Matemática . Aluno Caderno de Atividades Pedagógicas de Aprendizagem Autorregulada - 02 6º Ano | 2º Bimestre Disciplina Curso Bimestre Série Matemática Ensino Fundamental 2° 6º Ano Habilidades Associadas 1. Calcular potências com expoentes e bases naturais. 2. Calcular raiz quadrada de números naturais quadrados perfeitos. 3. Reconhecer números primos e decompor um número em fatores primos. 4. Resolver problemas aplicando o calculo do M.M.C. e do M.D.C entre números naturais. 5. Resolver problemas aplicando os critérios de divisibilidade por 2.3, 4, 5 e 6. 6. Identificar e localizar posições entre duas linhas retas. Apresentação A Secretaria de Estado de Educação elaborou o presente material com o intuito de estimular o envolvimento do estudante com situações concretas e contextualizadas de pesquisa, aprendizagem colaborativa e construções coletivas entre os próprios estudantes e respectivos tutores – docentes preparados para incentivar o desenvolvimento da autonomia do alunado. A proposta de desenvolver atividades pedagógicas de aprendizagem autorregulada é mais uma estratégia pedagógica para se contribuir para a formação de cidadãos do século XXI, capazes de explorar suas competências cognitivas e não cognitivas. Assim, estimula-se a busca do conhecimento de forma autônoma, por meio dos diversos recursos bibliográficos e tecnológicos, de modo a encontrar soluções para desafios da contemporaneidade, na vida pessoal e profissional. Estas atividades pedagógicas autorreguladas propiciam aos alunos o desenvolvimento das habilidades e competências nucleares previstas no currículo mínimo, por meio de atividades roteirizadas. Nesse contexto, o tutor será visto enquanto um mediador, um auxiliar. A aprendizagem é efetivada na medida em que cada aluno autorregula sua aprendizagem. Destarte, as atividades pedagógicas pautadas no princípio da autorregulação objetivam, também, equipar os alunos, ajudá-los a desenvolver o seu conjunto de ferramentas mentais, ajudando-o a tomar consciência dos processos e procedimentos de aprendizagem que ele pode colocar em prática. Ao desenvolver as suas capacidades de auto-observação e autoanálise, ele passa ater maior domínio daquilo que faz. Desse modo, partindo do que o aluno já domina, será possível contribuir para o desenvolvimento de suas potencialidades originais e, assim, dominar plenamente todas as ferramentas da autorregulação. Por meio desse processo de aprendizagem pautada no princípio da autorregulação, contribui-se para o desenvolvimento de habilidades e competências fundamentais para o aprender-a-aprender, o aprender-a-conhecer, o aprender-a-fazer, o aprender-a-conviver e o aprender-a-ser. A elaboração destas atividades foi conduzida pela Diretoria de Articulação Curricular, da Superintendência Pedagógica desta SEEDUC, em conjunto com uma equipe de professores da rede estadual. Este documento encontra-se disponível em nosso site www.conexaoprofessor.rj.gov.br, a fim de que os professores de nossa rede também possam utilizá-lo como contribuição e complementação às suas aulas. Estamos à disposição através do e-mail [email protected] para quaisquer esclarecimentos necessários e críticas construtivas que contribuam com a elaboração deste material. Secretaria de Estado de Educação 2 Caro aluno, Neste caderno, você encontrará atividades diretamente relacionadas a algumas habilidades e competências do 2º Bimestre do Currículo Mínimo de Matemática do 6º Ano do Ensino Fundamental. Estas atividades correspondem aos estudos durante o período de um mês. A nossa proposta é que você, Aluno, desenvolva estas atividades de forma autônoma, com o suporte pedagógico eventual de um professor, que mediará as trocas de conhecimentos, reflexões, dúvidas e questionamentos que venham a surgir no percurso. Esta é uma ótima oportunidade para você desenvolver a disciplina e independência indispensáveis ao sucesso na vida pessoal e profissional no mundo do conhecimento do século XXI. Neste caderno de atividades, vamos continuar estudando os números naturais e estudaremos, em geometria, a posição das linhas