.
○
○
○
○
129/34
○
lição
Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais.
4
Teorema de Thévenin
Introdução
s
o
it
e
r
di
s.
i
a
r
to
u
a
O teorema de Thevenin permite calcular a tensão e a corrente
aplicadas em um determinado componente sem a necessidade de
calcular outros parâmetros do circuito. Isso é obtido representando todo o circuito que envolve o componente por apenas um gerador equivalente, composto por uma fonte denominada tensão
Thevenin (Eth) e uma resistência denominada resistência Thevenin
(Rth). Vamos estudá-los.
os
+
-
a
i
óp
C
V1
s
o
d Thévenin (R )
1. Tensão Thévenin (Eth) e Resistência
o
th
t
s
Os valores de Eth e Rth são característicos
e próprios para cada
o
d
componente analisado. O grandeainconveniente
deste método é que
v
para a determinação do valor de
Eth há, às vezes, necessidade de se
r
utilizar outro método, comoeKirchhoff, Maxwell, etc.
s
e
A figura 37 mostraRum circuito elétrico e, ao seu lado, o mesmo
. pelos valores de Eth e Rth em relação à recircuito representado
a
sistência de 1KΩ.d
za
i
Rth
rA
o
t
R2
R1 u
a
o
+
+
ã
1KΩ
n
-
V2
Eth
A
1KΩ
-
B
B
Fig. 37
2. Determinação de Eth e Rth
para o Componente Escolhido
Para a determinação de Eth e Rth, deve-se retirar do circuito o
a ser analisado,
ficando em todos
seu lugaros
um direitos
trecho em autorais.
Cópia nãocomponente
autorizada.
Reservados
aberto (pontos A e B).
○
○
○
○
129/35
○
Instituto Monitor
Cópia não autorizada.
Reservados
os
direitos
A Eth será a tensão
entre os pontos Atodos
e B, isto é,
entre
os pon- autorais.
tos onde estava antes o componente em questão. Para a determinação de Eth, poderemos, em algumas ocasiões, necessitar de outros
métodos.
A Rth será a resistência equivalente entre os mesmos pontos A
e B (todas as fontes de corrente devem ser retiradas).
s.
i
a
r
to
u
a
Os valores de tensão e corrente que passam pelo componentes
são, então, facilmente calculados.
Rth
A
Fig. 38
+
Eth
a
i
óp
C
s
o
d
o
t
-
os
s
o
it
e
r
di
R
s
o
B
d
a
2.1 Exemplo de Aplicação r v
e
s
Vamos aprender a calcular,
no circuito da figura 39, a corrente
e
no resistor de 600Ω, aplicando
o Teorema de Thévenin.
R
.
a
d
a
iz
r
o
t
au
300Ω
200Ω
600Ω
o
ã
n
-
+
1V
5V
+
Fig. 39
1º passo) Calcular o Rth. Com a remoção do resistor de 600Ω e considerando apenas as outras resistências, temos o circuito mostrado
na figura 40:
Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais.
○
○
○
○
129/36
○
Instituto Monitor
Cópia não autorizada. Reservados todos os
a direitos autorais.
300Ω
200Ω
s.
i
Fig. 40
a
r
Tomando (a, b) como extremos da associação, podemos calcu- to
lar a Rth. Lembrando que para dois resistores em paralelo temos:u
a
s
R .R
Rth = 1 2
to
R1 + R2
i
re
i
300.200 60000
d
Rth =
=
= 120Ω
s
300 + 200
500
o
s
Para calcular Eth, devemos considerar todas
o as tensões no cird
cuito, após a retirada do resistor de 600Ω.
to
s
A
Bo
a
d
a
+
vr
e
300Ω
200Ω
s
e +
R
+
.
a
5V
1V
d
+
za
i
b
orC
D
t
au
Fig. 41
o
ã
n
b
Como não há corrente nas partes Ba e Db, temos um circuito
a simples, com dois resistores em série, alimentado por duas fontes,
i
tensões se somam e produzem a corrente indicada. Foram
óp cujas
colocadas
as polaridades nos resistores para efetuarmos os cálcuC
los de tensão nos pontos B e D. A tensão entre B e D é a mesma dos
pontos A e b.
300 + 200 = 500Ω (série)
I=
E
6
=
= 0,012A
R 500
Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais.
○
○
○
○
129/37
○
Instituto Monitor
Cópia não autorizada.
Podemos calcularReservados
a queda no resistortodos
de 200Ω: os direitos autorais.
E = R.I = 200 . 0,012 = 2,4 V
Agora podemos descobrir a tensão entre B e D (aplicando a Lei
de Kirchhoff).
s.
i
a
r
EBD = Eth = 2,6 V
to
u
a
Podemos agora desenhar o circuito equivalente de Thévenin.
s
to
i
re
a i
d
s
Eth 3V
600Ω
o
s
o
b
d
o
t
s
o
Rth = 120Ω d
a
v
r Fig. 42
e
es
R 2,6
2,6
Eth
= a.
=
I=
Rth + R 120 + 600 720
d
a
iz
I600Ω = 0,0036A
r
o
t
au
o
ã
n
EBD = 5 – 2,4 = 2,6 V
a Curiosidade
i
óp
Joseph Henry (1797 – 1878)
C
Cientista norte-americano, inventou a bobina de indução, descobriu a auto-indução e o fenômeno das
correntes induzidas. Aperfeiçoou os eletroímãs e
criou o telégrafo magnético. A unidade de medida
de indutância é henry em sua homenagem.
Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais.
○
○
○
○
129/38
○
Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais.
Exercícios Propostos
s.
i
a
r
o
1 - (Concurso Metrô/São Paulo 2001) No circuito da figura 43, a tensão de tThévenin
u
equivalente entre os pontos A e B será igual a:
a
s
2Ω
to
A
i
re
i
R1
d
s
20V
10V
o
Fig. 43
V
s
o
d
o
t
s
R3
o
d
B
a
2Ω
v
r
e
es
R
.
a
d
za
i
or
t
au
o
ã
n
a
i
p
ó
C
Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais.
○
○
○
○
129/39
○
Cópia
não autorizada.
todos
os direitos
autorais.
2 - (Concurso
Metrô/São PauloReservados
2001) Dado o circuito
da figura
44, a resistência
de
Thévenin equivalente entre os pontos X e Y, será igual a:
10Ω
10Ω
20V
10V
10V
Fig. 44
X
Y
10Ω
a
i
óp
C
o
ã
n
10Ω
s
o
d
a
v
r
e
s
e
R
.
a
d
a
iz
r
o
t
au
s
o
d
o
t
os
s
o
it
e
r
di
s.
i
a
r
to
u
a
Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais.
○
○
○
○
129/40
○
lição
Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais.
5
Teorema de Norton
Introdução
s
o
it
e
r
di
s.
i
a
r
to
u
a
O Teorema de Norton permite calcular tensão e corrente aplicadas em um determinado componente, sem a necessidade de se
calcular outros parâmetros do circuito. Isso é possível representando todo o circuito que envolve o componente por apenas um
gerador de corrente equivalente (IN) e uma resistência resultante
(RN) denominadas, respectivamente, corrente de Norton e resistência de Norton.
s
o
d
o
t
os
A
s
o
d
a
v RN
IN
r
e
s
e
R
.
a
B
d
1. Correnteie
zaResistência de Norton
r
o
t
Os valores de IN e RN são característicos e próprios para cada
componente
au analisado. O grande inconveniente deste método é o de
se trabalhar
com geradores de corrente, que são pouco utilizados.
o
ã
n A figura 46 mostra um circuito elétrico e, ao seu lado, o mesmo
Fig. 45
a circuito representado pelos valores I e R , em relação à resistêni
N
N
óp cia de 1KΩ.
C
R1
R2
A
+
V1
+
1KΩ
-
IN
V2
-
RN
1KΩ
Cópia não autorizada.
Reservados todos os direitos autorais.
B
Fig. 46
○
○
○
○
129/41
○
Instituto Monitor
Cópia não autorizada.
Reservados
todos
os direitos
Os teoremas de Norton
e de Thevenin
são equivalentes.
Para autorais.
qualquer caso, valem as seguintes relações: “a corrente de Norton
é igual à tensão de Thevenin dividida pela resistência de Thevenin,
e a resistência de Norton é igual à resistência de Thevenin.”
Rth
A
A
+
Eth
IN
-
RN
s.
i
a
r
to
u
aB
s
o
it
e
Podemos concluir que, ao se resolver um circuito pelo
ir teorema
d
de Thevenin, é fácil transformá-lo num circuito Norton; para isso,
basta efetuar estas relações:
os
s
o
d
E
o
IN = th
e
RN = Rth
t
Rth
s
o
d
Vejamos um exemplo:
a
v
r
e
2Ω
A
esA
R
.
+
a
12V
10Ω
6A
2Ω
10Ω
d
a
iz
r
o
t
B
B
au
Fig. 48
o
ã
n Verificamos que, em ambos os casos, a tensão e a corrente sobre o resistor de 10Ω valem 10V e 1A, respectivamente.
a
i
óp 2. Determinação de IN e RN para um Componente
C
B
Fig. 47
Para a determinação de IN, deve-se retirar do circuito o componente a ser analisado e, em seu lugar, inserir um curto-circuito
(pontos A e B).
Cópia
A corrente que circular por este curto (ponto A e B) será a
corrente de Norton (IN). Para a determinação de IN, poderemos,
alguns casos, precisar
de outros métodos
de solução.
nãoemautorizada.
Reservados
todos
os direitos
○
○
○
○
129/42
○
autorais.
Instituto Monitor
Cópia não autorizada.
Reservados
todos
os direitos
Para a determinação
de RN, deve-se retirar
do circuito
o com- autorais.
ponente a ser analisado e, em seu lugar, inserir um circuito aberto
(pontos A e B).
A resistência equivalente, vista pelos pontos A e B, é a resistência de Norton (RN). Esta resistência é obtida curto-circuitando
todas as baterias de tensão e retirando do circuito todas as baterias de corrente.
a
i
óp
C
s.
i
a
Os valores de tensão e corrente que passam pelo componente r
são, então, facilmente calculados:
to
u
A
a
s
to
i
re
i
IN
RN
Rd
os
s
o
d B
o
t
Fig. 49 s
o
d
a
v
2.1 Exemplo de Aplicação
r
e
Vamos calcular a corrente
esque circula pelo R5 no circuito mostrado na figura 50.
R
.
a330Ω
d
za R2
i
+
E1 = 12V
r
3V
o
t
au
o 100Ω R1
100Ω
820Ω
R4
R5
ã
n
470Ω
R3
Fig. 50
1º passo) Retire o resistor onde se deseja descobrir a corrente e
coloque no seu lugar um curto-circuito.
Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais.
○
○
○
○
129/43
○
Instituto Monitor
Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais.
330Ω
+
+
12V
3V
-
-
I2
I1
100Ω
1
100Ω I
2
I1
2
470Ω
s
o
it
e
Neste caso precisaremos aplicar a Lei de Kirchhoff.
r
di
Malha1
os
s= 0
(1) 12 – I1.330 - 3 - 100.(I1 - I2) - I1.470 - I1.100
o
d
o
9 - 330.I1 - 100.I1 + 100.I2 - 470.I1 - 100.I
t 1=0
s
9 - 1000.I1 + 100.I2=0
o
d
- 1000.I1 + 100.I2 = -9
a
v
r
Malha2
e
s
e
(2) 3 - 100.(I2 - I1) = 0 R
.
3 - 100.I2 + 100.Ia
1=0
d
a
100.I1 - 100.I
2
iz = -3
r
o montar o sistema de equações:
Agora podemos
t
u
a
- 1000.I
o 1 + 100.I2 = -9 (+)
ã
n100.I1 – 100.I2 = -3
s.
i
a
r
to
u
a
Fig. 51
a - 900.I1
= - 12
i
p
ó I1 = - 12 = 0,0133A
C
- 900
Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais.
○
○
○
○
129/44
○
Instituto Monitor
Cópia nãoSubstituindo
autorizada.
Reservados
todos os direitos autorais.
na equação
da malha 2 temos:
100.0,0133 – 100.I2 = -3
1,33 – 100.I2 = -3
- 100.I2 = - 3 – 1,33
- 100.I2 = - 4,33
- 4,33
I2 =
= 0,0433A
- 100
I2 = 43,3 mA
I2 = IN = 43,3 mA
s
o
it
e
r
di
s.
i
a
r
to
u
a
2º passo) Achar a resistência Norton. O processo é o mesmo utilizado em Thévenin. Curto-circuitaremos as fontes e consideraremos todos os resistores, com exceção do resistor R5.
os
330Ω
s
o
d
100Ω
100Ωto
s
o
d
a
v
r
470Ω
e
s
e
R
900 × 100
.
