Capítulo 8 – Equações Diferenciais Parciais Equação de

Capítulo 8 – Equações Diferenciais Parciais
Equação de Onda Transversal em Uma Dimensão
Seja uma onda se propagando em 1 dimensão na direção . A deflexão dessa
onda é descrita por uma função de 2 variáveis
. Por exemplo, para uma
corda de densidade constante
e tensão , pode-se demonstrar que essa
função satisfaz à equação de onda
Onde
é a velocidade de propagação da onda na corda. A solução geral
de (1) pode ser escrita
onde
são funções de 1 variável,
, respectivamente.
É fácil verificar que, por exemplo,
, temos
é solução de (1). Chamando
Ou seja,
O mesmo raciocínio se aplica a
.
O problema é que, muitas vezes, a forma (2) é de pouca utilidade perante as
condições de contorno ou fronteira típicas para uma corda de comprimento ,
com suas 2 extremidades presas a paredes
E a condições iniciais arbitrárias
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O Método da Separação das Variáveis
Como as condições de contorno envolvem apenas espaço e as condições
iniciais envolvem apenas tempo, podemos pensar em separar variáveis, isto é,
Então
Substituindo em (1)
Dividindo os 2 membros da expressão acima por
Onde
(5), temos
, temos
, já que o 1º.membro (2º.membro) só depende de
( ). De
Cujas soluções são
As equações (7a) e (7c) são incompatíveis com as condições de contorno (3a).
De (7b), temos
Ou seja,
Observe que
caso (7c)
, pois
e
(se
, recaindo no
2
Essas soluções discretas são chamadas de autovalores
E os seus autovetores correspondentes
Que satisfazem a equação de autovalores e autovetores
De (5) teremos,
Com solução,
Portanto, como a equação diferencial é linear, vale a superposição
Onde renomeamos
as condições de contorno:
A condição inicial
e
. De (12) vemos imediatamente que
estão satisfeitas.
, fica
Multiplicando os 2 membros da expressão acima por
, e integrando,
temos
Mas,
3
Logo,
Para a condição inicial
, temos que derivar parcialmente em
relação a a equação (12)
Que em
fica
Multiplicando ambos os membros por
e integrando
Ou
A Equação de Laplace
Um cilindro oco e muito longo de metal com raio é cortado ao meio formando
2 metades isoladas uma das outras. As metades são mantidas nos potenciais
e – . Deseja-se calcular o campo elétrico
no interior do cilindro.
Como não há cargas no interior, vale a equação de Laplace (em coordenadas
cilíndricas)
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Supondo o cilindro infinito não poderá haver dependência de
com , ou seja,
A separação de variáveis conduz às equações diferenciais
As condições de contorno são:
Como
senos e cossenos, ou
a solução é periódica e deve ser combinação de
Como
Como
(
. Logo,
, é excluído, pois é incompatível com as condições de contorno (17)).
A equação radial fica
Cujas soluções Frobenius para
são
e
. Essa 2ª solução,
é aceitável, pois introduz uma singularidade (inexistente) na origem
Portanto,
Multiplicando a equação acima por
para o 1º. membro
, no círculo
, não
.
, temos
O 2º. membro fica
5
Como,
Então,
Portanto,
Ou seja,
Note que se quiséssemos agora, o exterior (
solução radial
.
), teríamos que incorporar a
A Equação de Difusão e A Equação de Condução de Calor
Dada a função temperatura
dada por
Dada a função densidade
, a equação de condução de calor é
, a equação de difusão é dada por
Exemplo: Um cano muito longo e de secção transversal está cheio de água.
No instante
, introduzimos
gramas de sal num certo ponto
.
Queremos obter a concentração de sal num instante qualquer posterior.
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A concentração de sal,
, obedece à equação de difusão
Condição inicial:
Note que é uma única condição inicial, pois (21) é de 1ª. ordem no tempo.
Condição de contorno:
Conservação da massa:
A condição (23) garante a existência de Transformada de Fourier.
Fazendo a Transformada de Fourier em (21), temos
Mas,
E
Substituindo (27) e (28) em (26), temos
Integrando (29) temos
Mas,
7
Ou seja,
Fazendo a Transformada de Fourier inversa, temos
Do capítulo 7,
Membrana
Considere uma membrana retangular com lados
Determine
.
e
com seus 4 lados fixos.
A membrana obedece à equação de onda 2-dimensional
Condições iniciais:
Condições de contorno:
Separando as variáveis
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Substituindo em (33), teremos
Da aplicação das condições de contorno (35a), temos
Da aplicação das condições de contorno (35b), temos
Substituindo os resultados em (37c)
Onde
A solução de (40) conduz a
Utilizando as condições iniciais (34 a) e (34 b), obtemos
E
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