retas. Os únicos pré-requisitos para a leitura desse módulo são as habilidades básicas que você já aprendeu sobre números naturais e sobre ponto, reta e plano. Na primeira parte, vamos calcular potências e raízes quadradas exatas de números naturais. Você irá aprender sobre números primos, máximo divisor comum (m.d.c.) e mínimo múltiplo comum (m.m.c.). Por fim, vamos compreender os diferentes posicionamentos de duas linhas retas e a sua importância na localização em objetos, o que torna esse capítulo muito importante em nosso cotidiano. Este documento apresenta 06 (seis) aulas. As aulas são compostas por uma explicação base, para que você seja capaz de compreender as principais ideias relacionadas às habilidades e competências principais do bimestre em questão, e atividades respectivas. Leia o texto e, em seguida, resolva as atividades propostas. As atividades são referentes a dois tempos de aulas. Para reforçar a aprendizagem, propõese, ainda, uma pesquisa e uma avaliação sobre o assunto. Um abraço e bom trabalho! Equipe de Elaboração 3 Sumário Introdução ................................................................................................ 03 Aula 01: Potências com Expoentes e Bases Naturais ................................ 05 Aula 02: Raiz Quadrada de Números Naturais .......................................... 11 Aula 03: Números Primos ......................................................................... 14 Aula 04: Máximo Divisor Comum (M.D.C.) ............................................... 20 Aula 05: Mínimo Múltiplo Comum (M.M.C.) ........................................... 24 Aula 06: Posições Entre Duas Linhas Retas ............................................... 29 Avaliação ............................................................................................... 33 Pesquisa ................................................................................................. 36 Referências: ............................................................................................. 38 4 Aula 1: Potências com expoentes e bases naturais. Caro aluno, nesta aula você vamos continuar o aprendizado sobre operações com números naturais. Agora vamos aprender o que são potências e como as calculamos. 1. POTÊNCIA DE UM NÚMERO NATURAL: Lembra quando estudamos as operações básicas com números naturais? Agora, imagine adições em que todas as parcelas são iguais, como por exemplo, 2 + 2 + 2 + 2. Note que, na verdade, esta adição poderia ser escrita em forma de multiplicação. Observe: ( 2 + 2 + 2 + 2 ) = 4 x 2 = 8. Da mesma forma que a soma de parcelas iguais dá origem a uma multiplicação, quando temos uma multiplicação de fatores iguais, definimos uma potenciação. 2 X 2 X 2 X 2 = 24 = 16 Lê-se: dois elevado à quarta potência. Onde: O fator que está sendo repetido chamaremos de base, neste caso, a base é 2. O número de vezes que o fator se repete, chamaremos de expoente. Note que o fator 2, foi multiplicado 4 vezes, logo o expoente será igual a 4. O resultado da operação de potenciação chamaremos de potência. 5 Vamos considerar agora a seguinte potência: Fique atento a algumas observações importantes: I. Todo número elevado ao expoente dois tem uma leitura especial. Então, se você vir escrito 32, poderá ler “três elevado à segunda potência”, mas geralmente o que se usa é “três elevado ao quadrado”. A mesma coisa acontece com os números elevados ao expoente três como, por exemplo: 23, que você poderá ler “dois elevado à terceira potência”, mas o usual é “cinco elevado ao cubo”. II. Se um número for elevado a um expoente maior que três, deve ser lido da seguinte forma: 64 = seis elevado a quarta potência, ou simplesmente seis elevado a quarta. 