0101045A 04 - Divisores de Potência e Acopladores Direcionais 4s

Referências Bibliográficas
4.Divisores e Acopladores Direcionais
4.1 Introdução
4.2 Propriedades dos Divisores e Acopladores
4.3 Divisor de Potência Junção T
4.4 Divisor de Potência Resistivo
4.5 Divisor de Potência Wilkinson
Prof. Rafael Abrantes Penchel – © 2017 – UNESP/SJBV
I.
POZAR, David M., “Microwave Engineering”, 4 edition,
Wiley, 2011.
o Capítulo 7 − Power Dividers and Directional Couplers
II. JUSTINO, J. A., “Engenharia de
Fundamentos e Aplicações”, Érica, 2008.
o Capítulo 12 − Junções de Micro-ondas
o Capítulo 13 − Acopladores Direcionais
Micro-ondas-
III. STEER, Michael, "Microwave and RF Design: A Systems
Approach", SciTech Publishing, 2nd Edition, 2013.
o Capítulo 6 − Microwave Network Analysis
o Capítulo 7 − Passive Components
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Introdução
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Introdução
Os divisores de potência e acopladores direcionais são
componentes passivos de micro-ondas utilizados para dividir
ou combinar sinais.
Idealmente estes dispositivos não apresentam perdas e podem
ter duas, três ou mais portas. As redes de três portas podem
assumir a forma de Junção T e as redes de quatro portas a
forma de acopladores direcionais e híbridas. As híbridas, além
da divisão da potência, promovem também um deslocamento
na fase de 90 ou 180 entra as portas de saída.
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Introdução
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Introdução
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Propriedades dos Divisores e Acopladores
Propriedades dos Divisores e Acopladores
Redes de Três Portas (Junção T):
Se o dispositivo é passivo e não contém matérias
anisotrópicos, a matriz de espalhamento é recíproca
A junção T é uma rede de três portas, duas entradas e uma
saída. Genericamente, a matriz de espalhamento tem nove
parâmetros independentes, logo:
Se a rede não tem perdas e todas as suas portas estão casadas
(
), e a matriz de espalhamento pode ser escrita na
forma:
Pode mostrar, entretanto, que construir uma rede de três portas
recíproca e sem perdas é impossível.
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Propriedades dos Divisores e Acopladores
Propriedades dos Divisores e Acopladores
Nas redes sem perdas, a conservação da energia requer que:
Portanto, as redes de três portas com todas a portas casadas,
recíproca e sem perdas são fisicamente irrealizáveis. Se
uma destas condições for relaxada, por exemplo se a rede
não for recíproca, a conservação da energia pode ser
satisfeita.
Para uma rede de três portas:
Para que o conjunto de equações em vermelho seja
satisfeito, pelos menos dois dos três parâmetros ( ,
,
) devem, necessariamente ser nulos. Entretanto esta
condição é inconsistente com as equações em azul.
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Propriedades dos Divisores e Acopladores
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Propriedades dos Divisores e Acopladores
A duas matrizes espalhamento representam Circuladores
cuja direção do fluxo de potência são opostos:
As equações podem ser satisfeitas se:
;
Ou
;
Logo
ou
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Propriedades dos Divisores e Acopladores
Propriedades dos Divisores e Acopladores
Considerando agora uma rede recíproca, sem perdas e com
apenas duas portas casadas (Portas 1 e 2), tem a matriz de
espalhamento na forma:
Neste caso, escreve-se:
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Propriedades dos Divisores e Acopladores
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Propriedades dos Divisores e Acopladores
Tem-se que:
e
Substituindo as equações:
não é, necessariamente, igual á
. São iguais
Note que
em módulo podendo haver diferença de fase entre os
termos.
