Aplicações de Álgebra Linear

Aplicações de Álgebra Linear
Humberto José Bortolossi
Departamento de Matemática Aplicada
Universidade Federal Fluminense
Aula 11
28 de janeiro de 2009
1/98
Aula 11
Aplicações de Álgebra Linear
1/1
Parte 1
2/98
Aula 11
Aplicações de Álgebra Linear
1/1
Teoria dos jogos: descrição informal
Criada para se modelar fenômenos que podem ser
observados quando dois ou mais agentes de decisão
interagem entre si.
Aplicações em eleições, leilões, balança de poder,
evolução genética, etc. Mas sua teoria matemática é
interessante por si própria.
Teoria econômica × teoria combinatória dos jogos.
3/98
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Aplicações de Álgebra Linear
1/1
Um pouco de história . . .
4/98
Waldegrave
Cournot
Zermelo
Borel
(1713)
(1838)
(1913)
(1921)
Aula 11
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1/1
Um pouco de história . . .
1944: John von Neumann e Oscar
Morgenstern (The Theory of Games and
Economic Behaviour).
5/98
Aula 11
Aplicações de Álgebra Linear
1/1
Um pouco de história . . .
1950:
John Nash (existência de
um equilíbrio de estratégias mistas
para jogos não-cooperativos com
n jogadores).
6/98
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1/1
Um pouco de história . . .
1994: John Nash, John Harsanyi e Reinhard Selten
(prêmio Nobel de economia)
7/98
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1/1
O que é um jogo?
8/98
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1/1
Exemplo: o dilema do prisioneiro
9/98
Aula 11
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1/1
Exemplo: o dilema do prisioneiro
G={Al,Bob},
SAl ={confessar,negar},
SBob ={confessar,negar},
S={(confessar,confessar),(confessar,negar),(negar,confessar),(negar,negar)}.
Função utilidade de Al
uAl : S→R
uAl (confessar,confessar)=−5,
uAl (negar,confessar)=−10,
uAl (confessar,negar)=0,
uAl (negar,negar)=−1,
Função utilidade de Bob
uBob : S→R
uBob (confessar,confessar)=−5,
uBob (negar,confessar)=0,
10/98
Aula 11
uBob (confessar,negar)=−10,
uBob (negar,negar)=−1
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1/4
Exemplo: o dilema do prisioneiro
G={Al,Bob},
SAl ={confessar,negar},
SBob ={confessar,negar},
S={(confessar,confessar),(confessar,negar),(negar,confessar),(negar,negar)}.
Função utilidade de Al
uAl : S→R
uAl (confessar,confessar)=−5,
uAl (negar,confessar)=−10,
uAl (confessar,negar)=0,
uAl (negar,negar)=−1,
Função utilidade de Bob
uBob : S→R
uBob (confessar,confessar)=−5,
uBob (negar,confessar)=0,
10/98
Aula 11
uBob (confessar,negar)=−10,
uBob (negar,negar)=−1
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2/4
Exemplo: o dilema do prisioneiro
G={Al,Bob},
SAl ={confessar,negar},
SBob ={confessar,negar},
S={(confessar,confessar),(confessar,negar),(negar,confessar),(negar,negar)}.
Função utilidade de Al
uAl : S→R
uAl (confessar,confessar)=−5,
uAl (negar,confessar)=−10,
uAl (confessar,negar)=0,
uAl (negar,negar)=−1,
Função utilidade de Bob
uBob : S→R
uBob (confessar,confessar)=−5,
uBob (negar,confessar)=0,
10/98
Aula 11
uBob (confessar,negar)=−10,
uBob (negar,negar)=−1
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3/4
Exemplo: o dilema do prisioneiro
G={Al,Bob},
SAl ={confessar,negar},
SBob ={confessar,negar},
S={(confessar,confessar),(confessar,negar),(negar,confessar),(negar,negar)}.
Função utilidade de Al
uAl : S→R
uAl (confessar,confessar)=−5,
uAl (negar,confessar)=−10,
uAl (confessar,negar)=0,
uAl (negar,negar)=−1,
Função utilidade de Bob
uBob : S→R
uBob (confessar,confessar)=−5,
uBob (negar,confessar)=0,
10/98
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uBob (confessar,negar)=−10,
uBob (negar,negar)=−1
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4/4
Exemplo: o dilema do prisioneiro
M ATRIZ DE PAYOFFS
Bob
Al
11/98
confessar
negar
confessar
(−5, −5)
(0, −10)
negar
(−10, 0)
(−1, −1)
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1/1
O que é um jogo?
J OGO F INITO NA F ORMA E STRATÉGICA
Existe um conjunto finito de jogadores:
G = {g1 , . . . , gn }.
Cada jogador gi ∈ G possui um conjunto finito de
estratégias puras: Si = {si1 , si2 , . . . , simi }.
Q
O produto cartesiano S = ni=1 Si = S1 × S2 × · · · × Sn ,
é denominado espaço de estratégia pura do jogo e seus
elementos de perfis de estratégia pura.
Para cada jogador gi ∈ G, existe uma função utilidade
ui : S → R que associa o ganho (payoff) ui (s) do jogador gi
a cada perfil de estratégia pura s ∈ S.
12/98
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1/4
O que é um jogo?
J OGO F INITO NA F ORMA E STRATÉGICA
Existe um conjunto finito de jogadores:
G = {g1 , . . . , gn }.
Cada jogador gi ∈ G possui um conjunto finito de
estratégias puras: Si = {si1 , si2 , . . . , simi }.
Q
O produto cartesiano S = ni=1 Si = S1 × S2 × · · · × Sn ,
é denominado espaço de estratégia pura do jogo e seus
elementos de perfis de estratégia pura.
Para cada jogador gi ∈ G, existe uma função utilidade
ui : S → R que associa o ganho (payoff) ui (s) do jogador gi
a cada perfil de estratégia pura s ∈ S.
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2/4
O que é um jogo?
J OGO F INITO NA F ORMA E STRATÉGICA
Existe um conjunto finito de jogadores:
G = {g1 , . . . , gn }.
Cada jogador gi ∈ G possui um conjunto finito de
estratégias puras: Si = {si1 , si2 , . . . , simi }.
Q
O produto cartesiano S = ni=1 Si = S1 × S2 × · · · × Sn ,
é denominado espaço de estratégia pura do jogo e seus
elementos de perfis de estratégia pura.
Para cada jogador gi ∈ G, existe uma função utilidade
ui : S → R que associa o ganho (payoff) ui (s) do jogador gi
a cada perfil de estratégia pura s ∈ S.
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3/4
O que é um jogo?
J OGO F INITO NA F ORMA E STRATÉGICA
Existe um conjunto finito de jogadores:
G = {g1 , . . . , gn }.
Cada jogador gi ∈ G possui um conjunto finito de
estratégias puras: Si = {si1 , si2 , . . . , simi }.
Q
O produto cartesiano S = ni=1 Si = S1 × S2 × · · · × Sn ,
é denominado espaço de estratégia pura do jogo e seus
elementos de perfis de estratégia pura.
Para cada jogador gi ∈ G, existe uma função utilidade
ui : S → R que associa o ganho (payoff) ui (s) do jogador gi
a cada perfil de estratégia pura s ∈ S.
12/98
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4/4
Exemplo: a batalha dos sexos
G={homem,mulher},
Shomem ={futebol,cinema},
Smulher ={futebol,cinema},
S={(futebol,futebol),(futebol,cinema),(cinema,futebol),(cinema,cinema)}.
M ATRIZ DE PAYOFFS
Homem
Mulher
13/98
futebol
cinema
futebol
(10, 5)
(0, 0)
cinema
(0, 0)
(5, 10)
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1/1
Exemplo: o jogo sete/meio de Silvio Santos
14/98
(NADA, NADA)
(TUDO, NADA)
(NADA, TUDO)
(METADE, METADE)
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1/1
Notações
S = S1 ×· · · Si−1 ×Si ×Si+1 ×· · ·×Sn ,
s
Si = {si1 , . . . , simi },
= (s1j1 , . . . , s(i−1)ji−1 , siji , s(i+1)ji+1 , . . . , snjn ) ∈
S = S1 × · · · Si−1 × Si × Si+1 × · · · × Sn ,
s−i = (s1j1 , . . . , s(i−1)ji−1 , s(i+1)ji+1 , . . . , snjn ) ∈
