1º Teste 2011-2012

Electromagnetismo e Óptica
2º Semestre - 2011/12
1º Teste - 12/04/2012 – 18:30h
Licenciatura em Matemática Aplicada e Computação
Mestrado Integrado em Engenharia Biomédica
Mestrado Integrado em Engenharia Física Tecnológica
Duração do teste: 1:30h
Leia o enunciado com atenção. Justifique todas as
respostas.
Identifique e numere todas as folhas da prova.
Apresente as respostas a cada problema em FOLHAS
SEPARADAS
Problema 1
Considere um condensador plano, supostamente ideal, com
placas de área S e distância d entre as mesmas. Inicialmente as placas estão isoladas e o condensador encontra-se carregado
com uma carga Q (+Q na placa esquerda e –Q na placa direita). O espaço entre as placas tem uma permeabilidade eléctrica
0. Posteriormente, introduz-se uma placa metálica, com carga total nula, de espessura b (b < d) entre as placas do
condensador, a uma distância a da placa esquerda.
a) Determine, em cada uma das situações (antes e depois da introdução da placa metálica), em função da carga Q e
das dimensões apresentadas:
O campo eléctrico e o potencial em função da distância à placa da esquerda E(x), considerando que a placa da direita
se encontra ao potencial 0. Esboçe os gráficos de E(x) e V(x).
b) Dtermine a expressão da capacidade do condensador (antes e depois da introdução da placa metálica).
Relacione a capacidade total do sistema resultante da introdução da placa metálica com as capacidades dos
condensadores parciais formados à esquerda e á direita da placa central. De que tipo de associação de
condensadores se trata? Justifique.
c) Calcule a energia eléctrostática total do sistema nas duas situações. O que é que conclui (qualitativamente) sobre o
sentido da força exercida pelo campo electrostático quando introduz a placa metálica?
Problema 2
Considere um condensador cilíndrico de altura h, raio interior a e raio exterior b, preenchido
por um dieléctrico de permitividade .
a) Determine a expressão da capacidade do condensador considerando que este
pode ser considerado, como uma boa aproximação, nas condições de um
condensador cilíndrico infinito. Defina essas condições em função das dimensões
a, b e h.
b) Determine as densidades de carga (cargas livres e de polarização) no sistema,
onde existirem, se o condensador estiver sujeito a uma diferença de potencial V
entre as placas (em função da diferença de potencial e das dimensões a, b e h).
Problema 3
Suponha que o condensador com a geometria definida no problema anterior contém, entre as placas, um material com
permitividade e condutividade eléctrica c (condensador não ideal) e está sujeito a uma diferença de potencial V entre as
placas.
a) Determine a resistência eléctrica do sistema entre as placas em função dos parâmetros dados (considere que existe
uma corrente eléctrica I entre a placa interior e a placa exterior). Determine a expressão do vector densidade de
corrente em função destes parâmetros (V, a, b, h e c).
b) Relacione a expressão do tempo de relaxação () do material entre as placas do condensador com os valores de
capacidade encontrado no problema anterior e de resistência determinado na alínea a). Mostre que a relação
encontrada entre o valor de  e os parâmetros ec se pode obter deduzindo a equação diferencial 5
,
a partir da equação da continuidade da carga.
Soluções
Problema 1
a)
Sem placa condutora:
;
-
Com placa condutora:
Aplicando o teorema de Gauss utilizando uma superfície cilíndrica com bases no interior da placa esquerda do
condensador e da placa central obtêm-se:
Do mesmo modo, utilizando uma superfície de Gauss cilíndrica com bases no interior da placa central e no
interior da placa direita do condensador obtêm-se:
Note-se que a carga total da placa condutora central é nula (
). Resumo:
Por aplicação do teorema de Gauss obtém-se para o campo eléctrico:
Campo E no interior de um condutor em equilíbrio electrostático = 0
Integrando o campo eléctrico nas três regiões e tendo em consideração que
, obtém-se:
b)
Sem placa condutora
Com placa condutora:
Associação de condensadores em série (verificação):
c)
Sem placa condutora
ou
Com placa condutora
ou
a energia electrostática diminui com a introdução da placa logo o campo
exerce uma força atractiva sobre esta. Note-se que num sistema isolado (como é o caso – cargas constantes)
, o que significa que a força aponta no sentido correspondente à diminuição da energia potencial.
Problema 2
a) Para h >> a,b (aproximação condensador cilíndrico infinito), o campo E é radial e uniforme segundo z (direcção
definida pelo eixo de simetria cilindrica).
b)
Analogamente obtemos:
Nota:
; Em r=a (cilindro interior), o campo eléctrico, e consequentemente o
vector polarização, tem o sentido contrário à normal exterior ao dieléctrico nD daí o sinal – (menos) na expressão
da densidade de carga de polarização em r=a (admitindo Q>0). Em r=b, o campo tem o mesmo sentido da
normal exterior ao dieléctrico e daí o sinal + (mais) na expressão da densidade de carga de polarização em r=b
(cilindor exterior).
Problema 3
a) Geometria cilíndrica (aproximação h>>r)  vector densidade de corrente radial
Corrente estacionária 
(independente de r).
coordenadas cilíndricas
b)
Equação da continuidade de carga:
Comparando a equação anterior:
Com a equação de evolução da densidade de carga dada no enunciado
Concluímos que