97 = nove elevado a sétima potência, ou simplesmente nove elevado a sétima. III. A potenciação requer alguns cuidados especiais. De acordo com as bases, temos algumas consequências bem interessantes: BASE ZERO: Quando elevamos o zero a qualquer expoente, sempre encontraremos como resultado o próprio zero. Exemplo: 02 = 0; 055 = 0; 0215 = 0 BASE UM: Quando elevamos o um a qualquer expoente, sempre encontraremos como resultado o próprio um. Exemplo: 12 = 1; 155 = 1; 1215 = 1 6 BASE DEZ: Quando elevamos a base dez a um expoente, sempre encontraremos como resultado a unidade, seguida de tantos zeros quanto for o valor de seu expoente. Exemplo: 102 = 100; 13 = 1.000; 14 = 10.000; 15 = 100.000 IV. De acordo com os expoentes, temos: EXPOENTE 1: Todo número elevado a um é igual a ele mesmo. Exemplo: 21 = 2; 31 = 3; 101 = 10; 151 = 15 EXPOENTE 0: Todo número, diferente de zero, elevado a zero é igual a um. Exemplo: 20 = 1; 50 = 1; 200 = 1; 1350 = 1 Entendeu? Então, agora estudar alguns exemplos para compreender melhor o cálculo das potências. a) (4)2 = 4 x 4 = 16 b) (5)3 = 5 x 5 x 5 = 125 c) (2)5 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32 d) (0)6 = 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 = 0 e) (1)2 = 1 x 1 = 1 f) (3)0 = 1 g) (10)1= 10 h) (10)4= 10 x 10 x 10 x 10 = 10.000 Agora que você já aprendeu como resolver potências, antes de começarmos uma nova aula, que tal você aprender três importantes propriedades da potenciação? 7 2. PROPRIEDADES DAS POTÊNCIAS: 1ª PROPRIEDADE: Multiplicação de potências de mesma base. Repetimos a base e somamos os expoentes. Exemplo: 52 . 54 = 52+4 = 56 35 . 32 . 34 = 35+2+4 = 311 2ª PROPRIEDADE: Divisão de potências de mesma base. Repetimos a base e subtraímos os expoentes. Exemplo: 58 : 52 = 58 ─ 2 = 56 1012 : 104 = 1012 ─ 4 = 108 3ª PROPRIEDADE: Potência de uma potência. Repetimos a base e multiplicamos um expoente pelo outro. Exemplo: (62)4 = 62 . 4 = 68 (106) 2 = 106 . 2 = 1012 Nos exemplos a seguir, note que usamos as propriedades da potenciação para simplificar e resolver as potências: a) (52. 54) = 52+4 = 56 c) (109: 103) = 109 ─ 3 = 106 d) (32)6 = 32 x 6 = 312 Agora que já estudamos tudo relacionado às potências, tenha atenção para um detalhe muito importante: quando tivermos uma operação dentro de um parêntese elevada a alguma potência, deve-se primeiramente efetuar o cálculo dentro dos parênteses e, em seguida, calcular a potência. ( 2 + 3 )2 2 2 + 3 2 Então, fique atento à dica a seguir: 8 I − Observe os cálculos separadamente: ( 2 + 3 )2 = 52 = 25 22 + 32 = 4 + 9 = 13 Logo, 25 13. Então que tal treinar as regras que você acabou de aprender? Vamos lá! Atividade 1 01. Sendo 43 = 64, responda: a) Quem é a base? ___________________ b) Quem é o expoente?__________________ c) Quem é a potência? __________________ 02. Complete a tabela, conforme o modelo: Base 5 6 2 3 1 Expoente 3 2 4 5 10 Potência 53 = 125 Leitura 5 elevado ao cubo é igual a 125 03. Correlacione: ( a ) 32 ( ) 100 ( b ) 19 ( ) 49 ( c ) 104 ( )0 ( d ) 72 ( )1 ( e ) 34 ( ) 125 ( f ) 53 ( )9 ( g ) 06 ( ) 10.000 ( h ) 102 ( ) 81 http://turmadaprofejanete.blogspot.com.br 9 04. Utilizando as propriedades da potenciação, simplifique as sentenças abaixo: a) (27. 25) = b) (50. 51) = c) (79: 73) = d) (121 : 120) = e) (37)3 = f ) (105)6 = 10 Aula 2: Raiz Quadrada de Números Naturais Caro aluno, você viu na aula anterior que existem números naturais que representam os quadrados de outros números naturais. Nesta aula, estudaremos um pouco sobre as operações que envolvem esses números. Vamos lá! 1. QUADRADOS PERFEITOS: São números que são quadrados de outro número. Esses números são chamados de quadrados perfeitos. Observe os quadrados perfeitos a seguir: 02 = 0 x 0 = 0; 12 = 1 x 1 = 1; 22 = 2 x 2 = 4; 32 = 3 x 3 = 9; 42 = 4 x 4 = 16; 52 = 5 x 5 = 25; 62 = 6 x 6 = 36; ... 2. RAIZ QUADRADA: Todos os números quadrados perfeitos possuem raiz quadrada exata, observe: 36 =6 Se 6 elevado ao quadrado é 36 , dizemos que 6 é a raiz quadrada exata do número 36. Sendo assim, podemos dizer que o número 36 é um quadrado perfeito, ou seja, é um número que possui uma raiz quadrada exata. 