livro 1 de matematica aluno

Diálogos com a
Matemática
Ensino Fundamental - Parte I
Coordenador-Geral
Carlos Henrique Araújo
Coordenadora de Matemática
Margarida Rodrigues
Equipe de Matemática
Erondina Barbosa da Silva, José Messias Eiterer,
Daniel Simon, Mayra C. Rezende Simon
Ilustrações
Ivone Lyra , Gabriel Lyra, Felipe Lyra e
Leonardo Vasconcelos
Diagramação
Leonardo Vasconcelos
Brasília – DF
Editora
1
Dados Internacionais para Catalogação na Publicação (CIP)
_______________________________________________________________________________
C577
Araújo, Carlos Henrique Ferreira de
Coleção Diálogos com a Matemática: 5º Ano Ensino Fundamental I / Carlos Henrique F. de Araújo;
Margarida M. M. Rodrigues; Erondina B. da Silva; José Messias Eiterer; Daniel Simon, Mayra C.
Rezende Simon – Brasília, DF
Ensinart Editora, 2013. :il. – (Coleção Diálogos com a Matemática)
ISBN 978-85-60985-53-1 (Livro do Aluno)
1. Matemática – Estudo e ensino. I.
CDU 510
_______________________________________________________________________________
Coordenador - Geral
Carlos Henrique Araújo
Coordenadora de Matemática
Margarida Rodrigues
Equipe de Matemática
Erondina Barbosa da Silva, José Messias Eiterer,
Daniel Simon, Mayra C. Rezende Simon
Ilustrações
Ivone Lyra , Gabriel Lyra, Felipe Lyra e Leonardo Vasconcelos
Diagramação
Leonardo Vasconcelos
Todos os direitos reservados à
ENSINART EDITORA
Rua Afrânio de Melo Franco, 333 - Quitandinha - 25.651-000 – PETRÓPOLIS – RJ – BRASIL
Tel.: (24) 22423710 / Fax: (24) 22487384
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Impresso no Brasil
2019
(Apresentação)
Introdução
Prezado Aluno,
Este livro está associado a um programa que objetiva ajudar estudantes a aproveitarem
melhor o maravilhoso e útil mundo da
matemática.
Por trás de toda encantadora tecnologia,
Queridos
alunos
que já nos acostumamos, há muita matemática. Com ela se decifra o mundo das formas, estruturas e relações.
Convidamos você a ver a beleza e como é divertido resolver problemas usando matemática.
Como é útil para a vida saber matemática.
O livro se baseia na matriz pedagógica de matemática da Prova Brasil, avaliação nacional
da educação básica. No desenvolvimento dos trabalhos, você contará, em sala de aula, com
a orientação e a ajuda do professor, conhecedor do programa.
Na aplicação em sala de aula deste material didático, contando com professores abnegados, qualificados e experientes, seu esforço e dedicação, chegaremos ao objetivo almejado:
que é o de proporcionar a você os meios para usar a matemática para resolver problemas.
Bom estudo!
Carlos Henrique de Araújo
3
Sumário
13° ENCONTRO..............................105
MÚLTIPLOS E DIVISORES
14° ENCONTRO..............................115
1° ENCONTRO....................................5
HISTÓRIA DOS NÚMEROS
2° ENCONTRO..................................13
SISTEMA DE NUMERAÇÃO DECIMAL
3° ENCONTRO..................................21
DECOMPOSIÇÃO E COMPARAÇÃO DE
NÚMEROS NATURAIS
4° ENCONTRO..................................29
LOCALIZAÇÃO DE NÚMEROS NATURAIS
NA RETA NUMÉRICA
5° ENCONTRO..................................37
ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE NÚMEROS
NATURAIS
REVENDO AS QUATRO OPERAÇÕES
15° ENCONTRO..............................125
NÚMEROS RACIONAIS
16° ENCONTRO.............................133
FRAÇÃO IMPRÓPRIA E NÚMERO MISTO
17° ENCONTRO..............................143
COMPARAÇÃO E EQUIVALÊNCIA DE
FRAÇÕES
18° ENCONTRO..............................155
ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE FRAÇÕES
19° ENCONTRO..............................167
MULTIPLICAÇÃO DE FRAÇÕES
6° ENCONTRO..................................45 20° ENCONTRO..............................173
UM POUCO MAIS DE ADIÇÃO E
SUBTRAÇÃO DE NÚMEROS NATURAIS
7° ENCONTRO..................................55
AS IDEIAS DA ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO
NA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
8° ENCONTRO..................................63
RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS E AS
EXPRESSÕES NUMÉRICAS
9° ENCONTRO..................................71
MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS NATURAIS
10° ENCONTRO................................81
CONTINUANDO COM A MULTIPLICAÇÃO...
11° ENCONTRO................................91
DIVISÃO DE NÚMEROS NATURAIS
12° ENCONTRO................................99
UM POUCO MAIS DIVISÃO DE NÚMEROS
NATURAIS...
4
FRAÇÃO INVERSA E DIVISÃO DE
FRAÇÕES
1° ENCONTRO
História do número
Olá, amiguinho! Você sabia que...
H
ouve um tempo em que o homem vivia em cavernas e ainda não existiam símbolos para representar os números. Eles não sabiam contar ou comercializar, pois
não havia necessidade.
Acredita-se que, naquela época, um pastor de ovelhas, por exemplo, para controlar a
quantidade de animais utilizava pedrinhas, fazendo a correspondência um a um. Mas o que
significa isso? Pela manhã o pastor separava uma pedrinha para cada ovelha que era solta.
Ao anoitecer retirava do montinho, feito de manhã, uma pedrinha para cada ovelha que recolhesse. Se sobrassem pedrinhas, significava que estavam faltando umas ovelhas suas, mas
se faltassem pedrinhas, significava que havia umas ovelhas a mais e que não lhe pertenciam.
Isso é a correspondência um a um.
Mas isso era feito de maneira informal, sem qualquer registro. Com o tempo, o homem foi
sentindo a necessidade de registrar suas contagens. E foi assim que surgiu a escrita numérica.
5
Para contar o homem fazia riscos em pedaços de madeira ou em ossos, como mostra a figura
a seguir.
O osso de Ishango é considerado o mais antigo
vestígio de contagem. Trata-se de um osso de
aproximadamente 18.000 a 20.000 a.C com inscrições que sugerem o registro de contagem.
Esse osso está no Real Instituto Belga de
Ciências Naturais, em Bruxelas, na Bélgica.
Fonte: Disponível em: http://www.taneter.org/math.html. Acesso em 24dez2012.
Com o passar do tempo começaram a surgir comunidades mais organizadas com chefes
e divisão de trabalho. Foram surgindo diferentes formas de contar e surgiu uma necessidade
de padronizar a contagem. Essas comunidades organizadas formaram muitos anos depois
grandes civilizações com sistemas numéricos muito sofisticados.
SISTEMAS DE NUMERAÇÃO ANTIGOS
Vocês já ouviram falar da civilização egípcia? A civilização egípcia foi uma das primeiras
que surgiu na antiguidade, há aproximadamente 6000 anos e localizava-se às margens do rio
Nilo.
Veja, a seguir, o sistema de numeração egípcio.
6
Os números eram escritos combinando esses símbolos. Cada um dos símbolos podia ser
repetido no máximo nove vezes e seus valores eram somados. Vejam alguns exemplos:
= 33
= 120
1) Agora, observe o sistema de numeração egípcio e responda:
a) Ele tem zero? _________________________________________________________
b) Ele é posicional, ou seja, o valor do algarismo muda dependendo da posição que ele
ocupa no número? ___________________________________________________________
c) Pense. Com esse sistema dá para escrever qualquer número que você conhece?
______________________________________________________________________
Observe que na numeração egípcia, a posição não faz diferença, ou seja, um símbolo de
menor valor pode ficar à direita ou à esquerda de um símbolo de maior valor.
2) Descubra quais são os números representados a seguir.
a)
___________________________
b)
___________________________
c)
___________________________
Da mesma forma que o sistema de numeração egípcio, foram criados vários outros relativos a cada civilização.
Por meio desses símbolos, as civilizações antigas representavam quantidades. Veja
exemplos de alguns sistemas a seguir:
Babilônico:
Babilônico:
Maia:
Maia:
7
3) Conforme as informações de alguns sistemas de numeração antigos vistos, resolva
os exercícios a seguir.
a) O papiro é uma planta, que depois de tratada e prensada, era utilizada pelos egípcios
na escrita. Qual o número escrito no papiro abaixo?