S−i = S1 × · · · × Si−1 × Si+1 × · · · × Sn ,
s
15/98
= (siji , s−i ) = (s1j1 , . . . , s(i−1)ji−1 , siji , s(i+1)ji+1 , . . . , snjn ).
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1/5
Notações
S = S1 ×· · · Si−1 ×Si ×Si+1 ×· · ·×Sn ,
s
Si = {si1 , . . . , simi },
= (s1j1 , . . . , s(i−1)ji−1 , siji , s(i+1)ji+1 , . . . , snjn ) ∈
S = S1 × · · · Si−1 × Si × Si+1 × · · · × Sn ,
s−i = (s1j1 , . . . , s(i−1)ji−1 , s(i+1)ji+1 , . . . , snjn ) ∈
S−i = S1 × · · · × Si−1 × Si+1 × · · · × Sn ,
s
15/98
= (siji , s−i ) = (s1j1 , . . . , s(i−1)ji−1 , siji , s(i+1)ji+1 , . . . , snjn ).
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2/5
Notações
S = S1 ×· · · Si−1 ×Si ×Si+1 ×· · ·×Sn ,
s
Si = {si1 , . . . , simi },
= (s1j1 , . . . , s(i−1)ji−1 , siji , s(i+1)ji+1 , . . . , snjn ) ∈
S = S1 × · · · Si−1 × Si × Si+1 × · · · × Sn ,
s−i = (s1j1 , . . . , s(i−1)ji−1 , s(i+1)ji+1 , . . . , snjn ) ∈
S−i = S1 × · · · × Si−1 × Si+1 × · · · × Sn ,
s
15/98
= (siji , s−i ) = (s1j1 , . . . , s(i−1)ji−1 , siji , s(i+1)ji+1 , . . . , snjn ).
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3/5
Notações
S = S1 ×· · · Si−1 ×Si ×Si+1 ×· · ·×Sn ,
s
Si = {si1 , . . . , simi },
= (s1j1 , . . . , s(i−1)ji−1 , siji , s(i+1)ji+1 , . . . , snjn ) ∈
S = S1 × · · · Si−1 × Si × Si+1 × · · · × Sn ,
s−i = (s1j1 , . . . , s(i−1)ji−1 , s(i+1)ji+1 , . . . , snjn ) ∈
S−i = S1 × · · · × Si−1 × Si+1 × · · · × Sn ,
s
15/98
= (siji , s−i ) = (s1j1 , . . . , s(i−1)ji−1 , siji , s(i+1)ji+1 , . . . , snjn ).
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4/5
Notações
S = S1 ×· · · Si−1 ×Si ×Si+1 ×· · ·×Sn ,
s
Si = {si1 , . . . , simi },
= (s1j1 , . . . , s(i−1)ji−1 , siji , s(i+1)ji+1 , . . . , snjn ) ∈
S = S1 × · · · Si−1 × Si × Si+1 × · · · × Sn ,
s−i = (s1j1 , . . . , s(i−1)ji−1 , s(i+1)ji+1 , . . . , snjn ) ∈
S−i = S1 × · · · × Si−1 × Si+1 × · · · × Sn ,
s
15/98
= (siji , s−i ) = (s1j1 , . . . , s(i−1)ji−1 , siji , s(i+1)ji+1 , . . . , snjn ).
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5/5
Solução de um jogo: dominância estrita
Dizemos que uma estratégia pura sik ∈ Si do
jogador gi ∈ G é estritamente dominada pela
estratégia sik 0 ∈ Si se
ui (sik 0 , s−i ) > ui (sik , s−i ),
para todo s−i ∈ S−i .
Dominância estrita iterada é o processo no qual,
seqüencialmente, se eliminam as estratégias que são
estritamente dominadas.
Se, no final do processo, o jogo se reduz para um único
perfil de estratégias puras s∗ , dizemos que s∗ é um
equilíbrio de estratégia estritamente dominante.
16/98
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1/2
Solução de um jogo: dominância estrita
Dizemos que uma estratégia pura sik ∈ Si do
jogador gi ∈ G é estritamente dominada pela
estratégia sik 0 ∈ Si se
ui (sik 0 , s−i ) > ui (sik , s−i ),
para todo s−i ∈ S−i .
Dominância estrita iterada é o processo no qual,
seqüencialmente, se eliminam as estratégias que são
estritamente dominadas.
Se, no final do processo, o jogo se reduz para um único
perfil de estratégias puras s∗ , dizemos que s∗ é um
equilíbrio de estratégia estritamente dominante.
16/98
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2/2
Dominância estrita: exemplo
g2
g1
s21
s22
s23
s24
s11
(5, 2)
(2, 6)
(1, 4)
(0, 4)
s12
(0, 0)
(3, 2)
(2, 1)
(1, 1)
s13
(7, 0)
(2, 2)
(1, 1)
(5, 1)
s14
(9, 5)
(1, 3)
(0, 2)
(4, 8)
(s12 , s22 ) é um equilíbrio de estratégia estritamente dominante.
17/98
Aula 11
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1/1
Dominância estrita: exemplo
g2
g1
s21
s22
s23
s24
s11
(5, 2)
(2, 6)
(1, 4)
(0, 4)
s12
(0, 0)
(3, 2)
(2, 1)
(1, 1)
s13
(7, 0)
(2, 2)
(1, 1)
(5, 1)
s14
(9, 5)
(1, 3)
(0, 2)
(4, 8)
(s12 , s22 ) é um equilíbrio de estratégia estritamente dominante.
18/98
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1/1
Dominância estrita: exemplo
g2
g1
s21
s22
s23
s24
s11
(5, 2)
(2, 6)
(1, 4)
(0, 4)
s12
(0, 0)
(3, 2)
(2, 1)
(1, 1)
s13
(7, 0)
(2, 2)
(1, 1)
(5, 1)
s14
(9, 5)
(1, 3)
(0, 2)
(4, 8)
(s12 , s22 ) é um equilíbrio de estratégia estritamente dominante.
19/98
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1/1
Dominância estrita: exemplo
g2
g1
s21
s22
s23
s24
s11
(5, 2)
(2, 6)
(1, 4)
(0, 4)
s12
(0, 0)
(3, 2)
(2, 1)
(1, 1)
s13
(7, 0)
(2, 2)
(1, 1)
(5, 1)
s14
(9, 5)
(1, 3)
(0, 2)
(4, 8)
(s12 , s22 ) é um equilíbrio de estratégia estritamente dominante.
20/98
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1/1
Dominância estrita: exemplo
g2
g1
s21
s22
s23
s24
s11
(5, 2)
(2, 6)
(1, 4)
(0, 4)
s12
(0, 0)
(3, 2)
(2, 1)
(1, 1)
s13
(7, 0)
(2, 2)
(1, 1)
(5, 1)
s14
(9, 5)
(1, 3)
(0, 2)
(4, 8)
(s12 , s22 ) é um equilíbrio de estratégia estritamente dominante.
21/98
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1/1
Dominância estrita: exemplo
g2
g1
s21
s22
s23
s24
s11
(5, 2)
(2, 6)
(1, 4)
(0, 4)
s12
(0, 0)
(3, 2)
(2, 1)
(1, 1)
s13
(7, 0)
(2, 2)
(1, 1)
(5, 1)
s14
(9, 5)
(1, 3)
(0, 2)
(4, 8)
(s12 , s22 ) é um equilíbrio de estratégia estritamente dominante.
22/98
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Aplicações de Álgebra Linear
1/1
Dominância estrita: exemplo
g2
g1
s21
s22
s23
s24
s11
(5, 2)
(2, 6)
(1, 4)
(0, 4)
s12
(0, 0)
(3, 2)
(2, 1)
(1, 1)
s13
(7, 0)
(2, 2)
(1, 1)
(5, 1)
s14
(9, 5)
(1, 3)
(0, 2)
(4, 8)
(s12 , s22 ) é um equilíbrio de estratégia estritamente dominante.
23/98
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1/1
Dominância estrita: exemplo
g2
g1
s21
s22
s23
s24
s11
(5, 2)
(2, 6)
(1, 4)
(0, 4)
s12
(0, 0)
(3, 2)
(2, 1)
(1, 1)
s13
(7, 0)
(2, 2)
(1, 1)
(5, 1)
s14
(9, 5)
(1, 3)
(0, 2)
(4, 8)
(s12 , s22 ) é um equilíbrio de estratégia estritamente dominante.
24/98
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1/1
Dominância estrita: exemplo
g2
g1
s21
s22
s23
s24
s11
(5, 2)
(2, 6)
(1, 4)
(0, 4)
s12
(0, 0)
(3, 2)
(2, 1)
(1, 1)
s13
(7, 0)
(2, 2)
(1, 1)
(5, 1)
s14
(9, 5)
(1, 3)
(0, 2)
(4, 8)
(s12 , s22 ) é um equilíbrio de estratégia estritamente dominante.
25/98
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1/1
Dominância estrita: exemplo
g2
g1
s21
s22
s23
s24
s11
(5, 2)
(2, 6)
(1, 4)
(0, 4)
s12
(0, 0)
(3, 2)
(2, 1)
(1, 1)
s13
(7, 0)
(2, 2)
(1, 1)
(5, 1)
s14
(9, 5)
(1, 3)
(0, 2)
(4, 8)
(s12 , s22 ) é um equilíbrio de estratégia estritamente dominante.
26/98
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1/1
Dominância estrita: exemplo
g2
g1
s21
s22
s23
s24
s11
(5, 2)
(2, 6)
(1, 4)
(0, 4)
s12
(0, 0)
(3, 2)
(2, 1)
(1, 1)
s13
(7, 0)
(2, 2)
(1, 1)
(5, 1)
s14
(9, 5)
(1, 3)
(0, 2)
(4, 8)
(s12 , s22 ) é um equilíbrio de estratégia estritamente dominante.
27/98
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1/1
Dominância estrita: o dilema do prisioneiro
M ATRIZ DE PAYOFFS
Bob
Al
confessar
negar
confessar
(−5, −5)
(0, −10)
negar
(−10, 0)
(−1, −1)
(confessar, confessar) é um
equilíbrio de estratégia estritamente dominante.
28/98
Aula 11
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1/1
Dominância estrita: o dilema do prisioneiro
M ATRIZ DE PAYOFFS
Bob
Al
confessar
negar
confessar
(−5, −5)
(0, −10)
