24/08 - Facom

Otimização
Modelagem e Solução Gráfica
Paulo Henrique Ribeiro Gabriel
[email protected]
Faculdade de Computação
Universidade Federal de Uberlândia
2016/1
Paulo H. R. Gabriel (FACOM/UFU)
GSI027
2016/1
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Agradecimentos
Prof.a Dr.a Maristela Oliveira dos Santos (ICMC/USP)
Prof.a Dr.a Priscila Cristina Berbert Rampazzo (FACOM/UFU)
Que gentilmente forneceram suas notas de aula.
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Conteúdo
1
Problemas de Planejamento da Produção
2
Exercícios
3
Problema da mistura
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O Problema de Produção
Função objetivo: maximizar a margem de contribuição dos produtos
Primeiro conjunto de restrições: fabricação dos produtos deve levar
em conta a capacidade limitada dos recursos
Segundo conjunto de restrições: quantidade de produtos produzida
não deve ser inferior à mínima e nem superior à máxima
preestabelecida
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O Problema de Produção: Padaria
Uma padaria produz dois tipos de produtos: pão (P1 ) e massa de
pizza (P2 )
Quatro diferentes matérias primas são utilizadas para a fabricação
destes produto: farinha (M1 ), fermento (M2 ), ovos (M3 ) e manteiga
(M4 ), em que temos em estoque, respectivamente, 60 unidades, 38
unidades, 18 unidades e 55 unidades
Para produzir 1 kg de pão são necessárias 1 un. de farinha, 2 un. de
fermento e 3 un. de manteiga
Para produzir 1 kg de massa de pizza são necessárias 3 un. de
farinha, 1 un. de ovo e 1 un. de manteiga
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O Problema de Produção: Padaria
O pão e massa de pizza são vendidos ao custo de $22.00 o Kg e
$20.00 o Kg, respectivamente
Deseja-se determinar a quantidade de cada produto a ser fabricada
que maximize as vendas e respeite as restrições de estoque
Matéria prima
Farinha
Fermento
Ovos
Manteiga
Preço ($/kg)
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Produto
P1 P2
1
3
2
0
0
1
3
1
22 20
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Estoque
60
30
18
55
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O Problema de Produção: Padaria
O que devemos decidir?
Decisões: Denominadas Variáveis de decisão.
Definindo:
I
I
x1 : quantidade produzida de pão em Kg
x2 : quantidade produzida de pizza em Kg
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O Problema de Produção: Padaria
Modelo Matemático:
maximizar f (x1 , x2 ) = 22x1 + 20x2
1x1 + 3x2
2x1 + 0x2
0x1 + 1x2
3x1 + 1x2
x1
x2
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≤
≤
≤
≤
≥
≥
60
30
18
55
0
0
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O Problema de Produção: Padaria
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O Problema de Produção: Padaria
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O Problema de Produção: Padaria
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O Problema de Produção: Padaria
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O Problema de Produção: Padaria
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O Problema de Produção: Padaria
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O Problema de Produção: Padaria
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O Problema de Produção: Padaria
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O Problema de Produção: Padaria
Lucro total: 601.25
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Outra Aplicação: Produção de Geladeiras
Empresa precisa decidir quais modelos de geladeira instalar em sua
nova planta
Dois possíveis modelos: luxo e básico
No máximo, 1500 unidades do modelo luxo e 6000 unidades do
modelo básico podem ser vendidas por mês
Empresa contratou 25000 homens-hora de trabalho por mês
Os modelos luxos precisam de 10 homens-hora de trabalho para serem
produzidos e os modelos básicos, 8 homens-hora
A capacidade da linha de montagem é de 4500 geladeiras por mês,
pois as geladeiras dividem a mesma linha
O lucro unitário do modelo luxo é $100, 00 por mês, enquanto o
modelo básico lucra $50, 00 durante o mesmo período
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Produção de Geladeiras
Objetivo:
Determinar quanto produzir de cada geladeira, de modo a satisfazer todas
as restrições e maximizar o lucro da empresa.
Variáveis de decisão:
x1 : quantidade de geladeiras do modelo luxo a ser produzida por mês.
x2 : quantidade de geladeiras do modelo básico a ser produzida por mês.
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Produção de Geladeiras
Modelo Matemático:
maximizar f (x1 , x2 ) = 100x1 + 50x2
10x1 + 8x2 ≤ 25000
x1 + x2 ≤ 4500
0 ≤ x1 ≤ 1500
0 ≤ x2 ≤ 6000.
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Produção de Geladeiras
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Produção de Geladeiras
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Produção de Geladeiras
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Produção de Geladeiras
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Produção de Geladeiras
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Produção de Geladeiras
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Problemas de Planejamento da Produção
2
Exercícios
3
Problema da mistura
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Exercício 1
Uma empresa pode fabricar dois produtos (1 e 2). Na fabricação do
produto 1 a empresa gasta nove horas-homem e três horas-máquina (a
tecnologia utilizada é intensiva em mão-de-obra). Na fabricação do
produto 2 a empresa gasta uma hora-homem e uma hora-máquina (a
tecnologia é intensiva em capital). Sendo x1 e x2 as quantidades
fabricadas dos produtos 1 e 2 e sabendo que a empresa dispõe de 18
horas-homem e 12 horas-máquina e ainda que os lucros dos produtos são
4 u.m. (unidades monetárias) e 1 u.m. respectivamente, quanto deve a
empresa fabricar de cada produto para obter o maior lucro possível (ou o
lucro máximo ou ainda maximizar o lucro)?
