raciocínio lógico - professor carlos eduardo

RLM - PROFESSOR CARLOS EDUARDO
AULA 3
 Sucessões = sequências(numéricas)
São conjuntos de números reais dispostos numa certa ordem. Uma sequência pode ser
FINITA ou INFINITA.
Ex: a) (3, 6, 9, 12) → sequência finita
P.A de razão 3
b) (5, 10, 15, ...) → sequência infinita P.A de razão 5
IPC: É importante destacar que, ao contrário do que ocorre num conjunto, qualquer
alteração na ordem dos elementos de uma sequência altera a própria sequência.
Representação
(a1, a2, a3, ..., an-1, an), em que:



a1 é o primeiro termo
a2 é o segundo termo
a3 é o terceiro termo
Ex: Monte a sucessão numérica onde o termo geral é dado pela seguinte fórmula an =2.an-1
+ 1 e o a1 = 1
IPC: Nem sempre uma sequência será uma P.A. ou P.G.
Sequência de Fibonacci
(1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,...)

an = an-1 + an-2 (a partir do 3º termo)
1) Considere que os termos da sequência seguinte foram obtidos segundo determinado
critério:
( 1, 5,
1 4
3,
3
15 ,
12
13 ,
11
65 ,
44
63, ...)
43
Se x/y é o 9º termo dessa sequência, obtido de acordo com esse critério, então a soma x +
y é um número:
a) menor que 400.
b) múltiplo de 7.
c) ímpar.
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d) quadrado perfeito.
e) maior que 500.
Progressão Aritmética (PA)
É toda sequência (a1, a2, a3, ...) tal que:
a1 = a
an+1 = an + r (para n ≥ 1)
Ex: (3, 7, 11, 15, 19)




PA
5 termos
a1 = 3
r=4
Propriedades
I)
an+1 - an = r
II)
an = an+1 + an-1
2
III) (a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7)
Média Aritmética
a3 + a5 = a1 + a7
Termo geral da PA
an = a1 + (n-1)r
Ex: Qual o a15 de uma PA de razão 3 e o a8 = 10?
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Soma dos termos da PA
Sn = (a1 + an) n
2
Ex: Numa PA com 30 termos o a1 = 12 e o a30 = 58. Qual o valor da soma de todos eles?
Progressão Geométrica (PG)
É toda sequência (a1, a2, a3, ...) tal que:
a1 = a
an+1 = an q (para n ≥ 1)
a≠0eq≠0
Ex: (3, 6, 12, 24)




PG
4 termos
a1 = 3
q=2
Propriedades
I)
an+1 = q
an
II)
IanI =√ an-1 x an+1
III) (3, 6, 12, 24)
Média Geométrica
a1 + a4 = a2 + a3
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Termo geral da PG
an = a1q n-1
Ex: Numa PG de razão 3, cujo 1º termo vale 2, o valor do 4º termo é?
Soma dos termos da PG
Sn = a1 (qn - 1)
q-1
Para q ≠ 1
Ex: Numa PG com 10 termos, o a1 = 25 e a razão é 2. Determinar a soma destes termos.
Soma-limite de uma PG infinita
Acontece numa PG onde a razão está entre 0 e 1
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S∞ = a1__
1-q
Ex: Determinar a soma-limite da expressão
2 + 1 + 1_ + 1_ + 1_ + ...
2
4
8
2) Considerando que, em uma PA a razão seja positiva, a1 = 2 e os termos a1, a3 e a11
estejam, nessa ordem, em PG, julgue o item a seguir:
A média aritmética de 3 termos quaisquer dessa progressão aritmética será sempre
um número inteiro.
3) Uma sequência de números k1 , k2 , k3 , k4 ,....,kn é denominada Progressão
Geométrica - PG - de n termos quando, a partir do segundo termo, cada termo
dividido pelo imediatamente anterior for igual a uma constante r denominada razão.
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Sabe-se que, adicionando uma constante x a cada um dos termos da sequência (p - 2);
p; e (p + 3) ter-se-á uma PG. Desse modo, o valor de x, da razão e da soma dos termos
da PG são, respectivamente, iguais a:
a)
b)
c)
d)
e)
(6 - p); 2/3; 21
(p +6); 3/2; 19
6; (6 – p); 21
(6 - p); 3/2; 19
(p - 6); p; 20
 MDC e MMC