11 Note que a radiciação é a operação inversa da potenciação, veja nos exemplos a seguir: = 0, pois (0)2 = 0 = 1, pois (1)2 = 1 = 2, pois (2)2 = 4 = 3, pois (3)2 = 9 = 4, pois (4)2 = 16 E assim por diante. Fonte: http://mauriciomunhoz6ano.blogspot.com.br OBSERVAÇÃO: Nem todos os números naturais são quadrados perfeitos, o número 45, por exemplo, não possui raiz quadrada exata, porque ele não é um número quadrado perfeito, ou seja, nenhum número elevado ao quadrado tem como resultado 45. Vamos exercitar um pouco sobre o que você acabou de aprender? Resolva as atividades a seguir e qualquer dúvida retorne aos exemplos acima! Atividade 2 01. Descubra o número que: a) elevado ao quadrado dá 9: b) elevado ao quadrado dá 25: c) elevado ao quadrado dá 49: d) elevado ao quadrado dá 1: 02. Quanto vale x ? 12 a) x2 = 9 X = _______ b) x2 = 81 X = _______ c) x2 = 1 X = _______ d) x2 = 16 X = _______ e) x2 = 100 X = _______ 03. Determine a raiz quadrada: a) = e) = = b) = f) c) = g) d) = h) = = 04. Vamos treinar o teu raciocínio? Então pense e responda: Um terreno quadrado, conforme mostra a figura abaixo, tem área igual a 196 metros quadrados. Sabendo-se que no quadrado todos os lados têm a mesma medida, quanto mede cada lado desse terreno? 13 Aula 3: Números Primos Você já aprendeu no primeiro bimestre a fazer divisões com números naturais. Mas você sabia que existem alguns números naturais que só são divisíveis por 1 e por ele mesmo? Então, nesta aula iremos aprender sobre os números naturais que têm apenas dois divisores diferentes: 1 e ele mesmo. Esses números são chamados de números primos. 1 – NÚMEROS PRIMOS: Como já explicamos acima, os números primos são números que possuem apenas dois divisores. Vamos conhecer alguns exemplos: 2 O número 2 tem apenas os divisores: 1 e 2, portanto 2 é um número primo. 17 O número 17 só pode ser dividido por 1 e 17, ou seja possui apenas dois divisores, portanto 17 é um número primo. IMPORTANTE: O número 1 não é um número primo, porque ele tem apenas um divisor que é ele mesmo. O número 2 é o único número primo que é par. Os números que têm mais de dois divisores são chamados números compostos. O número 10 têm os seguintes divisores: 1, 2, 5 e 10. Então, 10 não é um número primo e sim um número composto. 14 1.1 ─ COMO RECONHECER UM NÚMERO PRIMO? Mas como podemos descobrir se um número é ou não primo? Para você saber se um número é primo ou não, basta dividir esse número pelos números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... até que tenhamos: 1°. Uma divisão com resto zero e neste caso o número não é primo, 2°. Uma divisão com quociente menor que o divisor e o resto diferente de zero. Neste caso o número é primo. Vamos estudar alguns exemplos? EXEMPLO 01: Pense no número 161! Para descobrir se este número é, ou não, primo, vamos dividi-lo pelos números primos: 2, 3, 5, 7,... Este número não é par, portanto, não é divisível por 2; Somando seus termos 1+6+1, obtemos 8, portanto não é divisível por 3; Não termina em 0, nem em 5, portanto não é divisível por 5; 161 7 = 23, com resto zero, logo 161 é divisível por 7, então, não é um número primo. Como o número 161, possui um divisor diferente de 1 e ele mesmo, já podemos afirmar que este número não é primo. Ou seja, o número 161, possui pelo menos 3 divisores: D(161) = { 1, 7, ..., 161 } EXEMPLO 02: Vamos testar agora o número 113? Utilizaremos o mesmo procedimento anterior, vamos dividir o numero por 2, 3, 5, 7, ... Este número não é par, portanto não é divisível por 2; Somando seus termos: 1+1+3, obtemos 5, portanto não é divisível por 3; O número não termina em 0, nem em 5, portanto não é divisível por 5; 15 Na divisão por 7, temos resto 1 e quociente 16. 113 7 = 16, com resto 1. O quociente (16) é maior que o divisor (7). 113 11 = 10, com resto 3. O quociente (10) é menor que o divisor (11), portanto não precisamos continuar com as divisões, e, além disso, o resto da divisão é diferente de zero (o resto vale 3), portanto 113 é um número primo. Para facilitar o estudo dos números primos, vamos apresentar abaixo a tabela com os números primos de 1 a 100: Fonte: http://www.brasilescola.com/matematica/numeros-primos.htm 1.2 ─ DECOMPOSIÇÃO EM FATORES PRIMOS: Todo número natural, maior que 1, pode ser decomposto em um produto de dois ou mais fatores. Você lembra o que quer dizer produto? E fator? Então, vamos recordar: 1 2 Fator X 3 Fator 3 6 Produto Observe a decomposição do número 48 em um produto de fatores primos. 