negar
(−10, 0)
(−1, −1)
(confessar, confessar) é um
equilíbrio de estratégia estritamente dominante.
29/98
Aula 11
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1/1
Dominância estrita: a batalha dos sexos
M ATRIZ DE PAYOFFS
Homem
Mulher
futebol
cinema
futebol
(10, 5)
(0, 0)
cinema
(0, 0)
(5, 10)
Este jogo não possui estratégias estritamente dominantes!
30/98
Aula 11
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1/2
Dominância estrita: a batalha dos sexos
M ATRIZ DE PAYOFFS
Homem
Mulher
futebol
cinema
futebol
(10, 5)
(0, 0)
cinema
(0, 0)
(5, 10)
Este jogo não possui estratégias estritamente dominantes!
30/98
Aula 11
Aplicações de Álgebra Linear
2/2
Hora de praticar!
31/98
Aula 11
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1/1
Exercício [01]: simplifique usando dominância estrita
g2
32/98
s21
s22
s23
s24
s11
(3, 0)
(1, 1)
(5, 4)
(0, 2)
g1 s12
(1, 1)
(3, 2)
(6, 0)
(2, −1)
s13
(0, 2)
(4, 4)
(7, 2)
(3, 0)
Aula 11
Aplicações de Álgebra Linear
1/1
Exercício [07]: simplifique usando dominância estrita!
C
Se B escolhe y1 : A
z1
z2
z3
z4
x1
(5, 0, 2)
(1, 0, 1)
(3, 0, 6)
(1, 2, 1)
x2
(3, 2, 2)
(9, 1, 8)
(2, 0, 5)
(2, 0, 2)
x3
(1, 0, 0)
(1, 0, 9)
(4, 0, 8)
(3, 0, 3)
z1
z2
z3
z4
x1
(0, 1, 1)
(0, 1, 2)
(2, 1, 3)
(0, 3, 9)
x2
(0, 3, 2)
(1, 2, 3)
(2, 1, 8)
(2, 1, 0)
x3
(1, 1, 0)
(2, 1, 1)
(3, 2, 2)
(3, 1, 3)
C
Se B escolhe y2 : A
33/98
Aula 11
Aplicações de Álgebra Linear
1/1
Exercício [08]: simplifique usando dominância estrita!
C
Se B escolhe y1 : A
z1
z2
z3
z4
x1
(1, 2, 9)
(2, 9, 9)
(3, 7, 9)
(2, 8, 9)
x2
(3, 8, 3)
(4, 5, 4)
(4, 1, 3)
(3, 9, 3)
x3
(2, 9, 9)
(3, 9, 9)
(3, 9, 9)
(2, 9, 9)
z1
z2
z3
z4
x1
(2, 1, 9)
(3, 9, 9)
(2, 9, 9)
(1, 9, 9)
x2
(4, 9, 1)
(4, 2, 2)
(3, 2, 1)
(2, 2, 1)
x3
(1, 9, 9)
(2, 9, 9)
(2, 9, 9)
(1, 9, 9)
C
Se B escolhe y2 : A
34/98
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Aplicações de Álgebra Linear
1/1
Equilíbrios de Nash
35/98
Aula 11
Aplicações de Álgebra Linear
1/1
Solução de um jogo: equilíbrio de Nash
Uma solução estratégica ou equilíbrio de Nash de um
jogo é um ponto onde cada jogador não tem incentivo
de mudar sua estratégia se os demais jogadores não o
fizerem.
Mais precisamente, dizemos que um perfil de estratégia
∗
∗
, si∗ , s(i+1)
, . . . , sn∗ ) ∈ S
s∗ = (s1∗ , . . . , s(i−1)
é um equilíbrio de Nash em estratégias puras se
ui (si∗ , s∗−i ) ≥ ui (siji , s∗−i )
para todo i = 1, . . . , n e para todo ji = 1, . . . , mi .
36/98
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Aplicações de Álgebra Linear
1/1
Equilíbrio de Nash: o dilema do prisioneiro
M ATRIZ DE PAYOFFS
Bob
Al
confessar
negar
confessar
(−5, −5)
(0, −10)
negar
(−10, 0)
(−1, −1)
(confessar, confessar) é o único equilíbrio de Nash.
37/98
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Aplicações de Álgebra Linear
1/1
Equilíbrio de Nash: a batalha dos sexos
M ATRIZ DE PAYOFFS
Homem
Mulher
futebol
cinema
futebol
(10, 5)
(0, 0)
cinema
(0, 0)
(5, 10)
(futebol, futebol) e (cinema, cinema)
são os únicos equilíbrios de Nash.
38/98
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Aplicações de Álgebra Linear
1/1
Equilíbrio de Nash: outro exemplo
g2
g1
s21
s22
s23
s24
s11
(5, 2)
(2, 6)
(1, 4)
(0, 4)
s12
(0, 0)
(3, 2)
(2, 1)
(1, 1)
s13
(7, 0)
(2, 2)
(1, 1)
(5, 1)
s14
(9, 5)
(1, 3)
(0, 2)
(4, 8)
(s12 , s22 ) é o único equilíbrio de Nash.
39/98
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Aplicações de Álgebra Linear
1/1
Equilíbrio de Nash: comparar moedas
N EM TODO JOGO POSSUI UM EQUILÍBRIO DE N ASH EM
ESTRATÉGIAS PURAS !
g2
cara
coroa
cara
(+1, −1)
(−1, +1)
coroa
(−1, +1)
(+1, −1)
g1
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Aplicações de Álgebra Linear
1/2
Equilíbrio de Nash: comparar moedas
N EM TODO JOGO POSSUI UM EQUILÍBRIO DE N ASH EM
ESTRATÉGIAS PURAS !
g2
cara
coroa
cara
(+1, −1)
(−1, +1)
coroa
(−1, +1)
(+1, −1)
g1
40/98
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Aplicações de Álgebra Linear
2/2
Relações entre dominância e equilíbrio de Nash
Proposição 1. O processo de dominância estrita
iterada não pode eliminar um equilíbrio de Nash ao
simplificar um jogo.
Proposição 2. Se o processo de dominância estrita
iterada deixa apenas um único perfil de estratégias
puras s∗ , então s∗ é o único equilíbrio de Nash do jogo.
41/98
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Aplicações de Álgebra Linear
1/2
Relações entre dominância e equilíbrio de Nash
Proposição 1. O processo de dominância estrita
iterada não pode eliminar um equilíbrio de Nash ao
simplificar um jogo.
Proposição 2. Se o processo de dominância estrita
iterada deixa apenas um único perfil de estratégias
puras s∗ , então s∗ é o único equilíbrio de Nash do jogo.
41/98
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Aplicações de Álgebra Linear
2/2
Parte 2
42/98
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Aplicações de Álgebra Linear
1/1
Caracterizando equilíbrios de Nash
via funções de melhor resposta
43/98
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Aplicações de Álgebra Linear
1/1
Equilíbrio de Nash: o dilema do prisioneiro
M ATRIZ DE PAYOFFS
Bob
Al
confessar
negar
confessar
(−5, −5)
(0, −10)
negar
(−10, 0)
(−1, −1)
(confessar, confessar) é o único equilíbrio de Nash.
44/98
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Aplicações de Álgebra Linear
1/1
Melhor resposta: o dilema do prisioneiro
Bob
Al
Se
confessar
negar
confessar
(−5, −5)
(0, −10)
negar
(−10, 0)
(−1, −1)
Bob
confessar,
qual é a melhor resposta de
Al ?
Al deve confessar.
MRAl (confessar) = {confessar}
MRBob (confessar) = {confessar}
45/98
Aula 11
MRAl (negar) = {confessar}
MRBob (negar) = {confessar}
Aplicações de Álgebra Linear
1/3
Melhor resposta: o dilema do prisioneiro
Bob
Al
Se
confessar
negar
confessar
(−5, −5)
(0, −10)
negar
(−10, 0)
(−1, −1)
Bob
confessar,
qual é a melhor resposta de
Al ?
Al deve confessar.
MRAl (confessar) = {confessar}
MRBob (confessar) = {confessar}
45/98
Aula 11
MRAl (negar) = {confessar}
MRBob (negar) = {confessar}
Aplicações de Álgebra Linear
2/3
Melhor resposta: o dilema do prisioneiro
Bob
Al
Se
confessar
negar
confessar
(−5, −5)
(0, −10)
negar
(−10, 0)
(−1, −1)
Bob
confessar,
qual é a melhor resposta de
Al ?
Al deve confessar.
MRAl (confessar) = {confessar}
MRBob (confessar) = {confessar}
45/98
Aula 11
MRAl (negar) = {confessar}
MRBob (negar) = {confessar}
Aplicações de Álgebra Linear
3/3
Melhor resposta: o dilema do prisioneiro
Bob
Al
Se
confessar
negar
confessar
(−5, −5)
(0, −10)
negar
(−10, 0)
(−1, −1)
Bob
negar,
qual é a melhor resposta de
Al ?
Al deve confessar.
MRAl (confessar) = {confessar}
MRBob (confessar) = {confessar}
46/98
Aula 11
MRAl (negar) = {confessar}
MRBob (negar) = {confessar}
Aplicações de Álgebra Linear
1/2
Melhor resposta: o dilema do prisioneiro
Bob
Al
Se
confessar
negar
confessar
(−5, −5)
(0, −10)
negar
(−10, 0)
(−1, −1)
Bob
negar,
qual é a melhor resposta de
Al ?
Al deve confessar.
MRAl (confessar) = {confessar}
MRBob (confessar) = {confessar}
46/98
Aula 11
MRAl (negar) = {confessar}