Desta forma, a matriz de espalhamento assume a forma:
Para que
Faz-se
e
e, consequentemente
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Propriedades dos Divisores e Acopladores
Propriedades dos Divisores e Acopladores
Graficamente:
Redes de Quatro Portas (Acoplador direcional):
O acoplador direcional é uma rede de quatro portas,
genericamente, representada pela seguinte matriz de
espalhamento com dezesseis parâmetros independentes, logo:
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Propriedades dos Divisores e Acopladores
Propriedades dos Divisores e Acopladores
Se a rede é recíproca e tem as quatro portas casadas:
Linhas 1 e 2:
De forma análoga, para a linhas 3 e 4:
e a segunda por
Para as linhas um e dois escreve-se:
Multiplicando a primeira eq. por
Multiplicando as equações
Subtraindo a primeira equação da segunda:
:
e, assim
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Propriedades dos Divisores e Acopladores
Propriedades dos Divisores e Acopladores
Executando o mesmo procedimento nas linhas 1 e 3 e 2 e 4:
Linhas 1 e 3 :
Para que
Linhas 2 e 4 :
sejam satisfeitas faz-se:
Multiplicando a primeira eq. por
e a segunda por
:
Consequentemente
Subtraindo a primeira equação da segunda:
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Propriedades dos Divisores e Acopladores
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Propriedades dos Divisores e Acopladores
;
e
Linhas 2 e 3:
Substituindo as expressões acima, mostra-se que:
Neste ponto, alguns simplificações pode ser feitas definindo
uma referência para a fase em três das quatro portas.
e
;
Onde , , ! e " são constantes e fase a serem obtidas.
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Substituindo encontra-se a seguinte relação entra as fases:
! " # $ %&# , onde &
' '% (
Da expressão acima, duas soluções são possível:
Acoplador Simétrico:
! " #)%
Acoplador Assimétrico:
!
, " #
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Propriedades dos Divisores e Acopladores
Propriedades dos Divisores e Acopladores
Acoplador Simétrico: As fases dos termos com amplitude
são iguais (! " #)%). A matriz de espalhamento:
*
*
*
*
Acoplador Assimétrico: As fases dos termos com
amplitude estão defasadas e 180°.
Destaca-se também que:
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Propriedades dos Divisores e Acopladores
Substituindo
obtém-se
e
;
Portanto, as duas redes em estudos tem os termos de
amplitude dependentes, ou seja,
e
não podem ser
escolhidos de forma independente. A solução nos permite
concluir que qualquer rede de quatro portas recíprocas, sem
perdas e casadas é um acoplador direcional.
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Propriedades dos Divisores e Acopladores
Representação Gráfica do Acoplador Direcional:
Acoplamento (+):
2
, -.
/01
2
Como
, -.
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/01
, escreve-se
% /01
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2
2
% /01
% /01
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Propriedades dos Divisores e Acopladores
Propriedades dos Divisores e Acopladores
Diretividade (3):
2
4 -.
/01
2
Isolação (5):
Como
4 -.
e
/01
2 )2
2 )2
% /01
/01
, , escreve-se
Como
/01
2
2
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Propriedades dos Divisores e Acopladores
/01
, escreve-se
6 -.
% /01
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6 -.
2
2
% /01
% /01
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Divisores de Potência Junção T
Divisor de Potência Junção T
É a forma mais simples de dividir ou combinar dois sinais,
e pode ser implementado através de qualquer tipo LT.
Perda de Inserção (7):
2
8 -.
/01
2
Como
/01
, escreve-se
8 -.
2
2
% /01
% /01
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Divisores de Potência Junção T
Divisores de Potência Junção T
Junção T Sem Perdas
Uma junção T sem perdas pode ser modelada através da
combinação de três linhas de transmissão:
Exemplo: Um divisor de potência junção T sem perdas tem
uma impedância de entrada < : A B . Encontre
impedâncias características das saídas para que as potências
de saída estejam em uma proporção de 2:1. Calcule os
,
e
.
parâmetros da matriz de espalhamento
Se a tensão na entra da LT é C= , a potência de entrada será:
9:
*;
<
<
Linhas Sem Perdas:
<
<
<>?@'
<=
<=
<>?@'
Na prática, nem sempre a susceptância *; pode ser
desprezada e, neste casos, utiliza-se descontinuidades ou
elementos reativos para cancelar *;.
