Aula 01_Cinemática

AULA 01
CINEMÁTICA
1. Introdução
Na Mecânica, estudaremos os movimentos dos corpos e, para melhor
compreensão, dividiremos a mecânica em três partes: cinemática, dinâmica
e estática.
Nesta aula, estudaremos a cinemática escalar, utilizando conceitos
geométricos vinculados ao tempo para descrevermos os movimentos através
de funções matemáticas. No estudo da Cinemática não nos preocuparemos
com as causas nem com as leis da natureza que explicam estes movimentos,
pois esta preocupação ficará por conta da dinâmica, o que estudaremos
futuramente.
2. Ponto Material (partícula) e Corpo Extenso
Imagine uma pessoa caminhando e atravessando uma ponte de 600 metros de
extensão. O tamanho desta pessoa comparado ao tamanho da ponte é
insignificante e então pode ser desprezado no equacionamento deste
movimento. Logo, esta pessoa é considerada uma partícula ou um ponto
material.
Ponto Material é todo corpo cujas dimensões não alteram o estudo
de qualquer fenômeno que ele participe.
Imagine agora que por esta ponte passe uma estrada férrea e que uma
composição de 300 metros de extensão vá atravessá-la. Para o
equacionamento deste novo movimento, não poderemos desprezar o tamanho
da composição. Logo, esta composição é considerada um corpo extenso.
Corpo Extenso é todo corpo cujas dimensões alteram o estudo
de qualquer fenômeno de que ele participe
3. Referencial, Movimento e Repouso
Definimos como referencial ou sistema de referência um corpo, ou parte dele,
em relação ao qual identificamos se um móvel está em movimento ou em
repouso.
Considere uma pessoa em seu carro, trafegando em uma rua calma. Ao passar
por um grupo de estudantes parados em um ponto de ônibus, começa uma
discussão entre eles. Um dos estudantes afirma: “O motorista daquele carro
está em movimento”. Um outro colega se opõe à afirmação: “Não é o
motorista que está em movimento e sim o seu carro”. Um terceiro colega tenta
aliviar a discussão explicando: “Se considerarmos o ponto de ônibus como
referencial tanto o motorista como o carro estão em movimento, mas se o
referencial considerado for o volante do carro, ambos estão em repouso”.
Um corpo está em movimento, quando a distância entre ele e o referencial
adotado se altera; e, está em repouso, quando a distância entre ele e o
referencial adotado permanece constante.
Movimento e Repouso são conceitos relativos e dependem sempre
do referencial adotado.
4. Trajetória
A trajetória é a união de todas as posições que um corpo ocupa ao se deslocar.
Considere um carro passando por uma estrada coberta com uma fina camada
de neve. As marcas dos pneus do carro determinam sua trajetória para aquele
deslocamento.
A trajetória depende de um referencial
Um exemplo clássico que nos permite afirmar que realmente a trajetória
depende de um referencial é o de um avião que, em pleno vôo, abandona um
corpo. Ao abandonar o corpo, um observador que se encontra lateralmente ao
movimento verá uma trajetória com formato parabólico. Um outro observador,
que se situa frontalmente ao movimento, verá uma trajetória retilínea. Então,
para dois observadores (referenciais) diferentes, teremos duas trajetórias de
formatos diferentes.
5. Posição ou Espaço(s) Escalar de um corpo numa trajetória
A posição de um corpo está vinculada a um ponto da trajetória que
nomearemos origem dos espaços e que será o nosso referencial na
determinação das posições (espaços). Na figura abaixo, os carros A e B estão a
uma mesma distância da origem (marco zero), porém o A está à esquerda e o
B à direita da origem. Note que, para definir a posição de um corpo na
trajetória, o sinal positivo (+) e o sinal negativo (- ) são muito importantes
para identificar o lado em que se encontra o corpo em relação à origem.
origem dos espaços
Espaço é a medida algébrica desde a origem até o corpo estudado. O espaço
pode ser positivo (corpo A) ou negaivo (corpo B). O espaço será nulo (S=0)
quando o corpo estudado estiver na origem dos espaços.
6. Espaço Inicial (So) e Deslocamento Escalar (∆S)
Espaço inicial é a posição ocupada pelo corpo quando este inicia o seu
movimento.
