Álgebra dos Conjuntos - udesc

Álgebra dos
Conjuntos
Viviane
Maria Beuter
Conjuntos
Relações
entre
Conjuntos
Operação de
Conjuntos
Conjuntos
nitos
Álgebra dos Conjuntos
Viviane Maria Beuter
Universidade do Estado de Santa Catarina - UDESC
Centro de Ciências Tecnológicas - CCT
Licenciatura em Matemática
2014
Conjuntos
Álgebra dos
Conjuntos
Viviane
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Conjuntos
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entre
Conjuntos
Operação de
Conjuntos
Conjuntos
nitos
Na teoria dos conjuntos três noções são aceitas sem denição
(noção primitiva)::
Conjunto;
Elemento;
Pertinência entre elemento e conjuntos.
Conjuntos são noções primitivas, assim como pontos, retas e planos são para a geometria euclidiana.
Indicamos um conjunto, em geral, com uma letra maiúscula:
A, B, C , · · · , X , Y , Z .
Denotamos um elemento de um conjunto, em geral, com letras
minúsculas: a, b, c, · · · , x, y , z.
Pertinência
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Operação de
Conjuntos
Conjuntos
nitos
Para indicar que um elemento x faz parte de um conjunto A
usamos a notação
x ∈ A,
que se lê x pertence a A.
Para indicar que x não é elemento do conjunto A, escrevemos
x∈
/ A.
Descrição de um conjunto
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Operação de
Conjuntos
Conjuntos
nitos
Existem essencialmente duas formas de especicar um conjunto.
Uma opção, quando possível, consiste em listar seu elementos.
Por exemplo:
conjunto das vogais: A = {a, e, i, o, u};
conjunto dos números primos positivos:
B = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 23, · · · };
conjunto dos nomes dos dias da semana:
C={domingo, segunda, terça, quarta, quinta, sexta, sábado};
conjunto dos números inteiros divisores de 100:
D = {−100, −50, · · · , −5, −4, −2, −1, 1, 2, 4, 5, · · · , 50, 100}.
Descrição por uma propriedade
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Operação de
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Conjuntos
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A segunda maneira consiste em enunciar a propriedades que caracterizam os elementos dos conjuntos da seguinte forma
A = {x | x que vericam a propriedade p(x)}.
Exemplos:
E = {x | x é vogal};
F = {x | x é solução da equação x 2 − 4 = 0};
G = {x | x é inteiro e divisível por 5};
H = {x | x é real e 1 < x ≤ 3}.
Conjuntos Numéricos
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Operação de
Conjuntos
Conjuntos
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conjunto dos números naturais:
N = {0, 1, 2, 3, 4, · · · };
conjunto dos números inteiros:
Z = {0, ±1, ±2, ±3, · · · };
conjunto dos números racionas:
Q={
a
| a, b são números inteiros e b 6= 0};
b
conjuntos dos números irracionas:
I = {x | x é dízima não períodica};
conjunto dos números reais:
R = {x | x ∈ Q ou x ∈ I };
conjunto dos números complexos:
C = {a + bi | a, b ∈ R}.
Conjunto vazio e conjuntos unitários
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Conjuntos
Conjuntos
nitos
é aquele que não possui elemento algum.
Notação: {} ou ∅.
Conjunto vazio:
Exemplos:
{x | x + 1 = x} = ∅;
{x | x é um número real e x 2 < 0} = ∅;
{x | x 6= x} = ∅.
são aqueles que possuem um único elemento.
Exemplos:
{x | 2x − 1 = 3} = {2};
{x | x é um número natural e divisor de 1} = {1}.
Conjuntos unitários:
Conjunto Universo
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Operação de
Conjuntos
Conjuntos
nitos
Quando vamos desenvolver um determinado assunto de Matemática, admitimos a existência de um conjunto U ao qual pertencem todos os elementos utilizados no tal
assunto. Esse conjunto U recebe o nome de conjunto universo.
Conjunto Universo:
Em geometria o Universo é o conjunto de todos os pontos.
O Universo dos números primos é o conjunto dos números
inteiros.
No universo U, o conjunto A dos elementos x que vericam a
condição p(x), indica-se pela notação:
A = {x ∈ U | p(x)}.
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Conjuntos
Operação de
Conjuntos
Conjuntos
nitos
Exemplos:
A = {x ∈ N | x divide 6} = {1, 2, 3, 6};
B = {x ∈ Z | x divide 6} = {−6, −3, −2, −1, 1, 2, 3, 6};
C = {x ∈ Q | x 2 − 2 = 0} = ∅;
√
√
D = {x ∈ R | x 2 − 2 = 0} = { 2, − 2}.
