Números e Sistema de Numeração: Guia para Fundamentos Matemáticos

Números e Sistema
de Numeração
Matemática e suas Tecnologias
Prof. Emídio Marques
Como surgiu o número?
• Certamente você já imaginou que um dia alguém teve
uma ideia genial e de repente inventou o número. Mas
não foi bem assim.
• A descoberta do número não aconteceu de repente,
nem foi uma única pessoa a responsável por essa
façanha.
• O número surgiu da necessidade que as pessoas
tinham de contar objetos e coisas.
• Para contar, os primeiros grupos humanos – que
viveram há milhares de anos – traçavam riscos em
madeira e ossos ou, ainda, faziam nós em uma corda,
por exemplo.
Construindo
o conceito
de número
A história nos mostra que desde muito tempo o
homem sempre teve a preocupação em contar
objetos e ter registros numéricos. Seja através de
pedras, ossos, desenhos, dos dedos ou outra forma
qualquer, em que procurava abstrair a natureza por
meio de processos de determinação de quantidades.
Foi contando objetos com outros objetos que a
humanidade começou a construir o conceito de
número.
Como surgiu o número?
Até hoje, em algumas situações, fazemos contagens
anotando tracinhos, como no exemplo a seguir.
Em uma atividade, cada estudante do 6° ano deveria
responder “sim” ou “não” à pergunta do professor.
Paulo estava contando os estudantes que respondiam
“sim”. Joana, os que respondiam “não”.
Acompanhe como eles anotaram as contagens:
Quantos estudantes Paulo havia contado? E Joana?
TIPOS DE SISTEMAS DE
NUMERAÇÃO
Sistema de Numeração é um sistema que
representa números de uma forma
consistente, representando uma grande
quantidade de números úteis, dando a
cada número uma única representação,
reflete as estruturas algébricas e
aritméticas dos números.
Como escrevemos os números?
• Um dos sistemas de numeração criados na
Antiguidade prevaleceu sobre os demais. Foi
desenvolvido pelos hindus, que habitavam terras às
margens do rio Indo, e foi disseminado ao mundo
pelos árabes.
• Nosso sistema de numeração chama-se indo-arábico
ou sistema decimal.
• No sistema indo-arábico foram criados 10 símbolos
para representar qualquer quantidade: 0, 1, 2, 3, 4, 5,
6, 7, 8, 9.
• Esses símbolos são chamados de algarismos ou
dígitos.
SISTEMA NUMERAÇÃO
INDO-ARÁBICO
Como escrevemos os números?
• Número é a ideia que expressa uma quantidade, uma
medida, uma ordem ou um código.
• Por exemplo, as fotografias a seguir apresentam a
mesma quantidade de elementos e transmitem a
ideia.
Como escrevemos os números?
• Nesse sistema de numeração, cada 10 unidades de
uma ordem formam 1 unidade da ordem
imediatamente superior; por isso ele é chamado de
sistema de numeração decimal. Nomeamos:
• dezena: grupo de 10 unidades;
• centena: grupo de 10 dezenas;
• milhar: grupo de 10 centenas; e assim por diante.
EXEMPLO:
Como escrevemos os números?
• Representamos essa quantidade de pedras pelo
número 42 (lemos: quarenta e dois).
• Representamos essa quantidade de pedras pelo
número 126 (lemos: cento e vinte e seis).
Como escrevemos os números?
• Em um número representado no sistema de numeração
decimal, cada algarismo ocupa uma ordem. Essas
ordens são agrupadas de 3 em 3, da direita para a
esquerda, formando as classes de 3 algarismos: classe
das unidades simples, classe dos milhares, classe dos
milhões, etc.
• Exemplo: Para o número 37514, responda:
a) Como lemos?
b) Qual a ordem dos números 3 e 5 cada número?
Como escrevemos os
números?
• Dizemos que o sistema indo-arábico é posicional,
porque um mesmo algarismo tem valor diferente
dependendo da posição que ocupa no número.
Vamos analisar:
D U
4 3
3 unidades
4 dezenas
D U
3 4
4 unidades
3 dezenas
• Indiquem o valor posicional dos algarismos 5 e 4 em
cada um desses números: 504 e 5040
Decomposição de números
Decompor um número é representar seus algarismos
com o valor posicional. Nos números, cada algarismo
representa uma quantidade de unidades, a depender de
sua posição. Ao escrever a soma das unidades
representadas
por
cada
algarismo,
estamos
decompondo o número.
