ELETROMAGNETISMO Campos Eletrostáticos Professor: Pablo Carvalho Curso: Engenharia Elétrica 6) Condições de fronteira Até então estudamos os efeitos eletromagnéticos em um meio homogêneo. Porém o que acontece com um campo elétrico, por exemplo, quando uma região é formada por dois meios diferentes? As condições que o campo deve satisfazer, na interface de separação entre os meios, são chamadas de condições de fronteira. Conhecido o campo elétrico em um dos lados da fronteira, é possível a partir dessas condições determinar o campo elétrico do lado desconhecido. Vamos considerar as seguintes condições de fronteira: Dielétrico 1 com dielétrico 2 Condutor e dielétrico Condutor e espaço livre Eletromagnetismo– Prof.: Pablo Carvalho 6) Condições de fronteira Para especificação das condições de fronteira partirmos das equações de Maxwell: 𝑬. 𝑑𝒍 = 0 (1) 𝑫. 𝑑𝑺 = 𝑄𝑒𝑛𝑐 (2) Também iremos trabalhar com o campo elétrico decomposto em suas componentes ortogonais 𝑬 = 𝑬𝒕 + 𝑬𝒏 Em que 𝑬𝒕 𝑒 𝑬𝒏 são respectivamente as componentes tangenciais e normal de E em relação à interface de interesse. Uma decomposição semelhante também pode ser feita para D. Eletromagnetismo– Prof.: Pablo Carvalho 6) Condições de fronteira Interface Dielétrico-Dielétrico: Considere um campo elétrico E em uma região de fronteira por dois dielétricos distintos tal como apresentado na Figura a seguir. Onde, 𝜀1 = 𝜀0 𝜀𝑟1 ; 𝜀2 = 𝜀0 𝜀𝑟2 . Eletromagnetismo– Prof.: Pablo Carvalho 6) Condições de fronteira Podemos então, decompor E1 e E2 em: 𝑬𝟏 = 𝑬𝟏𝒕 + 𝑬𝟏𝒏 𝑬𝟐 = 𝑬𝟐𝒕 + 𝑬𝟐𝒏 Aplicando a lei de Maxwell da equação 1 ao caminho fechado do retângulo da figura anterior, considerando um caminho muito pequeno em relação a variação de E. Temos, 𝑬𝟏𝒕 = 𝑬𝟐𝒕 Isso implica que as componentes tangenciais de E são as mesmas em ambos os lados da fronteira. Eletromagnetismo– Prof.: Pablo Carvalho 6) Condições de fronteira Sendo 𝑫 = 𝜀𝑬 = 𝑫𝒕 + 𝑫𝒏 , podemos escrever 𝑫𝟏𝒕 𝑫𝟐𝒕 = 𝑬𝟏𝒕 = 𝑬𝟐𝒕 = 𝜺𝟏 𝜺𝟐 𝑫𝟏𝒕 𝑫𝟐𝒕 = 𝜺𝟏 𝜺𝟐 Isso mostra que a componente tangencial da densidade de fluxo sofre alterações na fronteira, por isso Dt é descontínuo através da interface. Similarmente, aplicando a equação de Maxwell , 2, apresentada anteriormente ao cilindro da figura e fazendo ∆ℎ → 0, temos 𝑫𝟏𝒏 − 𝑫𝟐𝒏 = 𝜌𝑠 Em que 𝜌𝑠 é a densidade de carga superficial. Esse resultado é válido considerando D apontando da região 2 para a região 1. Eletromagnetismo– Prof.: Pablo Carvalho 6) Condições de fronteira Se não existirem cargas livres na superfície, ou seja, se deliberadamente não forem colocada cargas nessa região, temos: 𝑫𝟏𝒏 = 𝑫𝟐𝒏 Isso implica que a densidade de fluxo D normal a fronteira é contínua através da interface. E, uma vez que 𝑫 = 𝜀𝑬, a partir da equação anterior podemos inferir que 𝜺𝟏 𝑬𝟏𝒏 = 𝜺𝟐 𝑬𝟐𝒏 O que significa que o campo elétrico normal a superfície sofre variação ao passar de um meio para o outro e portanto é descontínuo. As equações apresentadas são referidas no seu conjunto como condições de fronteira. Eletromagnetismo– Prof.: Pablo Carvalho 6) Condições de fronteira Interface Condutor-Dielétrico: Considere a situação da Figura a seguir onde um material condutor faz interface com um material dielétrico: O condutor é considerado