Múltiplos → É só lembrar-se da tabuada que aprendemos lá na infância.
Ex: 3 x 0 = 0
3x1=1
3x2=6
3x3=9
3 x 4 = 12
3 x 5 = 15
3 x 6 = 18
3 x 7 = 21
3 x 8 = 24
3 x 9 = 27
3 x 10 = 30
.
.
Primeiros 11 múltiplos
Conjunto infinito
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.

Divisores → É o nº que divide certo número dando resto “zero”.
Ex: 12 : 4 = 3 → O nº “4” é divisor de “12”
 Conjunto dos divisores de um nº natural
D(50) = {1, 2, 5, 10, 25, 50} → conjunto finito
50 = 2 x 5² → 6 divisores
M.D.C. e M.M.C.
Calcular o MDC e o MMC entre os números “64” e “24”
M(64) = {64, 128, 192...}
D(64) = {1, 2, 4, 8, 16, 32, 64}
M(24) = {24, 48, 72, 96, 120, 144, 168, 192...}
D(24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}
MDC (64, 24) = 8
MMC (64, 24) = 192
4) Uma empresa confeccionou catálogos dos tipos A e B
para presentear seus clientes. Um catálogo do tipo A pesa 240 g e
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um do tipo B, 350 g. Os catálogos foram organizados em pacotes,
contendo cada um deles apenas catálogos de um mesmo tipo.
Se 540 catálogos do tipo A e 340 do tipo B forem separados em lotes, de modo que
cada lote contenha catálogos dos dois tipos e a mesma quantidade de catálogos de
cada tipo, então a quantidade máxima de lotes em que poderão ser separados esses
catálogos será igual a:
I.
a)
b)
c)
d)
e)
II.
20
34
54
10
17
Com base nas informações do texto, é correto afirmar que, se todos os pacotes
tiverem o mesmo peso e se esse peso for inferior a 10 kg, então cada pacote pesará:
a)
b)
c)
d)
e)
8,3 kg
8,4 kg
8 kg
8,1 kg
8,2 kg
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 Teoria dos Conjuntos
Conjunto → Uma definição básica para conjunto é que ele é uma reunião de elementos.
Estes elementos podem ser pessoas, animais, objetos, números etc.
Ex: A = {a, b, c, d, e,..., z}
Pode também ser representado por uma propriedade...
A = {x/x é letra do alfabeto}
...ou através de um diagrama, chamado Diagrama de Venn
A
abcdefghijl
mnopqrstuv
xz
Pertinência (Є ou Є)
Analisar se um elemento qualquer pertence ou não pertence a determinado conjunto.
Ex: B = {x/x é consoante da palavra FEDERAL}
→ P Є B?
Conjunto Vazio→ não possui elementos. É representado por { } ou Ø.
Conjunto unitário→ possui apenas um elemento.
Conjuntos numéricos

Conjunto dos números Naturais
N = {0, 1, 2, 3, 4,...}

Conjunto dos números Inteiros
Z = {...-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,...}

Conjunto dos números Inteiros Não Positivos
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Z _ = {...-4, -3, -2, -1, 0}

Conjunto dos números Inteiros Negativos
Z* _ = {...-4, -3, -2, -1}
IPC: O “zero” não é positivo nem negativo.

