Fórmulas de Adição O cosseno da soma Consideremos a

Transformações Trigonométricas : Fórmulas
Notas de Aula 05 –
de adição
Semestre 2 - 2010
Tópicos Fundamentais de Matemática - Licenciatura em Matemática –
Osasco -2010
Fórmulas de Adição
O cosseno da soma
Consideremos a circunferência trigonométrica e dois arcos a e b dispostos
conforme a figura abaixo:
Pela contrução, Os arcos
e
são
côngruos (tem media a+b), então, as
cordas
e
também tem a
mesma medida.
O ponto B tem coordenadas cartesianas
, e o ponto P
tem coordenadas
. Usando a expressão para calcular a distância entre
dois pontos no plano cartesiano temos:
Analogamente, o ponto A tem coordenadas cartesianas
,eo
ponto C tem coordenadas
. Usando a
expressão para calcular a distância entre dois pontos no plano cartesiano
temos:
Como
temos:
E concluímos, para quais quer valores de
e
que
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O Seno da Soma
Temos que
Pela fórmula do cosseno da soma temos:
E concluímos que
O cosseno da diferença
Temos
E concluímos que
O seno da diferença
Temos
E concluímos que
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A tangente da soma
Temos que, ao tomar
Admitindo
,
, e dividindo o numerador e o numerador por
, teremos
E concluímos que, para
A tangente da diferença
Tomando
, temos
E concluímos que, para
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Fórmulas do Arco Duplo
Seno do Arco Duplo
Se conhecemos
e do
arco duplo
). Temos:
, podemos calcular também o valor do seno do
Então
Cosseno do Arco Duplo
Se conhecemos
e do
, podemos calcular também o valor do
cosseno do arco duplo
). Temos:
Então
A partir da relação acima e usando as relações fundamentais também
podemos escrever o cosseno do arco duplo como:
E temos,
Ou ainda,
E temos,
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Tangente do Arco Duplo
Se conhecemos
, podemos calcular também o valor da tangente do arco
duplo
). Temos:
Então
Fórmulas para Arcos Triplos
Usando as relações do arco duplo e as relações trigonométricas fundamentais
também podemos mostrar que:
Obs: Ver exercícios 14, 15 e 16.
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Arcos Metade
Cosseno do Arco Metade
Temos que
Substituindo
por , teremos
De onde resulta que
Seno do Arco Metade
Temos que
Substituindo
por , teremos
De onde resulta que
Tangente do Arcos Metade
Temos que
De onde resulta,
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Há outras relações importantes que envolvem o arco metade da tangente, com
segue.
Podemos mostrar que
.
De fato,
Portanto,
Também podemos mostrar que
De fato,
Portanto,
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Temos ainda que
, então
Portanto,
Transformações de Somas em Produtos
Já vimos que
E que
Somando (1) e (2) teremos
E, subtraindo (2) de (1) temos
Se chamarmos
e
teremos
e
Então, as expressões (3) e (4) resultam em
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E,
De forma análoga, vimos que
E que
Somando (5) e (6) teremos
E, subtraindo (6) de (5) temos
Se chamarmos
e
teremos
e
Então, as expressões (7) e (8) resultam em
E,
Para a tangente, teremos
Então,
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E, ainda
Então,
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Exercícios
1) Admitindo
, mostre que
2) Admitindo
, mostre que
3) Dados
, com
, calcule
Resposta:
4) Dados
e
, calcule
, sabendo que
e
Resposta:
5) Dados
, com
, e
, calcule
.
Resposta:
6) (FEI-76) Sendo
Resposta:
e
, determine
7) Sabendo que
e
, determine expressões para
e
, quando existirem, em função de .
Resposta:
e
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8) Simplifique a expressão
Resposta:
9) Demonstre a identidade
10) Se
, qual é a expressão de
em função da
.
Resposta:
11) Calcular os valores de
a.
b.
c.
d.
12) (MAPOFEI-75) Calcule o valor da expressão
Resposta:
13) Determine o período, o domínio, a imagem , e esboce o gráfico das
funções abaixo:
a.
Resposta:
;
;Período=
Esboço:
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b.
Resposta:
;
;Período=
Esboço:
c.
Resposta:
;
Período=
Esboço:
14) Mostre que
15) Mostre que
16) Mostre que
17) Dados
, com
, determine
,
, e
,
usando as relações de arco duplo.
Resposta:
,
,
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18) Sabendo que
, determine
.
Sugestão:tome o quadrado dos sois membros da igualdade.
Resposta:
.
19) Dados
e
com
,determine
.
Resposta:
20) Mostre que vale a identidade
21) Sendo
, com
, determine
.
Resposta:
22) (FEI-77) Calcular
sabendo que
.
Resposta:
23) (MAUÁ-77) Sendo
,
, calcule
a.
Resposta:
b.
Resposta:
24) Mostre que
a.
b.
25) Calcule o seno, o cosseno e a tangente do arco de medida
Resposta:
26) Sendo
,
,
a.
(Resposta: )
b.
(Resposta: )
radianos.
;
, calcule
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c.
(Resposta: )
27) Se
, calcule
Resposta:
28) Se
.
,
;
, calcule
Resposta:
.
, ou
, ou
, ou
.
29) (FAUUSP-69) Sabendo-se que x é um arco do primeiro quadrante e
, determinar
Resposta:
.
e
30) Transforme as soma abaixo em produtos
a.
b.
c.
d.
(Resposta:
(Resposta:
(Resposta:
)
)
(Resposta:
)
)
e.
(Resposta:
31) Transforme em produto a expressão
Sugestão: escreva
Resposta:
32) Fatore a expressão
.
Resposta:
33) Transforme em produto a expressão
Sugestão: escreva
Resposta:
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34) Escreva em forma de produto a expressão
Sugestão:Escreva
.
.
Resposta:
35) Mostre que
.
Sugestão: use que
36) Mostre que
Sugestão: use que
37) Calcule o valor numérico da expressão
.
.
Sugestão:
Faça
e
Resposta:
Referências
Dante, L. Roberto. Matemática: Contexto e aplicações. Volume 1. Ed. 3.
Impressão 1. Editora Ática. São Paulo.2003.
Iezzi, Gelson (e outros). Fundamentos de Matemática Elementar. Volume
3. Ed Atual. São Paulo. 1977.
http://pt.wikibooks.org/wiki/Matem%C3%A1tica_elementar/Imprimir#Adi.C
3.A7.C3.A3o_de_arcos (Acesso em 24/07/2010)
http://pt.wikibooks.org/wiki/Matem%C3%A1tica_elementar (Acesso em
24/07/2010)
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