______________________________________________________________________
b) A pirâmide de Quéops é a maior das três que formam o conjunto chamado de Pirâmides de Gizé, localizada no Egito. Sua altura é de 146 metros.
No sistema de numeração egípcio, a altura da pirâmide está representada corretamente
em
(A)
(B)
(C)
(D)
c) Represente o número 38 no sistema de numeração egípcio e babilônico.
Egípcio: _______________________________________________________________
Babilônico: _____________________________________________________________
8
d) Escreva um número representado no sistema de numeração babilônico e peça a um
colega para descobrir este número que você escreveu.
______________________________________________________________________
SISTEMA DE NUMERAÇÃO ROMANO
Desses antigos sistemas de numeração, o dos romanos ainda é utilizado por nós em
várias situações. Veja alguns exemplos:
O sistema de numeração romano é constituído por sete símbolos: I, V, X, L, C, D, M
Veja a simbologia no quadro a seguir:
Por ser um sistema de numeração mais complexo, ele possui algumas regras:
Os símbolos I, X, C e M podem ser repetidos, no máximo três vezes. Já os símbolos V,
L e D não podem ser repetidos.
III = 3
X = 10
XX = 20
XXX = 30
C = 100
CC = 200
CCC = 300
M = 1000
MM = 2000
MMM = 3000
9
► Um símbolo de menor valor colocado antes de outro símbolo de maior valor indica
uma subtração dos respectivos valores.
IV = 4
IX = 9
XL 40
XC = 90
CD = 400
CM = 900
Mas atenção, nessa regra é preciso observar que vale apenas quando temos:
- I, antes de V ou de X (subtrai uma unidade de V ou de X)
- X, antes de L ou de C (subtrai dez unidades de L ou de C);
- C, antes de D ou de M (subtrai cem unidades de D ou de M).
► Um símbolo de menor valor colocado depois de um outro símbolo de maior valor indica uma adição dos respectivos valores.
VI = 6
XI = 11
XV = 15
XXXVII = 37
CCLIV = 254
CMLXII = 962
► Um símbolo com um traço acima dele representa milhares; com dois traços representa milhões.
_
V = 5000
_
XX = 20000000
_
VDCCXX = 5.720
Agora, faça alguns exercícios usando o sistema de numeração romana.
4) Represente o que se pede em cada item utilizando símbolos romanos.
a) Números pares maiores que 50 e menores que 57.
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
b) Dois números maiores que 440 e menores que 500.
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
10
c) O número que representa o ano de seu nascimento.
______________________________________________________________________
5) Veja essa moeda brasileira de 200 réis. Seu ano de fabricação está escrito em algarismos romanos logo acima da palavra BRASIL.
Fonte: Disponível em: http://www.duiten.nl/brasil/brasil3.htm, acesso em: 25dez2012.
Em que ano ela foi fabricada? ______________________________________________
6) Os números romanos ainda são muito utilizados para indicar os séculos, veja:
Século I – ano 1 a 100 da era cristã
Século II – ano 101 a 200 da era cristã
Século III – ano 201 a 300 da era cristã
Escreva o século correspondente a cada acontecimento histórico
a) Possível queima da biblioteca de Alexandria, no Egito 642 d.C ___________________
b) Chegada dos portugueses ao Brasil – 22 de abril de 1500 ______________________
c) Fundação da cidade de São Paulo em 25 de janeiro de 1554 ____________________
d) Fim da II Guerra mundial – Maio de 1945 ___________________________________
e) Morte de Zumbi de Palmares – 20 de novembro de 1695 _______________________
f) Proclamação da Independência do Brasil – 22 de setembro de 1822 _________________
g) Derrubada das Torres Gêmeas em Nova York – 11 de setembro de 2001__________
11
Em casa mostre aos seus pais, ou a quem cuida de você, quanta coisa interessante
aprendeu com relação à história dos números. Faça também algumas atividades:
1) Escreva o ano em que você nasceu no sistema de numeração egípcio.
______________________________________________________________________
2) Represente os números a seguir no sistema de numeração romana:
a) 1054 ________________________________________________________________
b) 43 _________________________________________________________________
c) 58 __________________________________________________________________
3) Qual sistema de numeração você mais gostou? Por quê?
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
4) Invente um novo sistema de numeração com no mínimo cinco símbolos e três regras.
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
12
2° ENCONTRO
Sistema de numeração decimal
O
lá, amiguinhos! No encontro passado, vimos alguns sistemas de numeração, com
seus respectivos símbolos e regras. Hoje vamos conhecer um pouco sobre um
sistema que é um velho conhecido seu: o sistema de numeração indo-arábico ou
decimal. É isso mesmo que você está pensando, hoje nós vamos conversar sobre os números
que você já conhece. Esse sistema é chamado de indo-arábico porque os símbolos e as regras
que regem o sistema foram criados pelos hindus e aperfeiçoados e divulgados pelos árabes.
Mas os números que compõem o sistema de numeração indo-arábico tais como nós os
conhecemos hoje, não foram sempre assim. Ao longo do tempo, os algarismos sofreram várias transformações na sua representação antes de adquirirem a forma atual. Veja o quadro a
seguir.
13
Você sabia que há coisas muito interessantes sobre esses símbolos? Apenas para você
ter uma ideia, esses algarismos já existiam no ano 100 da Era Cristã. Eles já eram muito utilizados na Índia no ano 800. Mais ou menos nessa época eles começaram a entrar na Europa,
mas só por volta de 1400 foram plenamente aceitos e substituíram de fato os algarismos romanos. Não é incrível?!
O sistema de numeração indo-arábico é decimal, pois é formado por dez símbolos (0,1,
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9) que sempre se agrupam de 10 em 10. Por isso, com apenas esses 10
símbolos podemos escrever qualquer número.
O valor do algarismo pode variar conforme sua posição no número, por isso, dizemos que
o sistema de numeração indo-arábico é um sistema POSICIONAL. Você já sabe, por exemplo,
que no número 555, o 5 da direita vale 5 mesmo, o 5 do meio vale 50 e o 5 da esquerda vale
500.
Cada algarismo ocupa uma posição chamada de ORDEM e três ordens formam uma
classe. Veja o seguinte exemplo:
14
Como o sistema é decimal, a primeira ordem ou a ordem das UNIDADES, são as quantidades que não formaram grupos de 10. A segunda ordem, DEZENAS, são os grupos de 10. A
terceira ordem, CENTENAS, são os grupos de 10x10 ou de 100. A quarta ordem, UNIDADES
DE MILHARES, são grupos de 10x10x10 ou de 1000 e com isso se pode escrever qualquer
número usando apenas esses símbolos. Não é demais?
CLASSE DOS MILHARES
CLASSE DAS UNIDADES
C
D
U
C
D
U
CENTENAS DE
MILHAR
Grupo de
10 x 10 x 10 x 10
x10 ou 100.000
DEZENAS DE
MILHAR
Grupos de
10 x 10 x 10 x
10 ou 10000
UNIDADES
DE MILHAR
Grupos de
10 x 10 x 10
ou 1000
CENTENAS
DEZENAS
UNIDADES
Grupos de 10
x10 ou 100
Grupos de
10
Quantidades
soltas
No número 1352 nós temos:
1 unidade de milhar ou 1 x 1000
3 centenas ou 3 x 100
5 dezenas ou 5 x 10
1000 + 300 + 50 + 2 = 1352
2 unidades soltas
A
ssim, podemos dizer que as unidades, dezenas, centenas, etc. compõem ou formam o número e que o número pode ser decomposto em unidades, em grupos
de 10 ou dezenas, em grupos de 100 ou centenas, etc.
15
Como já vimos, os números são formados por algarismos. Esses algarismos possuem
valor absoluto e valor relativo. O valor absoluto de um número não depende da posição em que
o número se encontra, ele representa um valor sozinho. No exemplo anterior, o valor absoluto
do algarismo 3 é 3. Já o valor relativo de um número depende da ordem em que o algarismo se
encontra. O algarismo 3, por estar na 3ª ordem da classe das unidades, tem um valor absoluto
de 300.
Chegou a hora de exercitar o que aprendeu. E não se esqueça de fazer as atividades de casa, pois elas são muito importantes!
1. No número 30.062, o algarismo 2 ocupa a ordem das
(A) unidades simples.
(B) centenas simples.
(C) dezenas simples.
(D) dezenas de milhar.