16 48 24 12 6 3 1 2 2 2 2 3 48 = 2 x 2 x 2 x 3 = 24 x 3 Denominamos fatoração de 48 a decomposição de 48 em um produto de fatores primos. De um modo geral, chamamos de fatoração de um número natural, maior que 1, a sua decomposição num produto de fatores primos. 1.2 – REGRA PRÁTICA PARA FATORAÇÃO: Vamos explicar com mais detalhes o cálculo apresentado acima!Este dispositivo prático para fatorar um número é muito fácil de ser compreendido. Acompanhe, o passo a passo para montar esse dispositivo. Vamos usar como exemplo o número 630. 1º PASSO: Dividimos o número 630 pelo seu menor divisor primo, o número 2. Então temos que 630 2 = 315; 2º PASSO: Como 315 não pode ser dividido por 2, dividimos o quociente obtido pelo menor divisor primo desse quociente, o número 2. E assim sucessivamente até obtermos o quociente 1. 17 315 3 = 105 105 3 = 35 35 5 = 7 77=1 Então 630 = 2 x 3 x 3 x 5 x 7. Escrevendo em forma de potência e unindo os fatores repetidos, temos: 630 = 2 x 32 x 5 x 7. Para você fixar bem as explicações acima, vamos ver alguns exemplos de decomposição em fatores primos utilizando-se o dispositivo prático. a) 32 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 25 b) 540 = 2 x 2 x 3 x 3 x 3 x 5 = 22 x 33 x 5 32 16 8 4 2 1 2 2 2 2 2 540 270 135 45 15 5 1 2 2 3 3 3 5 Agora é a sua vez. Vamos aplicar o que você acabou de aprender. Você consegue! Atividade 3 01. Na figura ao lado, há um o diálogo entre os números naturais 5 e 7. A explicação matemática para a utilização da palavra “primo” por esses números é: 18 (A) Eles são apenas números ímpares. (B) Ambos são múltiplos de 35. (C) Ambos tem dois divisores 1 e ele mesmo. (D) Os dois números juntos formam o número primo 57. 02. Com base no que você aprendeu, responda: a) Quando um número é divisível por 2? _______________________________________________________________________ b) Quando um número é divisível por 3? _______________________________________________________________________ c) Quando um número é divisível por 5? _______________________________________________________________________ 03. Verifique se os números abaixo são números primos: a) 71 b)123 c) 171 d) 157 04. Usando o dispositivo prático, decomponha os números abaixo em fatores primos: a) 58 = b) 145 = c) 360 = d) 782 = 19 Aula 4: Máximo Divisor Comum (M.D.C.) Agora que você já aprendeu a realizar a decomposição e fatoração em números primos, vamos utilizar esses conceitos para descobrir se um número natural é divisor de outro número natural. No entanto, antes de iniciarmos o estudo sobre o máximo divisor comum entre dois ou mais números naturais, precisamos relembrar o que é divisor de um número. Então, vamos lá! 1. MÁXIMO DIVISOR COMUM: Todo número natural possui divisores, isto é, se ao dividirmos um número A pelo número B e obtermos resto zero podemos afirmar que B é divisor de A. Viu como é simples? Observe alguns exemplos a seguir: 12 é divisível por 2, pois 12 2 é igual a 6, com resto 0. 35 é divisível por 5, pois 35 5 é igual a 7, com resto 0. Podemos concluir então, que 2 e 5 são divisores de 12 e 35, respectivamente. Lembrou de como identificamos os divisores de um número? Vamos ver mais alguns exemplos: D(12) = { 1, 2, 3, 4, 6, 12 } D(15) = { 1, 3, 5, 15 } D(21) = { 1, 3, 7, 21 } Desse modo, o MDC entre dois ou mais números é o maior divisor comum a eles. Retornando ao exemplo acima, observe que o MDC ( 12, 15, 21 ) é 3. Observe: D(12) = { 1, 2, 3, 4, 6, 12 } D(15) = { 1, 3, 5, 15 } D(21) = { 1, 3, 7, 21 } 20 Observe que 12, 15, e 21 têm dois divisores em comum, o 1 e o 3, porém o maior divisor comum aos três números é o 3. 