perfeito, ou seja, 𝜎 → ∞ 𝑒 𝜌𝑐 = 0. Para determinarmos as condições de fronteira de um condutor-dielétrico, consideramos o mesmo raciocínio para interface dielétricodielétrico, com a exceção de que E=0 no interior do condutor. Eletromagnetismo– Prof.: Pablo Carvalho 6) Condições de fronteira Assim, aplicando a lei de Maxwell da equação 1, ao retângulo da figura anterior, encontramos: 𝑬𝒕 = 0 De forma similiar, aplicando a lei de Maxwell da equação 2 ao cilindro da figura anterior para ∆ℎ → 0, temos: 𝑫𝒏 = 𝜌𝑠 A partir disso, concluímos que para um condutor perfeito: 1. 2. 3. Não existe campo elétrico no interior do condutor; 𝜌𝑣 = 0 𝑒 𝑬 = 0 Uma vez que 𝐸 = −∇𝑉 = 0, não pode existir diferença de potencial entre dois pontos no interior do condutor, o condutor é um corpo equipotencial; Pode existir campo elétrico externo normal a superfície; 𝑫𝒕 = 𝜀0 𝜀𝑟 𝐸𝑡 = 0 𝑒𝑫𝒏 = 𝜀0 𝜀𝑟 𝐸𝑛 = 𝜌𝑠 Eletromagnetismo– Prof.: Pablo Carvalho 6) Condições de fronteira Exemplo1: Dois dielétricos isotrópicos homogêneos muito extensos são justapostos de modo que sua interface se encontra no plano z. Para 𝑧 ≥ 0, 𝜀𝑟1 = 4 e para 𝑧 ≤ 0, 𝜀𝑟2 = 3, um campo elétrico uniforme 𝑬𝟏 = 5𝒂𝒙 − 2𝒂𝒚 + 3𝒂𝒛 𝑘𝑉/𝑚 existe para 𝑧 ≥ 0. Determine: a) 𝑬𝟐 para 𝑧 ≤ 0. b) Os ângulos que 𝑬𝟏 e 𝑬𝟐 fazem com a interface; Eletromagnetismo– Prof.: Pablo Carvalho 6) Condições de fronteira Eletromagnetismo– Prof.: Pablo Carvalho 6) Condições de fronteira Eletromagnetismo– Prof.: Pablo Carvalho 7) Problema de Valor de Fronteira Até agora vimos procedimentos para determinar o campo elétrico a partir da lei de Coulomb ou lei de Gauss quando a distribuição de carga é conhecida, ou a partir do divergente do potencial (𝑬 = − ∇𝑉), quando o comportamento do potencial V é conhecido em uma região. Na prática, nem a distribuição de carga, nem o potencial V é conhecido na região de interesse. Para resolver esse problema utilizamos as condições eletrostáticas de fronteira (carga e potencial) para determinar E e V em toda a região. Esses problemas são usualmente resolvidas com as Equação de Poison ou a Equação de Laplace. Eletromagnetismo– Prof.: Pablo Carvalho 7) Problema de Valor de Fronteira Equações de Laplace e Poison As equações de Laplace de Poison são facilmente obtidas a partir da Lei de Gauss para um meio linear. ∇. 𝑫 = ∇. 𝜀𝑬 = 𝜌𝑣 𝑬 = −∇𝑉 Substituindo a segunda equação na primeira, temos: ∇. (−𝜀∇𝑉) = 𝜌𝑣 𝜌𝑣 ∇2 𝑉 = − 𝜀 Esta é a equação de Poison. Um caso especial da equação de poison ocorre para 𝜌𝑣 = 0, que é a equação de Laplace ∇2 𝑉 = 0 Eletromagnetismo– Prof.: Pablo Carvalho 7) Problema de Valor de Fronteira O operador Laplaciano aplicado a Equação de Lapace é dado respectivamente, em coordenadas cartesianas, cilíndricas ou esféricas, por: 𝜕2𝑉 𝜕2𝑉 𝜕2𝑉 ∇ 𝑉= 2+ 2+ 2 =0 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 2 2𝑉 1 𝜕 𝜕𝑉 1 𝜕 𝑉 𝜕 ∇2 𝑉 = 𝜌 + 2 2+ 2 =0 𝜌 𝜕𝜌 𝜕𝜌 𝜌 𝜕∅ 𝜕𝑧 1 𝜕 𝜕𝑉 1 𝜕 𝜕𝑉 1 2 2 ∇ 𝑉= 2 𝑟 + 2 sin 𝜃 + 2 𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑟 𝑟 sin 𝜃 𝜕𝜃 𝜕𝜃 𝑟 sin 𝜃 2 𝜕2𝑉 =0 2 𝜕∅2 𝜌 𝜀 E a equação de Poison obtemos substituindo o 0 no lado esquerdo da equação por − 𝑣 . Eletromagnetismo– Prof.: Pablo Carvalho 7) Problema de Valor de Fronteira Teorema da Unicidade Se uma solução da Equação de Laplace que satisfaça suas condições de fronteira pode ser encontrada, então a solução é única. Para resolver os problemas de valor de fronteiro é preciso ter em mente três caraterísticas que descrevem o problema univocamente: 1. 