2. Qual é o algarismo que ocupa a ordem das unidades de milhar no número 1389?
(A) 1
(B) 3
(C) 8
(D) 9
3. Qual é a correta decomposição do número 3246?
(A) 2000 + 300 + 40 + 6
(B) 3000 + 200 + 40 + 6
(C) 3000 + 400 + 20 + 6
(D) 6000 + 200 + 60 + 6
4. Uma das possíveis decomposições do número 1754 é:
(A) 1 dezena de milhar, 7 unidades de milhar, 5 dezenas e 4 unidades.
(B) 1 unidade de milhar, 7 centenas, 5 dezenas e 4 unidades.
(C) 4 unidades de milhar, 5 centenas, 7 dezenas e 1 unidade.
(D) 4 dezenas de milhar, 5 centenas, 7 dezenas e 1 unidade.
16
5. Ao juntar 2 unidades de milhar, 5 centenas, 4 dezenas e 3 unidades forma-se o número
(A) 2 534.
(B) 2 543.
(C) 4 235.
(D) 5 243.
6. O número 906 pode ser decomposto em:
(A) 6 x 100 + 9 x1.
(B) 6 x 10 + 9 x 1.
(C) 9 x 100 + 6 x 10.
(D) 9 x 100 + 6 x 1.
7. A biblioteca escolar recebeu os livros didáticos que vieram organizados da seguinte
forma. Cada pacote tinha 10 livros e uma caixa tinha 10 pacotes. A bibliotecária recebeu 3
livros soltos, 8 pacotes e 5 caixas com livros de matemática. Quantos livros de matemática a
escola recebeu?
(A) 358
(B) 385
(C) 538
(D) 583
8. Em uma atividade de matemática, a professora distribuiu 4 fichas numéricas para cada
aluno e pediu para que eles formassem o maior número de 4 ordens que conseguissem. Gilberto recebeu as seguintes fichas:
7
0
9
2
Para formar o maior número com essas fichas, qual algarismo deve ocupar a ordem das
centenas?
(A) 0
(B) 2
(C) 7
(D) 9
17
9. Na escola, há um ábaco vertical em que está representado um certo número conforme
mostra figura a seguir.
Que número está representado no ábaco?
(A) 2325
(B) 5232
(C) 20325
(D) 52302
10. No material dourado, o cubinho representa a unidade, a barra a dezena, a placa a
centena e o cubo representa a unidade de milhar, conforme mostra a figura a seguir.
CUBO
PLACA
BARRA
CUBINHO
João pegou 8 cubinhos, 5 barras, 3 placas e 1 cubo. Que número ele formou?
(A) 8532
(B) 8352
(C) 1538
(D) 1358
18
11. Um relógio regressivo da copa do mundo, instalado em uma cidade, estava mostrando o tempo que faltava para esse evento em meses, em semanas, em dias e em horas, minutos e segundos, conforme mostra a seguinte figura.
No número que representa a quantidade de dias que faltam para a copa, o zero ocupa a
ordem das
(A) unidades.
(B) dezenas.
(C) centenas.
(D) unidades de milhar.
Em casa, aproveite para mostrar para sua família as coisas novas que está aprendendo em Matemática. Fale sobre o valor relativo e absoluto dos números e faça as
atividades a seguir.
1. O valor relativo do algarismo 4 no número 17.458 é
(A) 4.
(B) 40.
(C) 400.
(D) 4 000.
19
2. No número 12 560, o algarismo 6 ocupa a ordem das
(A) unidades simples.
(B) dezenas simples.
(C) centenas simples.
(D) dezenas de milhar.
3. No número 2 013, o valor relativo do algarismo 1 é
(A) 1000.
(B) 100.
(C) 10.
(D) 1.
4. Oito mil trezentos e quarenta e nove corresponde ao número
(A) 8 394.
(B) 8 934.
(C) 8 349.
(D) 8 439.
5. Em 5 798, que algarismo tem o maior valor absoluto?
(A) 5
(B) 7
(C) 9
(D) 8
20
3° ENCONTRO
Decomposição e comparação
de números naturais
Todos os dias vemos diversas filas: no banco, no supermercado, nos hospitais, nas casas
lotéricas...
V
amos numerar as pessoas desta fila, iniciando pelo número um. Podemos dizer
então que após a pessoa de número 4, está a pessoa de número 5. Após a pessoa de número 15, está a pessoa de número 16. E assim por diante.
Como nesta fila, todos os números naturais possuem um sucessor. Veja:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, ...
21
Você sabe o que é sucessor?
Olhando a imagem, tente explicar com suas palavras.
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
O sucessor de 4 é o número __________ e o sucessor de 15 é o número ___________.
Então, sucessor de um número
é o número que vem logo depois de
um número dado qualquer?
► Da mesma forma, os números naturais têm um antecessor. Ou seja, o antecessor de
9 é 8, e o antecessor de 15 é 14. O antecessor de um número é ele menos 1.
E o número 0 tem antecessor?
► O zero é o único número natural que não possui antecessor. Antes do zero não há
qualquer outro número natural.
22
Agora que você aprendeu o que é sucessor e antecessor de um número, responda as
questões a seguir:
1 - Todo número natural tem um sucessor. Para encontrá-lo, basta acrescentar 1. Qual é
o sucessor dos números naturais a seguir?
a) 34_____________
b) 87_____________
c) 301 ____________
d) 0______________
e) 12 321__________
f) 198 ____________
g) 999____________
h) 1001___________
i) 7000____________
2 - Qual é o antecessor de cada um dos números naturais abaixo?
a) 888____________
b) 100____________
c) 1______________
d) 13000__________
e) 9471___________
f) 9009___________
3 - Escreva o antecessor e o sucessor de cada número natural.
Antecessor
Número Sucessor
78
129
592
1000
3427
9870
11284
18001
23
► Observe que um número tem diversas decomposições. Vamos ver um exemplo.
O número 8.525 pode ser decomposto de várias formas. Veja:
• 8.525 = 8000 + 500 + 20 + 5
• 8.525 = 8 unidades de milhar + 5 centenas + 2 dezenas + 5 unidades
• 8.525 = 8525 unidades
• 8.525 = 8 unidades de milhar + 525 unidades
• 8.525 = 8 unidades de milhar + 5 centenas + 25 unidades.
Há ainda a possibilidade de fazer a decomposição utilizando a multiplicação veja:
8.525 = 8x1000 + 5x100 + 2x10+ 5x1
► No encontro anterior, observamos que o valor do algarismo depende da posição que
ele ocupa no número.
• No número 36, o valor do algarismo 3 é 3 x 10, ou seja, 30 unidades, porque ele ocupa
a posição ou a ordem das dezenas.
• No número 348, o valor do algarismo 3 é 3 x 100, ou seja, 300 unidades, porque ele
ocupa a posição ou a ordem das centenas.
• No número 3576, o valor do algarismo 3 é 3 x 1000, ou seja, 3000 unidades, porque ele
ocupa a posição ou a ordem das unidades de milhar.
Será que você entendeu tudo direitinho? Então responda esta pergunta:
Quem tem a maior quantia? Maria, que tem 103 reais ou Marina, que tem 130 reais?
______________________________________________________________________
Você comparou dois números naturais. Percebeu que __________ possui maior quantia
que _______, pois o número _____ é maior que o número ______.
► Comparar dois ou mais números naturais é verificar qual é o maior ou qual é o menor.
Agora resolva essa situação:
“Seu” José tem algumas cartas numeradas com números naturais. Um vento muito forte
espalhou as cartas. Ajude “Seu” José a ordenar suas cartas em ordem crescente, ou seja, do
menor para o maior
.
25
103
254
53
9
208
167
19
2
77
81
111
______________________________________________________________________
24
______________________________________________________________________
Mostre agora, o que você aprendeu, respondendo as questões a seguir.
1. Teresina, a capital do Piauí, em 2010, tinha uma população de 814.230 habitantes.
Essa população escrita por extenso é
(A) oitocentos e quatorze mil, duzentos e trinta habitantes.
(B) oitocentos e quatorze mil, duzentos e três habitantes.
(C) oitocentos e quatorze mil, vinte e três habitantes.
(D) oitocentos mil, duzentos e trinta habitantes.
2. Quatro amigos estavam jogando baralho. Pedro fez 4.750 pontos; Frederico fez 4.597
pontos; Ricardo fez 4.619 pontos e Gabriel fez 4.502 pontos. Qual deles fez menos pontos?
(A) Pedro
(B) Frederico
(C) Ricardo
(D) Gabriel
3. Uma menina coleciona papéis de carta e completou 2.543 em sua coleção. Esse número é composto de
(A) 2 unidades de milhar, 5 centenas, 4 dezenas e 3 unidades.