RT =
900 + 100
a
d
900Ω
90000
100Ω
RT =
za
1000
i
r
o
RT = RN = 90Ω
t
au
o
Fig. 52
ã
n
a Podemos agora representar o gerador equivalente de Norton
i
com os valores obtidos.
óp
C
RN = 90Ω
IN = 43,3mA
Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais.
Fig. 53
○
○
○
○
129/45
○
Instituto Monitor
Cópia não autorizada.
todos
os direitos
Para calcularmosReservados
a tensão e a corrente
no resistor
R5, temos autorais.
que conectá-lo ao circuito equivalente de Norton.
IN = 43,3mA
90Ω
820Ω
Req =
90 × 820
= 81Ω
90 + 820
Fig. 54
A tensão no resistor será:
E + IN. Req (Lei de Ohm)
E = 43,34.10- 3. 81
E = 3,5 V
I820Ω =
s
o
d
o
t
E 3,5
=
= 0,0042 A
R 820
s
o
d
a
v
r
e
Curiosidade
s
e
R
.
a
Michael Faraday (1791
– 1867)
d
za estudou as relações entre a eletricidaCientista inglês,
i
de estática
ore a corrente elétrica, e entre a eletricidade
t
e a luz,uchegando a formular uma teoria sobre a naturea
za eletromagnética
da luz. Inventou o voltímetro duo
rante suas pesquisas sobre eletrólise. A unidade de
ã
de capacitância é farad em sua homenagem.
nmedida
I820Ω = 4,2 mA
a
i
óp
C
os
s
o
it
e
r
di
s.
i
a
r
to
u
a
Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais.
○
○
○
○
129/46
○
Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais.
Exercícios Propostos
s.
i
a
r
o
1 - Determine o equivalente de Norton e a tensão entre A e B para o circuito tmostrado
u
na figura 55:
a
s
A
to
i
re
i
d
Fig. 55
2Ω
s
4A
4A
2A
o
s
o
d
toB
s
o
d
a
v
r
e
s
e
R
.
a
d
a
iz
r
o
t
au
o
ã
n
a
i
p
ó
C
Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais.
○
○
○
○
129/47
○
Instituto Monitor
Cópia
não autorizada.
todos
direitos
autorais.
2 - (Concurso
Metrô/São PauloReservados
2001) Dado o circuito
figura os
56, calcule
a corrente
de
Norton nos pontos A e B.
20V
A
2Ω
Fig. 56
10A
A
4Ω
s
o
it
e
r
di
s.
i
a
r
to
u
a
B
a
i
óp
C
o
ã
n
s
o
d
a
v
r
e
s
e
R
.
a
d
a
iz
r
o
t
au
s
o
d
o
t
os
Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais.
○
○
○
○
129/48
○
lição
Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais.
6
Teorema de
Superposição de Efeitos
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
s.
i
a
r
Introdução
1. Método de Solução to
de Circuitos Elétricosau
O Teorema de Superposição de Efeitos
s
o
permite a determinação dos valores de ten1) Curto-circuitam-se
it todas as fontes de tensão e corrente num determinado componensão do circuito,emenos uma, e determinate, sem necessidade de determinar todas as
ir
se o valor da corrente
que passa pelo comd
tensões e correntes do circuito. Essa deterponente analisado,
assim
como o seu sens
minação dos valores é obtida verificando-se
tido. Este
o item deve ser repetido n vezes,
o efeito que cada fonte m produz separadasendosn o número de fontes do circuito.
o
mente no componente em questão.
d
2) Somam-se
as diversas correntes obtidas
o item anterior
t
no
para a determinação da
A soma desses efeitos, produzidos por
s
final (correntes em sentidos oposcada uma das fontes do circuito, resulta na
o corrente
d
tos
devem
ser subtraídas). Assim sendo,
real corrente elétrica que circula pelo com- a
teremos
não
só o valor da corrente no componente analisado. Deve-se ressaltar que, ao v
r
ponente, como também o seu sentido.
analisarmos o efeito de uma fonte qualquer
e
s
separadamente, devemos retirar as demais
3) Com o valor da corrente no componente,
eefeifontes do circuito para anular os seus
R
determina-se a sua tensão elétrica (lei de
.
tos; para isso, basta curto-circuitarmos
fonOhm).
a de cord
tes de tensão e retirarmos as fontes
rente (circuito aberto).
za
i
Exemplo: determine I1, I2 e I3, aplicando o
r
o
método da superposição.
t
A grande vantagem desse método é que
u
todo e qualquer circuito
a analisado tem apenas uma única fonte,
o facilitando a sua solu2Ω
2Ω
ã
ção sobremaneira. Sua grande desvantagem
n
é a resolução de circuitos por diversas vezes;
a
assim, se um ideterminado circuito tiver 5 fontes, teremos
óp de resolver 5 circuitos diferen18V
2Ω
6V
tes, istoCé, um para cada fonte.
+
+
○
○
○
○
No final, temos de fazer a superposição
dos efeitos provocados por cada uma delas.
Vamos ver como se faz.
○
○
○
○
○
Fig. 57
○
○
○
Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais.
○
○
○
○
129/49
○
Instituto Monitor
Cópia não1º autorizada.
Reservados
todos os direitos
passo) Vamos decompor
os circuitos, curto-circuitando
as fon- autorais.
tes.
2Ω
2Ω
I1
I2
18V
I3
2
= 1Ω (resistores em paralelo)
2
2Ω
2Ω
1Ω = RT = 3Ω
I1
18V
s
o
d
o
t
I1 = V = 18 = 6A
RT
3
s
o
d
a
v
r
6
e
I2 = I3 = = 3A
s
2
resistores
e de mesmo valor
R
. 2Ω
2Ω
a
d
za
I1’
I2’
i
r
o
I3’
t
2Ω
u
a
o
nã
os
s.
i
a
r
to
u
Fig. 58 a
s
o
it
e
r
di
Em conseqüência, a corrente no resistor de 1Ω também é 6 A e,
portanto, V = 6 × 1 = 6V.
a
i
óp
C
6V
2Ω
I2’
1Ω
6V
Fig. 59
Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais.
○
○
○
○
129/50
○
Instituto Monitor
Cópia não2 autorizada. Reservados todos os direitos autorais.
2
= 1Ω
1 + 2 = 3Ω = RT
I2’ =
V
6
=
= 2A
RT 3
A tensão no resistor de 1Ω será: V = 2 × 1 = 2V
I1’ = I3’ =
2 tensão
2 resistor (2 Ω)
I1’ = I3’ = 1 A
I2 = I2 – I2’ = 3 - 2 = 1A
I1 = I1 – I1’ = 6 -1 = 5A
s
o
d
o
t
I3 = I3 + I3’ = 3 + 1 = 4A
I3’ e I3 têm o mesmo sentido.
os
s
o
it
e
r
di
s.
i
a
r
to
u
a
s
o
d
a
v
Curiosidade
r
e
s
e
R
James Watt (1736 – 1819)
.
a
Escocês, aprendizad
de fabricante de ferramentas, logo
z
cedo interessou-se
pelas
descobertas no campo da elei
r
tricidade. Quando
se
tornou
fabricante de peças e inso
t
trumentosude matemática na Universidade de Glasgow,
a uma máquina a vapor muito mais rápida e
Watt criou
o
econômica,
permitindo a mecanização das indústrias em
ã
grande
n escala. A unidade de medida de potência elétrica é watt
em sua homenagem.
a
i
p
ó
C
Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais.
○
○
○
○
129/51
○
Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais.
Exercícios Propostos
s.
i
a
r
1 - Determine a tensão VP por superposição, para o circuito da figura 60.
to
u
a
s
to
i
e
150V
200Ωir
d
s
Fig. 60
o
VP
s
o
d
100Ω
30V
to
s
o
d
a
v
r
e
s
e
R
.
a
d
a
iz
r
o
t
au
o
ã
n
a
i
p
ó
C
Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais.
○
○
○
○
129/52
○
Cópia
não aautorizada.
todos
os direitos
autorais.
2 - Calcule
corrente na carga Reservados
RL por superposição,
para o circuito
da figura 61.
Fig. 61
0,5Ω
1Ω
+
RL
+
160V
150V
-
a
i
óp
C
o
ã
n
10Ω
-
s
o
d
a
v
r
e
s
e
R
.
a
d
a
iz
r
o
t
au
s
o
d
o
t
os
s
o
it
e
r
di
s.
i
a
r
to
u
a
Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais.
○
○
○
○
129/53
○
lição
Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais.
Conceitos e
Tipos de Filtros
7
Introdução
s
o
it
e
r
di
s.
i
a
r
to
u
a
Filtros são circuitos que deixam passar somente sinais de determinadas freqüências, atenuando outras. De acordo com as freqüências que desejamos deixar passar, podemos ter diferentes tipos de filtros, que é o que veremos nesta lição.
os
1. Tipos de Filtros
Tipo de Filtro
(símbolo)
FPB
VE
FPA
VE
o
ã
n
FPF
VE
a
i
óp
C
VE
FRF
Característica Ideal
s
o
d
a
v
r
e
s
e
R
.
Filtro Passa
Alta: permite a
a
passagemdde todas as freqüências
VS
acima da
de corte fc,
za freqüência
i
rejeitando
as
demais.
or
t
au
Filtro Passa Baixa: permite a
passagem de todas as freqüências
VS abaixo da freqüência de corte fc,
rejeitando as demais.
s
o
Curva
Resposta em Freqüência
d deGanho
o
X Freqüência
t
Filtro Passa Faixa: permite a
passagem de todas as freqüências
acima da freqüência de corte inferior
VS
fci e abaixo da freqüência de corte
superior fcs, rejeitando as demais.
Filtro Rejeita Faixa: rejeita a
passagem de todas as freqüências
acima da freqüência de corte inferior
VS fci e abaixo da freqüência de corte
superior fcs, permitindo a passagem
das demais.
Av
1
fc
f
fc
f
Av
1
Av
1
fi
fs
f
fi
fs
f
Av
1
Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais.
○
○
○
○
129/55
○
Instituto Monitor
○
○
Cópia
não
autorizada.
Reservados
todosVSos direitos autorais.
No nosso
estudo,
veremos os filtros
passa
○
baixa e passa alta.
○
○
Ve
Ve
√2
○
○
○
○
2. Filtro Passa Baixa
○
Existem filtros passa baixa com capacitores e com indutores, conforme mostra a figura 62. No nosso estudo analisaremos apenas
os circuitos com capacitores.
○
fc
f
○
s.
i
a
r
2.1 Características da Tensãoto
de Saída
R
u
a63, podemos idenPelo gráfico da figura
s
tificar que quando a freqüência
baixa, Vs
toocapacitorfor
C
Ve
Vs
i
será igual a Ve, pois
oferece
máe
xima reatância. ir
d
s
Identificamos
FC (freqüência de
a
oocorrerátambém
corte),
que
no
momento
em que tis
ou
o
vermos:
L
d
o
t
1
Xc = R
ou
=R
s
2πf
c
o
R
d
Ve
Vs
a
Matematicamente obtemos:
v
r
e
s
1
Vs = Ve
e
FC =
e
b
2πRC
√2
R
.
Fig. 62
a
d
Lembrando que:
3. Filtro Passa Alta
za
i
r
1
o
XC =
t
2πfc
Existem filtros passa alta com capacitoau
res e com indutores, conforma a figura 64. No
Quando tivermos
o freqüências baixas aplinosso estudo analisaremos apenas os circuiã
cadas na entrada
do
circuito
a
,
a
reatância
tos com capacitores.
n
capacitiva será
alta e, em conseqüência, a tena
i do capacitor (C) será máxima.
são Vs em cima
Quando tivermos freqüências altas, a reap
ó
tância capacitiva (Xc) será baixa e, em conC
Resumindo,
em baixas freqüências o siseqüência, a tensão VS será máxima, uma vez
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
Fig. 63 - Característica da tensão de saída
de um filtro passa baixa
○
nal de saída (Vs) terá maior amplitude, e no
caso de freqüências mais altas, o sinal de saída (Vs) terá baixa amplitude.
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
que a saída acontece no resistor que está em
série.
○
○
○
Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais.
○
○
○
○
129/56
○
Instituto Monitor
Cópia nãoC autorizada. Reservados todos osR direitos autorais.
