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UMA SEQUÊNCIA DITÁTICA PARA O ENSINO E APRENDIZAGEM DAS
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS COM O AUXÍLIO DO SOFTWARE GEOGEBRA
Valmir Ninow1
Carmen Teresa Kaiber2
Resumo
Esse artigo apresenta uma pesquisa que tem como objetivo investigar possibilidades de estruturação e
desenvolvimento de conceitos relativos a Funções Trigonométricas Seno e Cosseno, a partir de uma sequência
didática que utilize o software GeoGebra como recurso. A elaboração e análise da sequência didática apóiam-se
em elementos da Teoria das Situações Didáticas de Brousseau buscando respaldo, também, em pesquisas da área
de Educação Matemática que abordam a utilização de metodologias e recursos para o desenvolvimento desses
conteúdos. Particularmente, o interesse está voltado para a utilização de recursos advindo das Tecnologias de
Informação e Comunicação. Metodologicamente a investigação se insere em uma perspectiva que combina
elementos qualitativos e quantitativos. A aplicação do conjunto de atividades que compõe a sequência didática
ocorreu no 1ª trimestre do ano de 2011 em uma escola da rede pública estadual de Ensino Médio da cidade de
Caxias do Sul, junto a um grupo de estudantes do segundo ano do Ensino Médio. No decorrer da resolução das
atividades propostas e pelas análises dos resultados obtidos foi possível perceber que o software GeoGebra pode
se constituir em uma ferramenta eficaz para o desenvolvimento e ampliação as ideias e conceitos abordados.
Porém, pondera-se que o recurso à tecnologia deva ocorrer de maneira estruturada e quando, efetivamente, sua
utilização possa ter um significativo na apropriação de conhecimentos.
Palavras-chave: Funções Trigonométricas Seno e Cosseno. GeoGebra. Situações Didáticas.
Sequência Didática.
Introdução
Muitos educadores, durante sua prática docente, têm a oportunidade de identificar as
dificuldades que os alunos apresentam no estudo das Funções Trigonométricas e questionamse sobre quais os conhecimentos que efetivamente permanecem ao término do Ensino Médio
e início do Ensino Superior. Por outro lado, pesquisadores têm investigado sobre a questão e
buscam possíveis estratégias de desenvolvimento desse tema, o que pode ser verificado nas
pesquisas realizadas por Costa (1997), Oliveira (1997), Martins (2003) e Rosenbaum (2010).
Por outro lado, buscando apontar caminhos que qualifiquem o processo de ensino e
aprendizagem da Matemática como um todo, incluindo aí o estudo de Funções, pesquisadores
como Borda e Penteado (2003), Niquini (1996), Costa (1997), Ponte (2003) entre outros, vêm
abordando o uso das Tecnologias da Informação e Comunicação como uma possibilidade para
transformar o ensino da Matemática, tornando-o mais eficaz e significativo para os
estudantes. Os referidos autores apontam, também, que o uso de computadores com
1
Especialista em Professor da rede estadual do Rio Grande do Sul. Aluno do Curso de Especialização em
Educação Matemática da Universidade Luterana do Brasil.
2
Doutora em Ciências da Educação pela Pontifícia de Salamanca, na Espanha e professora do Curso de
Matemática e do Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática da Universidade Luterana do
Brasil.
programas gráficos possibilitam aos estudantes desenvolverem atividades exploratórias,
realizar descobertas por eles próprios, construindo conceitos.
Nesse contexto o presente artigo apresenta uma pesquisa que tem como objetivo
investigar possibilidades de estruturação e desenvolvimento de conceitos relativos as Funções
Trigonométricas Seno e Cosseno, a partir de uma sequência didática que utilize o software
GeoGebra como recurso.
Buscando estruturar um referencial teórico que possibilite elucidar as questões
investigadas lançou-se mão, primeiramente, da busca de conhecimentos históricos sobre o
desenvolvimento da trigonometria desde as civilizações antigas até os dias atuais, quando se
analisa esse conhecimento sob a perspectiva do uso das TIC. Lançou-se mão, também, das
orientações curriculares postas nos documentos oficiais, tanto nacionais quanto estaduais,
além da análise de artigos, trabalhos e dissertações que abordam o conteúdo das funções
trigonométricas seno e cosseno. Para elaboração e aplicação da sequência didática identificouse na teoria das Situações Didáticas de Brousseau proposta em 1986 (PAIS, 2008) o suporte
teórico necessário.