2. 3. A equação diferencial apropriada (Poison ou Laplace); A região de interesse para solução; As condições de fronteira. Eletromagnetismo– Prof.: Pablo Carvalho 7) Problema de Valor de Fronteira Procedimento Geral para resolver a Equação de Laplace ou a Equação de Poison 1. Resolver a equação de Laplace (se 𝜌𝑣 = 0) ou de Poison (se 𝜌𝑣 ≠ 0) utilizando ou a integração direta quando V é uma função de uma variável, ou por separação de variáveis se V é uma função de mais de uma variável. (A solução, nesta etapa, não é única, mas sim expressa em termos de constantes de integração a serem definidas) 2. Aplicar as condições de fronteira para determinar uma solução única de V, partindo do pressuposto que, para determinadas condições de fronteira, existe uma única solução. 3. Tendo obtido V, encontrar E usando 𝑬 = −∇𝑉 e D a partir de 𝑫 = 𝜀𝑬. 4. Se desejado, encontrar a carga Q, induzida em um condutor, fazendo 𝑄 = 𝜌𝑠 𝑑𝑆, onde 𝜌𝑠 = 𝐷𝑛 e 𝐷𝑛 é a componente de D normal ao condutor. Se necessário, a capacitância entre os dois condutores pode ser dada por 𝐶 = 𝑄/𝑉. Eletromagnetismo– Prof.: Pablo Carvalho 7) Problema de Valor de Fronteira Exemplo 2: Eletromagnetismo– Prof.: Pablo Carvalho 7) Problema de Valor de Fronteira Eletromagnetismo– Prof.: Pablo Carvalho 7) Problema de Valor de Fronteira Eletromagnetismo– Prof.: Pablo Carvalho 7) Problema de Valor de Fronteira Exemplo 3: Eletromagnetismo– Prof.: Pablo Carvalho 7) Problema de Valor de Fronteira Eletromagnetismo– Prof.: Pablo Carvalho 7) Problema de Valor de Fronteira Eletromagnetismo– Prof.: Pablo Carvalho 7) Problema de Valor de Fronteira Exemplo 4: Eletromagnetismo– Prof.: Pablo Carvalho 7) Problema de Valor de Fronteira Eletromagnetismo– Prof.: Pablo Carvalho 7) Problema de Valor de Fronteira Eletromagnetismo– Prof.: Pablo Carvalho 8) Resistência e capacitância Vimos anteriormente como determinar a resistência de um condutor com seção reta uniforma. Se a seção não for uniforma a equação anterior torna-se inválida. Podemos enxergar o problema de determinar a resistência de um condutor com seção reta não uniforme como um problema de valor de fronteira. A partir da equação a seguir: 𝑬. 𝒅𝒍 𝑅 𝑉= = 𝐼 𝜎𝑬. 𝑑𝑺 A partir da equação anterior, para determinar a resistência R de um dado condutor a partir dos seguintes passos: 1. Escolher um sistema de coordenadas adequado. 2. Considerar V0 como a diferença de potencial entre terminais condutores. 3. Resolver a equação de Laplace (ou Poison) para obter V e em seguida determinar E a partir da solução 𝑬 = −𝛻𝑉 e I a partir da solução de 𝐼 = 𝜎𝐸. 𝑑𝑆 4. Finalmente obter R como V0/I. Eletromagnetismo– Prof.: Pablo Carvalho 8) Resistência e capacitância Para um capacitor, precisamos que haja dois ou mais condutores carregados com cargas iguais e sinal contrário. Isso implica que todas as linhas de fluxo que saem da superfície de um condutor devem necessariamente entrar na superfície do outro. Definimos capacitância C do capacitor como a razão entre o valor da carga em uma das placas e a diferença de potencial entre elas. 