Ve
R
Vs
Ve
ou
L
Vs
.
s
i
b
a
r
Fig. 64
to
u
a
Resumindo, em altas freqüências, e devido ao fenômeno reatâns
cia capacitiva, teremos em VS máximo sinal. No caso de freqüências
to
i
baixas Xc aumentará e teremos saída VS com amplitude menor.
e
r
i
θ
d
90
s
o
45
s
o f
fc
d
o um filtro passa alta
Fig. 65 - Característica da defasagem tde
s
3.1 Característica da Tensão de Saída
o
d
a
Pelo gráfico mostrado na v
65, podemos identificar que,
r Cfigura
será igual a Ve, pois nesse instante
quando a freqüência for altaeV
o capacitor oferecerá baixa
es reatância e, em conseqüência, a tensão
na saída (resistor) seráRmáxima.
.
a
Identificamosdtambém FC (freqüência de corte) e essa freqüêna momento que tivemos:
cia acontecerázno
i
r
o
1
t
XC =
R
ou
R=
u
2πf c
a
o
Matematicamente obtemos:
nã
a
o
o
a
i
óp
C
FC =
1
2πRC
e
V
VS = e
√2
O aluno que ler apenas superficialmente os dois textos sobre
filtros (passa alta e passa baixa), poderá dizer: “as fórmulas são
iguais, então tudo é igual”. Não é verdade. Para provar isso vamos
calcular dois circuitos com os mesmos valores de componentes,
com a diferença de que um é passa baixa e o outro é passa alta.
Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais.
○
○
○
○
129/57
○
Instituto Monitor
Cópia nãoExemplo:
autorizada.
Reservados
todos
os direitos
calcular a tensão
de saída do filtro
passa baixa
da figura autorais.
66 e calcular a freqüência de corte ((a) 10 vezes menor e (b) 10
vezes maior).
1KΩ
10Vef
0,56µF
Fig. 66
1º passo) Cálculo da freqüência de corte.
Fc =
1
1
=
2.π.R.C 2.π.1000.0,56.10-6
Fc =
1000000
1.10+6
=
2.π.1000.0,56 3516,80
s
o
d
o
t
os
s
o
it
e
r
di
s.
i
a
r
to
u
a
s
o
d
Fc = 284,35 Hz
a
v
r
2º passo) Cálculo da tensãoede saída na freqüência de corte.
es
10
V
VS = e =
= 7,07V. R
√2 √2
a
d
za de Vs para F = Fc = 28,43Hz.
3º passo) Cálculo
i
10
or
t
u1
1
Xc = a
=
-6
2.π.F.C
2.π.28,42.0,56.10
o
ã
n
+6
1000000
=
a Xc = 2 . 3,141.10
i
. 28,42 . 0,56
99,95
p
ó
C
Xc = 10005Ω
Podemos agora calcular a impedância:
Z = √R2 + Xc2
Z = √10002 + 100052 = √1000000 + 100100025
Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais.
Z = √101100025 = 10054 Ω
○
○
○
○
129/58
○
Instituto Monitor
Cópia não autorizada.
Reservados
todos
os direitos
Aplicando a Lei de
Ohm podemos achar
a corrente
que passa autorais.
pelo circuito:
I=
V
10
=
= 0,0009946 A
Z 10054
VS (no capacitor) = Xc.I = 10005 . 0,0009946
VS1 = 9,95 V
Calculo de VS para:
F = 10. Fc = 10 . 284,34 = 2843,50Hz
Xc =
1
1
=
2.π.F.C 2 . 3,14 . 2843,50 . 0,56 . 10-6
Xc =
1000000
1.10+6
=
2 . 3,14 . 2843,50 . 0,56 10000,02
Xc ≅ 100Ω
s
o
d
o
t
os
s
o
it
e
r
di
s.
i
a
r
to
u
a
s
o
d
a
v
Z = √1000000 + 10000 = √1010000
r
e
s
Z = 1005Ω
e
R
. Ohm, podemos calcular a corrente no cirAplicando Lei ade
d
cuito:
a
iz
V
10 r
I= =
o= 0,00995A
t
Z 1005
au
oAgora podemos calcular a tensão de saída em cima do capacitor.
ã
n
1kΩ
Z = √R2 + Xc2 = √(1000)2 + (100)2
a
i
óp
C
Fig. 67
Ve
0,56µF
VS = Xc × I = 100 . 0,00995
VS2 = 0,995 V
Vs
Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais.
○
○
○
○
129/59
○
Instituto Monitor
Cópia não autorizada.
Reservados
todos
os direitos
Comparando os valores
de tensão obtidos,
podemos
observar autorais.
que para uma freqüência menor
melhor (passa baixa).
a resposta do nosso circuito é
Utilizando os mesmos valores de resistência e capacitância,
vamos agora calcular para a situação passa alta:
0,56µF
1KΩ
10V
s
o
it
e
r
di
Vs = ?
Fig. 68
s
o
d
o
t
os
s.
i
a
r
to
u
a
1º passo) Cálculo da freqüência de corte.
s
o
d
a
+6
v
1000000
1.10
= r
Fc =
2 . 3,14 . 1000 . 0,56
e3516,8
s
e
Fc = 284,35 Hz
R
.
a
2º passo) Cálculo d
da tensão de saída.
a
iz
r
Ve
Vs =
= 7,07
o V
√2 ut
a
Fc
o
3ºãpasso) Cálculo de Vs para F =
= 28,435 Hz. Do exemplo ante10
nrior tiramos que:
Fc =
1
1
=
2.π.R.C 2 . 3,14 . 1000 . 0,56 . 10-6
a
i
óp Xc = 10005Ω
C
Z = 10054Ω
4º passo) Calculamos a corrente que passa pelo circuito. Do exemplo anterior tiramos que:
I = 0,0009946 A
Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais.
○
○
○
○
129/60
○
Instituto Monitor
Cópia nãoEntão,
autorizada.
Reservados
todos
ospelo
direitos
o que muda? Observem
que a saída
será feita
resistor autorais.
de 1KΩ.
0,56µF
I
1KΩ
Vs = ?
s
o
it
Característica do Circuito Série
e
ir
d
A corrente é a mesma para todos os componentes, então:
os
VS = R.I = 1000 . 0,0009946
s
o
VS = 0,9946 V
VS1 ≅ 0,995 V
d
o
t 10 vezes menor. Vamos
Observe que VS1 é para a freqüência
s
agora calcular para a freqüência = 10
o . Fc:
d
F = 10 . 284,35 = 2843,5 Hz a
v
r
e no exemplo do filtro passa baixa,
Usando os cálculos efetuados
s
temos:
e
R
.
a
Xc = 100Ω
d
a
Z = 1005Ω
iz
r
V
I=
= 0,00995A
to
Z u
a
o
Então VS2 = R.I = 1000 . 0,00995
nã
Fig. 69
a
i
óp
C
s.
i
a
r
to
u
a
VS2 = 9,95V
Com os valores obtidos, podemos fazer uma tabela comparativa:
Fc
10
9,95 V
9,95 V
VS2 (Fc × 10)
VSN
Passa baixa
Passa alta
0,995 V
9,95 V
Observe que no caso do passa alta temos tensão de saída maior
instante que estivermos
com freqüência
maior, os
daí odireitos
nome do autorais.
Cópia nãonoautorizada.
Reservados
todos
circuito.
○
○
○
○
129/61
○
Instituto Monitor
Cópia não4.autorizada.
Diferenciador Reservados todos os direitos autorais.
Basicamente, um diferenciador é um filtro passa alta operando com freqüência muito abaixo da freqüência de corte.
Vi C
A
E
VR
Vi
E
s.
i
a
r
to
u
a
B
E
t
R
-E
T/2
Fig. 70
T/2
Fig. 71
s
o
Vamos supor que na entrada (V ) seja aplicada uma onda
itde quadrada de período T. A onda quadrada é obtida a partir
uma
e
r
chave mecânica que fica um tempo T/2 na posição iA, e T/2 na
d
posição B.
s
o
O gráfico a seguir representa a tensão desentrada (V ), tensão
o
que a consno capacitor (V ) e tensão no resistor (V ), considerando
d
o
tante de tempo do circuito τ = RC <<< T.t
s
o
1º Semi-período
d Vc
a
T
Vi
C
v
+ r
E
+ e
s
E
Fig. 72
et
E
R VR
R
.
-E
a
d
a
iz
2º Semi-período
r
o
Vc
t
Vi
Vc = E
C
u
+ a
E
+ o
E
t
E
R VR
Fig. 73
nã
a
-i E
p
ó
C3º Semi-período
i
i
c
R
2E
+
+
E
t
C
-
Vc = - E
E
E
-E
R VR
Fig. 74
Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais.
○
○
○
○
129/62
○
Instituto Monitor
Cópia não autorizada.
Reservados
todosestá
osinicialmente
direitos autorais.
Durante o 1º semi-período,
como o capacitor
descarregado, carregar-se-á com a tensão da fonte (E) rapidamente (a constante de tempo é pequena).
Quando começar o 2º semi-período, o capacitor já estará carregado com E, a tensão da fonte se soma à tensão no capacitor,
dando a tensão no resistor (2E).
s.
i
a
r
to
u
a
O 1º semi-período é transitório, e somente a partir do 2º é que o
circuito entra em regime permanente.
5. Integrador
s
o
it
e
r
di
O integrador também é um circuito RC em série, operando
numa freqüência muito maior do que a freqüência de corte, na qual
a tensão de saída é obtida no capacitor.
R
Vi
Fig. 75
Vi
sE
o
d
o
t -E
C
I
os T
Vc = Vo
t
s
o
d
a
v
r
e
s
e
Quanto maior for a constante
de tempo (τ = RC) em relação ao
R
período, mais a forma
. de onda no capacitor se aproxima de uma
a
onda triangular (maior
é a linearidade).
d
za
VR
i
T
r
o
E
t
E + Vc(2)
E - Vc(1)
au
t
t
o 2
3
1 ã
3
0
1
2
n
a
i
-E
p
ó
C
Vamos supor que o sinal de entrada seja uma onda quadrada
de freqüência muito maior do que a freqüência de corte do circuito, o que significa τ = RC >>> T.
Vi
E
0
-E
Fig. 76
t
VC
E
VC(1)
0
1
2
VC(2)
3
t
Cópia não autorizada.
Reservados todos os direitos autorais.
-E
○
○
○
○
129/63
○
Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais.
Exercícios Propostos
s.
i
a
r
1 - Projetar um filtro passa baixa com freqüência de corte igual a 1KHz.
to
u
a
1KΩ
s
to
i
e
r
Fig. 77
i
Ve
C=?
d
s
o
s
o
d
to
s
o
d
a
v
r
e
s
e
R
.
a
d
a
iz
r
o
t
au
o
ã
n
a
i
p
ó
C
Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais.
○
○
○
○
129/64
○
Cópia
não um
autorizada.
2 - Projetar
filtro passa altaReservados
com Fc = 200Hz. todos os direitos autorais.
0,1µF
Ve
Fig. 78
a
i
óp
C
o
ã
n
Vs
R=?
s
o
d
a
v
r
e
s
e
R
.
a
d
a
iz
r
o
t
au
s
o
d
o
t
os
s
o
it
e
r
di
s.
i
a
r
to
u
a
Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais.
○
○
○
○
129/65
○
Cópia
não autorizada.
direitos
autorais.
3 - Deseja-se
projetar um filtro Reservados
passa altas para ser todos
conectadoos
à saída
de um amplificador de áudio com impedância de 8Ω. O alto-falante, também de 8Ω, será a própria
resistência R do filtro, conforme a figura 79. A freqüência de corte desejada é 4 KHz.
C
Fig. 79
a
i
óp
C
8Ω
o
ã
n
s
o
d
a
v
r
e
s
e
R
.
a
d
a
iz
r
o
t
au
s
o
d
o
t
os
s
o
it
e
r 8Ω
i
d
s.
i
a
r
to
u
a
Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais.
○
○
○
○
129/66
○
lição
Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais.
8
Corrente Alternada
Introdução
s
o
it
e
r
di
s.
i
a
r
to
u
a
Nesta lição, estudaremos o comportamento da corrente alternada nos indutores e nos capacitores utilizando os números complexos. Antes de passarmos para o estudo propriamente dito, aconselhamos ao aluno rever o módulo de Eletricidade Aplicada I, caso
venha a ter dúvidas no transcorrer desta lição.
os
s
o
d
o
Fazendo uma breve síntese, podemos
t concluir que a corrente
alternada é aquela que muda de valor
s e de polaridade em função
do tempo. Assim sendo, ela tem, emonosso país, a freqüência de 60
d de polaridade de 30 vezes por
Hertz, isto é, temos uma mudança
a
v
segundo.
r
e
s
e
R
.
a
d
a
iz
r
o
t
au
o
ã
n
1. Definição
a
i
óp
C
1 ciclo ou 1 Hz
Fig. 80 - Gráfico da Corrente Alternada
Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais.
○
○
○
○
129/67
○
Instituto Monitor
○
○
Cópia
não
autorizada.