A sequência didática foi aplicada a 19 alunos do segundo ano do Ensino Médio, na
faixa etária dos quinze aos dezessete anos. Todas as atividades foram desenvolvidas no
período da manhã, período normal de estudo desses alunos.
Referencial Teórico
A busca pelo conhecimento histórico da evolução dos conceitos de Trigonometria no
Triângulo Retângulo, até a sua incorporação à Análise Real, foi a base para o entendimento
das concepções inerentes ao desenvolvimento do mesmo, desde a relação entre lado e ângulo
até a evolução dessas relações para funções que associam ângulos ou arcos (BOYER, 1974).
Essa visão histórica e epistemológica permite uma melhor compreensão do objeto matemático
em estudo e possibilita uma melhor construção da sequência didática.
Considerando que a evolução dos conceitos trigonométricos são de fundamental
importância para o estudo da Trigonometria, não se pode deixar de verificar como e quais
desses conhecimentos devem ser abordados em sala de aula, sendo importante destacar as
indicações encontradas Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio (BRASIL,
1999, 2002), as quais estabelecem:
No que se refere ao estudo das funções trigonométricas, destaca-se um trabalho com
a trigonometria, o qual deve anteceder a abordagem das funções seno, co-seno e
tangente, priorizando as relações métricas no triângulo retângulo e as leis do seno e
do co-seno como ferramentas essenciais a serem adquiridas pelos alunos no ensino
médio. Na introdução das razoes trigonométricas seno e co-seno, inicialmente para
ângulos com medida entre 0º e 90º, deve-se ressaltar que são as propriedades de
semelhança de triângulos que dão sentido a essas definições: segue-se, então, com a
definição das razoes para ângulos de medida entre 90º e180º. A partir das definições
e de propriedades básicas de triângulos, devem ser justificados os valores de seno e
co-seno relativos aos ângulos de medida 30º, 45º e 60º (BRASIL, 1999, p. 73).
Já nas Orientações Curriculares Nacionais para o Ensino Médio publicadas em 2006,
há destaque para a importância de compreender a transição das relações trigonométricas no
triângulo retângulo para o círculo trigonométrico, a fim de que os alunos entendam as funções
trigonométricas como extensões dessas razões.
É preciso atenção à transição do seno e do co-seno no triângulo retângulo (em
que as medidas do ângulo é dada em graus), para o seno e o co-seno, definidos como
as coordenadas de um ponto que percorre um arco do círculo de raio unitário com a
medida em radianos. As funções trigonométricas devem ser entendidas como
extensões das razoes trigonométricas então definidas para ângulos com medida entre
0º e 180º. Os alunos devem ter a oportunidade de traçar gráficos referentes às
funções trigonométricas, aqui se entende que, quando se escreve f(x) = seno(x),
usualmente a variável x corresponde à medida de arco de círculo tomada em
radianos. As funções trigonométricas seno e co-seno também devem ser associados
aos fenômenos que apresentam comportamento periódico (BRASIL, 2006, p. 74).
Sobre esses aspectos, encontra-se nas pesquisas de Costa (1997), Oliveira (1997),
Martins (2003) e Rosenbaum (2010) informações relevantes sobre o estudo histórico da
Trigonometria e, principalmente, com relação às orientações que se encontram nos
documentos oficiais, os quais ressaltam a importância dos professores conhecerem e
colocarem em prática esses conhecimentos. Suas pesquisas apontam para a necessidade de
abordagens metodológicas mais eficazes para o ensino e aprendizagem da Matemática e, em
particular, para as Funções Trigonométricas que possuem, segundo os autores, um grau de
dificuldade bastante elevado. Os referidos pesquisadores também apontam o uso das TIC
como ferramentas que podem auxiliar na compreensão de tais conceitos.
Sobre a utilização das tecnologias da informação e comunicação Niquini (1996)
evidencia a possibilidade de utilização de softwares educacionais como instrumentos de
ensino ligados a uma matéria específica, através de produto elaborado com esse fim. Ainda,
segundo Oliveira,
[...] os artefatos tecnológicos presentes nas situações didáticas podem ter um caráter
mediador, permanecendo a serviço de uma estratégia didática que têm o aprendiz
como foco, que busca entender e planejar de acordo com as mais diversas propostas
que lhe permitam ampliar a autonomia diante do desafio de aprender (2009, p. 4).
Portanto, os softwares, em especial os de geometria dinâmica, os quais possibilitam
que o aprendiz, construa, movimente, observe e modifique algumas características das figuras
que lhe são apresentadas na tela do computador, pode se constituir em importante recurso para
elaboração de noções e conceitos e estabelecimento de estratégias e procedimentos.