Todo movimento se inicia na origem dos tempos (t=0)
Por exemplo, na figura anterior, se o tempo fosse zero, os espaços iniciais dos
carros A e B seriam:
SoA = -3km e SoB = +3km
Deslocamento escalar é a diferença entre as posições ocupadas pelo corpo
entre o início e o fim do movimento.
Logo: ∆S = 3 - (-4) = 7km
7. Velocidade Escalar Média (Vm)
A velocidade escalar média de um corpo é o quociente entre seu deslocamento
e o tempo que ele gastou para se deslocar.
∆S = Sf – So (deslocamento escalar)
∆t = tf – to (intervalo de tempo)
8. Velocidade Escalar Instantânea (V )
A velocidade escalar instantânea é o valor limite para o qual tende a
velocidade escalar média quando o ∆t tende a zero.
V = lim ∆S
∆t
∆t → 0
obs: O limite (lim) é calculado pela função matemática denominada derivada.
V= ∆s ⇒ isto é a representação da derivação e lê-se:
∆t
A velocidade é a derivada do espaço relativa ao tempo.
Cálculo da derivada
Vamos considerar a seguinte equação:
X = a.Y4 + b.Y3 =c.Y2 + d.Y + e
X é a nossa grandeza, Y é a nossa variável e a,b,c,d e e são os nossos
parâmetros.
Regra prática 1- o expoente da variável multiplica o parâmetro.
Regra prática 2- subtrai uma unidade do expoente da variável.
Regra prática 3- a derivada de uma constante é zero.
Exemplo:
X = a.Y4 + b.Y3 c.Y2 + d.Y + e
dX = 4.a.Y4-1 + 3.b.Y3-1 + 2.c.Y2-1 + 1.d.Y1-1 + 0
dY
dX = 4.a.Y3 + 3.b.Y2 + 2.c.Y1 + 1.d.Y0
dY
dX = 4.a.Y3 + 3.b.Y2 + 2.c.Y + d
dY
Unidades:
S.I. (Sistema Internacional de Unidades)
unid (∆S) = m (metro)
unid (∆t) = s (segundo)
unid (Vm) = m/s (metro/segundo)
C.G.S.
unid (∆S) = cm (centímetro)
unid (∆t) = s (segundo)
unid (Vm) = cm/s (centímetro/segundo)
No Brasil usamos:
unid (∆S) = km (quilômetro)
unid (∆t) = h (hora)
unid (Vm) = km/h (quilômetro/hora)
Relações importantes:
1km = 1.000m
1m = 100 cm
1h = 60 minutos = 3.600s
1km = 1.000m ⇒ 1km = 1m
1h
3.600s
1h
3,6s
Para transformar km/h em m/s, basta dividir por 3,6;
para transformar m/s para km/h, basta multiplicar por 3,6
9. Aceleração Escalar Média (γm)
A aceleração escalar média de um corpo é o quociente entre sua variação de
velocidade e a variação de tempo.
αm = ∆V = Vf – Vo
∆t
tf - to
Unidades:
S.I. (Sistema Internacional de Unidades)
unid (V) = m/s (metro/segundo)
unid (∆t) = s (segundo)
unid (αm) = m/s (metro/segundo ao quadrado) .
C.G.S.
unid (V) = cm/s (centímetro/segundo)
unid (∆t) = s (segundo)
unid(αm) = cm/s (centímetro/segundo ao quadrado)
No Brasil usamos:
unid (V) = km (quilômetro/hora)
unid (∆t) = h (hora)
unid (αm) = km/h quilômetro/hora ao quadrado)
10. Aceleração Escalar Instantânea (Ύ)
A aceleração escalar instantânea é o valor limite para o qual tende a
aceleração escalar média quando o ∆t tende a zero.
α = lim = ∆V
∆t
α = ∆v ⇒ isto é a representação da derivação e lê-se:
∆t
A aceleração é a derivada da velocidade relativa ao tempo
Unidades:
S.I. (Sistema Internacional de Unidades)
unid (V) = m/s (metro/segundo)
unid (∆t) = s (segundo)
unid (α) = m/s (metro/segundo ao quadrado) .