𝐶= 𝑄 𝑉 Eletromagnetismo– Prof.: Pablo Carvalho 8) Resistência e capacitância Exempo: Eletromagnetismo– Prof.: Pablo Carvalho 8) Resistência e capacitância Exempo: Eletromagnetismo– Prof.: Pablo Carvalho 8) Resistência e capacitância Exempo: Eletromagnetismo– Prof.: Pablo Carvalho 8) Resistência e capacitância Exempo: Eletromagnetismo– Prof.: Pablo Carvalho 8) Resistência e capacitância Exempo: Eletromagnetismo– Prof.: Pablo Carvalho 8) Resistência e capacitância Exemplo: Eletromagnetismo– Prof.: Pablo Carvalho 8) Resistência e capacitância Exemplo: Eletromagnetismo– Prof.: Pablo Carvalho 9) Campos Magnetostaticos Anteriormente limitamos nossa discussão aos campos eletrostáticos caracterizados E e D. Agora focaremos nossa atenção nos campos magnéticos estáticos que são caracterizados por H (intensidade de campo magnético) e B (densidade de fluxo magnético). Uma ligação definitiva entre campos elétricos e magnéticos foi estabelecida por Oersted. Um campo elétrico é gerado por cargas elétricas estáticas ou estacionárias. Se cargas se movem com velocidade constante, um campo magnético estático é criado. Lei de Biot-Sarvat A lei de Biot-Sarvat estabelece que a intensidade do campo magnético dH gerada em um ponto P, pelo elemento diferencial de ocrrente Idl é proporcional ao produto entre I dl e o seno do ângulo 𝛼, entre o elemento e a linha que une P ao elemento, e é inversamente proporcional ao quadrado da distancia R entre P e o elemento. 𝐼𝑑𝑙. 𝑠𝑒𝑛(𝛼) 𝑑𝐻 ∝ 𝑅2 Eletromagnetismo– Prof.: Pablo Carvalho 9) Campos Manetostaticos Ou, 𝐼𝑑𝑙. 𝑠𝑒𝑛(𝛼) 𝑑𝐻 = 𝑘 𝑅2 Onde k é uma constante de proporcionalidade, no SI k = 1 4𝜋. Na forma vetorial, 𝐼𝑑𝑙 × 𝒂𝑹 𝐼𝑑𝑙 × 𝑹 𝑑𝑯 = = 4𝜋𝑅2 4𝜋𝑅3 Lei circuital de Ampere – Equação de Maxwell A lei de ampere estabelece que a integral de linha da componente tangencial de H em torno de um caminho fechado é igual a corrente liquida Ienv envolvida pelo caminho. Em outras palavras, a circulação de H é igual a Ienv, isto é 𝑯. 𝑑𝑙 = 𝐼𝑒𝑛𝑣 Eletromagnetismo– Prof.: Pablo Carvalho 9) Campos Manetostaticos A lei de ampere é similar a lei de Gauss e é de fácil aplicação para determinar H, quando a distribuição de corrente é simétrica. Aplicando o teorema de Stokes a lei de Ampere, chegamos a seguinte equação: 𝐼𝑒𝑛𝑣 = 𝑯. 𝑑𝒍 = ∇ × 𝐻 . 𝑑𝑺 𝑆 Porém, vimos anteriormente que 𝐼𝑒𝑛𝑣 = 𝑱. 𝑑𝑺 𝑆 Logo ∇×𝐻 =𝐽 Essa é a terceira equação de Maxwell. Eletromagnetismo– Prof.: Pablo Carvalho 10) Aplicação da Lei de Âmpere Corrente em uma linha infinita: Imagine uma corrente I em um filamento infinitamente longo ao longo do eixo z, como apresentado na Figura abaixo. Para determinar H em um ponto P qualquer, escolhemos um caminho fechado que passa por P. É nesse caminho que a Lei de Ampere deverá ser aplicada. Para o exemplo escolhemos um circulo passando por P com centro no eixo z. 𝐼= 𝑯∅ 𝒂∅ . 𝜌𝑑∅𝒂∅ = 𝐻∅ 𝜌𝑑∅ = 𝐻∅ . 