MRBob (negar) = {confessar}
Aplicações de Álgebra Linear
2/2
Melhor resposta: o dilema do prisioneiro
Bob
Al
Se
confessar
negar
confessar
(−5, −5)
(0, −10)
negar
(−10, 0)
(−1, −1)
Al
confessar,
qual é a melhor resposta de
Bob?
Bob deve confessar.
MRAl (confessar) = {confessar}
MRBob (confessar) = {confessar}
47/98
Aula 11
MRAl (negar) = {confessar}
MRBob (negar) = {confessar}
Aplicações de Álgebra Linear
1/2
Melhor resposta: o dilema do prisioneiro
Bob
Al
Se
confessar
negar
confessar
(−5, −5)
(0, −10)
negar
(−10, 0)
(−1, −1)
Al
confessar,
qual é a melhor resposta de
Bob?
Bob deve confessar.
MRAl (confessar) = {confessar}
MRBob (confessar) = {confessar}
47/98
Aula 11
MRAl (negar) = {confessar}
MRBob (negar) = {confessar}
Aplicações de Álgebra Linear
2/2
Melhor resposta: o dilema do prisioneiro
Bob
Al
Se
confessar
negar
confessar
(−5, −5)
(0, −10)
negar
(−10, 0)
(−1, −1)
Al
negar,
qual é a melhor resposta de
Bob?
Bob deve confessar.
MRAl (confessar) = {confessar}
MRBob (confessar) = {confessar}
48/98
Aula 11
MRAl (negar) = {confessar}
MRBob (negar) = {confessar}
Aplicações de Álgebra Linear
1/2
Melhor resposta: o dilema do prisioneiro
Bob
Al
Se
confessar
negar
confessar
(−5, −5)
(0, −10)
negar
(−10, 0)
(−1, −1)
Al
negar,
qual é a melhor resposta de
Bob?
Bob deve confessar.
MRAl (confessar) = {confessar}
MRBob (confessar) = {confessar}
48/98
Aula 11
MRAl (negar) = {confessar}
MRBob (negar) = {confessar}
Aplicações de Álgebra Linear
2/2
Melhor resposta: o dilema do prisioneiro
Bob
Al
confessar
negar
confessar
(−5, −5)
(0, −10)
negar
(−10, 0)
(−1, −1)
confessar ∈ MRAl (confessar)
e
confessar ∈ MRBob (confessar)
Bob deve confessar.
MRAl (confessar) = {confessar}
MRBob (confessar) = {confessar}
49/98
Aula 11
MRAl (negar) = {confessar}
MRBob (negar) = {confessar}
Aplicações de Álgebra Linear
1/1
Melhor resposta: o dilema do prisioneiro
Bob
Al
confessar
negar
confessar
(−5, −5)
(0, −10)
negar
(−10, 0)
(−1, −1)
confessar ∈ MRAl (confessar)
e
confessar ∈ MRBob (confessar)
Bob deve confessar.
MRAl (confessar) = {confessar}
MRBob (confessar) = {confessar}
50/98
Aula 11
MRAl (negar) = {confessar}
MRBob (negar) = {confessar}
Aplicações de Álgebra Linear
1/2
Melhor resposta: o dilema do prisioneiro
Bob
Al
confessar
negar
confessar
(−5, −5)
(0, −10)
negar
(−10, 0)
(−1, −1)
confessar ∈ MRAl (confessar)
e
confessar ∈ MRBob (confessar)
Bob deve confessar.
MRAl (confessar) = {confessar}
MRBob (confessar) = {confessar}
50/98
Aula 11
MRAl (negar) = {confessar}
MRBob (negar) = {confessar}
Aplicações de Álgebra Linear
2/2
Melhor resposta: a batalha dos sexos
Homem
Mulher
futebol
cinema
futebol
(10, 5)
(0, 0)
cinema
(0, 0)
(5, 10)
futebol ∈ MRHomem ( futebol )
e
futebol ∈ MRMulher ( futebol )
cinema ∈ MRHomem (cinema)
e
cinema ∈ MRMulher (cinema)
MRHomem (futebol) = {futebol}
MRMulher (futebol) = {futebol}
51/98
Aula 11
MRHomem (cinema) = {cinema}
MRMulher (cinema) = {cinema}
Aplicações de Álgebra Linear
1/5
Melhor resposta: a batalha dos sexos
Homem
Mulher
futebol
cinema
futebol
(10, 5)
(0, 0)
cinema
(0, 0)
(5, 10)
futebol ∈ MRHomem ( futebol )
e
futebol ∈ MRMulher ( futebol )
cinema ∈ MRHomem (cinema)
e
cinema ∈ MRMulher (cinema)
MRHomem (futebol) = {futebol}
MRMulher (futebol) = {futebol}
51/98
Aula 11
MRHomem (cinema) = {cinema}
MRMulher (cinema) = {cinema}
Aplicações de Álgebra Linear
2/5
Melhor resposta: a batalha dos sexos
Homem
Mulher
futebol
cinema
futebol
(10, 5)
(0, 0)
cinema
(0, 0)
(5, 10)
futebol ∈ MRHomem ( futebol )
e
futebol ∈ MRMulher ( futebol )
cinema ∈ MRHomem (cinema)
e
cinema ∈ MRMulher (cinema)
MRHomem (futebol) = {futebol}
MRMulher (futebol) = {futebol}
51/98
Aula 11
MRHomem (cinema) = {cinema}
MRMulher (cinema) = {cinema}
Aplicações de Álgebra Linear
3/5
Melhor resposta: a batalha dos sexos
Homem
Mulher
futebol
cinema
futebol
(10, 5)
(0, 0)
cinema
(0, 0)
(5, 10)
futebol ∈ MRHomem ( futebol )
e
futebol ∈ MRMulher ( futebol )
cinema ∈ MRHomem (cinema)
e
cinema ∈ MRMulher (cinema)
MRHomem (futebol) = {futebol}
MRMulher (futebol) = {futebol}
51/98
Aula 11
MRHomem (cinema) = {cinema}
MRMulher (cinema) = {cinema}
Aplicações de Álgebra Linear
4/5
Melhor resposta: a batalha dos sexos
Homem
Mulher
futebol
cinema
futebol
(10, 5)
(0, 0)
cinema
(0, 0)
(5, 10)
futebol ∈ MRHomem ( futebol )
e
futebol ∈ MRMulher ( futebol )
cinema ∈ MRHomem (cinema)
e
cinema ∈ MRMulher (cinema)
MRHomem (futebol) = {futebol}
MRMulher (futebol) = {futebol}
51/98
Aula 11
MRHomem (cinema) = {cinema}
MRMulher (cinema) = {cinema}
Aplicações de Álgebra Linear
5/5
Melhor resposta: a batalha dos sexos
Homem
Mulher
futebol
cinema
futebol
(10, 5)
(0, 0)
cinema
(0, 0)
(5, 10)
futebol ∈ MRHomem ( futebol )
e
futebol ∈ MRMulher ( futebol )
cinema ∈ MRHomem (cinema)
e
cinema ∈ MRMulher (cinema)
MRHomem (futebol) = {futebol}
MRMulher (futebol) = {futebol}
52/98
Aula 11
MRHomem (cinema) = {cinema}
MRMulher (cinema) = {cinema}
Aplicações de Álgebra Linear
1/2
Melhor resposta: a batalha dos sexos
Homem
Mulher
futebol
cinema
futebol
(10, 5)
(0, 0)
cinema
(0, 0)
(5, 10)
futebol ∈ MRHomem ( futebol )
e
futebol ∈ MRMulher ( futebol )
cinema ∈ MRHomem (cinema)
e
cinema ∈ MRMulher (cinema)
MRHomem (futebol) = {futebol}
MRMulher (futebol) = {futebol}
52/98
Aula 11
MRHomem (cinema) = {cinema}
MRMulher (cinema) = {cinema}
Aplicações de Álgebra Linear
2/2
Melhor resposta: a batalha dos sexos
Homem
Mulher
futebol
cinema
futebol
(10, 5)
(0, 0)
cinema
(0, 0)
(5, 10)
futebol ∈ MRHomem ( futebol )
e
futebol ∈ MRMulher ( futebol )
cinema ∈ MRHomem (cinema)
e
cinema ∈ MRMulher (cinema)
MRHomem (futebol) = {futebol}
MRMulher (futebol) = {futebol}
53/98
Aula 11
MRHomem (cinema) = {cinema}
MRMulher (cinema) = {cinema}
Aplicações de Álgebra Linear
1/2
Melhor resposta: a batalha dos sexos
Homem
Mulher
futebol
cinema
futebol
(10, 5)
(0, 0)
cinema
(0, 0)
(5, 10)
futebol ∈ MRHomem ( futebol )
e
futebol ∈ MRMulher ( futebol )
cinema ∈ MRHomem (cinema)
e
cinema ∈ MRMulher (cinema)
MRHomem (futebol) = {futebol}
MRMulher (futebol) = {futebol}
53/98
Aula 11
MRHomem (cinema) = {cinema}
MRMulher (cinema) = {cinema}
Aplicações de Álgebra Linear
2/2
Melhor Resposta e Equilíbrios de Nash
Proposição
s∗ = (s1∗ , . . . , si∗ , . . . , sn∗ ) ∈ S é um equilíbrio de Nash
m
si∗ ∈ MRi (s∗−i ),
∀i = 1, . . . , n.
Definição
MRi : S−i → 2Si
MRi (s−i ) = argmaxsi ∈Si ui (si , s−i )
= {si∗ ∈ Si | ∀si ∈ Si , ui (si∗ , s−i ) ≥ ui (si , s−i )},
54/98
Aula 11
Aplicações de Álgebra Linear
1/1
Equilíbrio de Nash: comparar moedas
O que fazer quando não existem equilíbrios de Nash em
estratégias puras?
Tente a sorte!
g2
cara
coroa
cara
(+1, −1)
(−1, +1)
coroa
(−1, +1)
(+1, −1)
g1
55/98
Aula 11
Aplicações de Álgebra Linear
1/2
Equilíbrio de Nash: comparar moedas
O que fazer quando não existem equilíbrios de Nash em
estratégias puras?
Tente a sorte!
g2
cara
coroa
cara
(+1, −1)
(−1, +1)
coroa
(−1, +1)
(+1, −1)
g1
55/98
Aula 11
Aplicações de Álgebra Linear
2/2
Distribuições de probabilidades
S = {A, B}
A
B
56/98
Aula 11
B
A
Aplicações de Álgebra Linear