Reservados
todos
os
Tensão
elétrica
- Édireitos
a diferença autorais.
de potencial
O gráfico
da corrente
alternada nos
mos(ddp) entre dois pontos, e a unidade de medida é o Volt (V).
○
○
○
○
tra um Hertz com dois semiciclos, um positivo e um negativo. Então, percebemos que a
mudança de polaridade acontece 30 vezes por
segundo. Já vimos, em outro módulo de estudo, que a tensão alternada pode ser representada pela equação:
○
○
○
○
○
Resistência elétrica - É a oposição dos corpos à passagem da corrente elétrica, medida
em Ohm (O).
○
s.
i
a
r
to
u
a
○
Capacidade elétrica - É a capacidade dos corpos de armazenar elétrons, o chamado efeito
capacitor. Sua unidade de medida é Farad (F).
O capacitor é formado, no mínimo, por duas
placas e um material isolante (o dielétrico)
que as separa; o capacitor adianta a corrente
e atrasa a tensão.
○
○
○
○
v = Vpsenω
○
○
○
Onde:
v: tensão instantânea, em Volt (V)
Vp: tensão de pico, em Volt (V)
ω: vale 2πƒ
π: constante igual a 3,1416
ƒ: freqüência, em Hertz (Hz)
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
s
o
t
ei
Indutância - É arpropriedade
de se opor às
i
variações de tensão
e
corrente.
O indutor
d
adianta a tensão
e atrasa a corrente. Sua uniDa mesma maneira, podemos represenos é o Henry (H). Uma propriedade de medida
tar a corrente por:
s
dade peculiar
do indutor é o aparecimento
o
da força
d contra eletromotriz (f.c.e.m.) que tem
i = Ipsenω
o
sentido
t contrário à força eletromotriz (f.e.m.).
s
Onde:
o
Quando temos um circuito elétrico oped rando
i: corrente instantânea, em Ampère (A)
em corrente contínua, temos três grana
v
Ip: corrente de pico, em Ampère (A)
dezas
envolvidas:
tensão, corrente e resistênr
ω: vale 2πƒ
e
cia
(que
é
a
oposição
que os condutores e os
s
π: constante igual a 3,1416
componentes oferecem à passagem dos elée
ƒ: freqüência, em Hertz (Hz)
R
trons). No início de funcionamento e no tér.
mino (ao desligar), aparecerão também os fea de cord
A corrente alternada é chamada
nômenos da capacitância e da indutância.
a as funções
rente senoidal ou cossenoidal, z
pois
riformam a mesmatemáticas seno ou cosseno
Num circuito, trabalhando com correno
t
ma figura. Lembre-se que
na corrente altertes alternadas, temos: tensão, corrente, frenada temos três variáveis
au envolvidas: a corqüência, capacitância e indutância.
rente, a tensão e a freqüência;
já na corrente
o
ã a tensão e a correncontínua, temos apenas
2. Circuito com Corrente Alternada
n
te, pois não existe inversão de polaridade.
a
i
p
2.1 Indutor e Indutância
Quando
ó estudamos as correntes alternaC vimos que existem várias granda e contínua,
Genericamente, chamamos de indutor ou
○
dezas elétricas envolvidas. As principais são:
○
○
○
bobina um fio enrolado em forma de hélice
sobre um núcleo, o qual pode ser de ar ou de
material ferromagnético. A figura 81 mostra
a simbologia adotada para os indutores.
○
○
○
○
○
○
○
Corrente elétrica - São elétrons em movimento, cuja unidade de medida é o Ampère (A).
○
○
○
Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais.
○
○
○
○
129/68
○
Instituto Monitor
○
○
○
○
○
○
○
○
Cópia não autorizada. ReservadosI todos
os direitos autorais.
(A)
○
○
○
2
○
○
○
○
○
○
Núcleo de ar
○
○
○
1
○
○
○
○
○
○
○
s
o
it
e
r
di
t (ms)
○
○
○
s 1
2
o
Fig. 82as- Gráfico da corrente em função do tempo
o
t=0
d
o
I
t
○
○
○
○
○
Núcleo de ferro
s.
i
a
r
to
u
a
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
s
o
+
d
E
I ’
a
v
r
e
e
es
R
.
Núcleo de ferrite
e = f.e.m. induzida
a
d
Fig. 81
Fig. 82b - Aparecimento da f.e.m. induzida
za
i
or uma correnA força eletromotriz produz uma tensão
Fazendo passar pelo indutor
t
u
induzida
que chamamos de f.e.m. autote contínua, quando aachave no circuito for
induzida.
De
acordo com a Lei de Lenz, essa
fechada (figura 82a),
uma corrente elétrica
o
tensão induzida deverá se opor à causa que a
ã pelo circuito formado
começará a circular
originou. No caso, a variação da corrente. Como
pela chave, pelan bateria e pelo indutor (ou
a
resultante dessa oposição, temos que a correni corrente origina um campo
bobina). Esta
p
te no circuito levará um certo tempo para atinmagnético,
ó cujas linhas de campo cortam as
gir o seu valor máximo ou de regime (imposto
espiraisCsubseqüentes, induzindo nelas uma
pelas resistências ôhmicas do circuito).
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
f.e.m. (figuras 82a e 82b).
○
○
○
Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais.
○
○
○
○
129/69
○
Instituto Monitor
○
○
Cópia
não aautorizada.
Reservados
direitos
autorais.
naistodos
da chaveos
aberta,
a tensão será
E + e. A
Se abrirmos
chave após a corrente
ter
tensão induzida após a chave ter sido desligada recebe o nome de f.c.e.m.
○
○
○
○
○
atingido o seu valor máximo, a corrente I tenderá a diminuir. A variação do campo magnético novamente induzirá uma f.e.m. de
auto-indução com polaridade tal, que originará uma corrente I’ que tenderá a se opor à
diminuição de I.
○
○
○
○
○
○
Se a f.c.e.m. induzida for suficientemente alta, aparecerá um arco entre os contatos
da chave, uma faísca (sempre que acionamos
um circuito elétrico, ou ao desligá-lo, aparece uma faísca elétrica). Isso se deve à f.c.e.m.,
que tem o mesmo princípio da Lei de Newton
no estudo da mecânica clássica, na física: toda
ação tem uma força de reação.
○
○
○
○
○
○
○
Dessa forma, se a chave for aberta no instante t = t’, ainda haverá corrente por um certo tempo.
○
○
I (A)
○
○
○
○
Sabemos que a indutância de uma bobina é uma medida do quanto de energia pode
ser armazenada em um campo magnético, e a
sua unidade de medida é o Henry (H).
○
t = t’ = 1ms
os
○
○
2
○
○
○
3. Circuito
s em CA
o
com
d Indutância Pura
to
○
○
○
1
s
o
it
e
r
di
s.
i
a
r
to
u
a
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
s Ao aplicar-se uma corrente alternada
o
d em um indutor, existe uma defasagem entre
t (ms)
a
a tensão e a corrente que percorre o indutor
v
e, no caso, a tensão se adianta e a corrente
r
1
2
e
se atrasa.
Fig. 83a
es
R
Se a tensão aplicada for cossenoidal, e a
.
a
corrente
também for de função igual à tent = t’
I
d
são
cossenoidal
ou senoidal, então a corrente
a
z
estará,
teoricamente,
atrasada 90 em relai
r
+
ção à tensão. O indutor oferece oposição a uma
I ’
o
t
variação de corrente. A medida dessa oposiau e
ção é dada pela reatância indutiva (XL) do
o
indutor.
nã
○
○
○
o
○
A reatância indutiva depende da indutância do indutor, da freqüência e do valor
da corrente, sendo dada pela fórmula:
○
a
i
óp
C
○
○
○
○
○
○
○
E
○
○
○
○
e = f.e.m. induzida
○
Fig. 83b
ou
XL = 2π. ƒ .L
○
○
○
XL = ω.L
○
Conclui-se, daí, que um indutor se opõe a
uma variação de corrente.
○
○
○
○
○
○
○
○
○
Onde:
XL: reatância da bobina, em Ohms (Ω)
Observe a polaridade da f.e.m. induzida
L: indutância de bobina, em Henry (H)
na figura 81b. A tensão induzida é somada à
ƒ: freqüência, em Hertz (Hz)
Cópia não autorizada. Reservados
todos os direitos autorais.
tensão da fonte de forma que, entre os termiπ: constante igual a 3,1416
○
○
○
○
129/70
○
Instituto Monitor
○
○
Cópia
autorizada.
Reservados
todos
os Rdireitos
Em umnão
circuito
puramente indutivo,
sem
A resistência
representa autorais.
todas as resistências possíveis ao longo do caminho da
corrente, inclusive a resistência ôhmica do
próprio fio da bobina.
○
○
○
○
○
○
○
resistências, não há dissipação de energia.
Naturalmente, esta é uma condição ideal, não
possível na vida real, já que o próprio fio do
enrolamento da bobina apresenta resistência. Materiais com resistência muito baixa à
corrente estão sendo pesquisados em diversos países. Estes novos materiais são chamados supercondutores.
○
○
Na figura 84b, temos o diagrama fasorial.
Observe o atraso de 90 o da corrente no
indutor que tem o mesmo valor da resistência em relação à tensão (VL). Como a corrente na resistência está em fase com a tensão
VR, as duas são representadas no mesmo eixo
das ordenadas I. Importante observar que VG
é a soma vetorial de VL e VR, e o ângulo φ
exprime a defasagem entre a tensão e a corrente.
○
○
○
○
○
○
s.
i
a
r
to
u
a
○
○
○
4. Circuito RL em Série
s
o
it
e
ir
d
O triângulo representado na figura 84b
pode ser redesenhado
na figura 85.
os
s
o
d
o
t
s
VG
o
VL
d
a
v
r
R
e
O
s
eVL
VR
R
.
I
a
Fig. 85 - Triângulo das tensões
d
L
Aplicando a ele o Teorema de Pitágoras,
za
i
r
temos:
o
t
u
Fig.a84a
V = V + V ⇒V = V + V
o
nã
Nesta relação, dividindo ambos os memω
○
○
○
○
VR
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
Estes circuitos têm resistência e indutância, o que significa que a corrente, ao percorrer tal circuito, encontrará dois tipos de oposição: a oferecida pela resistência e a oposição da f.e.m. de auto-indução (reatância
indutiva). Em um circuito contendo resistência e indutância, a corrente permanece atrasada em relação à tensão, só que de um ângulo
menor que 90o, pois a resistência tende a colocar a voltagem e a corrente em fase, enquanto
a indutância tende a defasá-las em 90o. Veja,
nas figuras 84a e 84b, o circuito RL em série.
○
○
○
○
VG
○
○
○
○
○
○
W
2
R
2
L
G
2
R
2
L
○
VG
bros por I2, obtemos:
○
○
○
1
○
a
i
p
ó
VL C
○
○
○
○
2
G
○
2
2
2
○
○
○
○
○
○
VG2 V R2 V L2
⎛V ⎞ ⎛V ⎞
⎛V ⎞
= 2 + 2 ⇒⎜ G ⎟ =⎜ R ⎟ +⎜ L ⎟
2
I
I
I
⎝ I ⎠
⎝ I ⎠ ⎝ I ⎠
Onde:
○
○
O
○
○
○
○
Fig. 84b
VR
= R : resistência ôhmica do circuito, em
Ohms
(Ω)direitos autorais.
ReservadosI todos
os
○
1
Cópia não autorizada.
○
I
VR
○
○
○
○
129/71
○
Instituto Monitor
○
Cópia não autorizada. Reservadosdatodos
direitos
autorais.
bobina os
ou indutor
e, naturalmente,
a
○
VL
= X L : reatância indutiva, em Ohms (Ω)
I
○
○
○
○
reatância é nula.
○
VG
= Z : impedância do circuito RL, em
I
Ohms (Ω)
12V
= 4Ω
3A
○
○
○
○
R=
s.
i
a
r
b) Quando a bobina é ligada a uma
fonte CA,
o também
t
além da resistência soma-se
o
u
efeito da reatância, istoa
é, a fonte CA “vê”
s
uma impedância.
o
it
V 20V
Z
=
=
=
5
Ω
e
Z =R +X ⇒Z = R + X
r
I
4A
di
s a indutância, sabemos que:
O ângulo de defasagem φ formado pelas
Para calcular
o
semi-retas VG e VR pode ser calculado por:
s
o
V
Z =dR + X
ou
X =Z −R
arctg Ø =
V
to
s
o
X
d X = Z −R
arctg Ø =
a
R
v
r
Ou ainda, pela Lei dos Cossenos:
e
X = 5 −4
s
R
e
arccos Ø =
R
Z
.