1.1. PROCESSO PRÁTICO PARA A OBTENÇÃO DO MÁXIMO DIVISOR COMUM: Vamos aprender agora, um método prático para encontrar o m.d.c. entre 18, 24 e 54. Primeiramente iremos fazer a fatoração desses números. Você lembra como faz a fatoração? Basta fatorarmos todos os números simultaneamente. Observe: Você observou que os números destacados em azul estão dividindo os três números ao mesmo tempo? Então devemos realizar uma multiplicação entre eles para descobrirmos o máximo divisor comum. MDC (18, 24, 54) = 2 x 3 = 6 Não se esqueça de que quando dois ou mais números apresentam como único divisor comum o número 1, esses números são chamados de Números Primos entre si. Por exemplo, vamos ver se os números 16 e 45 são números primos entre si? Para isso, vamos calcular os divisores de cada um dos números: D(16) = 1, 2, 4, 8, 16 D(45) = 1, 3, 5, 9, 15, 45 Note que o único divisor comum entre os números 16 e 45 é o número 1. Logo, o m.d.c. (16,45) = 1. Então, podemos dizer que os números 35 e 21 são números primos entre si. 21 Que tal realizar algumas atividades para fixar o que você acabou de ver sobre os divisores e sobre m.d.c.? Então, vamos lá! Atividade 4 01. Siga o exemplo e complete o quadro abaixo: ÷ 15 18 20 24 32 48 60 2 9 10 12 16 24 30 3 4 5 6 02. Determine: a) Os divisores de 36: b) Os divisores de 42: c) Os divisores comuns dos números 36 e 42: d) O maior divisor comum entre 36 e 42: 03. Calcule utilizando o máximo divisor comum utilizando o método prático: a) m.d.c.(2,9,12)= b) m.d.c.(15,20,25)= c) m.d.c.(16,24,32)= 22 04. Num colégio, todas as turmas do 6º Ano vão participar dos jogos de matemática. Na competição, irão participar 30 meninos e 18 meninas que serão divididos em equipes de meninos contra meninas. Quantas equipes, só de meninos e só de meninas, podemos formar de modo que todas as equipes tenham o mesmo número de componentes e sejam formadas pelo maior número possível de participantes? http://4anoriobranco.blogspot.com.br 23 Aula 5: Mínimo Múltiplo Comum (M.M.C.) Caro aluno, vamos dar continuidade ao nosso estudo abordando mais um tema básico da Matemática, o mínimo múltiplo comum. Esse assunto está presente em diversos campos da matemática e podemos relacioná-lo a diversos problemas do dia a dia. 1. MÚLTIPLO DE UM NÚMERO NATURAL: Se a divisão de um número natural por outro tiver resultado exato, ou seja, o resto da divisão sempre igual a zero, então temos podemos dizer que um é múltiplo do outro. Ficou confuso? Observe, como exemplo, o número 32. Note que 32 é divisível por 2, pois 32 2 = 16, com resto zero. Então podemos dizer que 32 é múltiplo de 2. Da mesma forma, temos que 32 também é múltiplo de 1, 4, 8, 16, 32. Agora, se o objetivo for calcular os múltiplos de um determinado número, multiplicaremos esse número por todos os números naturais. Por exemplo, os múltiplos de 3 são: 3 x 0= 0 3x1=3 3x2=6 3x3=9 3 x 4 = 12 3 x 5 = 15 ... Não esqueça que um número tem infinitos múltiplos, por isso devemos usar, sempre no final da sequência, as reticências (...).Lembre-se, também, de que zero será sempre múltiplo de qualquer número natural. 24 Bom, agora que você já sabe o que é múltiplo de um número natural, podemos começar a ver o que é mínimo múltiplo comum, que conhecemos pela sua abreviatura (m.m.c.). 2. MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (M.M.C.): Dois ou mais números naturais sempre terão números que serão múltiplos comuns a eles. Para exemplificar este conceito, vamos calcular os múltiplos comuns dos números 3 e 5. Primeiro, vamos achar os múltiplos de 3 e de 5 em separado. Observe: M(3) = 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45, ... M(5) = 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, ... Note que alguns múltiplos são comuns aos dois números. Com exceção do zero, o menor múltiplo comum entre 3 e 5 é o número 15. Então, chamamos o 15 de mínimo múltiplo comum (m.m.c.) entre 3 e 5. 1.1 - CÁLCULO DO M.M.C.: Caro aluno, você poderá calcular o m.m.c. de dois ou mais números utilizando a fatoração, assunto que já estudamos na aula 3, ou pelo método da decomposição simultânea. Preste atenção em cada passo dos métodos apresentados a seguir: I - CÁLCULO COM A UTILIZAÇÃO DA FATORAÇÃO: No exemplo abaixo, vamos calcular o m.m.c. de 12 e 18 utilizando a fatoração. Para isso, vamos decompor cada um desses números em fatores primos. 