(B) 2 unidades de milhar, 54 centenas e 3 dezenas.
(C) 2 unidades de milhar e 543 centenas.
(D) 2 unidades de milhar e 543 dezenas.
4. No ábaco abaixo, Luiza representou um número.
25
Qual foi o número representado por Luiza?
(A) 1.522
(B) 2.251
(C) 15.022
(D) 22.051
5. A professora de Renato pediu para ele decompor um número e ele fez da seguinte
forma: 7 x 1000 + 2 x 10 + 3 x 1. Qual foi o número pedido?
(A) 7203
(B) 7023
(C) 3207
(D) 3027
6. Qual é o menor número que você pode escrever usando os algarismos 7, 3, 2, 9 e 5
sem repeti-los?
(A) 23 975
(B) 23 795
(C) 23 759
(D) 23 579
7. No número 18.165, o algarismo 8 ocupa a ordem da
(A) centena simples.
(B) dezena simples.
(C) unidade simples.
(D) unidade de milhar.
8. O número 3.199 tem como sucessor, o número
(A) 3198.
(B) 3200.
(C) 3299.
(D) 4000.
26
9. Luiz, Antônio, Plínio e Gustavo estavam jogando. Luiz obteve 324 pontos; Antônio fez
597; Plínio tinha um registro de 619 pontos e Gustavo, 506 pontos. Qual deles fez mais pontos?
9. Luiz, Antônio, Plínio e Gustavo estavam jogando. Luiz obteve 324 pontos; Antônio fez
597; Plínio
tinha um registro de 619 pontos e Gustavo, 506 pontos. Qual deles fez mais pon(A) Luiz
tos? (B) Antônio
(C) Plínio
9.
(A)Luiz,
LuizAntônio, Plínio e Gustavo estavam jogando. Luiz obteve 324 pontos; Antônio fez
(D)
Gustavo
597; Plínio
tinha um registro de 619 pontos e Gustavo, 506 pontos. Qual deles fez mais pon(B) Antônio
tos? 10.
(C) Plínio
Qual é o maior número que você pode escrever usando os algarismos 7, 3, 2, 9 e 5
(D) Gustavo
sem repeti-los?
(A) Luiz
(B)
10. Antônio
Qual é o maior número que você pode escrever usando os algarismos 7, 3, 2, 9 e 5
(A)
92357
(C)
sem repeti-los?
(B) Plínio
93257
(D) 97532
Gustavo
(C)
(A) 95732
92357
(D)
10.
Qual é o maior número que você pode escrever usando os algarismos 7, 3, 2, 9 e 5
(B) 93257
sem repeti-los?
(C) 97532um membro de sua família, ou um amigo para ver o que você aprendeu hoje e
Convide
(D)como
95732
mostre
é fácil fazer os exercícios a seguir.
(A) 92357
(B)
93257um membro de sua família, ou um amigo para ver o que você aprendeu hoje e
Convide
(C)como
97532
mostre
é fácil fazer os exercícios a seguir.
(D) 95732
um membro um
de sua
família,
ou um amigo para ver o que você aprendeu hoje e
1.Convide
Rafael representou
número
no ábaco.
mostre como é fácil fazer os exercícios a seguir.
1. Rafael representou um número no ábaco.
1. Rafael representou um número no ábaco.
Que número ele representou?
(A) 143
Que
número ele representou?
(B) 341
(C) 1403
(A)
(D) 143
2041
(B) 341
Que1403
número ele representou?
(C)
(D) 2041
(A) 143
(B) 341
27
27
2. Zequinha coleciona selos. Organizando sua coleção, percebeu que estes totalizavam
3.105. Esse número é composto de
(A) 3 unidades de milhar, 1 centena e 5 unidades
(B) 3 unidades de milhar, 1 dezena e 5 unidades
(C) 3 unidades de milhar e 105 centenas
(D) 3 unidades de milhar e 105 dezenas
3. Piripiri, no Piauí, possuía em 2010, 61.834 habitantes. Podemos ler este número como
(A) sessenta e um mil, oitocentos e trinta e quatro habitantes.
(B) sessenta mil e oitocentos e trinta e quatro habitantes.
(C) seiscentos e dezoito mil e trinta e quatro habitantes.
(D) seis mil, oitocentos e trinta e quatro habitantes.
4. Fabiano decompôs um número da seguinte forma: 2 x 1000 + 3 x 100 + 4 x 1. Que
número era esse?
(A) 432
(B) 2304
(C) 2340
(D) 4032
5. O número 236 tem como antecessor, o número
(A) 136.
(B) 235.
(C) 237.
(D) 336.
28
4° ENCONTRO
Localização de números
naturais na reta numérica
T
iago ontem aprendeu sobre sequência de números naturais. Depois da aula, ele
foi ao trabalho de sua tia e ao entrar no elevador, percebeu que no painel do elevador há uma sequência numérica, conforme mostra a figura.
29
1. Observe o painel do elevador e responda:
a) Quantos andares tem o edifício em que trabalha a tia de Tiago? _________________
_____________________________
b) A tia de Tiago trabalha no último andar do prédio. Que número ele deve apertar no
elevador para ir ao seu andar? __________________________________________________
c) No painel do elevador, os números estão organizados em duas colunas. Na primeira coluna estão os números______________. Na segunda coluna estão os números___________________
Para numerar os andares, o fabricante utilizou a sequência numérica 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,
9, 10, 11, 12, 13, 14. Dando continuidade a esta sequência, formamos o conjunto dos números
naturais.
O conjunto dos números naturais é representado pelo símbolo IN.
O conjunto dos números
naturais é representado por:
IN = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12...}
Veja o que podemos concluir:
► O conjunto dos números naturais possui números pares e ímpares.
► Os números pares são os que terminam em 0, 2, 4, 6 ou 8.
► Os números ímpares são os que terminam em 1, 3, 5, 7 ou 9.
7
30
2
6
3
8
2. Usando os algarismos apresentados anteriormente, sem repeti-los, determine:
a) o maior número natural _________________________________________________
b) o maior número natural ímpar ____________________________________________
c) o menor número natural par ______________________________________________
d) o menor número natural ímpar ____________________________________________
O conjunto dos números naturais pode ser representado graficamente. Esta representação é chamada de reta numérica.
Nessa reta, a partir do 0, a distância entre o número e o seu vizinho é sempre a mesma.
A distância que existe entre o número 0 e o número 1 é a mesma distância que tem entre o
número 1 e o número 2. Também é a mesma que tem entre o número 3 e o número 4 e assim
por diante.
Mostre agora, o quanto você aprendeu, respondendo os exercícios a seguir.
1 – Observe o varal de números que está em uma turma de 3º ano
Qual número deverá ser pendurado na letra M?
(A) 110
(B) 100
(C) 95
(D) 83
31
2 – Na reta numérica abaixo estão expressos os valores numéricos de dois pontos.
Sabendo que a distância entre um ponto e o seu vizinho é de 10 unidades, qual é o valor
correspondente ao ponto R?
(A) 970
(B) 980
(C) 990
(D) 1000
3. A reta abaixo possui uma distância de 10 unidades entre um ponto e outro.
Qual é o valor correspondente ao ponto A?
(A) 1920
(B) 1940
(C) 1960
(D) 1970
4. Na reta abaixo quero localizar o número 367.
Este número está entre os pontos
(A) A e B.
(B) C e D.
(C) E e F.
(D) G e H.
32
5. Na reta numérica a seguir, o ponto D representa o número 830 e o ponto J representa
o número 890.
Em qual ponto está localizado o número 850, sabendo que a diferença entre o valor de
um ponto e o valor de outro ponto consecutivo é de 10 unidades?
(A) F
(B) G
(C) H
(D) I
6. Na reta numérica a seguir, estão representados os valores numéricos dos pontos M e
R:
Em qual ponto está localizado o número 700, sabendo que a diferença entre o valor de
um ponto e o valor de outro ponto consecutivo é de 10 unidades?
(A) N
(B) O
(C) P
(D) Q
7. Andando de bicicleta por uma ciclovia passei por 3 placas de quilometragem: km 65,
km 67 e km 69, como mostra a figura a seguir
33
Quando eu chegar ao ponto P a placa de quilometragem estará marcando
(A) 68.
(B) 70.
(C) 71.
(D) 75.
8. Na reta numérica abaixo estão representados os primeiros 420 quilômetros de uma
rodovia. Nesse trecho há dois postos de combustíveis indicados pelos pontos M e N. Um caminhão de combustível abasteceu as bombas no posto representado pelo ponto N.