Decomponha os números:
a) 12
b) 89
c) 234
d) 564
e) 2034
f) 87.785
g) 201.654
ATIVIDADE
• 1. Responda:
a) Qual é o nome do nosso sistema de
numeração?
b) Por que o nome do nosso sistema de
numeração é indo-arábico?
c) Quantos símbolos tem o nosso sistema de
numeração?
d) O nosso sistema de numeração é posicional?
Por quê?
e) O nosso sistema de numeração é decimal?
Explique.
ATIVIDADE
2. Escreva por extenso:
a) 975
b) 8 642
c) 32 785
d) 424 893
3. Escreva os numerais correspondentes:
a) cento e vinte e dois mil, duzentos e quarenta
e seis:
b) cinco milhões:
c) três milhões, cento e quarenta e dois mil e
cem:
ATIVIDADE
3. Decomponha os números abaixo seguindo o
modelo:
125 = 100+ 20+ 05
a) 215
b) 65
c) 872
d) 164
e) 17
f) 1003
ATIVIDADE PÁGINA 12
SISTEMA NUMERAÇÃO
EGÍPCIO
Os antigos Egípcios utilizavam um
sistema de numeração em cada símbolo
podia se repetir no máximo nove vezes. O
valor
dos
numerais
era
definido
adicionando o valor de cada símbolo, o
que dava um caráter aditivo ao sistema.
Outro fator era que os símbolos podiam
ser escritos em qualquer ordem, sendo
que os egípcios não possuíam um
símbolo para o zero.
SISTEMA NUMERAÇÃO
EGÍPCIO
SISTEMA NUMERAÇÃO
BABILÔNICO
Os
Numerais
babilônicos
eram
representados
conforme
a
escrita
cuneiforme, usando objetos (penas) em
forma de cunha para marcar tábuas de
argila ainda mole que depois eram
expostas à luz solar para que tivesse um
registro
permanente.
Sistema
sexagesimal, também conhecido como
sistema
de
numeração
babilônico,
necessita de 60 algarismos diferentes.
SISTEMA NUMERAÇÃO
BABILÔNICO
SISTEMA NUMERAÇÃO
ROMANO
O sistema de numeração romana
(algarismos
romanos
ou
números
romanos) desenvolveu-se na Roma
Antiga, e foi utilizado em todo o Império
Romano. É composto por sete letras
maiúsculas do alfabeto latino: I, V, X, L, C,
D e M.
SISTEMA NUMERAÇÃO
ROMANO
Esse Sistema de numeração é o mais
usado nas escolas, depois do sistema de
numeração decimal. E também na
representação de:
• designação de séculos e datas;
• indicação de capítulos e volumes de
livros;
• mostradores de alguns relógios, etc.
SISTEMA NUMERAÇÃO
ROMANO
SISTEMA NUMERAÇÃO
ROMANO
Outros números são escritos por combinações
desses símbolos, seguindo algumas regras.
1) Somente os símbolos I, X, C e M podem ser
repetidos, até 3 vezes seguidas.
2) Ao escrevermos um símbolo à direita de
outro símbolo de maior ou igual valor ao dele,
adicionamos os valores.
Por exemplo:
• II: 1 + 1= 2
• DC: 500 + 100 = 600
• MD: 1 000 + 500 = 1 500
SISTEMA NUMERAÇÃO
ROMANO
3) Os símbolos I, X e C podem ser colocados à
esquerda de outro de maior valor nas seguintes
situações:
• I à esquerda de V ou de X;
• X à esquerda de L ou de C;
• C à esquerda de D ou de M.
Nessas situações, subtraímos o menor valor do
maior. Por exemplo:
• IV: 5 -1 = 4
• XL: 50 - 10 = 40
• XC: 100 -10 = 90
SISTEMA NUMERAÇÃO
ROMANO
4) Quando entre 2 símbolos quaisquer houver
um de menor valor do que ambos, o valor deste
deverá ser subtraído do símbolo seguinte a ele.
Por exemplo:
• XIX: 10 + (10 - 1) = 19
• CCXL: 100 + 100 + (50 - 10) = 240
ATIVIDADE
1. Escreva o número romano DCCLXXXI em
arábico.
2. Escreva os números a seguir utilizando os
números romanos:
a) 23
b) 68
c) 99
d) 198
e) 546
f) 1234
ATIVIDADE
3. Escreva os números romanos em números
arábicos:
a) LXII
b) CCVI
c) MVI
d) MDIII
e) MMCIII
f) LXXIX
g) DCCLXV
h) DCCXXICXII
i) MMMDLXIII
ATIVIDADE
4. Escreva o resultado da soma dos números
CCXIII e DLXXIV na forma de números indoarábicos.