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Potências de Saída:
2
C=
%<
C=
% <=
2:
D
2:
2
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C=
%<
Divisores de Potência Junção T
Divisores de Potência Junção T
Igualando as expressões, tem-se:
Impedância vista pelas portas de saída:
)A
)FA G
<>?@'
D H E <>?@'
C=
C=
E<
D<=
A B
%<
D % <=
C=
% C=
%
E<
<
FAB
2
%<
D % <=
D =
A impedância de entrada é determinada pela combinação
em paralelo de < e <
2
Note que < :
<:
<=
A
A B
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FA
G
<>?@'
)A
)A
G
A B
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DFHA E <>?@'
<>?@'
<>?@'
%
2
D :
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D H B
DFHAB
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Divisores de Potência Junção T
Divisores de Potência Junção T
Parâmetro
Parâmetro
:
C
J
C I KL
G
=
KM =
Parâmetro
CG
J
C I KO
:
=
KM =
Parâmetro
CG
J
C I KO
:
=
KL =
N
< :'
< :'
N
< :'
< :'
<=
<=
<:
<:
N
<
<
D
D
D
D
DF'A
DF'A
<
<
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A
A
D
D
'PPP
A
A
ou
:
C
J
C I KLQ
G
=
Q
KM =
N
Neste o um problema que surge é que as portas 1 e 2 tem
impedâncias características diferentes, e consequentemente os
parâmetros
estão referenciados à impedâncias diferentes. A
alternativa é usa a expressão generalizada:
C G <='
C I <='
'DDD
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R
S
KTQ = 'U V
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Divisores de Potência Junção T
Divisores de Potência Junção T
Neste caso:
Parâmetro
C G <='
C
Parâmetro
I
ou
<='
:
W
CG
J
C I KLQ
KLQ
KMQ
=
KMQ =
X
=
=
C I <='
A
R
W
KLQ =
KMQ =
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'AFF
X
A
FA
R
KMQ =
N
'PPP
Usando parâmetro generalizado:
C G <='
N
Usando parâmetro generalizado:
C G <='
A
ou
:
CG
J
C I KOQ =
C I <='
W
KOQ =
KMQ =
'DDD X
A
FA
'ZF
Como a rede não tem perdas, mostra-se que:
'Y P
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Ou
'PPP
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'DDD
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Divisores de Potência
Divisores de Potência
Em casos práticos, dois problemas são observados:
o Efeitos de Junção
Junção T com QWT (Quarter Wave Transformer)
O problema da Junção T com LTs é falta de padrão das LTs
de saída. Uma solução para o problema é o uso de QWT.
<>?@'
< :'
o Impedância Característica das LTs de Saída
Não é prático por ter impedâncias de saída genéricas. Em
geral, o desejado é que as impedâncias de entrada e saída
sejam iguais e padronizadas.
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< :'
<>?@'
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Divisores de Potência
Divisores de Potência
Transformador de Quarto-de-Onda:
Note que, se
_`a [ ]
Neste caso
Seja uma LT sem perdas (< ' [ reais) tal que em \
< ]
<
<^
<
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*< _`a []
*<^ _`a []
]:
EL35D – 2016.01
< ]
b
<
[ ]
<^
<
#
%
0101045A – 2017.01
%#
]
c
*< _`a [ ]
*<^ _`a [ ]
Para que não haja potência refletida em \
<=
< ]
Portanto
<
<= <^
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#
%
*<
*<^
]
]:
<
<^
c
Z
EL35D – 2016.01
Divisores de Potência
Divisores de Potência
Restrições do Uso de Transformador de Quarto-deOnda:
I. Necessidade de inserir um trecho de LT extra entre a
linha (<= ' [= ) e a carga <^ ;
A função do QWT é transformar a impedância característica
da LT de entrada <= em < e < para as LTs 1 e 2,
respectivamente. Neste nova configuração, a condição de
casamento será:
II. As linhas tem que ter perdas muito baixas, tais que
< ' [ , <= sejam aproximadamente reais;
III. A carga <^ tem que ser real;
< :'
< :'
<=
A potência na entrada:
CI
C=
% <=
% <=
Note: def' e def' não são as impedâncias dos QWTs.
