salvar em pdf - matematicarlos

MÚLTIPLOS E DIVISORES – AULA
ESCRITA
DIVISORES NATURAIS
Divisores são os números que podem dividir um outro número sem deixar resto
(ou resto zero).
Exemplo:
Os divisores de 4:
Tente de 1 até ele.
6 : 1 = 6 e não sobra resto. O 1 é divisor do 6. (claro que o 1 será divisor de todos)
6 : 2 = 3 e não sobra resto. O 3 é divisor de 6.
6 : 4 = 1 e sobra resto 2. O 4 não é divisor de 6.
6 : 5 = 1 e sobra resto 1. O 5 não é divisor de 6.
6 : 6 = 1 e não sobra resto. (claro que o próprio número sempre será divisor).
Outra maneira de saber quais são os divisores de um número, é saber se aparece
eles estão nos múltiplos.
Os divisores de 6
Vejamos os múltiplos de cada número até o 6
1 – 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10… apareceu o 6 entre os múltiplos. Logo, o 1 é divisor.
2 – 0,2,4,6,8,10… apareceu o 6. O 2 é divisor de 6.
3 – 0,3,6,9,12… aparecei o 6. O 3 é divisor de 6.
4 – 0,8,12… não apareceu o 6. O 4 não é divisor.
5 – 0,5,10… não apareceu o 6. O 5 não é divisor.
6 – 0,6,12… apareceu o 6. O 6 é divisor dele próprio.
DICA:
Você não precisa testar todos os números até ele próprio. Quando chegar na
metade do número, pode pular para o próprio.
Divisores de 6:
A metade é 3. Vou pesquisar até o 3.
Testarei o 1, o 2, o 3 e depois posso pular para o 6.
Quais são os divisores de 10?
A metade é 5. Testarei até o 5.
1 – 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11… apareceu o 10. Logo ele é divisor de 10 (o 1 sempre
é divisor)
2 – 0,2,4,6,8,10… o 10 apareceu. O 2 não é divisor de 10.
3 – 0,3,6,9,12… não apareceu o 10. Portanto, o 3 não é divisor de 10.
4 – 0,4,8,12… o 4 não é divisor de 10, pois entre os seus múltiplos o 10 não
aparece.
5 – 0,5,10,15… o 10 apareceu. Logo, o 5 é múltiplo de 10.
10 – 0,10,20… o 10 apareceu. Logo, o 10 é divisor dele próprio.
Perceba que eu testei até o 5 e em seguida pulei para o próprio número.
CONFERINDO OS DIVISORES
Achei os divisores de 60. Como saber se esqueci de algum?
Vimos que o número 60 tem 12 divisores.
São eles:
1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60.
Como saber se está faltando algum ou se tem algum sobrando?
Multiplique os seus extremos.
1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60.
1 . 60 = 60
1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60.
2 . 30 = 60
1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60.
3 . 20 = 60
1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60.
4 . 15 = 60
1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60.
5 . 12 = 60
1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60.
6 . 10 = 60
Observe que todas os produtos são o mesmo valor.
Logo, não está faltando nem sobrando!
QUANTIDADE DE DIVISORES
Muitas vezes um exercício não pede para você dizer quais são os divisores de um
número, mas para você dizer qual é a quantidade de divisores dele.
Exemplo:
Qual a quantidade de divisores do número 60?
Para calcular a quantidade de divisores de um número, primeiro, devemos fazer a
fatoração:
60 | 2
30 | 2
15 | 3
05 | 5
01
Temos os seguintes fatores:
2.2.3.5
Escrevendo em forma de potência:
22 x 31 x 51
Pegue os expoentes e some com 1.
2+1=3
1+1=2
1+1=2
Multiplique os resultados:
3 x 2 x 2 = 12.
O número 60 tem 12 divisores.
DIVISORES QUADRADOS PERFEITOS
Num nível mais elevado, vamos ver como calcular a quantidade de divisores
quadrados perfeitos de um número.
Calcule a quantidade de divisores do número 3600 que são quadrados perfeitos.
Para saber quantos dos divisores de um certo número são quadrados perfeitos,
basta:
1) Fatorar o número desejado. Nesse caso, o 3600.
3600|2
1800|2
0900|2
0450|2
0225|3
0075|:3
0025|5
0005|5
1
2) Expressar os fatores em potência:
24 . 33 . 52
3) Separe os expoentes:
4
3
2
4) Escreva de zero até esse número:
4 : 0,1,2,3,4 (5 números)
3: 0,1,2,3 (4 números)
2: 0,1,2
(3 números)
Observe que até aqui você faria para calcular a quantidade de divisores positivos
de um número. Bastaria multiplicar a quantidade de números (5 . 4 . 3 = 120
divisores).
Mas, queremos, dentre esses 120, apenas os quadrados perfeitos.
5) Separe apenas os números pares:
5: 0,2,4 (3 números)
3: 0,2
(2 números)
2: 0,2 (2 números)
6) Multiplique a quantidade de números pares.
3 x 2 x 2 = 12.
Assim, dos 120 divisores do número 3600, 12 são quadrados perfeitos.