5. Marque um X no parênteses que contenha a
ÚNICA alternativa correta.
a)O número 1444 corresponde em Algarismo
Romano a:
( ) MCDXLIV
( ) MLXDIV
( ) MCDXXXXIV
ATIVIDADE
b) O número romano MMDXXXVI corresponde
a:
( ) 2436
( ) 1536
( ) 2536
c) O número 698 corresponde em Algarismo
Romano a:
( ) DCLXLVIII
( ) DCXCVIII
( ) DCXCIIX
ATIVIDADE
6. Ao percorrer as ruas de uma cidade histórica,
uma turista identificou, na fachada de uma
edificação, os símbolos MCDXVII. O professor
de história explicou que esses símbolos
representam, em algarismos romanos, o ano em
que a edificação foi inaugurada.
A fachada identificada pela turista corresponde a
uma edificação que foi inaugurada em
a) 1417.
b) 1442.
c) 1617.
d) 1662.
7. Leia e resolva à questão:
Qual o número do telefone antigo apresentado
pela mulher do texto ao homem?
ATIVIDADE PÁG. 15
Naturais (N)
Estes números foram criados
pela necessidade prática de
contar as coisas da natureza,
por isso são chamados de
números naturais.
1
2
3
4
Conjuntos Naturais
Naturais (IN)
N = {0,1,2,3,4,5...}
O conjunto dos números naturais é infinito. É
importante lembrar que sempre é possível efetuar a
adição e a multiplicação, isto é, a soma e o produto de
dois números naturais sempre terá como resultado um
número natural, já a subtração e a divisão entre dois
números naturais nem sempre é um número natural
como por exemplo 2 – 5, não pertence aos N, temos
Conjuntos Naturais
Dispostos nessa ordem, esses números formam o que
chamamos sequência dos naturais. Eles podem ser
representados por pontos igualmente espaçados em
uma reta. Estabelecido o sentido e adotada uma
unidade de medida, os pontos são marcados a partir da
origem, usando a mesma unidade de medida, em uma
reta que chamamos reta numérica.
Nessa representação, os números naturais estão na
ordem crescente, da esquerda para a direita. Na reta
numérica, números naturais representados por pontos
vizinhos
são
chamados
números
naturais
consecutivos.
Conjuntos Naturais
O antecessor de um número natural é o número que
vem imediatamente antes dele na sequência dos
números naturais e o sucessor de um número natural é
o número que vem imediatamente depois dele nessa
sequência. Por exemplo: o antecessor de 25 é 24 e o
sucessor de 25 é 26. O 0 (zero) é o único número
natural que não tem antecessor.
PAR OU ÍMPAR?:
Um número natural é par quando o algarismo das
unidades é 0, 2, 4, 6 ou 8. Dizemos que um número par
termina em 0, 2, 4, 6 ou 8. Os números naturais pares
são: 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, ...
Um número natural é ímpar quando termina em 1, 3, 5,
7 ou 9. Os números naturais ímpares são: 1, 3, 5, 7,
9, 11, 13, 15, 17, ...
EXEMPLOS
1) Escreva três números naturais ímpares consecutivos
, entre os quais o menor seja 991.
2) Responda qual é o antecessor do maior número
natural par de três algarismos?
3) Observe os números naturais abaixo e escreva o
antecessor e o sucessor de cada um deles.
a) 658
b) 1000
c) 8019
d) 51 000
EXEMPLOS
4) Observe os números abaixo e escreva três números
naturais consecutivos, sabendo que o maior deles é:
a) 18
b) 99
c) 799
d) 1500
5) Responda:
a) Qual é o sucessor de zero?
b) O número 3000 é sucessor de que número?
c) Qual é o menor número natura?
EXEMPLOS
6) Coloque (V) para verdadeiro e (F) para falso nas
questões abaixo:
a) ( ) 25 e 26 são números consecutivos.
b) ( ) o antecessor de 10 é 9, pois: 10 -1=9.
c) ( ) O antecessor de 50 é 51.
d) ( ) Todo número natural com exceção do zero, tem
um antecessor.
e) (
) 1,3,5,7,9,11 é uma sequência dos números
naturais pares.
f) ( ) O sucessor de um número natural é obtido pelo
acréscimo de uma unidade a ele.
g) ( ) Todo número natural tem um sucessor, pois a
sequência dos números naturais é infinita.
EXEMPLOS
7) Responda quantos números naturais existem entre
30 e 48?