X = 25 − 16 = 9 = 3Ω
a
d
a
Exemplo: A bobina, quando ligada
a uma fonte
Sabemos também que XL = 2π. ƒ . L.
z
i
DC de 12V, consome 3A. Quando
ligada a uma
r
Substituindo, temos:
o 4A. Calcule:
fonte de 20V/60Hz, consome
t
u
XL = 2π. ƒ . L
a) A resistência daabobina.
o
b) A reatânciaãindutiva e a indutância.
3 = 2 . 3,1416 . 60L
n do circuito.
c) A impedância
a
i
3 = 376,99 . L
p
d) O ângulo
de defasagem entre V e I.
ó
e) ACpotência dissipada no circuito.
3
L=
○
A resistência da bobina vale 4 Ω.
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
A impedância é o efeito combinado de todas as resistências, representadas aqui apenas por uma, que é a resistência total dos fios
de ligação com os fios da bobina, etc., juntamente com a indutância da bobina. Assim sendo, podemos escrever:
2
2
L
○
2
L
○
2
○
○
○
○
○
○
2
2
2
2
L
○
○
L
2
2
○
○
○
R
2
L
○
2
L
2
○
○
○
L
○
2
2
○
○
○
○
○
L
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
L
○
376,99
○
○
○
f) Desenhar o diagrama fasorial.
L = 0,0079 H ou 8mH
○
○
○
Solução:
○
A reatância vale 3 Ω e a indutância vale
8 mH.
○
○
○
a) Quando a bobina está ligada a uma fonte
CC, só existe o efeito da resistência dos fios
○
○
○
Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais.
○
○
○
○
129/72
○
Instituto Monitor
○
○
○
○
○
○
○
Cópia
nãoa autorizada.
direitos
autorais.
f) Otodos
diagramaos
fasorial
está representado
na
c)
Já calculamos
impedância no itemReservados
b. Para
figura 87.
poder determinar a reatância indutiva, é
necessário saber que: Z = 5Ω, portanto, a
VR = 16V
impedância vale 5Ω.
○
○
VL = XL . I = 3 . 4 = 12V
○
d) Na figura 86, desenhamos o triângulo retângulo. Podemos usar a Lei dos Cossenos.
○
○
V = 20V
○
○
○
○
○
○
○
φ = 37o
VL
○
Z=5
○
XL = 3
○
○
○
○
12
○
○
○
O
○
R=4
○
○
s
o
d
o
t
○
○
○
○
Fig. 86 - Triângulo com os catetos XL e R
e hipotenusa Z
os
s
o
t
V = 20Vi
e
r
di O 37
s.
i
a
r
to
u
ω
a
o
16
I = 4A
VR
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
s
o
d
R
a
cos φ =
v
Z
Fig. 87 - Diagrama Fasorial
r
e
s
4
cos φ = = 0,8
e
5. Circuito RL Paralelo
5
R
.
a
arcos
arr
cos φ = 0,8 ⇒ φ = 37º
Um circuito RL paralelo típico pode ser
d
a
visto
na figura 88, e o diagrama fasorial corO ângulo de defasagem entre
z V e I é 37 .
i
respondente,
na figura 89.
r
o
t
e) A potência dissipadau no circuito é a poI
tência dissipada naa resistência, que, por
o
sua vez, é a potência real.
nã
P = VEF . IEFia
. cos φ
G
IR
IL
p
P = 20 . 4ó
. cos37
C
P = 20 . 4 . 0,8
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
o
○
○
○
○
o
○
○
○
P = 64 W
○
Fig. 88
○
○
○
○
○
○
A potência vale 64W.
○
○
○
Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais.
○
○
○
○
129/73
○
Instituto Monitor
Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais.
I (A)
ω
IR
I
φ
VG = VR = VL
IL
I (A)
Fig. 89 - Diagrama fasorial
s.
i
a
r
to
u
a
s
o
No diagrama da figura 89, notamos que a corrente noitindutor
IL está atrasada 90 em relação à tensão VL. Ao contrário
re do ciri
cuito RL em série, aqui desenhamos o diagrama de corrente.
d
s
o
Obs.: a fase de VG foi escolhida arbitrariamente.
s
o
Do triângulo de correntes, conseguimos:
d
to
s
I = I + I ⇒oI I + I
d
a
v
Exemplo: Dado o circuito em rparalelo
da figura 90, vamos calcular:
e
I
es
IL
R
. I
a
R
(VG)
d
120V
R=
XL = 60Ω
za80Ω
i
f
or
t
au
Fig. 90
o
ã
a)
n A impedância.
o
2
2
R
2
L
2
R
2
L
a b) As correntes I, IR e IL.
i
óp c) A potência aparente, a potência real e a potência reativa.
C
d) O fator de potência do circuito.
e) Desenhar o diagrama fasorial.
Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais.
○
○
○
○
129/74
○
Instituto Monitor
Cópia nãoSolução:
autorizada. Reservados todos os direitos autorais.
R⋅ XL
a) Z =
R +X
2
2
L
=
80 ⋅ 60
80 + 60
2
4.800
=
2
10.000
=
4.800
100
Z = 48Ω
A impedância vale 48Ω.
b) I =
120V
= 2,5 A
48Ω
I
os
120V
s
o
it
e
r
di
s.
i
a
r
to
u
a
s
o
d
Fig. 91 - Impedância resultante
o
t
s
o
d
V
120V
a
I =
=
= 1,5 A
v
R
80Ω
r
e
s
V
120V
I =
=
= 2 A Re
60Ω
X
.
a
d
a
c)
z
Paparente = VrGi . I = 120 . 2,5 = 300V.A ou 300W
o
Preal = VRt. IR = 120 . 1,5 = 180W
au= VL . IL = 120 . 2 = 240V.A ou 240W
Preativa
o
ã
n A potência aparente vale 300W, a potência real 180W e a poR
R
L
L
L
a tência reativa 240W.
i
óp d) O fator de potência é a divergência entre a tensão e a corrente,
C
portanto, será o cosseno do ângulo formado entre Z e R.
Curiosidade: alguns reatores para luminárias fluorescentes costumam trazer o fator de potência na forma de cosseno do ângulo
formado entre a tensão e a corrente, indicado como cos ϕ.
Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais.
○
○
○
○
129/75
○
Instituto Monitor
○
Cópia não autorizada. Reservados todos os Tdireitos
autorais.
=R.C
○
○
○
Z 48
=
= 0,6
R 80
○
Onde:
T: tempo de carga, em segundos (s)
R: resistência, em Ohms (Ω)
C: capacitância, em Farad (F)
○
○
FP = cos ϕ =
○
○
○
FP = 0,6
○
e) O diagrama fasorial está representado na
figura 92.
○
○
○
○
○
○
○
VG
○
○
○
s
o
it
e
r
di
a)
○
○
ϕ = 53o
ω
A)
2,5
(
I
○
(1,5 A)
○
IR
○
○
37o
○
os
○
+
E
s
o
d
o
t
○
IL (2A)
○
○
○
○
○
-
sb)
o
d
a
6. Capacitor
v
r
e
s
Capacitor é um dispositivo formado por,
E
e
no mínimo, duas placas condutoras (denomiR
nadas armaduras) separadas por um. materia
al isolante chamado dielétrico. d
a
z
c)
i
O capacitor serve parararmazenar caro depende da sua
gas. Sua capacidade para tisso
u sua vez, depende
capacitância (C), que, por
a
da área das placas, do material e da espessuo
ra do dielétrico, oãque já tivemos a oportuniE
dade de estudar.n
a
i
Ao ligarmos
óp um capacitor a uma fonte de
alimentação,
C sabemos que levará um certo
d)
R
C
○
○
Fig. 92 - Diagrama fasorial
s.
i
a
r
to
u
a
Ao ligarmos um capacitor a uma fonte de
tensão, através de uma resistência R, a tensão no capacitor levará um certo tempo até
atingir o valor da tensão da fonte. Temos, na
figura 93, um capacitor ligado em série com
um resistor e uma fonte de alimentação.
R
○
○
○
○
t=0
VR
-
○
○
○
C
VC
○
○
○
I
+
○
○
○
○
I
R
○
○
○
VR
○
VC
-
+
C
-
-
-
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
-
R
○
○
○
○
tempo para que o capacitor carregue. O tempo de carga é dado pelo produto da capacitância pela resistência, ou seja:
○
○
+
VC = E
C
-
○
○
○
○
○
E
○
Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais.
○
Fig. 93
○
○
○
○
○
129/76
○
Instituto Monitor
Cópia não autorizada.
Reservados
todos
os direitos
Inicialmente, vamos
considerar o capacitor
descarregado.
No autorais.
instante em que a chave é fechada (t = 0), toda a tensão da fonte
estará aplicada na resistência:
T = 0 pela 2ª Lei de Kirchhoff:
VR (t = 0) + VC (t = 0) = E
Como VC (t = 0) = 0 (capacitor inicialmente descarregado)
VR (t = 0) = E
s
o
it
e
Na realidade, não existe uma corrente passandoiratravés do
d placa para a
capacitor, e sim uma movimentação de cargas de uma
s
outra, através do circuito. Lembre-se de que não
o há passagem de
elétrons, pois as placas estão isoladas por umsmaterial isolante. O
o
que temos é um deslocamento de cargas positivas,
dirigindo-se da
d
placa inferior para a placa superior (deslocamento
de elétrons).
o
t
s aumenta a sua tensão e,
Com a chegada de cargas no capacitor,
o
d na resistência. Após algum
conseqüentemente, diminui a tensão
a
tempo, a tensão no capacitor sevtornará igual à tensão da fonte, ou
r tensão. O comportamento dinâpelo menos tenderá a ter a mesma
e
mico das tensões e da corrente
es num circuito pode ser melhor entendido com os gráficos
R da corrente (em função do tempo) apre.
sentados nas figuras
94a
e 94b.
a
d
a
iz
r
o
t
V
au
E
o
nã
Logo, I (t = 0) =
I
E
R
a
i
óp
C
s.
i
a
r
to
u
a
E
R
VC
0,63E
VR
t=δ
t
(a)
t
(b)
Fig. 94 - Gráficos da corrente em função do tempo
Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais.
○
○
○
○
129/77
○
Instituto Monitor
Cópia não autorizada.
Reservados
direitos autorais.
Observe, no gráfico
da figura 94b, quetodos
a soma Vos
C + VR = E, isto
é, à medida que VR diminui, VC cresce na mesma proporção. A
medida da velocidade de crescimento da tensão no capacitor é dada
pela constante de tempo do circuito (T), definida como:
T
=R.C
s.
i
a
r
to
u
Na figura 91b, podemos também verificar que existe uma dea
fasagem entre a tensão no capacitor e a corrente; quando uma
é
s
o
máxima, a outra é mínima e vice-versa, conforme já tivemos
oporit
tunidade de estudar em outros módulos.
e
ir
d
A expressão que relaciona a tensão no capacitor com o tempo é
dada por:
os
s
o
d
o
V
= E − E .e
t
s
o
Colocando E em evidência, temos:
d
a
v
r
e
⎛
⎞
⎟
= E ⎜1 − e
V
es
⎜
⎟
⎝
⎠ . R
a
d
a
Onde:
zcapacitor,
i
em Volt (V)
VC: tensão no
or Volt (V)
E: tensão,tem
t: tempo,
(s)
au em segundos
R: resistência,
em Ohms (Ω)
o
C:ãcapacitância,
em Farad (F)
n
Fisicamente, a constante de tempo significa que, decorrendo
um tempo igual a um período constante de tempo, a tensão no
capacitor atinge 63% da tensão da fonte.
⎛ −T ⎞
⎜⎝
⎟
RC ⎠
C( t )
C (t )
a
i
óp
C
⎛ −T ⎞
⎟
⎜
⎝ RC ⎠
E: base dos logaritmos naturais ou neperianos; é uma constante e
vale 2,718281
A expressão da tensão no resistor é dada por:
⎛ −T ⎞
⎜
⎟
VC( t ) = E .e⎝ RC ⎠
Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais.
○
○
○
○
129/78
○
Instituto Monitor
Cópia não autorizada.
todosexponenciais,
os direitos
Essas expressões Reservados
são chamadas de equações
e a autorais.
sua representação gráfica é mostrada na figura 94b.
Na expressão dada, consideramos o tempo dado em constantes
de tempo e calculamos a tensão em função de E, para montarmos a
tabela a seguir.