Diagrama de Venn
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Conjuntos
Operação de
Conjuntos
Conjuntos
nitos
Representa-se um conjunto ou operações com conjuntos através
de uma gura geométrica. O conjunto é representado por uma
letra maiúscula situada na região externa da gura e os elementos
do conjunto por pontos internos a gura.
Igualdade de conjuntos
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Conjuntos
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entre
Conjuntos
Dois conjuntos A e B dizem-se iguais se, e somente se, todo
elemento que pertence a um deles também pertence a outro.
Notação: A = B ( A é igual a B )
Em símbolos,
A = B ⇔ (∀x)(x ∈ A ↔ x ∈ B).
Operação de
Conjuntos
Conjuntos
nitos
Observações:
A ordem em que
elementos
são
√ os√
√
√ listados
√ √em um conjunto
é irrelevante: { 5, 6, 7} = { 7, 5, 6}.
A repetição dos elementos em um conjunto é irrelevante:
{a, b, c} = {a, b, b, c, c, c}.
Igualdade de Conjuntos
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Conjuntos
Relações
entre
Conjuntos
Operação de
Conjuntos
Conjuntos
nitos
Propriedades da igualdade de conjuntos
Reexiva: A = A;
Simétrica: A = B −→ B = A;
Transitiva: (A = B) e (B = C ) −→ (A = C ).
Dois conjuntos A e B são diferentes se
existe ao menos um elemento de A que não pertence a B ou
existe ao menos um elemento de B que não pertence a A.
Notação: A 6= B ( A é diferente de B )
Em símbolos,
Conjuntos diferentes:
A 6= B ⇔ ((∃x)(x ∈ A e x ∈
/ B) ou (∃y )(y ∈ B e y ∈
/ A)).
Subcojuntos (Inclusão)
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Conjuntos
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Conjuntos
Operação de
Conjuntos
Um conjunto A é subconjunto de um conjunto B, se e somente
se, todo elemento de A pertence também a B. Nesse caso dizemos que A está contido em B ou B contém A.
Notação: A ⊆ B (A está contido em B ) ou B ⊇ A (B
contém A).
Em símbolos:
Conjuntos
nitos
A ⊆ B ⇔ (∀x)(x ∈ A → x ∈ B).
Exemplo:
A = {x ∈ R |x 2 − 5x + 6 ≤ 0} ⊆ B = {x ∈ R | x − 2 ≥ 0}.
Subcojuntos
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A negação de A ⊆ B indica-se por A * B e se lê: A não está
contido em B.
Em símbolos:
Conjuntos
Relações
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Conjuntos
Operação de
Conjuntos
Conjuntos
nitos
A * B ⇔ (∃x)(x ∈ A ∧ x ∈
/ B).
Observação:
Dois conjuntos são iguais se, e somente se, A ⊆ B e
B ⊆ A, ou seja,
A = B ⇔ (∀x)(x ∈ A → x ∈ B) ∧ (x ∈ B → x ∈ A).
É necessário distinguir a relação pertinência (∈) da relação
continência (⊆). A primeira relaciona elemento com
conjunto. A segunda relaciona (sub) conjunto com
conjunto.
Propriedades da inclusão
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Operação de
Conjuntos
Conjuntos
nitos
Reexiva: A ⊆ A;
Transitiva: (A ⊆ B) ∧ (B ⊆ C ) → (A ⊆ C );
Antissimétrica: (A ⊆ B) ∧ (B ⊆ A) → (A = B);
O conjunto vazio está contido em qualquer conjunto A:
(∀A)(∅ ⊆ A);
Qualquer que seja o conjunto A num universo U, A está
contido em U : (∀A)(A ⊆ U).
Conjuntos comparáveis:
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Dois conjuntos A e B são ditos
comparáveis
se A ⊆ B ou
B ⊆ A.
Conjuntos
Relações
entre
Conjuntos
Operação de
Conjuntos
Conjuntos
nitos
Exemplos:
Os conjuntos A = {x ∈ N | 3 ≤ 5x − 2 ≤ 20} e
B = {x ∈ N | 3 ≤ x + 2 ≤ 20} são comparáveis, pois
A ⊆ B.