8) Calcule mentalmente e responda quantos números
naturais existem de 25 até 50?
SÍMBOLOS NA MATEMÁTICA
SÍMBOLOS NA MATEMÁTICA
EXEMPLO: Analise as sentenças apresentadas
e registre no caderno certo ou errado para
cada uma delas.
a) 23 = 32
b) 23 ≠ 32
c) 32 > 23
d) 32 < 23
e) 32 > 63
f) 0 = 0
g) 17 ≠ 0
h) 5 < 0
ATIVIDADE PÁG. 17, 18 e 19
Números Primos
Definição: Um número é classificado como primo se ele
é maior do que um e é divisível apenas por um e por ele
mesmo. Apenas números naturais são classificados
como primos. Antes de saber mais sobre o número
primo, é importante relembrar algumas regras de
divisibilidade, que ajudam na identificação de quais
números não são primos.
Divisibilidade por 2: todo número par é divisível por 2.
Os números pares são aqueles terminados em 0, 2, 4, 6
e 8.
Números Primos
Divisibilidade por 3: um número é divisível por 3 se a
soma dos seus algarismos der um número divisível por
3.
Divisibilidade por 4: um número é divisível por 4 se ele
for divisível duas vezes por 2 ou, então, se seus dois
últimos algarismos forem divisíveis por 4.
Números Primos
Divisibilidade por 5: todo número terminado em 0 ou 5
é divisível por cinco.
Divisibilidade por 6: se um número for par e também
divisível por 3, será divisível por 6.
Números Primos
Divisibilidade por 7: um número é divisível por 7 se a
diferença entre o dobro do último algarismo e o restante
do número resultar em um número múltiplo de 7.
Números Primos
Múltiplos de um Número Natural
Definição: Os múltiplos de um número inteiro são um
conjunto cujos elementos são obtidos após a
multiplicação desse número fixo por todos os números
inteiros.
Mínimo Múltiplo comum
Definição: O mínimo múltiplo comum (MMC) entre
números naturais é o menor número, também natural,
que é múltiplo de todos esses números ao mesmo
tempo.
Exemplos:
1- Qual é o mínimo múltiplo comum entre os números 4
e 5?
Mínimo Múltiplo comum
2- Calcule o MMC dos números abaixo:
a) 18 e 60
b) 210 e 462
c) 90, 150 e 20
Divisores de um Número Natural
Definição: O máximo divisor comum, ou MDC, de dois
ou mais números naturais é o maior divisor Natural
comum a todos eles.
Exemplos:
1- Qual é os divisores do número 16?
2- Qual é o máximo divisor comum entre os números 16
e 36?
Mínimo Múltiplo comum
3- Calcule o MDC dos números abaixo:
a) 40 e 75
b) 210 e 462
c) 90, 150 e 20
NÚMEROS INTEIROS
 Os números naturais não permitiam a
resolução de todas as operações. A subtração
de 3 - 4 era impossível.
 A ideia do número negativo, aparece na
Índia, associada a problemas comerciais que
envolviam dívidas.
 A ideia do número zero surgiu também nesta
altura, para representar o nada.
NÚMEROS INTEIROS
Inteiros (Z)
Z = {...-3,-2,-1,0,1,2,3...}
No conjunto dos inteiros destacamos os
seguintes subconjuntos:
Z* = Z – {0} = {...-3,-2,-1,1,2,3...}
Z+ = {0,1,2,3,4...} (inteiros não negativos)
Z - = {0,-1,-2,-3,-4...} (inteiros não positivos)
Z*+ = {1,2,3,4...} (inteiros positivos)
Z*- = {-1,-2,-3,-4...} (inteiros não negativos)
Inteiros (Z)
Neste conjunto sempre é possível efetuar a
adição, a multiplicação e a subtração entre
números inteiros, isto é, sempre estas
operações resultam em um número inteiro. Já a
divisão nem sempre resulta em um número
inteiro, como por exemplo, 7 : 2 ,não pertence
aos inteiros surgindo assim o conjunto dos
racionais.
N
Z
NÚMEROS RACIONAIS
Entretanto...surgiu outro tipo de problema:
Como dividir 3 vacas por 2 herdeiros?
Para resolver este tipo de problemas foram criados os
números fracionários. Estes números juntamente com
os números inteiros formam os racionais.
Racionais (Q)
Q = {a/b | a, b  Z e b  0}.
Todo número que pode ser escrito em
forma de fração.
