Equações Básicas na Forma Integral para um Volume de Controle

Equações Básicas na Forma Integral
para um Volume de Controle
Parte B
A Equação da Quantidade de Movimento para um Volume de Controle Inercial
Deseja-se desenvolver uma formulação matemática da Segunda Lei de Newton
adequada para um volume de controle. Para tal, nossa dedução ficará restrita a um volume de
controle inercial, fixo no espaço em relação a um sistema de coordenadas xyz que não está se
acelerando em relação a uma referência estacionária XYZ.
A Segunda Lei de Newton para um sistema que se move em relação a um sistema de
coordenadas inerciais é dada por
G
G dP ⎞
⎟
F=
dt ⎟⎠ sistema
G
sendo que, Psistema =
∫M (sistema )
G
V dm =
∫∀(sistema )
(1)
G
G
V ρ d∀ e a força resultante, F , inclui
G G
G
todas as forças de campo e de superfície atuando sobre o sistema, F = FS + FB .
As formulações para sistema e volume de controle são relacionadas pelo Teorema de
Transporte de Reynolds,
G
dP ⎞
∂
⎟
=
dt ⎟⎠ sistema ∂t
∫VC
G
V ρ d∀ +
∫SC
G G G
V ρ V . dA
(2)
Com isso, as Eqs. (1) e (2) podem ser combinadas, fornecendo a formulação da
Segunda Lei de Newton para um volume de controle não submetido à aceleração,
G G
G
∂
F = FS + FB =
∂t
∫VC
G
V ρ d∀ +
∫SC
G G G
V ρ V .dA
(3)
A Equação (3), estabelece que a soma de todas as forças (de superfície e de campo)
atuando sobre um volume de controle não submetido à aceleração, é igual à soma da taxa de
variação da quantidade de movimento no interior do volume de controle com a taxa líquida de
fluxo de quantidade de movimento saindo da superfície de controle, isto é,
⎡ Taxa de variação de
G G
G
F = FS + FB = ⎢⎢ da q.d.m. dentro do VC,
⎢⎣
no tempo
⎤ ⎡ Taxa líquida de
⎥ + ⎢ fluxo de q.d.m.
⎥ ⎢
⎥⎦ ⎢⎣ através da SC
Aula 5 – Complementos de Mecânica dos Fluidos
Equações Básicas na Forma Integral para um Volume de Controle (Parte B)
⎤
⎥
⎥
⎥⎦
1
G
Todas as velocidades, V , na Eq. (3), são medidas em relação ao volume de controle.
G G G
O fluxo da quantidade de movimento, V ρ V .dA , através de um elemento de área da
G
G G
superfície de controle, dA , é um vetor. O sinal do produto escalar, ρ V .dA , depende do
G
G
sentido do vetor velocidade, V , em relação ao vetor área, dA . Os sinais dos componentes da
G
velocidade, V , dependem do sistema de coordenadas escolhido.
A equação da quantidade de movimento é vetorial. Como todas as equações vetoriais,
podem ser escritas na forma de três equações componentes escalares. As componentes
escalares da Eq. (3), em relação a um sistema de coordenadas xyz, são
Fx = FS x + FB x =
Fy = FS y + FB y =
Fz = FS z + FB z =
∂
∂t
∫
VC
∂
∂t
∂
∂t
u ρ d∀ +
∫
(4)
SC
v ρ d∀ +
VC
∫
∫
G G
u ρ V .dA
w ρ d∀ +
VC
∫
G G
v ρ V .dA
(5)
SC
∫
G G
w ρ V .dA
(6)
SC
Para utilizar as equações escalares, é necessário, inicialmente, escolher um sistema de
coordenadas. Os sentidos positivos das componentes da velocidade, u, v e w, e as
componentes das forças, Fx, Fy e Fz, são então estabelecidos em relação ao sistema de
G G G
coordenadas selecionado. O termo V ρ V .dA da Eq. (3) é um produto de duas quantidades
que têm, ambas, sinais algébricos. Sugere-se que um procedimento em duas etapas seja
realizado para determinar o fluxo da quantidade de movimento através de uma porção
qualquer de uma superfície de controle:
G G
G G
a) determinação do sinal de ρ V .dA , ou seja, ρ V .dA = ρ V dA cos α = ± ρ V dA cos α ;
b) determinação do sinal de cada componente da velocidade u, v e w. O sinal, que
depende da escolha do sistema de coordenadas, deve ser considerado quando se
G G
substituir os valores numéricos nos termos u ρ V .dA = u {± ρ V dA cos α }, e assim
por diante.
Fonte:
Fox, R.W. & McDonald, A.T., 2005. Introdução à Mecânica dos Fluidos. Rio de Janeiro:
Livros Técnicos e Científicos Editora S.A., 5ª Edição.
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