Questão 3 - Passei Web

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Questão 3
Para a prova de um concurso vestibular, foram elaboradas 14 questões, sendo 7 de Português, 4 de Geografia
e 3 de Matemática. Diferentes versões da prova poderão ser produzidas, permutando-se livremente essas 14
questões.
a) Quantas versões distintas da prova poderão ser produzidas?
b) A instituição responsável pelo vestibular definiu as versões classe A da prova como sendo aquelas que
seguem o seguinte padrão: as 7 primeiras questões são de Português, a última deve ser uma questão de
Matemática e, ainda mais: duas questões de Matemática não podem aparecer em posições consecutivas.
Quantas versões classe A distintas da prova poderão ser produzidas?
c) Dado que um candidato vai receber uma prova que começa com 7 questões de Português, qual é a probabilidade de que ele receba uma versão classe A?
Resolução
a) Podemos permutar as 14 questões de 14! modos diferentes.
Resposta: 14! versões distintas.
b) Temos 7! possibilidades de colocar as 7 primeiras de Português, e depois 3 possibilidades para a última
questão (Matemática), e depois 4 possibilidades para a penúltima (Geografia).
Resta ainda posicionarmos 5 questões, 2 de Matemática e 3 de Geografia, não podendo as de Matemática
ocupar posições consecutivas. Para isso, podemos permutar todas as 5 e descontar os casos em que as 2 de
Matemática ocupam posições consecutivas.
Assim: 5! – 4! • 2! = 72
Pelo Princípio Fundamental da Contagem, temos, então:
P P P P P P P
7!
⋅
G M
72
⋅
4 ⋅ 3 = 864 ⋅ 7!
Resposta: 864 • 7! versões distintas.
c) O número de casos possíveis em que o candidato recebe uma prova que começa com 7 questões de Português é 7! • 7!.
Assim, a probabilidade P pedida é:
6
P = 864 • 7! =
35
7! • 7!
Resposta:
6
35