2:
IV. É um método de casamento banda estreita, ou seja, é
efetivo para uma pequena faixa de frequências. Note
que ] c )Z.
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Divisores de Potência
Divisores de Potência Junção T
A potência na saída das linhas é dada por:
Exemplo: Projete uma Junção T sem perdas
com
impedância de entrada <= D B e potências de saída na
proporção 3:1. Projete também um QWT para que as linhas
de saída tenham impedância característica <= D BH
Determine os parâmetros da matriz de espalhamento
também considerando <= D B.
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C=
2
% < :'
Dividindo as duas saída por 2 : :
2
2
2:
2
2:
C=
% < :'
C=
% < :'
C=
% <=
C=
% <=
G
G
EL35D – 2016.01
C=
% < :'
)< :'
)<=
)< :'
)<=
<=
< :'
<=
< :'
É fácil observar que, como a rede é sem perdas, escreve-se:
2 )2 : 2 )2 :
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0101045A – 2017.01
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0101045A – 2017.01
0101045A – 2017.01
Divisores de Potência Junção T
Divisores de Potência Junção T
Se a tensão na entra da LT é C= , a potência de entrada será:
QWT 2 e 3:
Potências de Saída:
2
Portanto
2
2
C=
% < :'
C=
% < :'
C=
% < :'
2
D
2
Z :
2:
C=
% <=
2
D C=
E < :'
Z % <=
C=
E < :'
Z % <=
C=
% < :'
Z
Z<= )D
Z<=
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<
<
<= < :'
:
D XZ
<= < :'
DZ'PB
D X %
P ' B
2:
Parâmetro
Z B
Parâmetro
: Inicialmente, determina-se a impedância
vista pela porta de saída 2.
D g %
<= g < :'
%ZB
<>?@'
<>?@'
<= g < :'
D gZ
F' ZB
% B
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C
J
C I KL
G
<:
<:
N
=
KM =
<=
<=
D
D
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0101045A – 2017.01
Divisores de Potência Junção T
Divisores de Potência Junção T
Parâmetro
Parâmetro
C
J
C I KO
G
Parâmetro
=
KL =
Parâmetro
:
,
<>?@'
<>?@'
N
=
KM =
C
J
C I KO
G
:
N
:
<>?@'
<>?@'
2
2
G
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%Z
%Z
< :'
< :'
F'
F'
< :'
< :'
D
Z
G
ijk
h
Z
Z
'%A
%
%
'FA
* 'YPP
0101045A – 2017.01
D
D
,
:
2
2
G
Parâmetro
,
:
Como a rede não tem perda
Z
G
h
Logo:
Ou
* '%A
G
'YPP
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'%A
G h
'ZDD
0101045A – 2017.01
Divisor de Potência Resistivo
Divisor de Potência Resistivo
O divisor de três portas resistivo é composto por
componentes com perdas e pode ser projetado com todas as
portas casadas, apesar de não estarem isoladas.
Assumindo todas as portas terminadas na impedância
característica <= , a impedância < será:
Z<=
<=
<=
<
D
D
A impedância de entrada é:
<:
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<=
D
D
Z<=
D
Z<=
G
<=
D
Z<=
P
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<=
D
%<=
D
0101045A – 2017.01
Divisor de Potência Resistivo
Divisor de Potência Resistivo
Pela simetria da rede percebe-se que o mesmo resultado
pode ser encontrado para as demais portas. Portanto, todas
as portas são casadas e, consequentemente:
;
e
;
A matriz de espalhamento é representa por:
De forma análoga, as tensões de saída são dadas por:
<=
D
C
C
C
C
C
)D
<= )D <=
Z
Substituindo
D%
C
C
C
C
ZD
%
Portanto:
C
C
C
C
%
Mostra-se também que
C
D%
C
C
ZD
%
Usando divisor de tensão, a tensão C é dada por:
%<= )D
%)D
C
C
C
)D %)D
<= )D %<= )D
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%
C
D
0101045A – 2017.01
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<=
0101045A – 2017.01
Divisor de Potência Resistivo
Divisor de Potência de Wilkinson
A matriz de espalhamento fica:
O divisor de Wilkinson é uma rede de três portas sem
perdas se as portas de saída estão casadas e com isolação
entre as portas de saída.