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Exercício 2
BRINCAR SA é uma empresa que produz dois tipos de brinquedos:
bonecos e trens. Um boneco é vendido por $27.00, gasta $10.00 de
matéria-prima e $13.00 de mão-de-obra. Um trem é vendido por $21.00,
gasta 9 de matéria-prima e $10.00 de mão-de-obra. A manufatura dos dois
brinquedos requer duas operações: carpintaria e acabamento. Um boneco
requer 2 horas de acabamento e 1 hora de carpintaria. O trem requer 1
hora de acabamento e 1 hora de carpintaria. A empresa obtém
semanalmente toda a matéria-prima necessária para a sua produção.
Porém, apenas 100 horas de acabamento e 80 horas de carpintaria podem
ser utilizadas na confecção dos brinquedos. A demanda por trens é
ilimitada, i.e., todos os trens produzidos são vendidos. Sabe-se, por
experiência, que, no máximo, 40 bonecos são vendidos por semana.
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Exercício 2
1
Formule um modelo matemático para esta situação e que possa ser
utilizado para maximizar o lucro líquido de BRINCAR SA.
2
Encontre a(s) solução(ões) ótima(s) graficamente, se houver.
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Problemas de Planejamento da Produção
2
Exercícios
3
Problema da mistura
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Problema da Mistura
Materiais disponíveis são combinados para gerar novos produtos com
características convenientes
Um dos primeiros problemas de otimização linear implementados com
sucesso na prática
Aplicações:
I
I
I
Ração
Ligas metálicas
Composição de filtros
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Problema da Mistura: Ração
Queremos saber quais as quantidades ideais de cada ingrediente para
fazer uma quantidade de ração, com as necessidades nutricionais
atendidas e o custo total dos ingredientes seja o menor possível
Temos os ingredientes e seus custos:
I
I
Milho (A1 ): $65.0 o quilograma
Farinha de ossos (A2 ): $30.00 o quilograma
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Problema da Mistura: Ração
Para fazer uma certa quantidade de ração para, digamos, aves, é
necessário uma certa quantidade nutrientes, digamos, vitamina A
(Va), vitamina B (Vb) e proteína (Vc)
Os ingredientes apresentam esses nutrientes determinadas unidades
(un):
I
I
A1 : 2 un. de Va, 3 un. de Vb e 1 un. de Vc
A2 : 3 un. de Va, 2 un. de Vb
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Problema da Mistura: Ração
Deseja-se prepara uma ração que contenha, no mínimo, 7 unidades de
Va, 9 unidades de Vb e 1 unidade de Vc
Determinar a quantidade dos alimentos necessárias para satisfazer a
necessidades da ração
Nutrientes
Vitamina A
Vitamina B
Proteína
Custos ($/kg)
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Ingredientes
A1
A2
2
3
3
2
1
0
65
30
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Qtde
Mínima
7
9
1
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Problema da Mistura: Ração
Perguntas:
Como misturar (as quantidades) dos ingredientes para produzir a
ração de menor custo possível?
A mistura atende as necessidades de nutrientes?
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Problema da Mistura: Ração
O que decidir?
Quantidades dos ingredientes presentes na mistura
Decisões: Denominadas Variáveis de decisão
Definindo:
I
I
x1 : quantidade de ingrediente do tipo 1 presente na mistura (u.n)
x2 : quantidade de ingrediente do tipo 2 presente na mistura (u.n)
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Problema da Mistura: Ração
Por que decidir?
Função objetivo (custo): f0
O custo mínimo seria nulo se não fossem as quantidades mínimas de
nutrientes a serem atendidas (vitamina A, vitamina B e proteína)
Os custos são positivos
Objetivo: minimizar o custo total da mistura
Custo total é dado por uma função objetivo
f (x1 , x2 ) = 65x1 + 30x2
Devemos determinar x1 e x2 tal que f (x1 , x2 ) seja o menor possível.
minimizar f0 (x1 , x2 ) = 65x1 + 30x2
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Problema da Mistura: Ração
Considere que as composições de vitamina A, vitamina B e proteína na
ração sejam satisfeitas
Modelo Matemático:
minimizar f (x1 , x2 ) = 65x1 + 30x2
2x1 + 3x2 ≥ 7
3x1 + 2x2 ≥ 9
1x1 + 0x2 ≥ 1
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0
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Problema da Mistura: Ração
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Problema da Mistura: Ração
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Problema da Mistura: Ração
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Problema da Mistura: Ração
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Problema da Mistura: Ração
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Problema da Mistura: Ração
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Problema da Mistura: Ração
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Problema da Mistura: Ração
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Problema da Mistura: Ração
Custo Minimo da Mistura f ∗ = 155 e devemos misturar 1 unidade do
ingrediente 1 e 3 unidades do ingrediente 2.
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Outra Aplicação: Ligas metálicas
Ligas metálicas são produzidas a partir de vários insumos (lingotes de
ferro, grafite, sucatas industriais, entre outros)
Cada insumo tem uma composição (quantidades de carbono, silício,
manganês etc) e custo conhecidos
A composição da liga é determinada por normas técnicas da
metalurgia (quantidades de carbono, silício, manganês etc)
Deseja-se determinar as quantidades de cada insumo a serem
fundidas, satisfazendo as normas técnicas da metalurgia com o menor
preço final possível
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