Conjunto dos números Racionais
Z = {x/x = a , a Є Z e b Є Z*}
b

Conjunto dos números Irracionais
I = {√2, √7, π, ...}
**

Conjunto dos números Reais
R=QUI
Q
I
. 2
5
. √2
Z
. -3
. √3
.π
N
.0
.1
.–3
7
.0,222...
R
Igualdade entre conjuntos
A = {3, 5, 11}
B = {11, 11, 11, 3, 5, 3, 5}
A = B?
Relação de Inclusão

A Ϲ B ou B Ͻ A / A Ȼ B ou B Ͻ A
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Se todos os elementos da A forem também de B, A está contido em B ou B contém A. E se
pelo menos um elemento de A não for também elemento de B, A não está contido em B
ou B não contém A.
 A Ϲ B ou B Ͻ A
B
A=B
A

A Ȼ B ou B Ͻ A
A
B
IPC: O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto porque ele não tem nenhum
elemento que não seja elemento do outro conjunto.
5) Classifique em C ou E os itens abaixo:
a)
b)
c)
d)
e)
Ø Є {11, 12, 13}
-4 Є N
N* = Z*+
Ø Ϲ {0, 1, 2, √2}
RϹQ
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Conjunto das Partes
O conjunto das partes de A é o conjunto formado por todos os subconjuntos de A.
Ex: A = {1, 3, 5}
P(A) = {Ø, {1}, {3}, {5}, {1}, {1, 3}, {1, 5}, {3, 5}, {1, 3, 5}}
N [P(A)] = 2n
Interseção de conjuntos

A ∩ B → É o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A e também a
B.
A
B
União de conjuntos

A U B → É o conjunto formado por todos os elementos de A e todos os elementos
de B.
A
B
IPC: n(A U B) = n(A) + n(B) – n(A ∩B)
**
Propriedades


A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C)
A ∩ (B U C) = (A ∩ B) U (A ∩ C)
Diferença de conjuntos

A - B → É o conjunto formado pelos elementos de A que não pertençam a B.
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A
B
Conjunto Universo
Quando definimos um conjunto para fazermos uma operação matemática.
Ex: x + 6 = 3, sendo U = Z
x = -3 Є Z (tem solução)
x + 6 = 3, sendo U = N
x = -3 Є N (não tem solução)
Conjunto Complementar

CB A → É a diferença B – A, quando A é subconjunto de B.
**
B
A
6) Julgue C ou E. Considere os conjuntos A, B e C, seus respectivos
complementares
e as seguintes declarações:
Para esses conjuntos e seus respectivos complementares, estão corretas as
declarações I, II e III.
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7) (Analista/SEBRAE/Cespe-Unb/2008) Considere que os livros L, M e N foram indicados
como referência bibliográfica para determinado concurso. Uma pesquisa realizada
com 200 candidatos que se prepararam para esse concurso usando esse livros revelou
que:






10 candidatos utilizaram somente o livro L;
20 candidatos utilizaram somente o livro N;
90 candidatos utilizaram o livro L;
20 candidatos utilizaram os livros L e M;
25 candidatos utilizaram os livros M e N;
15 candidatos utilizaram os três livros;
Considerando esses 200 candidatos e os resultados da pesquisa, julgue os itens seguintes:
I) Mais de 6 candidatos se prepararam para o concurso utilizando somente os livros L e
M.
II) Mais de 100 candidatos se prepararam para o concurso utilizando somente um desses
livros.
III) 90 candidatos se prepararam para o concurso utilizando pelo menos dois desses livros.
IV) O número de candidatos que se prepararam para o concurso utilizando o livro M foi
inferior a 105.
8) (IDENE - FUNRIO) Um levantamento entre leitores revelou que: 37% leem a revista X,
42% leem a revista Y e 18% leem as duas revistas, X e Y. A porcentagem dos leitores
entrevistados que não leem a revista X nem a revista Y é:
a)
b)
c)
d)
39 %
40 %
41 %
42 %
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e) 43 %
GABARITO
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
D
C
D
I) A; II) B
a) E; b) C; c) C; d) C; e) E
E
I) E; II) C; III) C; IV) E
A
Exercício extra “Racha-Cuca”
Corte uma torta em 8 pedaços, fazendo apenas 3 cortes.
Divirta-se! E persista até alcançar o êxito!