12 = 2 X 2 X 3 18 = 2 X 3 X 3 Logo, o m.m.c. (12,18) = 2 X 2 X 3 X 3 = 36 25 Note que o m.m.c. de dois ou mais números, é o produto dos fatores comuns e não comuns a eles. II. PROCESSO DA DECOMPOSIÇÃO SIMULTÂNEA: Neste processo, você irá decompor em fatores primos todos os números ao mesmo tempo. O produto dos fatores primos obtidos nessa decomposição é o m.m.c. desses números. No exemplo abaixo, iremos calcular o m.m.c. de 15, 24 e 60. Logo, o m.m.c.(15, 24, 60) = 2 X 2 X 2 X 3 X 5 = 23 X 3 X 5 = 8 X 3 X 5 = 120 1.2 - PROPRIEDADES DO M.M.C.: Entre os números 3, 6 e 30, o número 30 é múltiplo dos outros dois. Neste caso, 30 é o m.m.c.(3,6,30). Observe: m.m.c.(3,6,30) = 2 x 3 x 5 = 30 26 Dados dois ou mais números, se um deles é múltiplo de todos os outros, então ele é o m.m.c. dos números dados. Considere que os números 4 e 15, são primos entre si (números onde o único divisor comum a eles é o número 1). Temos que o m.m.c. (4, 15) é igual a 60, ou seja, é igual ao produto de 4 por 15. Observe: m.m.c.(4,15) = 2 x 2 x 3 x 5 = 60 Dados dois números primos entre si, o m.m.c. deles é o produto desses dois números. Agora que já você já estudou alguns dos principais conceitos relacionados ao mínimo múltiplo comum, vamos exercitar o que você aprendeu! Atividade 5 01. Realize a decomposição do nº 48 pelo processo de fatoração sucessiva e complete os quadradinhos com os números que faltam: 27 02. Determine: a) Os 10 primeiros múltiplos do número 6: b) Os 10 primeiros múltiplos do número 8: c) Os três primeiros múltiplos comuns dos números 6 e 8: d) O menor múltiplo comum entre 6 e 8, diferente de zero: 03. Calcule pelo processo da decomposição simultânea: a) m.m.c.(2,10) = b) m.m.c.(3,18) = c) m.m.c.(5,20) = 04. Um casal está subindo uma escada que tem 28 degraus. Ela está subindo essa escada de 2 em 2 degraus e ele está subindo de 3 em 3 degraus. Responda: a) Algum deles vai pisar no 16º degrau? Quem? b) Algum deles vai pisar no 12º degrau? Quem? c) Algum deles vai pisar no 11º degrau? Quem? d) Quais serão os degraus pisados pelos dois juntos? Fonte: http://carrilhofarias.blogspot.com.br 28 Aula 6: Posições Entre Duas Linhas Retas Agora chegou a hora de estudarmos um pouco de geometria. Durante essa aula, estudaremos a linhas retas. Mas o que é uma reta? Entre as várias definições, podemos dizer que a reta é um elemento geométrico de comprimento infinito, com apenas uma dimensão. Conheça alguns tipos de pares de retas, ou seja, como duas retas podem se apresentar : 1. RETAS COINCIDENTES: São retas que possuem todos os pontos comuns. r s rs 2. RETAS PARALELAS: Duas retas são paralelas quando mantém sempre a mesma distância entre elas durante toda sua extensão e não possuírem ponto em comum. As retas paralelas nunca se cruzam. r s r//s ou r ∩ s = Ø 29 3. RETAS CONCORRENTES: Duas retas são concorrentes se, e somente se, possuírem um ponto em comum. 4. RETAS PERPENDICULARES: Duas retas são perpendiculares se possuírem um ponto comum e nesse encontro for formado um ângulo de 90°. r r s ou s 5 ─ RETAS COPLANARES: Duas retas são coplanares quando estão contidas em um mesmo plano. s r 30 Observe a figura abaixo onde podemos encontrar vários tipos de retas. Vamos analisar alguns pares de retas localizadas nesta figura: x y q r s t as retas x e y são: paralelas as retas r e s são: coincidentes as retas x e q são: concorrentes as retas y e t são: perpendiculares as retas s e t são: paralelas Agora é a sua vez de tentar, vamos lá? Atividade 6 01. Observe a figura abaixo e complete de acordo com a posição entre as retas: r s t v y z 31 a) as retas r e t são: ______________________________ b) as retas s e v são: ______________________________ c) as retas t e z são: ______________________________ d) as retas y e z são: ______________________________ 02. As retas abaixo são perpendiculares? Justifique a sua resposta: _______________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ 03. Localize, na figura abaixo, duas retas paralelas e duas retas perpendiculares. 04. Desenhe duas retas coplanares: 32 Avaliação Agora chegou o momento de avaliar tudo que você estudou neste bimestre, através das nossas aulas. Leia cada uma das questões e faça os exercícios com atenção. Vamos tentar? 