Em que quilômetro da rodovia fica o posto do ponto N?
(A) 120
(B) 180
(C) 300
(D) 360
9. A distância entre a minha casa e a escola onde estudo é de 20 km. No caminho passo
por uma igreja. O trajeto que percorro está representado na reta numérica abaixo
34
Em que quilômetro a igreja está localizada?
(A) 8
(B) 10
(C) 12
(D) 16
10. Observe atentamente a reta a seguir.
O ponto P representa o número
(A) 2.
(B) 3.
(C) 4.
(D) 5.
Em casa, compartilhe o que você aprendeu na escola com algum membro da sua
família e peça a ajuda dele para construir uma reta com a sua linha do tempo. Para isso
você vai precisar de régua, lápis e borracha.
Construa uma reta, e marque pontos em intervalos iguais de ano em ano, por exemplo,
atribuindo letras a cada ponto. Relembre, com a ajuda de alguém, um fato importante por ano,
partindo do ano que nasceu, como por exemplo, quando começou a andar, falar, o ano em que
um irmão nasceu, o ano em que entrou na escola, etc. A origem ou o início da reta deve ser o
ano em que você nasceu e a história deve ser a sua.
35
36
5° ENCONTRO
Adição e subtração de
números naturais
Veja uma situação que acontece muito comumente:
João gosta muito de futebol e, por isso, coleciona figurinhas do campeonato brasileiro.
Em 2012, João tinha 235 figurinhas. Antônio, seu colega, deu 124 figurinhas para João completar sua coleção.
João juntou as 235 figurinhas com as 124 figurinhas que ganhou. Para fazer isso, João
realizou uma operação fundamental da aritmética, conhecida como adição de números naturais.
37
1) Você lembra de como são chamados os termos de uma adição? Veja:
C D U
2 3 5
+
1 2 4
Parcela
Parcela
Soma ou total
2) Efetue a operação acima e encontre o seu resultado.
a) Nessa adição _______ e _______ são as parcelas e _____ é a _______ ou o total.
b) Depois que ganhou as 124 figurinhas João ficou com uma coleção de ______figurinhas.
3) Agora, realize novamente essa mesma operação, alternando suas parcelas.
124 + 235 = ________
4) A respeito das duas operações, você pode concluir que _____________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
► Observe, essa é uma propriedade da adição chamada comutativa.
5) Agora, vamos fazer outras duas operações:
235 + 0 = __________
0 + 235 = __________
6) Com base nessas operações, podemos concluir que
______________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
► Veja, essa é mais uma propriedade da adição que recebe o nome de elemento neutro.
38
7) Agora, rapidamente, faça as seguintes operações. Mas atenção! Quando aparecer
parênteses, faça primeiro a operação que está dentro deles.
4 + 5 + 7 = _______________________
(4 + 5) + 7 = ______________________
4 + (5 + 7) = ______________________
8) Com base nessas operações, podemos concluir mais uma coisa:
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
► Trata-se de mais uma propriedade da adição, chamada associativa.
Observe que para realizar operações de adição, devemos organizar as parcelas de forma
a respeitar o seu valor posicional, ou seja, que as unidades fiquem embaixo das unidades, as
dezenas embaixo das dezenas, as centenas embaixo das centenas, as unidades de milhar
embaixo das unidades de milhar, e assim por diante.
9) Calcule os resultados das seguintes adições:
a) 143 + 125 + 110 = ______________________
b) 2123 + 1412 + 2454 = ___________________
c) 30246 + 18452 + 51301 = ________________
d) 57 + 1010 + 121 = ______________________
e) 4 + 40 + 123 + 6822 + 10000 = ____________
f) 13201 + 62 + 1241 + 132 = _______________
Você percebeu quanta coisa podemos concluir com base em uma situação tão simples
que ocorre em nosso dia a dia?
► Ao trocar a ordem das parcelas de uma adição, o seu resultado não se altera.
► Ao adicionarmos o zero, considerado elemento neutro, a qualquer número, o seu
valor continua o mesmo.
► Ao associarmos de qualquer modo as parcelas de uma adição, o seu resultado também não será alterado.
► Para efetuarmos uma adição, devemos armar suas parcelas de modo a respeitar o
valor posicional de cada numeral, ou seja, somamos unidades com unidades, dezenas
com dezenas, centenas com centenas, etc.
39
Agora vamos ver outra situação também bastante comum.
D
epois de um tempo, João contou as figurinhas de sua coleção e viu que já tinha
597 figurinhas, mas dessas haviam 125 que estavam repetidas e que ele teria
que trocar. Quantas figurinhas João deve manter em sua coleção sem trocar?
João retirou da sua coleção de 597 figurinhas as 125 figurinhas repetidas. Para saber
quantas restavam na coleção, João realizou uma operação fundamental da aritmética, conhecida como subtração de números naturais.
10) Você se lembra de como são chamados os termos de uma subtração? Veja:
C D U
5 9 7
1 2 5
Minuendo
Subtraendo
Resto ou diferença
11) Efetue a operação acima e encontre o seu resultado.
a) Nessa subtração _______ é o minuendo; _______ é o subtraendo e ______é o resultado também chamado de resto ou diferença.
b) Depois que retirou as 125 figurinhas João ficou com uma coleção de ______figurinhas.
40
c) Agora, pense: é possível fazer a operação trocando o minuendo com o subtraendo?
Daria o mesmo resultado? A subtração possui a propriedade comutativa?
125 – 597 = ________
d) Será que o zero é o elemento neutro da subtração? É possível fazer as duas subtrações a seguir e encontrar o mesmo resultado?
235 – 0 = _______
0 – 235 = _______
e) Por último, será que a subtração possui a propriedade associativa?
10 – 6 – 3 =
10 – (6 – 3) =
(10 – 6) – 3 =
f) Agora, responda: a subtração tem as mesmas propriedades que a adição?
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
g) Arme e efetue as subtrações a seguir.
i. 98 – 86 =
ii. 999 – 678 =
iii. 2.345 – 1.205 =
iv. 30.296 – 20.195 =
v. 119.731 – 18.720 =
vi. 589.346 – 39.000 =
Você percebeu quanta coisa podemos concluir com base em uma situação tão simples
que ocorre em nosso dia a dia?
► Ao trocar a ordem o minuendo com o subtraendo em uma subtração, não encontramos o mesmo resultado.
► Ao associarmos de qualquer modo o minuendo e subtraendo de uma subtração, o
seu resultado se altera.
► A subtração não tem as mesmas propriedades que a adição tem.
41
Demonstre agora o seu aprendizado, fazendo as atividades a seguir.
1) Para o início das aulas, uma papelaria comprou, em janeiro, muitos cadernos. Destes,
1212 cadernos tinham desenhos de animais, 1310 tinham desenhos de paisagens e 1125
não possuíam desenhos. Para saber o total de cadernos, o dono da papelaria fez uma adição
e encontrou como resultado
(A) 2337.
(B) 2435.
(C) 2522.
(D) 3647.
2) Jéssica já leu 74 páginas de um livro que tem 286 páginas. Para saber quantas páginas faltam para terminar de ler o livro, ela fez uma subtração e encontrou como resultado
(A) 102.
(B) 112.
(C) 202.
(D) 212.
3) Carlos foi conferir uma subtração feita por sua irmãzinha, mas havia um número borrado, como mostra o registro a seguir.
Para que a conta fique correta, que número deve ser colocado no lugar do borrado?
(A) 0
(B) 6
(C) 7
(D) 9
42
4) Na conta a seguir, falta um dos números da segunda parcela, que está indicado por
um sinal de interrogação (?).
8 5 1
? 4 8
1 4 9 9
+
Que número deve ser colocado no lugar de (?) para que a conta fique correta?
(A) 3
(B) 4
(C) 5
(D) 6
5) O dono de uma loja de materiais de construção conferiu seus estoques e viu que em
um depósito havia 13 124 tijolos e 12 123 em outro depósito. Ele fez a soma para saber quantos tijolos havia na loja. Que número ele encontrou?
(A) 1001
(B) 12123
(C) 13124
(D) 25247
6) Ao calcular 234 + 121 encontrarei o mesmo resultado que em
(A) 234 + 0.
(B) 121 + 234.
(C) 234 – 121.
(D) 0 + 121.
7) Jonas mora em São Paulo e, nessas férias, seu pai resolveu retornar à sua cidade
natal, São Luiz-MA, que fica a 2 970 Km de distância. Viajando de carro, no primeiro dia eles
percorreram 1160 km. Para saber quantos quilômetros faltam para chegar à capital do Maranhão, Jonas fez uma subtração e encontrou
(A) 710 km.