Os conjuntos C = {x ∈ Z | x é primo} e
D = {x ∈ Z | x é ímpar } não são comparáveis. De fato,
2∈C e2∈
/ D e, portanto, C * D. Por outro lado,
15 ∈ D e 15 ∈
/ C e, portanto, D * C .
União de conjuntos
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Conjuntos
Operação de
Conjuntos
Conjuntos
nitos
Dados os conjuntos A e B, chama-se união de A e B o conjunto
formado pelos elementos que pertencem a A ou a B.
Notação: A ∪ B ( A união B )
Em símbolos:
A ∪ B = {x | x ∈ A ∨ x ∈ B}.
Exemplos:
√
√
√ √
Sejam A = {x ∈ R | − 2 <√x <
2} = (− 2, 2) e
√
B = {x ∈ R | x 2 = 2}√= {− 2,√ 2}. Então
√ √
A ∪ B = {x ∈ R | − 2 ≤ x ≤ 2} = [− 2, 2].
Propriedades da União
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Conjuntos
Operação de
Conjuntos
Conjuntos
nitos
Sejam A, B e C subconjuntos num universo U .
Idempotente: A ∪ A = A;
Elemento neutro: A ∪ ∅ = A;
Comutatividade: A ∪ B = B ∪ A;
Associatividade: (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C );
A ∪ U = U.
Propriedades da inclusão e da união
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Conjuntos
Sejam A, B e C subconjuntos num universo U .
Relações
entre
Conjuntos
A ⊆ A ∪ B e B ⊆ A ∪ B;
Operação de
Conjuntos
A ⊆ B ⇔ A ∪ B = B;
Conjuntos
nitos
A ⊆ C e B ⊆ C ⇔ A ∪ B ⊆ C;
A ⊆ B ⇒ A ∪ C ⊆ B ∪ C.
Interseção de conjuntos
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Operação de
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Conjuntos
nitos
Dados os conjuntos A e B, chama-se interseção de A e B o
conjunto formado pelos elementos que pertencem a A e a B.
Notação: A ∩ B (A interseção B )
Em símbolos:
A ∩ B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B}.
Exemplo:
Sejam A = {x ∈ N | x é par } e B = {x ∈ Z | x é primo}.
Então A ∩ B = {2}.
Conjuntos disjuntos:
Dizemos que os conjuntos A e B são
disjuntos quando A ∩ B = ∅.
Propriedades da Interseção
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Operação de
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Conjuntos
nitos
Sejam A, B e C subconjuntos num universo U .
Idempotente: A ∩ A = A;
Elemento neutro: A ∩ U = A;
Comutatividade: A ∩ B = B ∩ A;
Associatividade: (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C );
A ∩ ∅ = ∅.
Propriedades da interseção e da união
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Operação de
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Sejam A, B e C subconjuntos num universo U .
Leis de absorção:
A ∩ (A ∪ B) = A
e
A ∪ (A ∩ B) = A;
Distributividade da interseção em relação à união:
A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C );
Distributividade da união em relação a interseção:
A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C );
Leis de Morgan:
(A ∩ B)0 = A0 ∪ B 0
e
(A ∪ B)0 = A0 ∩ B 0 .
Complementar de um subconjunto
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Operação de
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Conjuntos
nitos
Seja A um subconjunto de E . Chama-se complementar de A
em relação a E o conjunto de todos os elementos de E que não
pertencem a A.
Notação: CEA (complementar de A em relação a E)
Em símbolos:
CEA = {x | x ∈ E ∧ x ∈
/ A}.
Exemplos:
Sejam E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, A = {1, 3, 5}, B = {2, 4, 6} e
C = {1, 6}. Então CEA = B , CEC = {2, 3, 4, 5}.
Propriedades do complementar
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Relações
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Conjuntos
Operação de
Conjuntos
Conjuntos
nitos
CA
CE∅ = E ;
CE E = A;
CEE = ∅;
A ⊆ B → CEA ⊇ CEB .
Num dado universo U, pode-se falar simplesmente
em complementar de um conjunto A, cando subentendido que
se trata do complementar em relação a U.
Observação:
Notação: A0 ou Ac (A0 = CUA )
Para conjuntos quaisquer A e B num universo U, temos:
∅0 = U,
(A0 )0 = A
U 0 = ∅,
A ⊆ B ↔ A0 ⊇ B 0 .
Diferença de dois conjuntos
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Conjuntos
nitos
Dados dois conjuntos A e B, chama-se diferença entre A e B o
conjunto formado pelos elementos de A que não pertencem a B.
Notação: A − B ou A \ B
Em símbolos:
( A menos B )
A − B = {x | x ∈ A ∧ x ∈
/ B}.
