Sistemas Dinâmicos

Escola Superior de Tecnologia de Setúbal
Sistemas Dinâmicos
1º Teste – 16 / Nov. / 2004
Inclua na folha de prova todos os cálculos e considerações que tiver de fazer
Problema 1 (4v)
a) Considere o circuito eléctrico da figura, (entrada vs, saída vo).
L
+ R
0
Escolha as variáveis de estado. Obtenha a equação de estado (eq.

s
C
R
dinâmica + eq. saída), indicando todos os passos da resolução.
Use: R=5, C=2 e L=4.
b) Para o sistema com a função de transferência dada, defina variáveis de
Y (S )
2S 2  5
fase e escreva a equação de estado completa. Apresente todos os passos da

U ( S ) S 3  3S 2  2S  4 resolução. Desenhe o diagrama de blocos correspondente.
Problema 2 (5v)
Considere um sistema com a seguinte equação de estado:

1
0
a) Obtenha a matriz de transição pelo método da diagonalização.  dx(t )   0
x(t )   u (t )


b) Confirme esse resultado usando o método de Cayley-Hamilton.  dt
 2  3
5

c) Obtenha a solução homogénea de x(t) para condições iniciais:
 y (t )  4 0x(t )
i) x(0)=[1 0] T ; ii) x(0)=[1 -2] T.
Como se pode explicar o aparecimento de apenas um dos modos num dos casos.
Problema 3 (4v)
a) - Calcule a parte forçada da solução do sistema do problema 2 para uma entrada salto unitário.
b) - Escreva a expressão da solução total de x(t) (homogénea + forçada) para a condição (c-i) do
problema 2.
1
0 
Problema 4 (5v)
0

Considere um sistema com a seguinte matriz da dinâmica:
A 0
0
1 
a) Escreva a sua equação característica e calcule os valores próprios e
 2  5  4
vectores próprios. Organize estes na matriz modal.
b) Escreva a matriz de Jordan (J) pondo em evidências cada um dos seus blocos.
c) Escreva a matriz eJt com a mesma relevância de blocos e escreva um expressão para o cálculo da
matriz de transição com os elementos já calculados. (Não necessita efectuar o seu cálculo).
d) Escreva a expressão para o cálculo da matriz de transição pelo resultado do teorema de CayleyHamilton. Escreva as equações que lhe permitem calcular os coeficientes envolvidos nessa expressão
e indique com os calculava.
Problema 5 (2v)
Pretende-se linearizar um sistema em torno de um ponto de funcionamento x0, dado pelas expressões:
2
x1 (t )  4 x1 (t )  x 2 (t )  5u (t )
x 2 (t )  3x1 (t )  2 x1 (t ) x 2 (t ) ; x  x1 x 2 T ; x0  2 4T .
Proceda à sua linearização na vizinhança de x0. Escreva a equação de estado linearizada na forma
matricial. Considere que a saída y(t)=x1(t).
Automação, Controlo e Instrumentação (7ºS) - SD- 1ºTeste (2004-2005)
1
Escola Superior de Tecnologia de Setúbal
Resolução (SD-ACI- 1º Teste – Nov/2004)

 1 1 
 1 
 dx(t )  RC

C

x(t )   RC  v s (t )
v c 

1
R
;
x



 dt
i  =
0

 


 L

L
 L

 y (t )  1 0x(t )
P1.a)

1
1
1
 dx(t )   10 2  x(t )   10  v s (t )
0
5
1
 dt
 
4 4

 y (t )  1 0x(t )

1
0
0
0 
 dx(t ) 

 0
0
1  x(t )  0 v s (t )

 dt
 4  2  3
1

 y (t )  5 0 2x(t )

b)
P2. a) val. pr.: {-1 ; -2}; vect. pr.: v1=[1 -1]T; v2=[1 -2]T;
1
 2e t  e 2t
e t  e 2t 
1
2 1
 1 0 
1
t
M  v1 v 2 ; M  
;
M

;


;
e




 1  1
 0  2
t
 2t
 e t  2e 2t 
 1  2




2  e  e
Fazendo: d1= e-t; d2= e-2t
d1  d 2   2e t  e 2t
1  d1 0   2 1   2d1  d 2
e t  e 2t 
1
e At  Me Dt M 1  
.
.




 

 
t
 2t
 e t  2e 2t 
 1  2  0 d 2   1  1  2d1  2d 2  d1  2d 2  2  e  e
1  t  1  1 2t
2
e At  
e   2 2 e
 2  1








 2e t  e 2t
e t  e 2t 
= 0 + 1 ; 0=2e - e ); 1=e - e ; e  

t
 2t
 e t  2e 2t 
2  e  e
2
 1
1
c) i) xh (t )   e t   e 2t , t  0 ; ii) xh (t )    e 2t , t  0 ;
  2
2
  2
b) et
-t
t
P3. a) x f (t )   e
0
A( t  )
-2t
-t
-2t
At


 5  1  e t  5 1  e 2t  52   5 t  52  2t
Bu ( )d   
 
     e   e , t  0
 5 1
 10  2
0  5 
 5
 2  t  1 2t  52   5 t  52  2t  52   1  t  1  3e 2t
b) x(t )  xh (t )  x f (t )   e   e      e   e      3e   
,t  0
 2
2
 2 2
0  5 
 5
0  1
P4. a) Eq. Caract.: 3+42+5 +2=0; 1,2,3={-2,-1, -1}; eAt=MeJtM-1
e 2t 0
1
1
2
1 
0
0 
1
1
 2 0








1
Jt
t
M    2  1 0 ; M    2  5  2 ; J   0  1 1 ; e   0 e
te t 
 0
1  1
3
1 
0  1
0 e t 
 4
 2
 0

P5.
2
x1 (t )  4 x1 (t )  x 2 (t )  5u (t )
df 8x1
x´=f(x,u);

dx  3
x 2 (t )  3x1 (t )  2 x1 (t ) x 2 (t ) ; x  x1
1  df 5

;
; Eq. Lineariz.:
2 x2  du 0
x 2  ; x0  2 4 .
T
T

 dx(t )  16 1 x(t )  5u (t )
 3 8
0 
 dt


 

 y (t )  1 0x(t )
Automação, Controlo e Instrumentação (7ºS) - SD- 1ºTeste (2004-2005)
2