C.G.S.
unid (V) = cm/s (centímetro/segundo)
unid (∆t) = s (segundo)
unid (. cm/s (centímetro/segundo ao quadrado) No Brasil, usamos:
No Brasil usamos:
unid (V) = km/h (quilômetro/hora)
unid (∆t) = h (hora)
unid (α) = km/h quilômetro/hora ao quadrado)
11. Classificação de Movimentos
Classificaremos os movimentos de um corpo, levando em consideração o grau
da sua função horária, o sentido do movimento em relação à trajetória e se o
módulo de sua velocidade está alterando.
1º) se a função horária for de 1º grau, o movimento será denominado
uniforme, porém se a função horária for de 2º grau, o movimento será
uniformemente variado.
2º) se o móvel percorre a trajetória em seu sentido positivo, isto é, posições
progredindo, o movimento será progressivo. Contudo, se o móvel percorre
a trajetória no sentido oposto ao positivo, isto é, posições retrocedendo, o
movimento será retrógrado.
3º) se o módulo da velocidade está aumentando, isto é, o ponteiro do
velocímetro está subindo, o movimento é acelerado e, neste caso, a
velocidade e a aceleração têm sinais iguais. Contudo, se o módulo da
velocidade está diminuindo, isto é, o ponteiro do velocímetro está descendo,
o movimento é retardado e neste caso, a velocidade e a aceleração têm sinais
opostos. Porém, se o módulo da velocidade mantém-se constante, o
movimento será uniforme.
EXERCÍCIOS
1. FACULDADE DE DIREITO DE CURITIBA: Agora, faremos uma rápida
avaliação de seus conhecimentos de Física. Você provavelmente deve estar
preocupado em recordar tudo que aprendeu durante a preparação para o
vestibular. Mas não fique nervoso. Vamos começar a analisar seus
conhecimentos de movimento e repouso. Olhe seus companheiros, já sentados
em seus lugares, preste atenção em você e reflita sobre as noções de
movimento, repouso e referencial. Agora, julgue as afirmativas a seguir.
(01) Você está em repouso em relação a seus colegas, mas todos estão em
movimento em relação à terra.
(02) Em relação ao referencial “sol”, todos nesta sala estão em movimento.
(04) Mesmo para o fiscal, que não para de andar, seria possível achar um
referencial para o qual ele estivesse em repouso.
(08) Se dois mosquitos entrarem na sala e não pararem de amolar, podemos
afirmar que certamente estarão em movimento em relação a qualquer
referencial.
(16) Se alguém lá fora correr atrás de um cachorro, de modo que ambos
descrevam uma mesma reta, com velocidades de mesma intensidade, então a
pessoa estará em repouso em relação ao cachorro e vice-versa.
Dê como resposta a soma dos números associados às proposições corretas.
2. UNIRIO: Um rapaz está em repouso na carroceria de um caminhão que
desenvolve velocidade horizontal constante de módulo igual a 30m/s.
Enquanto o caminhão se move para frente, o rapaz lança verticalmente para
cima uma bola de ferro de 0,10kg. Ela leva 1,0s para subir e outro para voltar.
Desprezando-se a resistência do ar, podese afirmar que a bola caiu na (o):
a) estrada, a mais de 60m do caminhão.
b) estrada, a 60m do caminhão.
c) estrada, a 30m do caminhão.
d) estrada, a 1,0m do rapaz.
e) caminhão, na mão do rapaz.
3. EFEI-MG: Um veículo descreve sempre uma mesma trajetória retilínea,
movendo-se da seguinte maneira:
a) durante 0,5h, sempre no mesmo sentido, com velocidade escalar média de
70km/h
b) em seguida, inverte o sentido do movimento e se movimenta durante 0,3h
com velocidade escalar média de módulo igual a 30km/h.
c) em seguida, torna a inverter o sentido de seu movimento e se movimenta
durante 0,7h com velocidade escalar média de 70km/h.
d) Calcule:
a) a distância total percorrida.
b) a velocidade escalar média no trajeto todo.
4. VUNESP: Um automóvel desloca-se com velocidade escalar média de
80km/h durante os primeiros quarenta e cinco minutos de uma viagem de uma
hora e com velocidade escalar média de 60km/h durante o tempo restante. A
velocidade escalar média do automóvel, nessa viagem, em km/h, foi igual a:
a) 60
b) 65
c) 70
d) 75
e) 80
5. PUC-PR: Uma partícula desloca-se em uma trajetória retilínea obedecendo à
seguinte função horária dos espaços:
S = 1,0t2 – 5,0t + 6,0 (SI).