.
s
i
0
0,393E
0,632E
0,865E
0,981E
0,993E ≅ 1E
V (t)
a
r
to
u
Colocando os dados da tabela em um gráfico, obtemos uma curva
a
exponencial. Afinal, é uma função exponencial, como a mostrada
s
na figura 95.
to
i
re
i
d
VC (t)
s
o
s
o
d
IE
to
s
o
0,9E
d
a
v
0,8E
r
e
s
e
0,7E
R
.
a
0,6E
d
a
iz
0,5E
r
o
t
0,4E
au
o
0,3Eã
n
a
i 0,2E
p
ó
C 0,1E
T
0
0,5RC
RC
2RC
4RC
5RC
10RC
C
t (RC)
0
1
2
3
4
5
6
Fig. 95
Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais.
○
○
○
○
129/79
○
Instituto Monitor
○
○
Cópia
não autorizada.
os direitos
autorais.
Pelo gráfico,
podemos concluirReservados
que o
E a todos
corrente consumida
deve aumentar
para:
○
capacitor está totalmente carregado do ponto
de vista prático, passado um tempo igual a:
P 240.000
=
= 400 A
VG
0,5
○
○
○
○
I=
○
○
t = 4t (VC = 0,98E)
○
Assim, algumas alterações devem ser realizadas para corrigir tal problema. Se houver transformador de entrada (nos casos de
casa de força) com FP = 0,5, o transformador
deve ser bem maior.
○
7. Correção do Fator de Potência (FP)
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
.
s
i
Antes de ensinar como corrigir o FP de
a
r
uma instalação, vejamos o porquê dessa neto
cessidade. Consideremos que uma instalação
u
Como a corrente aumenta
consome uma potência de 120kVA quando a
a (dobra), há necessidade de trocar a fiação
por outra bitola
tensão de alimentação for:
s
o
maior para evitar as perdas
que
provocarão a
t
i
queda da tensão naelinha. Assim, concluímos
P
120.000
que é importanteircontrolar o FP de uma insI=
=
= 200 A
d
V
600
talação, procurando mantê-lo o mais próxis
mo possível
o de 1.
s
Em casos de cargas puramente resistivas,
o
A
diminuição
do FP de uma instalação se
como fogões elétricos, aquecedores, lâmpada vários fatores,
o
deve
dentre os quais citamos:
das incandescentes, etc., toda a potência
t
consumida será potência real, e o FP será
s• Motores CA operando em vazio ou com
o
igual a 1, pois ϕ = 0 e fica valendo a Lei de
d pequena carga.
a
Ohm. A potência real é:
• Transformadores operando em vazio.
v
r
• Reatores de lâmpadas fluorescentes.
P = VG . I cosϕ = 600 . 200 . 1 = 120kW se
e
RresisA melhoria do FP pode ser feita de ouNo caso de um circuito contendo
.
tras maneiras, como, por exemplo, usando
tência e indutância, e sendo o FP = a
0,5 (cosϕ=
d
motores síncronos que ajudam na correção
0,5), a potência real será:
a
z
do FP.
i
r
P = VG . I cosϕ = 600 . 200
o . 0,5 = 60kW
t
No nosso estudo, consideraremos apenas a
auque a potência real
correção com o uso de capacitores, que ofereÉ importante notar
o
cem algumas vantagens em relação aos outros
diminui proporcionalmente
com a redução do
ã
métodos, tais como, tamanho pequeno, sem parFP, enquanto a potência
reativa aumenta. Se
n
tes móveis, facilidade de operação, maior sequisermos manter
a
mesma
potência
real
com
a
i
gurança e pouca dissipação de potência.
um FP menor,
a
potência
aparente
deve
aup
ó
mentar para:
C
Em um circuito CA um capacitor tem a
○
○
AP
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
G
○
propriedade de adiantar a corrente em relação à tensão. Como um indutor atrasa a cor-
○
○
○
○
○
○
○
○
○
PAP
P
120.000
=
=
= 240kVA
cosϕ
0,2
○
○
○
Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais.
○
○
○
○
129/80
○
Instituto Monitor
Cópia nãorente
autorizada.
Reservados
os pode
direitos
em relação à tensão,
a colocação detodos
um capacitor
com- autorais.
pensar esse atraso. O ângulo de fase pode ser reduzido a zero e, por
razões econômicas e práticas, basta manter o FP acima de 0,85.
O valor do capacitor que corrige o FP pode ser calculado da
seguinte maneira: consideremos uma impedância Z indutiva, cujo
ângulo de fase é ϕ1, e queremos diminuir esse ângulo para ϕ. A
colocação do capacitor em paralelo com a carga reduz o ângulo de
fase de ϕ1 para ϕ, o que equivale a dizer que o FP aumenta. Vejamos, nas figuras abaixo, um diagrama fasorial sem o capacitor (figura 96) e outro com o capacitor (figuras 97a e 97b)
I1
0
Z
VG
(a)
s
o
d
a
v
r
e
s
e I1
R
.
IC
a
d
C
Z
a
z
ri
o
t
u
a
s
o
it
Ve
G
ir
d
φ1
s
o
s
o
d
o
(b)
t
s.
i
a
r
to
u
a
I1
Fig. 96 - Diagrama fasorial sem o capacitor
I1
VG
a
i
óp
C
o
ã
n
Ø1
Ø
(a)
(b)
Fig. 97 - Diagrama fasorial com o capacitor
Observe que a colocação do capacitor não altera a potência
real (ativa) do circuito; altera somente a potência aparente. Por
isso, a colocação do capacitor deve ser tal que o valor da corrente
IR responsável pela parcela de potência real não mude.
Da fórmula de potência real:
P = VG . I . cosϕ
Cópia não autorizada.
Reservados todos os direitos autorais.
○
○
○
○
129/81
○
Instituto Monitor
○
○
Cópia
não autorizada. Reservados
todos
os direitos
consumo
de potência
reativa nãoautorais.
é levado em
Obtemos:
○
○
consideração pelas fornecedoras de energia
elétrica. Há, no entanto, a colocação de
capacitores nas subestações de distribuição
para evitar a perda de energia.
○
○
○
P
VG
○
○
○
____
OC = I1 . cos ϕ =
Nas instalações industriais, quando a empresa estiver com o fator de potência muito baixo, a companhia que fornece energia avisa a
indústria para que o corrija, informa em que
patamar ele está e para quanto deve ser corrigido. A correção é feita com o uso de
capacitores. A seguir, veremos um exemplo de
correção do fator de potência, lembrando que,
para ligações trifásicas, o critério adotado é o
mesmo.
○
○
○
○
○
OC é o novo valor da corrente a ser corrigida
(figura 97b).
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
A corrente total no circuito corrigido é a
soma vetorial mostrada na figura 97b, que,
fazendo as transformações necessárias, nos
levará à fórmula que permite determinar o
valor do capacitor, a fim de corrigir o fator
de potência.
○
P
(tgϕ1 − tgϕ )
ω .VG2
○
○
○
s
o
d
o
t
○
○
○
Onde:
C: valor do capacitor, em Farad (F)
P: potência consumida em Watt (W)
VG: tensão do gerador ou de alimentação, em
Volt (V)
ω: constante 2πƒ, onde ƒ = 60Hz, ω = 377 rad/s
ϕ1: valor do ângulo sem a correção do FP, em
graus (o)
ϕ: novo valor do ângulo com o FP corrigido,
em graus (o)
os
Um motor consome uma potência de
10kVA ligado em 600V. A empresa concessionária avisa que o FP está com valor de 0,6 e
solicita que o aumente para 0,9. Calculemos
o valor do capacitor que aumentará o FP, sendo a freqüência igual a 60Hz.
○
C=
s
o
it
e
r
di
s.
i
a
r
to
u
a
○
○
○
○
○
s
o
d
a
v
cosϕ1 = 0,6 ϕ = 53 tg53 = 1,33
r
e
s
cosϕ = 0,9 ϕ = 25 tg25 = 0,48
e
R
.
P = 10kW
a
d
ϕ = 377 rd/s 2πƒ = 2 . 3,1416 . 60
a
z
VG = 600V
ri
o
Já vimos que o indutor
adianta a tensão e
t
u o capacitor adianatrasa a corrente, enquanto
a
P
10.000
ta a corrente e atrasa
a tensão. Aprendemos,
. (1,33 − 0,48)
C =
(tgϕ − tgϕ ) =
o
ω .V
377.(600)
ã
no módulo de Eletricidade,
que o fator de pon entre a tensão e a cortência é a divergência
10.000
a
rente, e, parai corrigi-lo, é preciso colocar um
C =
. 0,85 = 0,0000626 F = 62,6 µF
p
135720000
capacitoróem paralelo com a instalação que
C corrigir.
se deseja
o
○
○
○
o
o
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
o
1
2
○
○
○
○
○
○
○
○
○
2
G
○
○
8. Impedância Complexa
○
○
Alertamos que a correção do fator de potência se aplica somente às instalações industriais trifásicas, onde existem cargas
indutivas, como motores e reatores de luminárias. Nas instalações domésticas, o baixo
○
○
○
8.1 Circuitos RL
○
○
○
○
Vamos considerar o circuito RL em série
e seu diagrama fasorial (figura 98).
○
○
○
Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais.
○
○
○
○
129/82
○
Instituto Monitor
Cópia não autorizada.
Reservados
todos os direitosω autorais.
I
R
VL
VR
VG
VG
VL
L
Ø
I
VR
s.
i
a
Fig. 98
r
to
u
Um fasor também tem um módulo e uma fase (ângulo). Isso
a
sugere que elementos de circuito, como tensões e correntes,s poo Por
dem ser representados na forma
de números complexos.
tresistor
•
i
exemplo, a tensão no indutor, VL = |VL| 90 , a tensão no
•
•
regrandeza
VR = |VR| 0 e a corrente I = |I| 0 . O ponto (•) indica uma
i
d é válida a
que tem módulo e fase, complexo ou imaginário. Como
s
1ª Lei de Ohm em CA, para o indutor temos: o
s
o
d
V V 90°
o
t
= X 90°
X = =
I
0
°
s
I
o
d
a trabalhando com números comv
Obs.: a notação indica que se está
r
plexos ou imaginários.
e
s
e
Como |XL| = ω. L, aRreatância indutiva é representada como um
.
número complexo puro.
a
d
a
iz
X = jωLor
t
u
a
Para o resistor, vale o mesmo raciocínio, lembrando que a paro
teãimaginária será igual a zero, pois no resistor a tensão e a correnn
o
o
o
•
L
•
L
L
•
L
a te estão em fase.
i
óp
C
V
•
R=
•
= VR
I
Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais.
○
○
○
○
129/83
○
Instituto Monitor
○
○
Cópia
não autorizada.
os
direitos
autorais.
a = +todos
4
e
b=+3
Isto significa
que o resistor Reservados
é uma
módulo = √a2 + b2
○
○
○
impedância com a parte imaginária nula, uma
vez que o ângulo do número complexo na forma polar vale 0o. A impedância do circuito
RL série, na sua representação complexa, é:
○
○
○
○
○
○
m = √42 + 32 = √25
b
θ = arctg
a
3
θ = arctg
4
θ = arctg 0,75
θ ≅ 37o
○
○
○
○
○
○
•
⎛ ωL ⎞
Z = R + jωL = Z arctg ⎜
⎟
⎝ R ⎠
○
Para compreender melhor a aplicação
destas fórmulas, vejamos um exemplo.
s.
i
a
r
to
u
a
•
○
○
Z = 4 + j3
○
○
s
o
Passando para a forma
it polar, temos:
e
r
5 37°
di
s
•
• VG 20o0
I = • =s
R = 4Ω
Z o 5 37
d
o
Dividindo
os números imaginários, temos:
t
s
o
XL = 3Ω
I
d 4 -37° A
a
i = 4 ⋅ 2 ⋅ sen (ωt − 37 ) A
v
r
e
s
O diagrama fasorial correspondente está
e
R
representado na figura 100.
.
a
d
Z
I
a
VG
iz
r
37
o
t
au
Fig. 99
o
ã
n
I
○
○
○
○
○
○
○
Vamos apresentar as expressões da corrente e calcular o ângulo de defasagem entre
tensão e corrente para o circuito RL em série da figura 99.
○
o
○
○
VG
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
VG
○
○
○
○
○
○
○
○
o
○
○
○
○
o
Fig. 100
○
VG
○
a
i
p
= 20 0ó V
C
Dados:
○
○
○
○
○
○
○
○
o
○
○
○
○
Usamos o valor eficaz VG. Se usarmos um
número imaginário na forma cartesiana (a +
bi), o valor do resistor é a parte real 4, e o do
indutor, a parte imaginária 3i, ou seja, j3.
○
○
○
○
○
○
○
Como o valor do ângulo é negativo, ele
está apontando para baixo.
○
○
○
Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais.
○
○
○
○
129/84
○
Instituto Monitor
○
Cópia
não autorizada.
Reservados
todos os direitos autorais.
E o diagrama
fasorial pode ser desenha•
○
X = 60 / 90°
○
○
○
do de outra maneira, com ângulo positivo (figura 101).