Metodologia da Investigação
Por se tratar de um estudo de caráter formativo e investigativo, desenvolvido por meio
de atividades, foram utilizados elementos advindos da metodologia qualitativa e quantitativa.
Tanto na elaboração, quanto na análise das atividades que compunham a sequência didática,
levou-se em conta as quatro fases indicadas na teoria das Situações Didáticas, as quais
destacam-se: situação de ação acontece quando o aluno está envolvido ativamente na busca
da solução de um problema e realiza ações imediatas que produzem um conhecimento de
natureza operacional; a situação de formalização, quando o aluno apresenta modelos ou
esquemas teóricos; a situação de validação se apresenta quando o aluno utiliza mecanismos
de provas e a situação de institucionalização tem como objetivo estabelecer um caráter de
objetividade e universalidade do conhecimento (PAIS, 2008).
Nesse contexto, utilizou-se como instrumentos de coleta de dados a observação,
registro em diário, produção dos estudantes, as representações dos gráficos no GeoGebra e os
testes intermediário e teste final. Assim, tanto o processo formativo quanto o investigativo foi
desencadeado a partir da estruturação e aplicação de uma sequência didática constituída de
dez atividades tomando como referência as quatro fases das Situações Didáticas de Brousseau
já mencionadas. No presente artigo será detalhada a organização, aplicação e análise de duas
dessas atividades.
A investigação ocorreu no 1ª trimestre do ano de 2011, em uma escola da rede
pública estadual da cidade de Caxias do Sul/RS, junto a um grupo de estudantes do segundo
ano do Ensino Médio. As atividades foram desenvolvidas, pelos estudantes, em duplas.
Descrição, Aplicação e Análise das Atividades
Destacam-se, neste artigo, duas atividades dentre as dez desenvolvidas (as de números
4 e 5), as quais abordam translações verticais e horizontais das funções Seno e Cosseno, bem
como o estudo do domínio, imagem e período. Essas atividades, aqui, são denominadas A e
B.
Atividade A
Essa atividade está composta por duas questões tendo como foco estudar as
translações verticais que ocorrem nas representações das funções seno e cosseno a partir da
alteração de um determinado parâmetro da sua representação algébrica. A atividade também
objetiva o estudo do domínio, conjunto imagem e o período de cada uma das funções.
O foco da atividade concentra-se na análise da ocorrência de um deslocamento na
vertical (translação vertical) conforme são atribuídos diferentes valores para a variável
(parâmetro) “a”, analisando, também, as construções em termos da modificação no conjunto
imagem e da não alteração do domínio e período.
Para executarem a atividade, é esperado que os alunos vivenciem a situação de ação na
leitura das atividades, ao digitarem as funções com suas variações na caixa de entrada do
software e ao empenharem-se no desenvolvimento das atividades; de formulação, ao dialogar
com o colega levantando hipóteses para a solução das questões e a de validação, no registro
de suas análises, conjecturas e conclusões.
Na questão 1 e 2, foi solicitado que os alunos construíssem, no GeoGebra, a
representação gráfica das funções trigonométricas de característica f(x)= a+sen(x) e f(x)=
a+cos(x) e posteriormente completassem o roteiro com suas conclusões, analisando o
domínio, a imagem e o período.
Analisando os protocolos dos alunos, observou-se que um percentual significativo de
estudantes atingiu os objetivos traçados para essa atividade, conforme pode ser observado no
gráfico da figura 1.
Figura 1: Gráfico representando o percentual de acerto na atividade 4 (atividade A)
Apenas a dupla D6 completou, de maneira equivocada, o quadro referente à imagem da
função, nas duas questões, como sendo de [-1, 1] conforme pode ser observado na figura 2.
Figura 2: Representação da Imagem pela dupla D6
Com relação ao item b das duas questões, essa mesma dupla, apresentou justificativa
(figura 3) que evidenciem a não apropriação dos conceitos envolvidos.
Figura 3: Resposta da dupla D6 para o item b
A resposta dada aponta para o fato de que esses alunos não se apropriaram do conceito
de conjunto-imagem de uma função e como ocorre a variação, em cada caso, quando se altera
o valor do parâmetro “a”.
Com relação ao item a dessa questão, selecionaram-se respostas relevantes, as quais
evidenciam que a grande maioria dos estudantes percebeu as mudanças que ocorrem quando
se muda o valor do parâmetro (variável) “a” nessas funções.