1/1
Distribuições de probabilidades
Quais são todas as distribuições de probabilidade sobre
um conjunto S = {A, B} de dois elementos?
57/98
Aula 11
Aplicações de Álgebra Linear
1/5
Distribuições de probabilidades
Quais são todas as distribuições de probabilidade sobre
um conjunto S = {A, B} de dois elementos?
∆2 = {(p1 , p2 ) ∈ R2 | 0 ≤ p1 , p2 ≤ 1 e p1 + p2 = 1}.
57/98
Aula 11
Aplicações de Álgebra Linear
2/5
Distribuições de probabilidades
Quais são todas as distribuições de probabilidade sobre
um conjunto S = {A, B} de dois elementos?
∆2 = {(p1 , p2 ) ∈ R2 | 0 ≤ p1 , p2 ≤ 1 e p1 + p2 = 1}.
p2
1
0
57/98
1
Aula 11
p1
Aplicações de Álgebra Linear
3/5
Distribuições de probabilidades
Quais são todas as distribuições de probabilidade sobre
um conjunto S = {A, B} de dois elementos?
∆2 = {(p1 , p2 ) ∈ R2 | 0 ≤ p1 , p2 ≤ 1 e p1 + p2 = 1}.
p2
1
B
A
1/2
0
57/98
1/2
Aula 11
1
p1
Aplicações de Álgebra Linear
4/5
Distribuições de probabilidades
Quais são todas as distribuições de probabilidade sobre
um conjunto S = {A, B} de dois elementos?
∆2 = {(p1 , p2 ) ∈ R2 | 0 ≤ p1 , p2 ≤ 1 e p1 + p2 = 1}.
p2
1
3/4
B
0
57/98
1/4
Aula 11
1
A
p1
Aplicações de Álgebra Linear
5/5
Distribuições de probabilidades
Quais são todas as distribuições de probabilidade sobre
um conjunto S = {A, B, C} de três elementos?
58/98
Aula 11
Aplicações de Álgebra Linear
1/3
Distribuições de probabilidades
Quais são todas as distribuições de probabilidade sobre
um conjunto S = {A, B, C} de três elementos?
∆3 = {(p1 , p2 , p3 ) ∈ R3 | 0 ≤ p1 , p2 , p3 ≤ 1 e p1 +p2 +p3 = 1}.
58/98
Aula 11
Aplicações de Álgebra Linear
2/3
Distribuições de probabilidades
Quais são todas as distribuições de probabilidade sobre
um conjunto S = {A, B, C} de três elementos?
∆3 = {(p1 , p2 , p3 ) ∈ R3 | 0 ≤ p1 , p2 , p3 ≤ 1 e p1 +p2 +p3 = 1}.
p3
1
0
1
p2
1
p1
58/98
Aula 11
Aplicações de Álgebra Linear
3/3
Distribuições de probabilidades
(
∆n =
n
(p1 , . . . , pn ) ∈ R | 0 ≤ p1 , . . . , pn ≤ 1 e
n
X
)
pi = 1 .
i=1
∆n é convexo e compacto em Rn .
Um conjunto C ⊂ Rn é convexo se o segmento de reta que une
dois pontos quaisquer de C está sempre contido em C.
59/98
Aula 11
Aplicações de Álgebra Linear
1/4
Distribuições de probabilidades
(
∆n =
n
(p1 , . . . , pn ) ∈ R | 0 ≤ p1 , . . . , pn ≤ 1 e
n
X
)
pi = 1 .
i=1
∆n é convexo e compacto em Rn .
Um conjunto C ⊂ Rn é convexo se o segmento de reta que une
dois pontos quaisquer de C está sempre contido em C.
59/98
Aula 11
Aplicações de Álgebra Linear
2/4
Distribuições de probabilidades
(
∆n =
n
(p1 , . . . , pn ) ∈ R | 0 ≤ p1 , . . . , pn ≤ 1 e
n
X
)
pi = 1 .
i=1
∆n é convexo e compacto em Rn .
Um conjunto C ⊂ Rn é convexo se o segmento de reta que une
dois pontos quaisquer de C está sempre contido em C.
59/98
Aula 11
Aplicações de Álgebra Linear
3/4
Distribuições de probabilidades
(
∆n =
n
(p1 , . . . , pn ) ∈ R | 0 ≤ p1 , . . . , pn ≤ 1 e
n
X
)
pi = 1 .
i=1
∆n é convexo e compacto em Rn .
Um conjunto C ⊂ Rn é compacto se ele é limitado e fechado.
dois pontos quaisquer de C está sempre contido em C.
59/98
Aula 11
Aplicações de Álgebra Linear
4/4
Como calcular os ganhos (payoff ) quando os
jogadores usam roletas da sorte?
Resposta: tire a média!
60/98
Aula 11
Aplicações de Álgebra Linear
1/2
Como calcular os ganhos (payoff ) quando os
jogadores usam roletas da sorte?
Resposta: tire a média!
60/98
Aula 11
Aplicações de Álgebra Linear
2/2
Média dos payoffs
q1
U
q2
V
p1
A
(a, x)
(b, y )
p2
B
(c, z)
(d, w)
0 ≤ p1 , p2 ≤ 1,
p1 + p2 = 1.
0 ≤ q1 , q2 ≤ 1,
q1 + q2 = 1.
u1 (p1 , p2 , q1 , q2 ) = p1 q1 a + p1 q2 b + p2 q1 c + p2 q2 d,
u2 (p1 , p2 , q1 , q2 ) = p1 q1 x + p1 q2 y + p2 q1 z + p2 q2 w.
61/98
Aula 11
Aplicações de Álgebra Linear
1/1
Exemplo: média dos payoffs
62/98
1/3
s21
2/3
s22
1/4
s11
(+1, −1)
(−1, +1)
3/4
s12
(−1, +1)
(+1, −1)
u1 ( 14 , 34 , 31 , 23 ) =
11
12
31
32
4 3 (+1) + 4 3 (−1) + 4 3 (−1) + 4 3 (+1)
1
=+ ,
6
u2 ( 14 , 34 , 31 , 23 ) =
11
12
31
32
4 3 (−1) + 4 3 (+1) + 4 3 (+1) + 4 3 (−1)
1
=− .
6
Aula 11
Aplicações de Álgebra Linear
1/1
Exemplo: média dos payoffs
63/98
1/2
s21
1/2
s22
1/2
s11
(+1, −1)
(−1, +1)
1/2
s12
(−1, +1)
(+1, −1)
u1 ( 12 , 12 , 21 , 12 ) =
11
2 2 (+1)
+
11
2 2 (−1)
+
11
2 2 (−1)
+
11
2 2 (+1)
= 0,
u2 ( 12 , 12 , 21 , 12 ) =
11
2 2 (−1)
+
11
2 2 (+1)
+
11
2 2 (+1)
+
11
2 2 (−1)
= 0.
Aula 11
Aplicações de Álgebra Linear
1/1
Exemplo: média dos payoffs
1
s21
0
s22
1
s11
(+1, −1)
(−1, +1)
0
s12
(−1, +1)
(+1, −1)
u1 (1, 0, 1, 0) = (1)(1)(+1) + (1)(0)(−1) + (0)(1)(−1) + (0)(0)(+1) = +1,
u2 (1, 0, 1, 0) = (1)(1)(−1) + (1)(0)(+1) + (0)(1)(+1) + (0)(0)(−1) = −1.
64/98
Aula 11
Aplicações de Álgebra Linear
1/1
Solução de um jogo: equilíbrio de Nash
Definição
Um equilíbrio de Nash em estratégias mistas de um jogo
é um ponto onde cada jogador não tem incentivo de
mudar sua escolha de distribuição de probabilidades se
os demais jogadores não o fizerem.
Mais precisamente, dizemos que um perfil de estratégia
p∗ = (p∗1 , p∗2 , . . . , p∗n ) ∈ ∆ = ∆m1 × ∆m2 × · · · × ∆mn
é um equilíbrio de Nash em estratégias mistas se
ui (p∗i , p∗−i ) ≥ ui (p, p∗−i )
para todo p ∈ ∆mi , com i = 1, . . . , n.
65/98
Aula 11
Aplicações de Álgebra Linear
1/1
O teorema de equilíbrio de Nash (1950)
Todo jogo finito na forma estratégica
possui pelos um equilíbrio de Nash em
estratégias mistas.
A demonstração usa o teorema do ponto fixo de Brouwer:
se ∆ ⊂ Rn é convexo, compacto e não-vazio e F : ∆ → ∆ é contínua,
então existe p ∈ ∆ tal que F(p) = p.
Mas como calcular o equilíbrio?
66/98
Aula 11
Aplicações de Álgebra Linear
1/3
O teorema de equilíbrio de Nash (1950)
Todo jogo finito na forma estratégica
possui pelos um equilíbrio de Nash em
estratégias mistas.
A demonstração usa o teorema do ponto fixo de Brouwer:
se ∆ ⊂ Rn é convexo, compacto e não-vazio e F : ∆ → ∆ é contínua,
então existe p ∈ ∆ tal que F(p) = p.
Mas como calcular o equilíbrio?
66/98
Aula 11
Aplicações de Álgebra Linear
2/3
O teorema de equilíbrio de Nash (1950)
Todo jogo finito na forma estratégica
possui pelos um equilíbrio de Nash em
estratégias mistas.
A demonstração usa o teorema do ponto fixo de Brouwer:
se ∆ ⊂ Rn é convexo, compacto e não-vazio e F : ∆ → ∆ é contínua,
então existe p ∈ ∆ tal que F(p) = p.
Mas como calcular o equilíbrio?
66/98
Aula 11
Aplicações de Álgebra Linear
3/3
Funções de melhor resposta em estratégias mistas
MRi (p−i ) = argmaxpi ∈∆(Si ) ui (pi , p−i )
Proposição
p∗ = (p∗1 , . . . , p∗i , . . . , p∗n ) ∈ ∆ é um equilíbrio de Nash
m
p∗i ∈ MRi (p∗−i ),
67/98
Aula 11
∀i = 1, . . . , n.
Aplicações de Álgebra Linear
1/1
Funções de melhor resposta em estratégias mistas
q
futebol
1−q
cinema
p
futebol
(10, 5)
(0, 0)
1−p
cinema
(0, 0)
(5, 10)
uMulher (p, 1 − p; q, 1 − q) = 15 pq + 10 − 10 q − 10 p
uHomem (p, 1 − p; q, 1 − q) = 15 pq + 5 − 5 q − 5 p
68/98
Aula 11
Aplicações de Álgebra Linear
1/1
Funções de melhor resposta em estratégias mistas
uMulher (p, 1 − p; q, 1 − q) = 15 pq + 10 − 10 q − 10 p
= 5 (3 p − 2) q + 10 (1 − p).
MRMulher (p) = argmaxq∈[0,1] (5 (3 p − 2) q + 10 (1 − p)),