Exemplos:
 Decimais finitos;
 Dízimas periódicas;
 Raízes exatas;
1- Transforme na forma de fração
irredutível os seguinte números
decimais:
a)2,5
g)43,764
b)7,3
h)9,543
c)8,3
i)8,543
d)7,84
e)3,86
f)4,52
NÚMEROS RACIONAIS
Números formados por infinitos algarismos que se
repetem periodicamente. E o número que se repete
é chamado de período.
Exemplos:
2,333...
0,121212...
0,4333...
2,5222...
Na dízima 2,333... o período 3 posiciona-se logo após
a vírgula.
Na dízima 0,121212... o período 12 posiciona-se logo
após a vírgula.
O número decimal 0,3222... é uma dízima
periódica composta, uma vez que entre o
período e a vírgula existe uma parte nãoperiódica que chamamos de antiperíodo . Nessa
dízima, o número 3, situado entre a vírgula e o
período, corresponde à parte não-periódica.
Outros exemplos:
2,4333...
0,12555...
0,43777...
É a fração que deu origem a dízima periódica.
Como encontrar a geratriz de uma dízima periódica.
1º caso: O número é uma dízima periódica simples.
• Transforme a dízima periódica 0,777... em fração.
1- Transforme na forma de fração
irredutível cada dízima abaixo:
a)0,666...
b)0,212121...
c)0,12555...
d) 1,666...
e)3,151515...
f)2,1444...
2- (PUC – RJ) A soma 1,3333... +
0,1666666... é igual a:
A) 1/2
B) 5/2
C) 4/3
D) 5/3
E) 3/2
3- Apresente o resultado da expressão
na forma fracionária:
0,66666... + 0,25252525... – 0,77777...
Irracionais (I)
O "IRRACIONAIS“ é formado por todos os números
que, ao contrário dos racionais, NÃO podem ser
representados por uma fração de números inteiros. São
eles:
•Phi φ que vale 1,61803399...
• Raízes quadradas de números
primos
NÚMEROS IRRACIONAIS
OBS: Os Irracionais (I) – É todo número decimal nãoexato e não periódico, bem como toda raiz não-exata.
raiz quadrada de dois = 1,414...;
raiz quadrada de três = 1,73...;
dízimas não periódicas;
Reais (R).
o conjunto dos números Reais é
formado por todos os números
Racionais junto com os números
Irracionais, portanto:
Q  I = R.
Questões
1- O gerente de um supermercado pretende embalar 24
maçãs e 18 pêssegos do seguinte
modo:
a)cada embalagem com maçãs e pêssegos;
b) todas as embalagens com o mesmo número de
maçãs e o mesmo número de pêssegos.
Questões
2- O João tem uma folha de cartolina, retangular, com 36
cm de comprimento e 24 cm de largura. Pretende dividir
a folha em quadrados com o maior lado possível, sem
desperdiçar cartolina.
Questões
3- A Joana foi ao médico e agora tem de tomar um
antibiótico de 12 em 12 horas e um analgésico de 8 em
8 horas. Tomou os dois comprimidos às 16 horas.
A que horas voltará a tomar os dois comprimidos ao
mesmo tempo?
Questões
4- A D. Deolinda, para a festa de aniversário do Vasco,
preparou 30 coxinhas, 36 croquetes e 42 pastéis.
Distribuiu-os por pratos de modo que cada prato ficasse
com o mesmo número de coxinhas, croquetes e pastéis.
a) Quantos pratos conseguiu arranjar a D. Deolinda?
Questões
5- Duas pessoas, fazendo exercícios diários, partem
simultaneamente de um mesmo ponto e, andado,
contornam uma pista oval que circunda um jardim. Uma
dessas pessoas dá uma volta completa em 12 minutos.
A outra, andando mais devagar, leva 20 minutos para
completar a volta. Depois de quantos minutos essas
duas pessoas voltarão a se encontrar no mesmo ponto
de partida?
6- Três fios que medem respectivamente 24m, 84m e
90m foram cortados em pedaços iguais e do maior
tamanho possível. Então, qual o número de pedaços
obtidos?
Três vigias fazem rondas noturnas em um
determinado prédio, cada um em seu setor. O primeiro
tem que acionar o relógio de controle do seu setor a
cada 36 minutos; o segundo, a cada 24 minutos, e o
terceiro, a cada 18 minutos. Dessa maneira, pode-se
afirmar que eles acionam simultaneamente o relógio de
controle de seus respectivos setores a cada:
7-
A) 1 h 00 min
B) 1 h 06 min
C) 1 h 12 min
D) 1 h 18 min
E) 1 h 24 min