01. Na potenciação 23 = 8, o algarismo 3 representa: (A) a base (B) a raiz. (C) o expoente. (D) a potência. (E) o produto. 02. Utilizando as propriedades da potenciação, o resultado da sentença (56 53) é: (A) 25 (B) 5 (C) 125 (D) 10 (E) 15 03. Na potência 5x = 1, x vale: (A) 1 (B) 5 (C) 0 (D) 2 (E) 10 33 04. A raiz quadrada de é: (A) 100 (B) 2 (C) 1 (D) 10 (E) 20 05. Dentre os números abaixo, o único número primo é o número: (A) 2 (B) 8 (C) 12 (D) 14 (E) 15 06. O m.d.c. entre 12, 16, 20 é: (A) 6 (B) 12 (C) 2 (D) 4 (E) 1 07. No processo da decomposição do nº 24 pelo processo de fatoração sucessiva, a opção que representa a última linha formada nos quadradinhos abaixo é: 34 (A) 2 x 2 x 2 x 2 (B) 2 x 2 x 2 x 3 (C) 2 x 2 x 3 x 3 (D) 2 x 3 x 3 x 3 (E) 3 x 3 x 3 x 3 8. As retas em destaque na figura abaixo são: (A) Perpendiculares. (B) Concorrentes. (C) Coincidentes. (D) Paralelas. ( E) Conseqüentes. 35 Pesquisa Caro aluno, agora que já estudamos todos os principais assuntos relativos ao 1° bimestre, é hora de pesquisar e descobrir curiosidades sobre os assuntos abordados. Então, vamos lá! I − Você já ouviu falar em números perfeitos e números amigos? Não? Então pesquise e responda abaixo o que são números perfeitos e números amigos. _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ II − Você sabia que o símbolo de raiz (√) foi usado pela primeira vez em 1.525 num livro do matemático alemão Christoph Rudolff? Provavelmente esse símbolo na verdade representava a letra “r”, que é a primeira letra da palavra radix, que significa raiz em alemão. Mais de cem anos depois foi introduzido neste símbolo o traço que deixou o símbolo como usamos até hoje ( ). Em que ano o traço foi introduzido no símbolo de raiz e quem promoveu essa modificação? _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ III − A Terra leva um ano para dar uma volta completa em torno do Sol. Essa volta dura exatamente 365 dias, 5 horas, 48 minutos e 46,7 segundos. Arredondando, teremos 365 dias e 6 horas. Como em nosso calendário, um ano tem 365 dias, a cada ano sobram 6 horas. Então, a cada 4 anos (4 anos X 6 horas = 24 horas = 1 dia) temos 1 dia a mais, ou seja, um ano de 366 dias. Esse ano é chamado de bissexto e esse dia a mais 36 é o dia 29 de fevereiro. Para saber se um ano é bissexto devemos verificar se o seu número é divisível por 4. Por exemplo: 2012 foi um ano bissexto, pois o número 2012 é divisível por 4. Faça as contas e anote os próximos dez anos bissextos. ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ IV − Na foto abaixo, há exemplos de retas paralelas, perpendiculares e concorrentes. Tente localizá-las. V − No link http://www.youtube.com/watch?v=S6cP_E7dlLg está disponível um vídeo que mostra a posição das retas no espaço. Assista ao vídeo e desenhe abaixo o exemplo dado sobre retas reversas. 37 Referências [1] Bosquilha, Alessandra. Mini-manual compacto de matemática: teoria e Prática. 2 ed. São Paulo: Rideel, 2003. [2] Dante, Luiz Roberto. Tudo é Matemática. Volume 1, 3 ed. São Paulo: Ática, 2003. [3] Ferreira, Marcus Vinicius Reis. Geometria Analítica e Espacial. 1 ed. Rio de Janeiro, 2004. [4] Giovanni, José Ruy, 1937 – A conquista da matemática. Volume 1, Edição renovada. São Paulo: FTD, 2007. [5] Bianchini, Edwaldo – Matemática. 7 ed. São Paulo: Moderna, 2011. [6] Site www.youtube.com.br 38 Equipe de Elaboração COORDENADORES DO PROJETO Diretoria de Articulação Curricular Adriana Tavares Mauricio Lessa Coordenação de Áreas do Conhecimento Bianca Neuberger Leda Raquel Costa da Silva Nascimento Fabiano Farias de Souza Peterson Soares da Silva Ivete Silva de Oliveira Marília Silva COORDENADORA DA EQUIPE Raquel Costa da Silva Nascimento Assistente Técnico de Matemática PROFESSORES ELABORADORES Ângelo Veiga Torres Daniel Portinha Alves Fabiana Marques Muniz Herivelto Nunes Paiva Izabela de Fátima Bellini Neves Jayme Barbosa Ribeiro Jonas da Conceição Ricardo Reginaldo Vandré Menezes da Mota Tarliz Liao Vinícius do Nascimento Silva Mano Weverton Magno Ferreira de Castro 39