D2: “Dependendo do sinal da variável “a”, o gráfico sobe ou desce, fazendo assim, mudar
seus valores para positivo ou negativo, conforme sua posição”.
D8: “Conforme os números da soma aumentam o gráfico sobe, conforme eles diminuem o
gráfico desce”.
Atividade B
Essa é uma atividade composta por duas questões, cujo objetivo é estudar as
translações horizontais que ocorrem nas funções seno e cosseno, juntamente com o estudo do
Domínio, conjunto Imagem e o Período.
Nessa atividade, esperava-se que os alunos percebessem que ocorre um deslocamento
na horizontal (translação horizontal) conforme se modifica o valor da variável (parâmetro)
“b”.
Para executarem a atividade, esperava-se que os alunos vivenciassem novamente a
situação de ação lendo e interpretando as atividades, ao digitarem as funções com suas
variações na caixa de entrada do software e ao empenharem-se no desenvolvimento das
atividades; o de formulação ao dialogar com o colega sobre as hipóteses para a solução das
questões e a de validação quando escrevessem suas conclusões.
Na questão 1 e 2, foi solicitado que os alunos construíssem a representação gráfica das
funções trigonométricas f(x)= sen(x+b), f(x)= cos(x+b) e após completassem o roteiro com
suas conclusões, analisando o domínio, a imagem e o período.
O gráfico da figura 4, apresenta os percentuais de acertos, considerados bastante
satisfatórios, referente essa atividade.
Figura 4: Gráfico representando o percentual de acerto na atividade 5 (atividade B)
Analisando os protocolos dos estudantes observa-se que a dupla D2 e D8 completaram
o quadro referente ao conjunto imagem das referidas funções de forma incorreta, conforme
apresentado na figura 5.
Figura 5: Representação da Imagem pela dupla D8
Essa representação, evidencia que os alunos não perceberam que a imagem não se
altera nesses casos. Conjectura-se que tenham lançado mão, em alguns casos, da Imagem das
funções trabalhadas na atividade anterior.
No item b, essas duplas responderam que: “A imagem se modifica conforme se muda o
valor da variável b”, não percebendo que ocorre apenas um deslocamento para a direita ou
esquerda no eixo das abscissas de acordo com as alterações promovidas no parâmetro “b”.
A dupla D6 não respondeu os itens a e b das duas questões que compõem a atividade 5,
apenas, completaram de forma correta o quadro referente ao Domínio, Imagem e Período,
sendo que, também, representaram de forma correta o esboço do gráfico de cada uma das
funções dessa atividade. Nesse caso ficou evidente que os integrantes da dupla possuem
dificuldade em comunicar por escrito suas conclusões.
Conclusão
Conjectura-se que o envolvimento dos alunos, o qual foi considerado muito
significativo, ocorreu pelo fato de estarem participando de atividades diferenciadas, as quais
não estavam acostumadas a realizar. Entende-se que a participação ativa dos estudantes tenha
sido motivada pela oportunidade de utilizar os computadores da escola, o que não ocorre com
frequência. Os alunos mostraram-se interessados, realizando todas as tarefas, discutindo,
tentando acertar, buscando aprender.
No caso da utilização do software GeoGebra, se considera que o mesmo se tornou um
laboratório que possibilita aos estudantes participarem de uma situação semelhante ao fazer
Matemático, pois
para a resolução das atividades propostas necessitavam fazer
interpretações, experimentações, visualizações, conjecturas, abstrações e generalizações,
sendo determinante nas observações e conclusões dos alunos.
Os dados recolhidos e analisados apontam que foi possível aos alunos, por meio de
suas construções, ampliarem os conceitos já estudados no conteúdo matemático de triângulo
retângulo e ciclo trigonométrico e, posteriormente, aplicá-los nas funções trigonométricas
abordadas nas atividades. A sequência proposta permitiu, ainda, que os alunos interagissem
com o conteúdo abordado, encontrando-se frente a situações iam além da simples
memorização e a repetição, o que se constitui em um desafio.
Outro fator observado é que um trabalho sistemático e prolongado com o computador
leva os estudantes a diminuir o interesse pelas aulas, pois o trabalho diferenciado,
inicialmente, acaba virando rotina. Entende-se que o computador deve ser utilizado como uma
ferramenta em momentos específicos, quando realmente pode fazer diferença em relação a
outros recursos e metodologias. O computador, ou mesmo um software, por si só não educa
se mal utilizado pode acarretar prejuízo para o aprendizado dos estudantes.
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