 {0},
[0, 1],
MRMulher (p) =

{1},
69/98
Aula 11
se p ∈ [0, 2/3),
se p = 2/3,
se p ∈ (2/3, 1].
Aplicações de Álgebra Linear
1/7
Funções de melhor resposta em estratégias mistas
uMulher (p, 1 − p; q, 1 − q) = 15 pq + 10 − 10 q − 10 p
= 5 (3 p − 2) q + 10 (1 − p).
MRMulher (p) = argmaxq∈[0,1] (5 (3 p − 2) q + 10 (1 − p)),

 {0},
[0, 1],
MRMulher (p) =

{1},
69/98
Aula 11
se p ∈ [0, 2/3),
se p = 2/3,
se p ∈ (2/3, 1].
Aplicações de Álgebra Linear
2/7
Funções de melhor resposta em estratégias mistas
uMulher (p, 1 − p; q, 1 − q) = 15 pq + 10 − 10 q − 10 p
= 5 (3 p − 2) q + 10 (1 − p).
MRMulher (p) = argmaxq∈[0,1] (5 (3 p − 2) q + 10 (1 − p)),

 {0},
[0, 1],
MRMulher (p) =

{1},
69/98
Aula 11
se p ∈ [0, 2/3),
se p = 2/3,
se p ∈ (2/3, 1].
Aplicações de Álgebra Linear
3/7
Funções de melhor resposta em estratégias mistas
uMulher (p, 1 − p; q, 1 − q) = 15 pq + 10 − 10 q − 10 p
= 5 (3 p − 2) q + 10 (1 − p).
MRMulher (p) = argmaxq∈[0,1] (5 (3 p − 2) q + 10 (1 − p)),

 {0},
[0, 1],
MRMulher (p) =

{1},
69/98
Aula 11
se p ∈ [0, 2/3),
se p = 2/3,
se p ∈ (2/3, 1].
Aplicações de Álgebra Linear
4/7
Funções de melhor resposta em estratégias mistas
uMulher (p, 1 − p; q, 1 − q) = 15 pq + 10 − 10 q − 10 p
= 5 (3 p − 2) q + 10 (1 − p).
MRMulher (p) = argmaxq∈[0,1] (5 (3 p − 2) q + 10 (1 − p)),

 {0},
[0, 1],
MRMulher (p) =

{1},
69/98
Aula 11
se p ∈ [0, 2/3),
se p = 2/3,
se p ∈ (2/3, 1].
Aplicações de Álgebra Linear
5/7
Funções de melhor resposta em estratégias mistas
uMulher (p, 1 − p; q, 1 − q) = 15 pq + 10 − 10 q − 10 p
= 5 (3 p − 2) q + 10 (1 − p).
MRMulher (p) = argmaxq∈[0,1] (5 (3 p − 2) q + 10 (1 − p)),

 {0},
[0, 1],
MRMulher (p) =

{1},
69/98
Aula 11
se p ∈ [0, 2/3),
se p = 2/3,
se p ∈ (2/3, 1].
Aplicações de Álgebra Linear
6/7
Funções de melhor resposta em estratégias mistas
uMulher (p, 1 − p; q, 1 − q) = 15 pq + 10 − 10 q − 10 p
= 5 (3 p − 2) q + 10 (1 − p).
MRMulher (p) = argmaxq∈[0,1] (5 (3 p − 2) q + 10 (1 − p)),

 {0},
[0, 1],
MRMulher (p) =

{1},
69/98
Aula 11
se p ∈ [0, 2/3),
se p = 2/3,
se p ∈ (2/3, 1].
Aplicações de Álgebra Linear
7/7
Funções de melhor resposta em estratégias mistas

 {0},
[0, 1],
MRMulher (p) =

{1},
(Mulher)
(Futebol)
(Cinema)
q
1
0
(Cinema)
70/98
Aula 11
se p ∈ [0, 2/3),
se p = 2/3,
se p ∈ (2/3, 1].
2/3
1
p
(Homem)
(Futebol)
Aplicações de Álgebra Linear
1/1
Funções de melhor resposta em estratégias mistas
uHomem (p, 1 − p; q, 1 − q) = 15 pq + 5 − 5 q − 5 p
= 5 (3 q − 1) p + 5 (1 − q).
MRHomem (q) = argmaxp∈[0,1] (5 (3 q − 1) p + 5 (1 − q)).