○
•
○
Z=
○
○
VG
○
○
ω
•
Como é indutor, o ângulo
será positivo
•
R. X L
•
•
R+ X L
80 / 0°.60 / 90°
+ 60
I60/ 90°
80 / 80
0° +
s.
i
a
r
Importante: para somar números
to comple37
u
xos, é melhor passá-los para a forma algéa
brica e depois voltar para a forma polar. Em
s
caso de dúvida, consulte
o o módulo Matet
i
mática Aplicada II.
Fig. 101
re
i
a = 80
ed
b = 60
Agora o ângulo é positivo, mas o que ims
2
2
m = √80 + 60
porta é que tanto num caso quanto no outro a
o
corrente está 37 atrasada em relação à tensão.
s
m = √10000
o
d
m
=
100
Para o circuito RL paralelo da figura 102,
o b
t
vamos determinar a impedância e a corrente.
sθ = arctg a
o
d θ = arctg 60
I
a
80
I
v
r
θ = arctg 0,75
I
e
s
θ ≅ 37
ej60Ω
120 90
R
100 37
.
a
d
Efetuando as operações, temos:
a
z
ri
I
o
4.800 / 90°
t
Z=
u
100 / 37°
a
o
ã
A impedância vale:
Z
120n 90
a
i
Z = 48 / 53°
p
ó
C
Cálculo da corrente, pela Lei de Ohm:
Fig. 102
○
○
○
○
○
○
Z=
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
o
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
o
○
o
○
o
○
○
○
○
○
○
○
o
○
○
○
○
○
○
○
•
○
o
○
○
○
○
○
○
○
○
•
○
Para determinar a impedância, temos:
○
•
○
I=
○
Z = R, que está em paralelo com XL, onde
R = 80 0° pois, no resistor a corrente e a
tensão estão em fase.
•
VG
•
○
○
○
○
Z
○
•
120 / 90°
48 / 53°
○
○
○
I = todos =os
2,5 direitos
90 - 53
Cópia não autorizada. Reservados
autorais.
○
○
○
○
129/85
○
Instituto Monitor
•
Cópia nãoPortanto,
autorizada.
todos os direitos autorais.
a corrente Reservados
vale I = 2,5 / 37° (Ampère)
8.2 Circuito RC
Da mesma forma que fizemos com os circuitos RL, os circuitos
RC também podem ser representados na forma complexa. Consideramos um circuito RC em série e seu diagrama fasorial como o
da figura 103.
R
VR
+
I
VG
-
C
VG
∅
VC
os
s
o
it
e
r
di VC
s.
i
a
ω r
to
u
a
s
o
d
Analisando o diagrama fasorial da figurao103, vemos que:
t
s
o
I = I / 90° Corrente adiantada 90 d
a
v
r
e
V
s
X
V =
e
I
aR
tensão está atrasada 90
.
em relação à tensão
a
V / − 90° ad
X =
z = X / − 90°
I ri
Sinal negativo sempre
o
t
A reatância
au de um capacitor na forma complexa será:
o
1
Xã = − j
n
Fig. 103
•
o
•
C
C
o
C
C
C
•
C
ω .C
a
i
Se multiplicarmos o numerador e o denominador da última exóp pressão
por j e, lembrando que j2 = -1, teremos a outra forma comC
plexa da reatância capacitiva.
•
XC =
1
j.ω .C
Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais.
○
○
○
○
129/86
○
Instituto Monitor
○
○
Cópia
não
autorizada.
Reservados
todos
os adireitos
O resistor
na forma
complexa, como
já foi
Dessa forma,
impedânciaautorais.
do circuito
valerá:
○
○
○
○
visto, não tem parte imaginária, já que a tensão e a corrente estão em fase. Lembre-se de
que o diagrama fasorial da figura 103b gira com
velocidade angular ω (em π radianos), e a posição dos fatores é pura conveniência, pois eles
poderiam também ser representados como na
figura 104.
○
•
1
ωC
•
ou
Z =R+ j
1
jωC
○
○
○
○
Z =R− j
s.
i
a
Vejamos dois exemplos:
r
VR
ω
I
to
∅
u
1º) Para o circuito RC em série (figura 105)
a
determinar:
s
VC
a) a impedância complexa;
to
i
VG
e
b) a expressãoirmatemática da corrente;
d
Fig. 104
c) o diagrama fasorial.
s
o
R = 4Ω
O importante é que, tanto num caso como
s
o
no outro, a corrente no circuito está sempre
d
adiantada em relação à tensão do gerador
o
t
(VG). A tensão VG, que também pode ser res
XC = 3Ω
presentada na forma complexa, é obtida soI
o 10 0
d
mando-se VR com VC:
a
v
r
e
V = V + V Pois se trata de um es
circuito série
R
.
a •
•
Ao dividirmos essa expressãodpor I, o reZ = 4 + (- j3)
a
I
10
0
sultado é:
•
Z = 4 - j3
iz
r
o
t
V
V
V
=
+
au
I
I
I
o
4
ã
n
Onde:
∅
a
i
V
óp
= RC : resistência ôhmica do circuito, em
-j3
Z
Ohms (Ω)
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
Obs.: importante lembrar que ω vale 2πƒ.
○
○
○
○
○
o
•
○
•
R
C
○
○
○
○
○
G
○
•
○
○
○
o
C
○
R
•
•
○
○
○
○
○
○
•
○
•
○
G
○
•
•
○
○
•
○
R
○
•
○
○
I
○
•
○
Fig. 105
○
○
: impedância complexa do circuito,
= Z em Ohms (Ω)
•
○
•
a) Z = 4 − j 3 = 5 / − 37°
○
I
•
○
VG
○
•
•
1
1 : reatância do capacitor,
•
VG
10 / 0°
Cópia
autorais.
= − j não
= autorizada. Reservados Itodos
=
= os direitos
= 2 / 37° (Ampères)
•
○
jωC em Ohms (Ω)
b)
○
ωC
○
I
○
VC
○
○
○
○
129/87
○
•
Z
5 / − 37°
Instituto Monitor
Cópia não autorizada.
Reservados
O resultado obtido
representa que atodos
corrente os
está direitos
adiantada autorais.
37o em relação à tensão.
c) Veja, na figura 106, o diagrama dos fasores:
I (2A)
VR = (8V)
37o
VG = (10V)
∅
53 o
VC = (6V)
Fig. 106
os
s
o
it
e
r
di
s.
i
a
r
to
u
a
s
o
d
o
t
O resultado obtido representa que a tensão está atrasada 53
s
em relação à tensão.
o
d
a
2º) Para o circuito RC paralelovda figura 107, determinar:
r
e
a) a impedância complexa;
s
e
b) a expressão matemática
da corrente do
R
.
gerador.
a
d
za I G
i
or
t
10µF
u
150Ω
a
110 0
C
R
o
60Hz
nã
•
•
V C = X C .I = 3 / − 90°.2 / 37° = 6 / − 53°
O
o
a
i
óp
C
IG
110 0o
Z
Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais.
Fig. 107
○
○
○
○
129/88
○
Instituto Monitor
Cópia não• autorizada.
1
1 Reservados
1 todos os direitos autorais.
Xc =
•
ωC
•
=
2 . 3,14 . 60 . 10 . 10-6
=
377.10-5
= 265Ω
•
Z = R//XC
Importante lembrar que a representação gráfica // indica que
•
•
R e XC estão em paralelo. Usando conceito visto em eletricidade
básica, quando temos dois resistores em paralelo vale a equação:
•
Z=
150 0o . 265 - 90o
150 + (- 265J)
O sinal é negativo porque
é um capacitor
150 0o . 265 - 90o
150 - 265J
a = 150
e
b = - 265
m = √1502 + 2652
m = √22500 + 70225
m = 304
s
o
d
a
v
r
e
s
θ = arctg (- 1,76)
e
R
θ = - 60
.
a
m 0 = 304 - 60 d
za
i
• 150 0 . 265
r - 90
Z=
304 t-o60
au
• 39750 - 90
Z =o
nã 304 - 60
b
a
- 265
θ = arctg
=
150
s
o
d
o
t
os
s
o
it
e
r
di
s.
i
a
r
to
u
a
θ = arctg
o
o
o
o
o
o
o
o
a Z• = 130,5
i
óp
C
- 30o
Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais.
○
○
○
○
129/89
○
Instituto Monitor
Cópia não autorizada.
todos os direitos autorais.
Aplicando Lei deReservados
Ohm temos:
•
b) I G =
•
VG
•
=
Z
100 / 0°
= 0,84 0 - (- 30O)
130,5 / − 30°
•
I G = 0,84 / 30°
•
I G = 0,84 2 . sen(ωt + 30) (Ampères)
(unidae Ampères)
a
i
óp
C
s.
i
a
r
to
u
a
s
o
it
8.3 Circuitos Mistos RLC
e
r
diestá nos caA grande vantagem de se usar números complexos
sos em que aparecem mais de uma malha. Veja os exemplos
a seguir.
os
ssérie-paralelo RL),
o
1º) Para o circuito da figura 108 (associação
d
determinar:
o
t
a) a impedância complexa;
s
o
b) a corrente do gerador em cada d
ramo;
a
v
c) o diagrama fasorial.
r
e
es
IG
R
.
a
d
I1
R1
I2
R2
a
z
ri
o
t
u
XL1
XL2
a
o
ã
n
Fig. 108
Dados:
R1 = 50 Ω
R2 = 50 Ω
VG = 110 √2 . senωt = 110 0O
XL1 = 20 Ω
XL2 = 80 Ω
Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais.
○
○
○
○
129/90
○
Instituto Monitor
Cópia nãoa) autorizada.
Reservados
todos
os direitos
autorais.
Podemos representar
as impedâncias como
na figura
109:
IG
IG
I2
I1
Z2
Z1
VG
s.
i
a
r
to
u
a
Z
s
o
it
e
r
di
Fig. 109 - Diagrama equivalente das impedâncias
Desenvolvendo as equações, temos:
•
Z =
•
•
Z1 . Z 2
•
•
s
o
d
o
t
Z1 + Z 2
•
Z 1 = 50 + 20i = 53,3 21,8°
os
s
o
d
a
v
53,3 21,8 . 94,3 58° er 5026,19 79,8° 5026,19 79,8°
Z =
=
=
(50 + 20i ) + (50 + 80
141 45°
esi) 100 + 100i
R
.
= 100 cos 100° = 141⎫
⎧a a
(100 + 100i ) ⇒ ⎨d
⎬ ⇒ 141 45°
a
b = 100 sen 100° = 45 ⎭
⎩
iz
r
o
Z = 35,6ut34,8°
a
o
nã
•
Z 2 = 50 + 80i = 93,3 58°
•
•
a
i
óp
C
Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais.
○
○
○
○
129/91
○
Instituto Monitor
Cópia nãoAplicando
autorizada.
Reservados
todos
os direitos autorais.
a Lei de Ohm
podemos calcular
a corrente:
•
IG =
b)
VG
110 / 0°
=
= 3,09 / − 34,8°
35,6 / 34,8°
Z
•
I G = 3,09. 2 . sen(ωt − 34,8)
•
I1 =
•
VG
•
Z1
=
110 / 0°
= 2,06 / − 21,8°
53,3 / 21,8°
•
I = 2,06. 2 . sen(ωt − 21,8) (Ampères)
(unidade Ampères)
s
os
s
o
it
e
r
di
s.
i
a
r
to
u
a
o
V
110 / 0°
d
I2 = G =
= 1,16 / − 58° ((Ampères)
unidade
Ampères )
Z 2 94,3 / 58°
to
•
s
o
d
Você observou que todas asacorrentes possuem ângulos negav
r
tivos? Isso significa que as correntes
estão atrasadas em relação à
tensão (circuito indutivo).se
e
R
O diagrama fasorial .está representado na figura 110:
a
d
VG = 110V
a
iz
r
21,8
o
I1 = (2,06A)
t
34,8
u
58
a
o
nã
o
o
o
a
i
óp
C
I2 = (1,16A)
IG = (3,09A)
Fig. 110
2º) Para o circuito da figura 111 (associação em série-paralelo RLC),
determinar:
a) a impedância do circuito;
•
Cópia
b) I , I 1 , I ;
G
2
nãoc) autorizada.
Reservados
o diagrama fasorial.
○
○
○
○
129/92
○
todos os direitos autorais.
Instituto Monitor
Cópia não autorizada.
I G Reservados todos os direitos autorais.
R1
I1
R2
I2
XL1
XC1
Fig. 111
Dados:
•
V G = 110 / 90°
R1 = 4Ω
R2 = 3Ω
os
XL1 = 3Ω
XL2 = 4Ω
s
o
it
e
r
di
s.
i
a
r
to
u
a
s
o
d
o
a) Podemos decompor as impedâncias fazendo
o desenho da figura
t
112:
s
o
IG
d
a
v
IG
r
e
I1
es I 2
R
.