)%
)%
)%
)%
)%
)%
É fácil mostrar que a matriz não é unitária e, portanto, a
matriz tem perdas. A Potência entregue à carga:
E na saída:
2
2
C
% <=
2:
C
% <=
C )%
% <=
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C
Y <=
Z
2:
0101045A – 2017.01
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0101045A – 2017.01
Divisor de Potência de Wilkinson
Divisor de Potência de Wilkinson
Um divisor de Wilkinson com divisão igual de potência
(isto é, D -.), ou seja a relação de potência na saída seja
1:1 tem-se: l %<= , <='m
%<= , < : <= e <>?@ <= ;
Análise Modal Par-Ímpar
1. Não desenhar a Linha de Transmissão de Retorno.
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2. Normalizar todas as impedâncias em relação à <= ;
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Divisor de Potência de Wilkinson
Divisor de Potência de Wilkinson
3. Desenhar o circuito para simetria em relação ao
ponto central;
4. Definir dois modos de excitação para o circuito:
%g%
l )%
l )%
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Cn
Do circuito é fácil observar que se Cn
%C= ):
Cn
p
%C= , então:
< p:
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%C=
Cn
%C=
o Cn
ZC= ' Cn
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Divisor de Potência de Wilkinson
C
C
Consequentemente, nenhum corrente flui pelos resistores
l)%, nem entre os resistores no circuito de entrada.
p
b) Modo Ímpar: Cn
Cn
l
Divisor de Potência de Wilkinson
5. Análise do Modo Par (Cn
a) Modo Par: Cn
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A impedância de entrada é dada por:
<='m
< p:
<='m
%
Como < p:
,
%
<='m
%< p:
Usando divisor de tensão, escreve-se:
< p:
p
C
Cn
%C=
< p:
%
C=
Note que não há corrente no resistor l)%
e,
consequentemente, pode-se deixar o circuito aberto, e
ignorá-lo na determinação da tensão C p .
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Divisor de Potência de Wilkinson
Divisor de Potência de Wilkinson
< p:
C ]
Para ]
CI
C ]
qr
CI
N
G qr
N
Cp
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Divisor de Potência de Wilkinson
Lembrando que C p
Cp
*C I
Substituindo
N
C=
CI
C=
CI N
Cp
C=
*
*C=
N
N
N
%
%
<='m
<='m
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%
%
*
hs
s
*
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N
hs
s
G
*C I
N
Cp
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N
C=
%
%
CI
C ] c)Z
Manipulando
Cp CI * N
Divisor de Potência de Wilkinson
Como <='m
%, o coeficiente de reflexão N pode ser
escrito na forma:
N
c)Z
Para ]
A tensão C p pode ser determinada usando
< p:
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< p:
Por fim
Cp
%
%
*C=
%
%
%
%
%
%
*C=
%
%
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%
%
%
%
%
%
*C= %
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Divisor de Potência de Wilkinson
Divisor de Potência de Wilkinson
6. Análise do Modo Ímpar (Cn
Do circuito, observa-se que se Cn
Cn ):
Cn , então:
C>
C>
Consequentemente, a tensão no ponto médio do circuito é
nula, conforme ilustrado abaixo:
tu0v_ wxvwyx_
< >:
< >:
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Na porta 1, o circuito comporta-se com um circuito
infinitesimal, ou seja
C >G
N
C >I
C >G
>I
C
Consequentemente
C > C >G C >I
Isto significa que
l)%
e, consequentemente, toda potência é entregue ao resistor
l)%. Assim, se escolhermos l %, a porta 2 estará casada
para a excitação modal ímpar.
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Divisor de Potência de Wilkinson
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Divisor de Potência de Wilkinson
< :'m
tu0v_ wxvwyx_
< >:
Usando divisor de tensão, escreve-se:
l)%
Cn
%C=
C>
l)%
%
C=
< :'m
As soluções par e ímpar são autovetores. Qualquer solução
pode ser escrita por uma combinação linear destas soluções.