 {0},
[0, 1],
MRHomem (q) =

{1},
71/98
Aula 11
se q ∈ [0, 1/3),
se q = 1/3,
se q ∈ (1/3, 1].
Aplicações de Álgebra Linear
1/7
Funções de melhor resposta em estratégias mistas
uHomem (p, 1 − p; q, 1 − q) = 15 pq + 5 − 5 q − 5 p
= 5 (3 q − 1) p + 5 (1 − q).
MRHomem (q) = argmaxp∈[0,1] (5 (3 q − 1) p + 5 (1 − q)).

 {0},
[0, 1],
MRHomem (q) =

{1},
71/98
Aula 11
se q ∈ [0, 1/3),
se q = 1/3,
se q ∈ (1/3, 1].
Aplicações de Álgebra Linear
2/7
Funções de melhor resposta em estratégias mistas
uHomem (p, 1 − p; q, 1 − q) = 15 pq + 5 − 5 q − 5 p
= 5 (3 q − 1) p + 5 (1 − q).
MRHomem (q) = argmaxp∈[0,1] (5 (3 q − 1) p + 5 (1 − q)).

 {0},
[0, 1],
MRHomem (q) =

{1},
71/98
Aula 11
se q ∈ [0, 1/3),
se q = 1/3,
se q ∈ (1/3, 1].
Aplicações de Álgebra Linear
3/7
Funções de melhor resposta em estratégias mistas
uHomem (p, 1 − p; q, 1 − q) = 15 pq + 5 − 5 q − 5 p
= 5 (3 q − 1) p + 5 (1 − q).
MRHomem (q) = argmaxp∈[0,1] (5 (3 q − 1) p + 5 (1 − q)).

 {0},
[0, 1],
MRHomem (q) =

{1},
71/98
Aula 11
se q ∈ [0, 1/3),
se q = 1/3,
se q ∈ (1/3, 1].
Aplicações de Álgebra Linear
4/7
Funções de melhor resposta em estratégias mistas
uHomem (p, 1 − p; q, 1 − q) = 15 pq + 5 − 5 q − 5 p
= 5 (3 q − 1) p + 5 (1 − q).
MRHomem (q) = argmaxp∈[0,1] (5 (3 q − 1) p + 5 (1 − q)).

 {0},
[0, 1],
MRHomem (q) =

{1},
71/98
Aula 11
se q ∈ [0, 1/3),
se q = 1/3,
se q ∈ (1/3, 1].
Aplicações de Álgebra Linear
5/7
Funções de melhor resposta em estratégias mistas
uHomem (p, 1 − p; q, 1 − q) = 15 pq + 5 − 5 q − 5 p
= 5 (3 q − 1) p + 5 (1 − q).
MRHomem (q) = argmaxp∈[0,1] (5 (3 q − 1) p + 5 (1 − q)).

 {0},
[0, 1],
MRHomem (q) =

{1},
71/98
Aula 11
se q ∈ [0, 1/3),
se q = 1/3,
se q ∈ (1/3, 1].
Aplicações de Álgebra Linear
6/7
Funções de melhor resposta em estratégias mistas
uHomem (p, 1 − p; q, 1 − q) = 15 pq + 5 − 5 q − 5 p
= 5 (3 q − 1) p + 5 (1 − q).
MRHomem (q) = argmaxp∈[0,1] (5 (3 q − 1) p + 5 (1 − q)).

 {0},
[0, 1],
MRHomem (q) =

{1},
71/98
Aula 11
se q ∈ [0, 1/3),
se q = 1/3,
se q ∈ (1/3, 1].
Aplicações de Álgebra Linear
7/7
Funções de melhor resposta em estratégias mistas

 {0},
[0, 1],
MRHomem (q) =

{1},
(Homem)
(Futebol)
(Cinema)
p
1
0
(Cinema)
72/98
Aula 11
se q ∈ [0, 1/3),
se q = 1/3,
se q ∈ (1/3, 1].
1/3
1
q
(Mulher)
(Futebol)
Aplicações de Álgebra Linear
1/1
Funções de melhor resposta em estratégias mistas
(Mulher)
q
1
(Futebol)
1/3
(Cinema)
0
(Cinema)
2/3
1
p
(Homem)
(Futebol)
Existem 3 equilíbrios de Nash em estratégias mistas:
(0, 1; 0, 1), (2/3, 1/3; 1/3, 2/3) e (1, 0; 1, 0).
73/98
Aula 11
Aplicações de Álgebra Linear
1/1
Funções de melhor resposta em estratégias mistas
(Mulher)
q
1
(Futebol)
1/3
(Cinema)
0
(Cinema)
2/3
1
p
(Homem)
(Futebol)
Demonstração do teorema de equilíbrio de Nash
para jogos 2 × 2.
74/98
Aula 11
Aplicações de Álgebra Linear
1/1
Funções de melhor resposta em estratégias mistas
(Mulher)
q
1
(Futebol)
1/3
(Cinema)
0
(Cinema)
2/3
1
p
(Homem)
(Futebol)
Genericamente, o número de equilíbrios de Nash é finito e ímpar:
(Wilson, 1971) e (Harsanyi, 1973).
75/98
Aula 11
Aplicações de Álgebra Linear
1/1
Hora de praticar!
76/98
Aula 11
Aplicações de Álgebra Linear
1/1
Exercício: comparar moedas
g2
s21
g1
s22
s11 (+1, −1) (−1, +1)
s12 (−1, +1) (+1, −1)
77/98
Aula 11
Aplicações de Álgebra Linear
1/1
Resposta
MR2 (p) = argmaxq∈[0,1] (2 (+1 − 2 p) q − 1 + 2 p)

se p ∈ [0, 1/2),
 {1},
[0, 1], se p = 1/2,
=

{0},
se p ∈ (1/2, 1],
MR1 (q) = argmaxp∈[0,1] (2 (−1 + 2 q) p + 1 − 2 q)