(B) 810 km.
(C) 1710 km
(D) 1810 km.
43
8) Clara e Augusto trabalham em uma mesma lanchonete. Clara é a funcionária mais
antiga e ganha 758 reais. Augusto, que acabou de ser contratado, ganha 630 reais. Qual é a
diferença entre o salário dos funcionários?
(A) 120
(B) 128
(C) 1380
(D) 1388
Em casa, escolha um membro da sua família e pergunte se ele usa as operações de
adição e subtração no dia a dia. A partir dessa conversa, crie dois problemas, um de adição e um de subtração, mostrando o uso dessas operações em uma situação cotidiana.
1)_________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
2)_________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
44
6° ENCONTRO
Um pouco mais de adição e subtração
de números naturais
N
as últimas férias, Ricardo viajou com sua família, de ônibus, de Teresina-PI à
Fortaleza-CE.
Dentro do ônibus, ele percebeu que havia muitos lugares vazios. Ele contou 29 poltronas
ocupadas. Na frente do ônibus tinha uma placa em que estava escrito que 46 pessoas poderiam viajar sentadas.
Vamos analisar esta situação:
45
1) Como a capacidade máxima do ônibus é de 46 pessoas e há 29 passageiros, para
saber quantas são as poltronas desocupadas, que operação podemos fazer?
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
2) Escreva essa operação no quadro valor de lugar a seguir e calcule o resto.
dezenas
unidades
3) Na primeira parada do ônibus, ainda no Piauí, entraram mais 15 passageiros e não
desceu ninguém. Para saber se o ônibus esgotou sua lotação, Ricardo fez uma adição. A que
resultado ele chegou?
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
4) A distância de Teresina à Fortaleza é de 634 Km. Na primeira parada, o motorista avisou que já havia percorrido, 86 km. Para saber quantos quilômetros ainda faltavam para chegar à Fortaleza, destino final do ônibus, Ricado fez uma subtração e encontrou ____________
__________________________________________________________________________
Agora vamos pensar um pouquinho nas operações que fizemos a partir da situação acima.
Você deve ter percebido que:
► A adição e a subtração são operações inversas .
.► A adição e a subtração são operações bastante usuais, que nos ajudam a resolver
problemas do dia a dia.
► Alguns problemas podem ser resolvidos de maneira mais fácil, por subtração e outros
por adição.
► Em algumas subtrações é necessário decompor ou desagrupar dezenas e centenas,
para se chegar ao resto ou diferença. Isso era chamado antigamente de pedir emprestado.
► Em algumas adições é preciso compor ou agrupar unidades e dezenas para se chegar à soma ou total. É o que comumente chamamos de “vai um”, ou seja, é o agrupamento das unidades, dezenas e centenas.
46
Relembrando expressões numéricas
Quando os problemas têm mais de uma operação, nós podemos resolvê-los por meio de
uma expressão numérica. Veja:
1) Em uma disputa com bolinhas de gude, Carlos ganhou 20 bolinhas na 1ª fase, na segunda fase ele ganhou 7, na 3ª fase ele ganhou 30 e na última ele ganhou 3 bolinhas. Qual é
a soma das bolinhas de gude que Carlos ganhou?
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
a) Que expressão numérica pode resolver esse problema?
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
b) Nessa expressão, podemos somar o total da adição dos dois primeiros números com
a soma dos dois últimos? Por quê?
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
Agora, veja outra situação:
2) Em uma disputa com bolinhas de gude, Carlos ganhou 20 bolinhas na 1ª fase, na
segunda fase ele perdeu 8, na 3ª fase ele perdeu 12 e na última ele ganhou 8 bolinhas. Com
quantas bolinhas de gude Carlos ficou no final?
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
a) Que expressão numérica pode resolver esse problema?
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
b) Nessa expressão, podemos fazer a subtração entre o resultado da subtração dos dois
primeiros números e o resultado da soma dos dois últimos números?
______________________________________________________________________
47
3) Depois de resolver esses dois problemas e responder as questões, veja se a professora está correto no que diz.
Se uma expressão numérica tem apenas
adições eu posso resolvê-las em qualquer ordem, mas se tiver também subtrações, tenho
que resolver na ordem em que elas aparecem.
4) Agora pense e resolva: qual é o resultado da expressão a seguir?
529 - (158+224)_________________________________________________________
5) Escreva no balão uma conclusão sobre expressões numéricas com adição e subtração
que contenha parênteses.
48
6) Calcule os resultados das seguintes expressões numéricas:
a) 47 + 23 + 12 + 8 _______________________________________________________
b) 45 + 13 – 12 + 5 – 4 ____________________________________________________
c) 33 – (12 + 7) _________________________________________________________
d) (25 + 18) – 24 _________________________________________________________
e) (105 + 28) – (47 + 32) ___________________________________________________
Agora é com você, resolva os problemas a seguir:
1) A professora de Matemática trouxe um bingo e entregou uma cartela para cada aluno.
Este jogo era um pouco diferente dos bingos normais, porque tínhamos que calcular uma subtração entre dois números e marcar o resultado encontrado. Quem marcasse toda a cartela
primeiro e com os resultados corretos, ganharia um prêmio. A operação que apareceu no primeiro papelzinho sorteado foi: 71 – 28 =
Eu calculei e encontrei o número na minha cartela. Que número eu assinalei?
(A) 43
(B) 47
(C) 53
(D) 57
49
2) Depois a professora usou a mesma cartela para fazer o bingo da adição. A operação
que apareceu no primeiro papelzinho sorteado foi: 37 + 58 =
Eu calculei e encontrei o número na minha cartela. Que número eu assinalei?
(A) 84
(B) 85
(C) 94
(D) 95
3) De Teresina para Fortaleza um ônibus gastou 9 horas ou 540 minutos. Um avião gastaria 65 minutos para fazer o mesmo percurso. Qual é a diferença, em minutos, do tempo pelo
avião em relação ao ônibus?
(A) 470
(B) 475
(C) 480
(D) 485
4) Do número 382 subtrai a diferença entre 192 e 48. Que número encontrei?
(A) 138
(B) 142
(C) 238
(D) 242
50
5) Ao resolver a expressão 10 457 – 2 038 + 250, o resultado encontrado é
(A) 8 169.
(B) 8 239.
(C) 8 669.
(D) 8 679.
6) A escola em que Maria estuda tem 2 427 alunos. Na entrada, os alunos precisam passar por uma roleta. No final do dia esta roleta estava registrando o número 2 298. Para saber
o número de faltosos, a encarregada fez uma subtração e encontrou o número
(A) 129.
(B) 139.
(C) 229.
(D) 271.
7) O maior avião de passageiros do mundo, Airbus A-380, esteve no Brasil, em 2012.
Esse gigante da aviação pode transportar 525 passageiros, se tiver três classes. Mas se for
uma única classe pode transportar até 853 passageiros. A diferença entre o número de passageiros de um Airbus A-380 com três classes e um Airbus A-380 com classe única é de
(A) 228 passageiros.
(B) 238 passageiros.
(C) 328 passageiros.
(D) 338 passageiros.
51
8) De acordo com o gráfico abaixo, qual é a diferença entre o número de salas de cinema
das regiões Norte e Nordeste?
(A) 133
(B) 213
(C) 253
(D) 333
9) Em um jogo de basquete, havia no ginásio 2 100 homens e 1 539 mulheres. Qual é a
diferença entre a quantidade de homens e de mulheres nesse ginásio?
(A) 539
(B) 561
(C) 639
(D) 671
10) Clara faz brigadeiros para vender. Ontem ela recebeu duas encomendas: a primeira
de 418 brigadeiros e a segunda de 182. Qual foi a soma das duas encomendas recebidas por
Clara?
(A) 500 brigadeiros
(B) 590 brigadeiros
(C) 600 brigadeiros
(D) 690 brigadeiros
52
Em casa, mostre a um familiar o que fez em sala hoje e faça também os 2 exercícios
a seguir:
1. Em um domingo, no estacionamento do estádio de futebol havia 3 582 carros, 587
motos e 205 ônibus. Quantos veículos havia no estacionamento?
(A) 3264
(B) 3374
(C) 4264
(D) 4374
2. Ao montar um quebra-cabeça de 5 000 peças, percebi que em sua caixa havia 5 469
peças. Qual é a diferença entre o número de peças encontradas e o número de peças do
quebra-cabeça?