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Divisor de Potência de Wilkinson
Divisor de Potência de Wilkinson
< :'m
Parâmetro
Como < :'m
:
e
:
Parâmetros
Pela simetria do problema, é fácil perceber que
A impedância vista da porta 1, para cada um dos QWT é:
<='m
< :'m
%
%
No problema em questão,
< :'
< :'m g < :'m
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%g%
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Se aplicarmos tensão somente na porta 2, a tensão em um
ponto do circuito pode ser obtida através da soma das
soluções par e ímpar (princípio da superposição). Em outras
palavras, a as tensões podem ser obtidas pela combinação
linear do autovetores C > , C > , C p e C p H
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Divisor de Potência de Wilkinson
Divisor de Potência de Wilkinson
Parâmetros
Por definição
Parâmetros
Por definição
e
(continuação):
CG
J
C I KOQ
=
Q
KM =
C p'G
C p'I
C >'G
C >'I
W
KOQ =
KMQ =
Como escolhemos <='m % e, consequentemente, < p:'
a porta 2 está casada. Logo C p'G
.
e
:
CG
J
C I KOQ
=
KMQ =
Note que, neste caso, a excitação é na porta 2. Como a porta
1 está casada
De forma análoga, ao definirmos que l %, a impedância
de entrada da porta 2 < >:' e C >'G . Portanto:
C p'I C >'I
e a tensão total na porta 1 é:
CG Cp C>
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Divisor de Potência de Wilkinson
Divisor de Potência de Wilkinson
C
C
pz>'I
C
pz>'G
C
pz>'I
CI
CG
pz>'G
CI
CG
Se a porta 1 está casada,
CG
CG
J
C I KOQ
C >'I
C p'I
Parâmetros
e
(continuação):
De forma análoga, com a excitação é na porta 2 e esta
estando casada, tem-se:
C p'G C >'G
e a tensão total na porta 2 é:
CI Cp C>
Substituindo
Ou
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=
KMQ =
Cp
Cp
*) %.
*C= %
C= C=
C>
J
C > KOQ
=
KMQ =
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Divisor de Potência de Wilkinson
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Parâmetros
e
:
Usando um procedimento similar, mostra-se que
Parâmetros
e
(continuação):
Pela simetria do circuito, sabe-se que:
C p'G C p'G e C >'G
Portanto,
CG
J
C I KOQ
KLQ
Ou
Parâmetros
=
=
Cp
Cp
*) %.
e
:
CG
J
C I KOQ
KMQ
C>
J
C > KOQ
KLQ
=
=
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=
=
C p'G
C p'I
*C= %
C= C=
C >'G
C
* %
%
>'I W
KOQ =
KMQ =
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* %
%
CG
J
C I KOQ
=
Q
KM =
C p'G
C p'I
C >'G
C >'I
Por simetria C p C p'G C p'I C= , C >
Cp C>
CG
J
J
C I KOQ = C p C > KOQ =
KMQ =
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C >'G
KMQ =
W
KOQ =
KMQ =
>'G
C
C=
C=
C=
C=
C >'I
C=
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Divisor de Potência de Wilkinson
Divisor de
Potência
Junção T
Resistivo
Wilkinson
Vantagens
- Sem perdas
- Todas as portas
casadas
- Sem perdas
- Alta isolação
- Rede recíproca
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Divisor de Potência de Wilkinson
Desvantagens
- Portas não casadas
- Portas de saída não isoladas
- Apresenta perdas
- Portas de saída não isoladas
- Baixa potência, limitada
pelos resistores
Lista de Exercícios:
POZAR, David M., “Microwave Engineering”, 4 edition, Wiley,
2011, Cap. 7 − Power Dividers and Directional Couplers:
Exe.: 7.2, 7.3, 7.6, 7.7, 7.9 e 7.10.
- Se houver descasamento,
potência é dissipada pelo
resistor de isolação.
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