VG
Z
VG
Z2
a Z1
d
za
i
or
t
au Fig. 112 - Esquema equivalente das impedâncias
o
ã
nZ = 4 + j3 = 5 / 36,8° (circuito série)
a
i
p
capacitor
ó
C
Z = 3 − j 4 = 5 / − 53,1° (circuito série)
•
1
•
2
•
•
•
Z = Z 1 // Z 2 =
•
Z 1 .Z 2
5 / 36,8°.5 / − 53,1° 25 / − 16,3°
=
=
Z 1 + Z 2 (4 + j 3) + (3 − j 4)
(7 − j1)
significa que o efeito
capacitivo prevalecerá
25 / − 16,3°
7,07 / − 8,1°
=
= 3,53Reservados
/ − 8,2°
Cópia nãoZ autorizada.
todos os direitos autorais.
○
○
○
○
129/93
○
Instituto Monitor
Cópia não autorizada.
Reservados
os (Ω),
direitos
Na forma algébrica
3,53/-8,2° vale:todos
(3,49 – j0,5)
pois a autorais.
impedância é dada em resistência.
•
b) I =
VG
110 / 90°
= 31,11 / 98,2°
=
Z 3,53 / − 8,2°
•
I1 =
•
VG
•
Z1
=
110 / 90°
= 22 / 53,2°
5 / 36,8°
•
I 1 = 22. 2 . sen(ωt + 53,2) ( A)
•
I2 =
os
VG 110 / 90°
= 22 / 143,1° ( A)
=
Z 2 5 / − 53,1°
s
o
it
e
r
di
s.
i
a
r
to
u
a
s
o
d
o
t possuem ângulo positivo
Você observou que todas as correntes
s
(circuito capacitivo), o que significaoque a corrente está adiantada
d
em relação à tensão.
a
rv
c) O diagrama fasorial está e
representado na figura 113:
es
R
I.G = (31,11 A)
a
VG = (110 V)
d
za
i
φ = 8,2
or
t
I1 (22 A)
au
o
ã
I2 (22 A)
n
o
14
3,
o
1
o
,2 o
,2
53
98
a
i
óp
C
Fig. 113 - Diagrama fasorial
3º) No circuito da figura 114, vamos determinar a impedância e
todas as correntes, considerando os valores em ohms.
Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais.
○
○
○
○
129/94
○
Instituto Monitor
Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos
autorais.
I
10Ω
j5
3
- j5
I1
Ii
110 0o
j10
- j15
Fig. 114
Decompondo as impedâncias, obtemos a figura 115:
Z1 = 10 + j5
I2
I1
110 0o
I3
V4
Z2 = 8 - j5
Z3 = j5
s
o
d
o
t
110
os0
s
o
it
e
r
di
o
s.
i
a
r
to
u
a
Z1
V4
I1
Z4
s
o
d
a
•
v
Z1 = 10 + j5 = 11,2 26,5
r
e
•
s
Z2 = 8 - j5 = 9,4 - 32
e
R
•
.
Z3 = j5 = 5 90
a
d
a
z
i116,
r
Na figura
mostramos a resultante de todas as impedâncias
o
t
do circuito.
au
o
ã
I1
n
Fig. 115 - Decomposição das impedâncias
O
O
O
a
i
óp
C
110 0o
Fig. 116 - Impedância
Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais.
○
○
○
○
129/95
○
Instituto Monitor
Cópia não autorizada.
todos ter
osumdireitos
Para a resolução Reservados
deste exercício é necessário
bom co- autorais.
nhecimento de circuito em série e paralelo.
s
o
d
a
v
r
e
s
e
R
.
a
d
a
iz
r
o
t
au
s
o
d
o
t
os
s
o
it
e
r
di
s.
i
a
r
to
u
a
Vamos calcular a tensão em Z4, que será mesma para Z2 e Z3:
a
i
óp
C
o
ã
n
Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais.
○
○
○
○
129/96
○
Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais.
Exercícios Propostos
1 - Calcule a IT do circuito mostrado na figura 117:
4Ω
Fig. 117
10 30O
a
i
óp
C
o
ã
n
- 3i
s
o
d
a
v
r
e
s
e
R
.
a
d
a
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t
au
s
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r
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s.
i
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r
to
u
a
Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais.
○
○
○
○
129/97
○
Cópia
não aautorizada.
Reservados
todos os direitos autorais.
2 - Calcule
corrente total do circuito
da figura 118:
Fig. 118
100 90O
a
i
óp
C
o
ã
n
J10
2i
s
o
d
a
v
r
e
s
e
R
.
a
d
a
iz
r
o
t
au
s
o
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t
os
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it
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r
di
s.
i
a
r
to
u
a
Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais.
○
○
○
○
129/98
○
Cópia
não
autorizada.
Reservados
todos
osFPdireitos
autorais.
3 - Um
motor
monofásico de 220V/60Hz
consome 2,4
KW com
= 0,6. Determine
o
valor do capacitor para corrigir o valor do fator de potência para 0,9.
s
o
d
o
t
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s
o
it
e
r
di
s.
i
a
r
to
u
a
s
o
d
a
v
r
e
s
e
4 - O FP:
R
. 0;
( ) a) deve ter cosϕ próximoade
( ) b) deve ter um valor próximo
de 1;
ad correção;
( ) c) o cosϕ é usado nazsua
i
( ) d) o cosϕ e o senϕ rsão iguais, pois a tensão tem forma cossenoidal ou senoidal;
o
( ) e) nenhuma dast alternativas anteriores.
au
5 - Para a correção
o do FP, deve-se:
ã
( ) a) calcular novo indutor;
n
( ) b) usar o máximo possível de reatores para lâmpadas;
a
( ) c) iinformar-se com a concessionária qual o valor do cosϕ atual antes de corrigi-lo;
p
( )ód) usar motores sem carga;
( C) e) nenhuma das alternativas anteriores.
o
6
(
(
(
(
(
- Qual das potências deve ser reduzida em um circuito com corrente alternada?
) a) aparente;
) b) real;
) c) reativa;
) d) útil;
) e) nenhuma das alternativas anteriores.
Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais.
○
○
○
○
129/99
○
Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais.
Respostas dos Exercícios Propostos
Lição 6
○
○
○
Lição 2
○
s
o
it
2) IL = 14,84A
e
r
di
Lição 7
s
o
1) C = 16ηF
s
o
2) Rod
≅ 8KΩ
t
s3) C ≅ 2,5µF
o
d
a
Lição 8
v
r
e
s
1) IT = 2 67 (A)
e
R
.
2) IT = 40 180 (A)
a
d
a
3) C = 112 µF
z
i
or
4) B
t
u
a
1) VP = 30V
○
○
○
1) V2 = 8,25V
s.
i
a
r
to
u
a
○
○
○
2) R1 = 8750Ω
○
○
○
3) R2 = 72Ω
○
○
○
○
○
○
○
4) R1 = 1000Ω
R2 = 4700Ω
R3 = 3300Ω
○
○
○
Lição 3
○
○
○
○
1) VR1 = 20V
VR2 = 10V
○
O
○
○
2) 2V
○
O
○
○
○
○
Lição 4
○
○
○
1) EAB = 12V
○
○
2) 10Ω
○
○
○
○
○
○
○
○
○
6) C
2Ω
○
a
i
óp
C2A
○
○
○
○
○
○
1)
5) C
○
Lição 5
o
ã
n
○
○
○
○
2) IN = 10A
○
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Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais.
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○
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129/100
Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais.
Bibliografia
O’MALEY, John
Análise de Circuitos
Editora Makron Books
ALBUQUERQUE, Rômulo Oliveira
Análise de Circuitos em Corrente Contínua
Editora Érica
AIUB, José Eduardo
FOLONI, Enio
Eletrônica
s
o
d
a
v
r
e
CAPUANO, Francisco Gabriel s
e
MARINO, Maria Aparecida Mendes
R
Laboratório de Eletricidade. e Eletrônica
a
Editora Érica
d
a
z
i
MARKUM, Otávio r
CIPELLI, Marcoto
Circuitos Elétricos
au - Teoria e Exercícios
Editora Érica
o
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n
a
i
p
ó
C
s
o
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o
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s
o
it
e
r
di
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i
a
r
to
u
a
GUSSOW, Milton
Eletricidade Básica
Editora McGraw-Hill
Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais.
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○
○
○
○
129/101
Pesquisa de Avaliação
Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais.
129 - Circuitos Elétricos
Caro Aluno:
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s
i
Para que possamos aprimorar cada vez mais os nossos serviços, oferecendo um
a
r
material didático de qualidade e eficiente, é muito importante a sua avaliação.
to
Sua identificação não é obrigatória. Responda as perguntas a seguir assinalandou
a
a alternativa que melhor corresponda à sua opinião (assinale apenas UMA
s
alternativa). Você também pode fazer sugestões e comentários por escrito
no
to
verso desta folha.
i
re
Na próxima correspondência que enviar à Escola, lembre-se deijuntar sua(s)
d
pesquisa(s) respondida(s).
s
o
O Instituto Monitor agradece a sua colaboração.
s
o
A Editora.
d
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t
Nome (campo não obrigatório): _______________________________________________________________
s
o
N de matrícula (campo não obrigatório): _____________________
d
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Curso Técnico em:
v
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Eletrônica
Secretariado
Gestão de Negócios
e
s
Transações Imobiliárias
Informática
Telecomunicações
e
Contabilidade
R
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QUANTO AO CONTEÚDO
a
d
1) A linguagem dos textos é:
za muito a compreensão da matéria estudada.
i
a) sempre clara e precisa, facilitando
ore precisa, ajudando na compreensão da matéria estudada.
b) na maioria das vezes clara
t
c) um pouco difícil, dificultando
a compreensão da matéria estudada.
au
d) muito difícil, dificultando muito a compreensão da matéria estudada.
o
e) outros: ______________________________________________________
ã
n
2) Os temas abordados nas lições são:
a
a) atuais eiimportantes para a formação do profissional.
b) atuais,
ópmas sua importância nem sempre fica clara para o profissional.
C mas sem importância para o profissional.
c) atuais,
Queremos saber a sua opinião a respeito deste fascículo que você acaba de estudar.
o
d) ultrapassados e sem nenhuma importância para o profissional.
e) outros: ______________________________________________________
3) As lições são:
a) muito extensas, dificultando a compreensão do conteúdo.
b) bem divididas, permitindo que o conteúdo seja assimilado pouco a pouco.
c) a divisão das lições não influencia Na compreensão do conteúdo.
d) muito curtas e pouco aprofundadas.
e) outros: ______________________________________________________
Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais.
QUANTO AOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS
Cópia
não
autorizada.
Reservados todos os direitos autorais.
4) Os exercícios
propostos
são:
a) muito simples, exigindo apenas que se decore o conteúdo.
b) bem elaborados, misturando assuntos simples e complexos.
c) um pouco difíceis, mas abordando o que se viu na lição.
d) muito difíceis, uma vez que não abordam o que foi visto na lição.
e) outros: ______________________________________________________
s.
i
a
r
to
u
a
5) A linguagem dos exercícios propostos é:
a) bastante clara e precisa.
b) algumas vezes um pouco complexa, dificultando a resolução do problema proposto.
c) difícil, tornando mais difícil compreender a pergunta do que respondê-la.
d) muito complexa, nunca consigo resolver os exercícios.
e) outros: ______________________________________________________
s
o
it
e
6) O material é:
r
a) bem cuidado, o texto e as imagens são de fácil leitura e visualização, tornando
di o estudo bastante agradável.
b) a letra é muito pequena, dificultando a visualização.
os
c) bem cuidado, mas a disposição das imagens e do texto dificulta a compreensão
do mesmo.
s
d) confuso e mal distribuído, as informações não seguem uma seqüência lógica.
o
e) outros: ______________________________________________________
d
to
7) As ilustrações são:
s do texto.
a) bonitas e bem feitas, auxiliando na compreensão e fixação
o
b) bonitas, mas sem nenhuma utilidade para a compreensão
ad do texto.
c) malfeitas, mas necessárias para a compreensãov
e fixação do texto.
r
d) malfeitas e totalmente inúteis.
e
e) outros: ______________________________________________________
es
R seus comentários e sugestões, bem como apontar
Lembre-se: você pode fazer
.
algum problema específico
a encontrado no fascículo. Sinta-se à vontade!
d
za
i
PAMD1
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Sugestões e comentáriosut
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nã
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C
QUANTO À APRESENTAÇÃO GRÁFICA
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Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais.
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