Observação:
Esta operação pode ser escrita como A − B =
{x | x ∈ A ∧ x ∈ B 0 } e, assim
A − B = A ∩ B 0.
Exemplos:
Z∗ = Z − {0}, R∗ = R − {0}.
{1, 2, 3, 4, 5} − {4, 5, 6, 7, 8, 9} = {1, 2, 3}.
Propriedades da Diferença
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Para conjuntos quaisquer A e B num universo U, temos:
A − ∅ = A e ∅ − A = ∅;
Relações
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A − U = ∅ e U − A = A0 ;
Operação de
Conjuntos
A − A = ∅;
Conjuntos
nitos
A − A0 = A;
(A − B)0 = A0 ∪ B;
A − B = B 0 − A0 ;
Conjuntos nitos
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Operação de
Conjuntos
Conjuntos
nitos
Um conjunto é dito nito se contém exatamente m elementos
distintos, onde m denota algum número natural. Caso contrário,
o conjunto é dito innito. Por exemplo, o conjunto vazio, , e o
conjunto de letras do alfabeto são conjuntos nitos, enquanto o
conjunto dos números primos é innito.
Notação: n(A), #(A), |A| ou card(A) denotam o número de elementos de um conjunto nito.
Se A e B são conjuntos nitos distintos, então A ∪ B é
nito e
n(A ∪ B) = n(A) + n(B).
Se A e B são conjuntos nitos, então A ∪ B e A ∩ B são
nitos e
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B).
Conjunto das partes de um conjunto
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Chama-se conjunto das partes de um conjunto A o conjunto
cujos elementos são subconjuntos de A (ou partes de A).
Relações
entre
Conjuntos
Notação: P(A) (conjunto das partes de A).
Operação de
Conjuntos
Conjuntos
nitos
Em símbolos:
P(A) = {X | X ⊆ A}.
Desta forma,
X ∈ P(A) ⇔ X ⊆ A.
Partes de um conjunto
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Relações
entre
Conjuntos
Operação de
Conjuntos
Conjuntos
nitos
Exemplos:
P(∅) = {∅};
P({1}) = {∅, {1}};
P({a, b, c}) =
{∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}};
P({∅}) = {∅, {∅}}.
Observação:
mentos.
Se A tem n elementos, então P(A) tem 2n ele-
Família de conjuntos
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Operação de
Conjuntos
Conjuntos
nitos
Um conjunto cujos elementos também são conjuntos diz-se uma
família de conjuntos ou uma coleção de conjuntos.
Exemplos:
F = {{a, b}, {b, c, d}, {e}};
E = {{1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}, · · · };
A = {{−1, 0, 1}, {1, 2, 3}, {0, 2}}.
Uma circunferência é um conjunto de pontos e, assim, um
conjunto de circunferências é uma família de
circunferências.
Partições
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Operação de
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Conjuntos
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Seja S um conjunto não vazio. Uma partição de S é um família
{Ai } de subconjuntos não vazios de S tais que:
S
i∈λ Ai
= S,
Ai = Aj ou Ai ∩ Aj = ∅.
Exemplos:
{{1, 3}, {2, 4, 6}, {5, 7, 8, 9} é uma partição do conjunto
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9},
{{1, 3}, {2, 4, 6}, {3, 5, 7, 8, 9} não é uma partição do
conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
Conjuntos contáveis
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Conjuntos
Conjuntos
nitos
Dois conjuntos A e B são ditos equipotentes, e denotado
por A ∼ B, se, e somemente se, existir uma
correspondência de um-para-um entre os elementos de A e
os elementos de B .
Qualquer conjunto equivalente ao conjunto dos números
naturais é chamado de enumerável.
Todo conjunto nito ou enumerável é chamado de
contável.
Exemplos:
O conjunto dos números inteiros é enumerável.
O conjunto dos números racionais é enumerável.
O conjunto dos números reais não é enumerável.
BIBLIOGRAFIA
Álgebra dos
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Operação de
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Conjuntos
nitos
GERSTING, Judith L. Fundamentos matemáticos para a
ciência da computação. 5 ed. Rio de Janeiro: LTC, 2008.
ALENCAR FILHO, Edgard de. Teoria elementar dos
conjuntos. 21 ed. São Paulo: Nobel, 1990.
LIPSCHUTZ, Seymour. Matemática Discreta. Coleção
Schaum. 2.ed. Porto Alegre: Bookman, 2004.