Primeira Avaliação de Geometria Euclidiana Plana (MBA e MLI- Noturno)20/09/2016. Professor: Fernando Micena. 1a) (1,0 ponto) Seja r uma reta no plano. Mostre que se s é paralela a r, então s está contida inteiramente em um dos semi-planos determinados por r. Solução: Devemos mostrar que todos os pontos de s encontram-se do mesmo lado em relação a r. De fato, suponha que existam A e B, pontos em s, em lados opostos em relação a r. Se isto acontecer, pelo postulado de separação do plano, o segmento AB cortaria r e assim r e s seriam concorrentes. 1b)(1,5 pontos) Seja o triângulo ABC. Mostre que se B-P-C então P é ponto interno do ângulo BÂC. Solução: Sejam r a reta suporte do segmento AC [a reta passando pelos pontos A e C], s a reta suporte do segmento AB e t a reta suporte do segmento BC. Se B e P estivessem em lados opostos em relação a r, então o segmento BP cortaria r em um ponto X, tal que B-X-P. Como t corta r apenas em C, teríamos X = C e com isto B-C-P, o que contradiz a hipótese B-P-C. Portanto B e P estão do mesmo lado em relação a r. Analogamente C e P estão do mesmo lado em relação a s. Logo pela definição de ponto interno a um ângulo, P é ponto interno de BÂC. 2a) (1,0 ponto) Seja o segmento de reta BC e P um ponto equidistante de B e C. Mostre que se uma reta r é perpendicular a BC e passa por P, então r é a mediatriz do segmento BC. Solução: Seja m a mediatriz do segmento BC. Em particular P é um ponto de m e m é perpendicular ao segmento BC. A reta r compartilha destas mesmas propriedades, isto é, contém o ponto P e é perpendicular ao segmento BC. Por outro lado, existe apenas uma reta perpendicular a BC e passando por P. Como r e m tem estas propriedades, e tais propriedades determinam uma única reta, segue que r = m. 2b) (1,5 pontos) Dado o triângulo ABC. Supunha que a mediana passando por A coincide com a bissetriz de Â. Mostre que ABC é isósceles. Solução: Sejam M o ponto médio do lado BC e suponha que a mediana AM seja bissetriz de A. No semi-plano determinado pela reta suporte de BC e que não contém A, considere o ponto A' tal que A-M-A' e AM = A'M. [veja figura abaixo] Os ângulos A^MB e A'^MC são opostos pelo vértice logo são congruentes. Como AM = A'M e BM = MC, segue que os triângulos A'MC e AMB são congruentes por L.A.L, em parcular A'C = AB. Como AM é bissetriz de Â, temos CÂM = BÂM = CÂ'M, esta última igualdade segue da congruência entre os triângulos A'MC e AMB. Sendo assim, os lados opostos aos ângulos CÂ'M e CÂM do triângulo ACA' são congruentes, isto é AC = A'C e A'C= AB (vide acima), donde AC = AB e concluímos que o triângulo ABC é isósceles. 3a) (1,0 ponto) Sabendo que os triângulos ABC e EDC são congruentes, calcule os valores de x e y conforme indicado na figura ao lado, bem como a razão entre os perímetros dos dois triângulos. Solução: Usando a correspondência natural da congruência DE = AB, disto temos 3y – 5 = 35, logo y = 40/3. Também BC = CD, e com isto 2x – 6 = 22, logo x = 14. Como os triângulos são congruentes, então lados correspondentes são congruentes, logo ambos tem o mesmo perímetro e a razão pedida é 1. 3b) (1,5 pontos) Na figura abaixo AR = AH e RF = BH. Mostre que AB = AF. Solução: Como AR = AH, o triângulo ARH é isósceles, logo os ângulos A^RH e A^HR são congruentes. Temos por hipótese: RF = BH , isto é RB + BF = BF + FH , logo RB = FH. Finalmente por L.A.L os triângulos BRA e FHA são congruentes, e portanto AB = AF. 4a) (1,0 ponto) Seja P um ponto interior à região limitada por um triângulo ABC. Mostre que PB + PC < AB + AC. [Dica: Veja a figura abaixo.] Solução: Conforme a figura acima, aplicando a desigualdade triangular ao triângulo ABQ temos: AB + AQ > PB + PQ (I) aplicando a desigualdade triangular a triângulo PQC, temos: QC + PQ > PC (II) somando as desigualdades (I) e (II) obtemos: AB + (AQ + QC) + PQ > PB + PC + PQ, AQ + QC = AC. Logo AB + AC > PB + PC 4b) (1,5 pontos) Seja ABC um triângulo. Considere L a soma dos comprimentos das medianas de ABC e P = AC + AB + BC (o perímetro do triângulo ABC). Mostre que P/2 < L < P. [Dica: Para a para a desigualdade P/2 < L, use o fato de que as medianas se interseccional em um único ponto. Para a desigualdade L < P, comece inicialmente considere AM a mediana relativa ao vértice A. Prolongue o segmento AM até o ponto A' tal que AM = A'M. Analise o triângulo ACA' obtido.] Solução: Mostremos inicialmente P/2 < L. Seja G o comum às três medianas. Aplicando a desigualdade triangular nos triângulos GBC, GCA e GAB, temos: GB + GC > BC GC + GA > AC GA + GB > AB somando as desigualdades acima, obtemos 2(GB + GA + GC ) > AB + AC + BC = P. Também sabelos que L > GB + GA + GC, finalmente : 2L > P ou P/2 < L. Para a desigualdade, L < P, consideraremos inicialmente uma construção análoga ao exercício 2b) Da mesma forma como fizemos, os triângulos A'M C e AMB são congruentes por L.A.L. Aplicando a desigualdade triangular ao triângulo ACA' obtemos AC + A'C > AM + A'M ou equivalentemente AB + AC > 2AM (I). Seja BM' a mediatriz relativa ao vértice B. Com uma construção similar obtemos: AB + BC > 2BM' (II). Seja CM'' a mediatriz relativa ao vértice C. Com uma construção similar obtemos: AC + BC > 2CM'' (III) Somando as expressões (I), (II) e (III) obtemos 2(AB + AC + BC) > 2(AM + BM' + CM'') = 2L. 5)[1,5 ponto extra] Mostre que as três mediatrizes de um triângulo equilátero se intersecciom em um único ponto. Solução: Seja P o ponto de interseção das mediatrizes relativas a AC e AB. Temos: PA = PC e PB = PA , logo PC = PB, que mostra que P equidista de B e C, logo P está na mediatriz relativa a BC.