2𝜋𝜌 Ou ainda, 𝑰 𝑯= 𝒂∅ 2𝜋𝜌 O que mostra que H será constante se o raio 𝜌 adotado para o caminho fechado for constante. Eletromagnetismo– Prof.: Pablo Carvalho 10) Aplicação da Lei de Âmpere Corrente em uma lâmina infinita: Vamos agora considerar uma lâmina infinita de corrente no plano z=0, tal como da figura abaixo. Se a lâmina tiver uma densidade de corrente uniforme 𝑲 = 𝑘𝑦 𝒂𝑦 A/m, ao aplicar a Lei de âmpere ao caminho fechado retangular temos que: 𝑯 𝑑𝒍 = 𝐼𝑒𝑛𝑣 = 𝑘𝑦 𝑏 Eletromagnetismo– Prof.: Pablo Carvalho 10) Aplicação da Lei de Âmpere Corrente em uma lâmina infinita: A resolução dessa integram necessita de um entendimento prévio do comportamento de H. Vamos partir do entendimento que a lâmina infinita é composta por filamentos de lâminas menores. O elementar dH acima e abaixo da lâmina ocorre devido a um par de correntes filamentares. O campo resultante dH tem somente uma componente x. Note ainda que, H em um lado da lâmina é negativo em relação ao seu outro lado. Devido à extensão infinita da lamina, ela pode ser considerada como consistindo de pares filamentares, tais que as características de H para um par são as mesmas para a lâmina infinita de corrente. 𝐻𝟎 𝒂𝑥 ; −𝐻𝟎 𝒂𝑥 ; Resolvendo a integral de linha no caminho fechado, 1 𝐾𝑦 𝒂𝑥 ; 2 𝑯= 1 − 𝐾𝑦 𝒂𝑥 ; 2 𝑯= 𝒛<𝟎 𝒛<𝟎 𝒛<𝟎 𝒛<𝟎 Eletromagnetismo– Prof.: Pablo Carvalho 10) Aplicação da Lei de Âmpere Corrente em uma lâmina infinita: Em geral, para uma lâmina infinita de corrente com densidade K A/m, temos: 1 𝑯 = 𝑲 × 𝒂𝒏 2 Eletromagnetismo– Prof.: Pablo Carvalho 10) Aplicação da Lei de Âmpere Exemplo: Eletromagnetismo– Prof.: Pablo Carvalho 10) Aplicação da Lei de Âmpere Exemplo: Eletromagnetismo– Prof.: Pablo Carvalho 10) Aplicação da Lei de Âmpere Exemplo: Eletromagnetismo– Prof.: Pablo Carvalho 11) Densidade de Fluxo Magnético A densidade de fluxo magnético (B) e similar a densidade de fluxo elétrico D. Assim como D está associada a intensidade de campo elétrico, a densidade de fluxo magnético também se associa a intensidade de campo magnético H. 𝑩 = 𝜇0 𝑯 Em que 𝜇0 é uma constante conhecida como permeabilidade magnética do espaço livre 𝜇0 = 4𝜋 × 10−7 𝐻/𝑚 E o fluxo magnético através de uma dada superfície pode ser determinado por: Ψ= 𝑩. 𝑑𝑺 𝑊𝑒𝑏𝑒𝑟𝑠 (𝑊𝑏) 𝑆 A linha de fluxo é o caminho em relação ao qual B é tangente em cada ponto. Eletromagnetismo– Prof.: Pablo Carvalho 11) Densidade de Fluxo Magnético As linhas de fluxo elétrico não são necessariamente fechadas. Porém, as linhas de fluxo magnético sempre se fecham sobre si mesmas. A consequência física desse fechamento é que é impossível se ter um monopólio magnético. Eletromagnetismo– Prof.: Pablo Carvalho 11) Densidade de Fluxo Magnético Matemáticamente, temos 𝑩. 𝑑𝑺 = 0 Essa equação é referida como lei da conservação do fluxo magnético, ou lei de Gauss para os campos magnetostáticos. Se aplicarmos o teorema da divergência. ∇. 𝑩 = 0 Que é a 4 equação de Maxwell e mostra que o campo magnetostático não tem fontes nem sumidouros. Eletromagnetismo– Prof.: Pablo Carvalho 11) Potencial Magnético Podemos definir um potencial magnético fazendo sua associação com um campo magnético B da mesma forma que foi feita com o potencial elétrico. Assim, sendo Vm o potencial magnético, podemos escrever: 𝑯 = −∇𝑉𝑚 𝑠𝑒 𝑱 = 0 A condição associada a equação é extremamente importante e deve ser respeitada. Assim, um potencial magnético Vm só pode ser definido para regiões onde J é 0. Eletromagnetismo– Prof.: Pablo Carvalho