A equação horária da velocidade escalar é dada, em unidades SI, por:
a) V = - 5,0 + 6,0t
b) V = - 5,0 – 6,0t
c) V = 5,0 + 6,0t
d) V = 6,0 – 5,0t
e) V = - 5,0 + 2,0t
6. USF-SP: Um ponto material tem seu movimento regido pela função horária
dos espaços:
S = 5,0 + 2,0t – 2,0t2 (SI).
A sua velocidade escalar no instante t=2,0s vale:
a) – 6,0m/s
b) – 2,0m/s
c) zero
d) 6,0m/s
e) 10,0m/s.
7. UNITAU: Um carro de fórmula 1, partindo do repouso, atinge a velocidade
escalar de 108km/h em um intervalo de tempo de 5,0s. Calcule, para este
intervalo de tempo:
a) a aceleração escalar média
b) a velocidade escalar média
8. Um corpo se desloca com velocidade variando com o tempo segundo a
função:
V = 2,0t2 +2,0t – 10,0 (SI)
Classifique o movimento como progressivo ou retrógrado, acelerado ou
retardado no instante t = 2,0s
9. UCGO: Se o movimento de uma partícula é retrógrado e retardado, então a
aceleração da partícula é:
a) nula
b) constante
c) variável
d) positiva e) negativa
10. FEI-SP: É dado o gráfico da velocidade escalar V em função do tempo t,
para o movimento de uma partícula. No instante t’, podemos afirmar que o
movimento é:
a) uniforme
b) progressivo e acelerado
c) retrógrado e acelerado
d) retrógrado e retardado
e) progressivo e retardado
RESPOSTAS
1.
(01) – FALSA – você esta em repouso em relação a seus colegas e todos
estão em repouso em relação à Terra.
(02) – VERDADEIRA
(04) – VERDADEIRA
(08) – FALSA – se eles estiverem voando com velocidades iguais em
módulo, direção e sentido, um estará em repouso em relação ao outro.
(16) – VERDADEIRA
2. e
Como a resistência do ar foi desprezada, a bola mantém sua velocidade
horizontal, o que nos permite afirmar que ela terá o mesmo deslocamento
horizontal que a mão do rapaz.
3. a)
O móvel andou 35km para a direita, voltou 9km (esquerda) e depois andou
mais 49km para a direita.
D= 35 + 9 + 49 = d = 93 km
b) Vm = ∆S = 75 ⇒ Vm = 50km/h
4. d
V1 = ∆S1 ⇒ 80 = ∆S1 = 80. 3 = ∆S1 ⇒ ∆S = 60 km
∆t1
3
4
4
V2 = ∆S2 ⇒ 60 = ∆S2 ⇒ 60.1 = ∆S2 ⇒ ∆S2 = 15 km
∆t2
1
4
4
∆ST = ∆S1 + ∆S2 ⇒ ∆ST = 60 + 15 ⇒ ∆ST = 75 km
VmT = ∆ST ⇒ VmT = 75km/h
5. e
S = 1,0t2 – 5,0t + 6,0
V = dS = 2,0t – 5,0
dt
6. A
S = 5,0 + 2,0t – 2,0t2
V = d S = 2,0 – 4,0t
dt
V = 2,0 – 4,0.2,0
V = 2,0 – 8,0
V = - 6,0 m/s
7. a)
V=108km/h : 3,6 = 30 m/s
αm = ∆V = 30
∆t 5
αm = 6 m/s
b) Não podemos determinar a velocidade escalar média, pois não sabemos
qual é o tipo de movimento.
8.
V = 2,0t2 + 2,0t – 10,0
V>0, movimento progressivo
V = 8,0 + 4,0 – 10,0
V = 2,0 m/s
α = ∆V = 4,0t + 2,0
∆t
α = 4,0(2,0) + 2,0
α = 10,0 m/s2
V>0 e α>0, movimento acelerado.
9. d
Para movimento retrógrado, temos velocidade negativa.
Para movimento retardado, a velocidade e a aceleração têm sinais
opostos, logo a aceleração épositiva.
10. d
Em t’ a velocidade é negativa e crescente, o que resulta em V<0 e α>0