(A) 10469
(B) 5469
(C) 5000
(D) 469
53
54
7° ENCONTRO
As ideias da adição e subtração na
resolução de problemas
O
Brasil é considerado o país do futebol e o campeonato brasileiro da série A é
disputado pelos 20 melhores clubes de futebol do país. O gráfico a seguir mostra
as conquistas do campeonato brasileiro por estado, até 2010.
55
De acordo com as informações do gráfico, responda:
1. Qual é o estado que tem maior quantidade de títulos do campeonato brasileiro?
______________________________________________________________________
2. Quantos títulos do brasileirão têm os estados da região Sudeste (Rio de Janeiro, São
Paulo e Minas Gerais) juntos?
______________________________________________________________________
3. De acordo com o gráfico, quem tem mais títulos, os times paulistas ou os times cariocas? Quantos a mais?
______________________________________________________________________
4. Os estados que não são da região Sudeste têm mais ou menos títulos que os estados
da região Sudeste juntos?
______________________________________________________________________
5. De acordo com o gráfico, quantos campeonatos brasileiros foram realizados até 2010?
______________________________________________________________________
6. Em 2011 o campeonato brasileiro foi vencido por um time paulista e em 2012 por um
time carioca? Isso alterou a diferença entre o número de títulos do Rio de São Paulo juntos?
______________________________________________________________________
N
o último encontro, nós aprendemos que a adição e a subtração são operações
bastante usuais e elas nos ajudam a resolver problemas da vida cotidiana. Na
situação acima, nós utilizamos a adição e a subtração para entender melhor um
gráfico sobre o Campeonato Brasileiro de Futebol da série A, mais conhecido como Brasileirão.
Vamos continuar conversando sobre futebol? Veja agora a tabela com os 10 primeiros
colocados no campeonato brasileiro de 2012.
56
7. De acordo com a tabela, quem foi o campeão? Quantos pontos ele fez?
______________________________________________________________________
8. Quantos pontos a mais o Fluminense tem em relação ao segundo colocado?
______________________________________________________________________
9. Quantos gols os times cariocas (Fluminense, Vasco e Botafogo) fizeram juntos?
______________________________________________________________________
10. Quantos gols os times paulistas (São Paulo, Corinthians e Santos) fizeram juntos?
______________________________________________________________________
11. Os times paulistas fizeram mais ou menos gols que os times cariocas? Quantos a
mais ou quantos a menos?
______________________________________________________________________
12. Compare os pontos do Grêmio e do Internacional, que são dois times do Rio Grande
do Sul. Quem tem mais pontos? Quantos a mais?
______________________________________________________________________
57
13. Compare os pontos do Atlético-MG e do Cruzeiro, que são dois times de Minas Gerais. Quem tem menos pontos? Quantos a menos?
______________________________________________________________________
14. Se o Vasco tivesse ganhado mais 12 pontos, e supondo que os demais times tivessem o mesmo número de pontos, ele seria o campeão brasileiro de 2012?
______________________________________________________________________
15. Se o Fluminense tivesse 9 pontos a menos, em que colocação ele estaria, supondo
que os demais times tivessem conquistado o mesmo número de pontos?
______________________________________________________________________
Veja só quantas funções ou quantos significados têm as operações de adição e subtração na resolução de problemas:
► A adição serve para juntar quantidades, para acrescentar e também para comparar.
► A subtração serve para separar quantidades, para retirar uma quantidade da outra e
também serve para comparar.
Vamos ver se você já está “craque” em resolver problemas de adição e subtração?
1) George é fascinado por futebol, por isso resolveu assistir ao documentário “Pelé Eterno” que tem 121 minutos de duração. Ele assistiu 65 minutos do filme em um dia e deixou o
restante para o outro dia. Quantos minutos ainda restam para serem assistidos?
(A) 44 min
(B) 56 min
(C) 64 min
(D) 66 min
2) De acordo com o Documentário, Pelé fez ao longo de sua carreira, 1284 gols, dos
quais 95 foram com a camisa da seleção brasileira. Quantos gols Pelé fez fora da seleção?
(A) 1089
(B) 1189
(C) 1199
(D) 1299
58
3) Pelé nasceu em 1940. Em 2013 ele completou quantos anos?
(A) 60 anos
(B) 63 anos
(C) 70 anos
(D) 73 anos
4) Na biblioteca da minha escola tem uma estante com 1000 livros de matemática, 400
livros de literatura, 20 livros de arte e 6 dicionários. Quantos livros há na nesta estante da biblioteca?
(A) 426
(B) 1026
(C) 1406
(D) 1426
5) Para assistir a um filme, 215 pessoas já tinham entrado no cinema e ainda havia uma
fila de 95 pessoas. Depois que todos entraram, quantas pessoas assistiram ao filme?
(A) 300 pessoas.
(B) 310 pessoas.
(C) 400 pessoas.
(D) 1160 pessoas.
6) No final de um jogo, Luís e Antônio conferiram suas bolinhas de gude. Luís tinha 50 e
Antônio tinha 18 a mais que Luís. Quantas bolinhas de gude Antônio tinha?
(A) 18
(B) 32
(C) 42
(D) 68
7) Pâmela e Roberto estão jogando um jogo eletrônico. Pâmela tem 1890 pontos. Ela tem
575 pontos a mais que Roberto. Quantos pontos tem Roberto?
(A) 1315
(B) 1325
(C) 2365
(D) 2465
59
8) Leia a seguinte notícia publicada no jornal de domingo.
De acordo com a notícia do jornal, o peso legalmente aceito para esse tipo de caminhão
é de
(A) 12.000 kg
(B) 13.000 Kg.
(C) 22.094 kg.
(D) 23.094 Kg.
9) Após uma partida de bafo, Gabriel tinha 23 figurinhas e Pedro tinha 12 figurinhas a
menos que Gabriel. Quantas figurinhas tinha Pedro, no final do jogo?
(A) 11
(B) 12
(C) 23
(D) 32
10) Em um jogo eletrônico Patrícia tinha alguns pontos quando terminou a 1ª fase. Na 2ª
fase ela ganhou 12.589 pontos e ficou com 19. 305 pontos. Quantos pontos ela tinha no fim
da 1ª fase?
(A) 6.716
(B) 6.818
(C) 7.724
(D) 7.824
60
11) No primeiro dia de competição da gincana da semana do estudante, o 5ºA estava
com 1287 pontos e o 5º B estava com 1089 pontos. Quantos pontos o 5ºA fez a mais que 5ºB
nesse primeiro dia?
(A) 198
(B) 208
(C) 2266
(D) 2376
12) Joaquim guardou dinheiro na poupança para gastar nas férias. Para pagar as passagens aéreas ele gastou 638 reais dessa poupança e ainda ficou com 498 reais. Quanto ele
tinha na poupança?
(A) 140 reais
(B) 240 reais
(C) 1126 reais
(D) 1136 reais
13) O Rally dos Sertões é um tradicional enduro que acontece todos os anos no Brasil
com a participação de carros, caminhões e motos. Em 2012, o percurso foi de 4840 km entre
as cidades de São Luiz-MA e Fortaleza-CE. No primeiro dia, os veículos tiveram que percorrer
514 quilômetros de estradas esburacadas e empoeiradas. Quantos quilômetros restaram para
os demais dias do Rally?
(A) 4234
(B) 4326
(C) 4334
(D) 4336
Pense em dois problemas que possa utilizar a tabela de futebol do campeonato brasileiro
de 2012. Escreva-os, resolva-os e traga na próxima aula.
61
62
8° ENCONTRO
Resolução de problemas e as
expressões numéricas
A
Ponte Estaiada Mestre João Isidoro França foi inaugurada no dia 30 de março
de 2010. Ela fica em Teresina, Piauí. Do alto do mirante é possível ter uma vista
panorâmica da cidade. Com 363 metros de extensão, ela tornou-se um ponto
turístico da cidade.
Em um feriado, às 13h30, o mirante estava com a lotação máxima: 100 pessoas. Às 14h,
os dois elevadores desceram juntos. Um levava 8 e o outro, 9 pessoas. Em seguida, esses
dois elevadores também subiram juntos, cada um com 5 pessoas e desceram vazios.
63
1) Se no feriado tinham 100 pessoas no mirante e, às 14h, um elevador desceu com 8
pessoas e outro com 9. Quantas pessoas permaneceram no mirante da ponte?
______________________________________________________________________
2) Se os elevadores subiram novamente cada um com 5 pessoas e desceram vazios,
quantas pessoas permaneceram no mirante?