se q ∈ [0, 1/2),
 {0},
[0, 1], se q = 1/2,
=

{1},
se q ∈ (1/2, 1].
(g2)
(s21 )
q
1
1/2
(s22 )
0
(s12 )
78/98
Aula 11
1/2
1
p
(g1)
(s11 )
Aplicações de Álgebra Linear
1/1
Le Her simplificado
Vamos jogar!
1713: James Waldegrave (solução em
estratégia mista para o jogo Le Her).
79/98
Aula 11
Aplicações de Álgebra Linear
1/1
Le Her simplificado
Analysis of N-Card Le Her
A. T. Benjamin e A. J. Goldman
(2002)
80/98
Aula 11
Aplicações de Álgebra Linear
1/1
Le Her simplificado
A
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Q
J
K
A
0.500 0.462 0.429 0.404 0.385 0.372 0.365 0.365 0.372 0.385 0.404 0.429 0.462
2
0.538 0.500 0.468 0.442 0.423 0.410 0.404 0.404 0.410 0.423 0.442 0.468 0.500
3
0.571 0.538 0.506 0.480 0.460 0.447 0.440 0.439 0.445 0.457 0.476 0.501 0.533
4
0.596 0.569 0.543 0.517 0.496 0.481 0.473 0.471 0.476 0.487 0.505 0.529 0.559
5
0.613 0.592 0.571 0.550 0.529 0.513 0.503 0.499 0.502 0.512 0.527 0.550 0.578
6
0.622 0.606 0.590 0.573 0.557 0.541 0.529 0.523 0.523 0.530 0.544 0.564 0.590
7
0.623 0.611 0.598 0.586 0.574 0.562 0.550 0.541 0.538 0.543 0.553 0.570 0.593
8
0.614 0.605 0.597 0.588 0.579 0.571 0.562 0.553 0.547 0.548 0.555 0.568 0.588
9
0.596 0.590 0.584 0.578 0.572 0.566 0.561 0.555 0.549 0.545 0.548 0.558 0.573
10 0.566 0.563 0.559 0.556 0.552 0.549 0.545 0.542 0.538 0.535 0.533 0.538 0.549
81/98
Q
0.526 0.524 0.523 0.521 0.519 0.517 0.516 0.514 0.512 0.510 0.509 0.508 0.514
J
0.474 0.474 0.473 0.473 0.472 0.471 0.471 0.470 0.470 0.469 0.469 0.468 0.468
K
0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410
Aula 11
Aplicações de Álgebra Linear
1/1
Le Her simplificado
http://www.professores.uff.br/hjbortol/arquivo/2007.1/applets/leher2_br.html
82/98
Aula 11
Aplicações de Álgebra Linear
1/1
Le Her simplificado
A
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Q
J
K
A
0.500 0.462 0.429 0.404 0.385 0.372 0.365 0.365 0.372 0.385 0.404 0.429 0.462
2
0.538 0.500 0.468 0.442 0.423 0.410 0.404 0.404 0.410 0.423 0.442 0.468 0.500
3
0.571 0.538 0.506 0.480 0.460 0.447 0.440 0.439 0.445 0.457 0.476 0.501 0.533
4
0.596 0.569 0.543 0.517 0.496 0.481 0.473 0.471 0.476 0.487 0.505 0.529 0.559
5
0.613 0.592 0.571 0.550 0.529 0.513 0.503 0.499 0.502 0.512 0.527 0.550 0.578
6
0.622 0.606 0.590 0.573 0.557 0.541 0.529 0.523 0.523 0.530 0.544 0.564 0.590
7
0.623 0.611 0.598 0.586 0.574 0.562 0.550 0.541 0.538 0.543 0.553 0.570 0.593
8
0.614 0.605 0.597 0.588 0.579 0.571 0.562 0.553 0.547 0.548 0.555 0.568 0.588
9
0.596 0.590 0.584 0.578 0.572 0.566 0.561 0.555 0.549 0.545 0.548 0.558 0.573
10 0.566 0.563 0.559 0.556 0.552 0.549 0.545 0.542 0.538 0.535 0.533 0.538 0.549
83/98
Q
0.526 0.524 0.523 0.521 0.519 0.517 0.516 0.514 0.512 0.510 0.509 0.508 0.514
J
0.474 0.474 0.473 0.473 0.472 0.471 0.471 0.470 0.470 0.469 0.469 0.468 0.468
K
0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410
Aula 11
Aplicações de Álgebra Linear
1/1
Le Her simplificado
A
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Q
J
K
A
0.500 0.462 0.429 0.404 0.385 0.372 0.365 0.365 0.372 0.385 0.404 0.429 0.462
2
0.538 0.500 0.468 0.442 0.423 0.410 0.404 0.404 0.410 0.423 0.442 0.468 0.500
3
0.571 0.538 0.506 0.480 0.460 0.447 0.440 0.439 0.445 0.457 0.476 0.501 0.533
4
0.596 0.569 0.543 0.517 0.496 0.481 0.473 0.471 0.476 0.487 0.505 0.529 0.559
5
0.613 0.592 0.571 0.550 0.529 0.513 0.503 0.499 0.502 0.512 0.527 0.550 0.578
6
0.622 0.606 0.590 0.573 0.557 0.541 0.529 0.523 0.523 0.530 0.544 0.564 0.590
7
0.623 0.611 0.598 0.586 0.574 0.562 0.550 0.541 0.538 0.543 0.553 0.570 0.593
8
0.614 0.605 0.597 0.588 0.579 0.571 0.562 0.553 0.547 0.548 0.555 0.568 0.588
9
0.596 0.590 0.584 0.578 0.572 0.566 0.561 0.555 0.549 0.545 0.548 0.558 0.573
10 0.566 0.563 0.559 0.556 0.552 0.549 0.545 0.542 0.538 0.535 0.533 0.538 0.549
84/98
Q
0.526 0.524 0.523 0.521 0.519 0.517 0.516 0.514 0.512 0.510 0.509 0.508 0.514
J
0.474 0.474 0.473 0.473 0.472 0.471 0.471 0.470 0.470 0.469 0.469 0.468 0.468
K
0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410 0.410
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0.500 0.462 0.429 0.404 0.385 0.372 0.365 0.365 0.372 0.385 0.404 0.429 0.462
2
0.538 0.500 0.468 0.442 0.423 0.410 0.404 0.404 0.410 0.423 0.442 0.468 0.500
3
0.571 0.538 0.506 0.480 0.460 0.447 0.440 0.439 0.445 0.457 0.476 0.501 0.533
4
0.596 0.569 0.543 0.517 0.496 0.481 0.473 0.471 0.476 0.487 0.505 0.529 0.559
5
0.613 0.592 0.571 0.550 0.529 0.513 0.503 0.499 0.502 0.512 0.527 0.550 0.578
6
0.622 0.606 0.590 0.573 0.557 0.541 0.529 0.523 0.523 0.530 0.544 0.564 0.590
7
0.623 0.611 0.598 0.586 0.574 0.562 0.550 0.541 0.538 0.543 0.553 0.570 0.593
8
0.614 0.605 0.597 0.588 0.579 0.571 0.562 0.553 0.547 0.548 0.555 0.568 0.588
9
0.596 0.590 0.584 0.578 0.572 0.566 0.561 0.555 0.549 0.545 0.548 0.558 0.573
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0.500 0.462 0.429 0.404 0.385 0.372 0.365 0.365 0.372 0.385 0.404 0.429 0.462
2
0.538 0.500 0.468 0.442 0.423 0.410 0.404 0.404 0.410 0.423 0.442 0.468 0.500
3
0.571 0.538 0.506 0.480 0.460 0.447 0.440 0.439 0.445 0.457 0.476 0.501 0.533
4
0.596 0.569 0.543 0.517 0.496 0.481 0.473 0.471 0.476 0.487 0.505 0.529 0.559
5
0.613 0.592 0.571 0.550 0.529 0.513 0.503 0.499 0.502 0.512 0.527 0.550 0.578
6
0.622 0.606 0.590 0.573 0.557 0.541 0.529 0.523 0.523 0.530 0.544 0.564 0.590
7
0.623 0.611 0.598 0.586 0.574 0.562 0.550 0.541 0.538 0.543 0.553 0.570 0.593
8
0.614 0.605 0.597 0.588 0.579 0.571 0.562 0.553 0.547 0.548 0.555 0.568 0.588
9
0.596 0.590 0.584 0.578 0.572 0.566 0.561 0.555 0.549 0.545 0.548 0.558 0.573
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0.623 0.611 0.598 0.586 0.574 0.562 0.550 0.541 0.538 0.543 0.553 0.570 0.593
8
0.614 0.605 0.597 0.588 0.579 0.571 0.562 0.553 0.547 0.548 0.555 0.568 0.588
9
0.596 0.590 0.584 0.578 0.572 0.566 0.561 0.555 0.549 0.545 0.548 0.558 0.573
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0.623 0.611 0.598 0.586 0.574 0.562 0.550 0.541 0.538 0.543 0.553 0.570 0.593
8
0.614 0.605 0.597 0.588 0.579 0.571 0.562 0.553 0.547 0.548 0.555 0.568 0.588
9
0.596 0.590 0.584 0.578 0.572 0.566 0.561 0.555 0.549 0.545 0.548 0.558 0.573
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0.538 0.543
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Exercício
jogador 2
jogador 1
U
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A
B
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+
,−
1000 1000
549
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+
,−
1000 1000
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V
548
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+
,−
1000 1000
545
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+
,−
1000 1000
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Resposta
(g2)
q
1
(U)
3/5
(V)
0
(B)
4/5
1
p
(g1)
(A)
Existe um único equilíbrio de Nash em estratégias mistas:
(4/5, 1/5; 3/5, 2/5).
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0.547 0.548
9
0.549 0.545
10
Q
J
K
Equilíbrio de Nash: (4/5, 1/5; 3/5, 2/5)
Payoff médio: (0.5474, 0.4526)
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Le Her
(Benjamim e Goldman, 2002): redução para uma
matriz 2 × 2 ocorre para qualquer baralho com um
número N ≥ 3 de cartas de um mesmo naipe.
Jogo original: 52 cartas e o o jogador 2 pode se negar
a trocar de cartas com o jogador 1 se sua carta for K .
Para cartas de mesmo valor (mas naipes diferentes), o
jogador 2 vence.
Estudado por Montmort, Bernoulli e Waldegrave: Isaac
Todhunter, A History of the Mathematical Theory of
Probability, 1949. (http://gallica.bnf.fr/).
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Le Her simplificado
http://www.professores.uff.br/hjbortol/arquivo/2007.1/applets/leher1_br.html
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Obrigado!
http://www.professores.uff.br/hjbortol/
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