______________________________________________________________________
3) Você consegue resolver os dois problemas acima com apenas uma expressão numérica? Qual?
______________________________________________________________________
4) Resolvendo essa expressão numérica você encontrou o mesmo resultado?
______________________________________________________________________
5) A maior ponte estaiada do Brasil fica no estado do Amazonas sobre o Rio Negro. Com
3.595 metros de comprimento. Ela liga as cidades de Manaus e Iranduba. Quantos metros a
ponte de Manaus tem a mais que a ponte de Teresina?
______________________________________________________________________
6) A maior ponte do Brasil, no entanto, não é a Ponte do Rio Negro, mas a ponte Rio de
Janeiro - Niterói que possui 13.290 metros de comprimento. Quantos metros a menos tem a
ponte do Rio Negro?
______________________________________________________________________
No encontro passado, nós vimos que as operações de adição e subtração nos ajudam a
resolver inúmeros problemas da vida cotidiana. Nesse encontro, nós vamos continuar vendo
isso, mas vamos além:
► Em um mesmo problema nós podemos ter várias ideias: juntar, acrescentar, retirar,
ganhar, perder, comparar, etc
► Quando temos que adicionar várias parcelas nós podemos fazer isso por meio de
uma expressão numérica.
► Quando temos que subtrair mais de uma vez de um minuendo, podemos escrever a
64
operação em forma de expressão numérica, adicionando os valores que vamos subtrair
e fazendo uma única subtração.
► Do mesmo modo, se temos que subtrair e adicionar, também podemos usar uma
expressão numérica, mas com o cuidado de fazer as operações na ordem em que elas
aparecem.
Escreva uma expressão numérica para os seguintes problemas e encontre o resultado
de cada uma.
7) Do número 532 subtrai a diferença entre 192 e 48 e somei com a diferença entre 101
e 56. Que número obtive?
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
8) João e Maria foram fazer compras. Ele tinha 50 reais e gastou 15 reais. Ela tinha 30
reais e gastou 12. Quanto eles têm juntos agora depois das compras?
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
9) Uma partida de futebol é dividida em 2 tempos de 45 minutos. No último jogo do campeonato, o Juiz deu 4 minutos de acréscimo no primeiro tempo e 8 minutos de acréscimo no
2º tempo. Qual foi o tempo total de duração da partida?
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
65
Agora, vamos aproveitar o que você aprendeu para resolver alguns problemas.
1) Júnior mora em João Pessoa e está programando uma viagem de carro para o Rio de
Janeiro. Ele quer passar por Salvador para visitar sua mãe e por Belo Horizonte para visitar
a sua avó, antes de ir ao Rio de Janeiro. Ele consultou o Departamento Nacional de Infraestrutura de transporte - DNIT e anotou no mapa abaixo as distâncias aproximadas entre essas
capitais.
Se seguir a programação feita, quantos quilômetros, aproximadamente, Junior percorrerá
(A) 2755
(B) 2745
(C) 2744
(D) 2644
66
2) Uma costureira tinha 294 botões. Comprou mais 176 botões. Realizando algumas encomendas, utilizou 83 deles. Quantos botões esta costureira ainda tem em seu estoque?
(A) 387
(B) 397
(C) 413
(D) 423
3) Para a minha festa de aniversário, minha mãe comprou uma caixa com 832 balas: 105
de uva, 315 de morango e o restante de maçã verde. Quantas balas de maçã verde minha
mãe comprou?
(A) 733
(B) 727
(C) 523
(D) 412
4) Alunos de uma escola arrecadaram latinhas vazias para vender e ajudar crianças carentes. Juntos eles arrecadaram 532 latinhas. Os alunos do 3º ano arrecadaram 70 latinhas,
os alunos do 4º ano arrecadaram 125 latinhas e os alunos do 5º ano arrecadaram as latinhas
restantes.
Quantas latinhas o 5º ano arrecadou?
(A) 333
(B) 337
(C) 347
(D) 453
5) Numa fazenda havia 597 ovelhas. O fazendeiro foi à feira e vendeu 114 de suas ovelhas e comprou outras 134. Quantas ovelhas há na fazenda agora?
(A) 349
(B) 483
(C) 517
(D) 617
67
6) Numa viagem de 700 km, Pedro percorreu 256 km e parou para trocar um pneu furado. Como não havia borracheiro, ele voltou 50 km para consertar o pneu. Quantos quilômetros
faltam para terminar a viagem?
(A) 394 km
(B) 494 km
(C) 504 km
(D) 604 km
7) Na escola que Larissa estuda tem 4 527 alunos. Na escola que Henrique estuda são
3014 alunos. A diferença entre o número de alunos das duas escolas é de 1513 alunos. Se, no
próximo ano, 304 alunos se matricularem em cada escola, qual será a diferença entre elas?
(A) 1817 alunos.
(B) 1513 alunos.
(C) 1209 alunos.
(D) 304 alunos.
8) Durante um jogo, Luís fez 347 pontos na 1ª partida, 238 na segunda e 124 na terceira.
Qual é a soma total de pontos que Luís alcançou ao final dessas três partidas?
(A) 609
(B) 699
(C) 709
(D) 799
9) No início de um jogo de cartas, Roberto tinha certo número de pontos. Durante o jogo
ele ganhou 15 pontos e, depois, ganhou 23 pontos. O que aconteceu com seus pontos no final
do jogo?
(A) Os pontos aumentaram em 38 unidades.
(B) Os pontos diminuíram em 38 unidades.
(C) Os pontos aumentaram em 8 unidades.
(D) Os pontos diminuíram em 8 unidades.
68
10) No início de uma partida, Ricardo tinha certo número de pontos. No decorrer do jogo
ele perdeu 10 pontos, ganhou 10 pontos e, por último ganhou 10 pontos. O que aconteceu com
seus pontos no final do jogo?
(A) Ele terminou o jogo com 10 pontos a mais do que tinha.
(B) Ele terminou o jogo com 10 pontos a menos do que tinha.
(C) Ele terminou o jogo com 20 pontos a mais do que tinha.
(D) Ele terminou o jogo com 20 ponto a menos do que tinha.
11) O dono de uma lanchonete fez o levantamento de quantos refrigerantes vendeu em
uma semana e viu que havia vendido 220 latas de refrigerante sabor laranja, 370 latas de refrigerante de limão e algumas latas de refrigerante de uva. No total ele vendeu 700 latinhas.
Quantas latas de refrigerante de uva foram vendidas?
(A) 250
(B) 210
(C) 150
(D) 110
12) O time de basquete Planalto disputou a final de um campeonato de basquetebol com
o time Montanha. Na final, denominada melhor de três, venceu a equipe que ganhou o maior
número de partidas. Veja os resultados das duas equipes na tabela a seguir.
Planalto
78 X 82 Montanha
Planalto
102 X 99 Montanha
Planalto
99 X 97 Montanha
a) Quem ganhou o campeonato? ____________________________________________
b) Quantos pontos fez o Planalto nas três partidas? _____________________________
c) Quantos pontos fez o Montanha nas três partidas? ____________________________
d) Qual é a diferença entre o número de pontos do Planalto e o número de pontos do
Montanha? _________________________________________________________________
69
13) Na decisão de um campeonato, foram realizadas três partidas de basquete. Na primeira partida, compareceram 2.853 pessoas ao ginásio. Na segunda, 1.987 e, na final, 3.587
pessoas.
a) Em qual partida o público foi maior? _______________________________________
b) Nos três jogos, quantas pessoas compareceram no total? ______________________
c) Qual a diferença de público entre a terceira e a primeira partida? ________________
Explique para um amigo seu o que é uma ponte estaiada, mostre a imagem a seguir e
faça junto com ele a atividade abaixo.
Brasília também tem uma ponte estaiada. A Ponte Juscelino Kubitschek, também conhecida como Ponte JK, foi construída sobre o Lago Paranoá e possui 1200 metros de comprimento. Compare a Ponte JK com as outras pontes estaiadas que você conheceu nesse
encontro e diga quantos metros ela tem a mais ou menos que as outras pontes que foram
apresentadas neste encontro.
70
9° ENCONTRO
Multiplicação de números naturais
A mãe de Renata é muito vaidosa e gosta muito de esmaltes. Em seu armário tem uma
caixa linda, toda enfeitada que contém 36 vidrinhos de esmalte.
1) Renata viu no salão de beleza que uma das manicures tinha duas caixas iguais à da
sua mãe e cada caixa tinha a mesma quantidade de esmaltes. Quantos esmaltes tem a manicure? _____________________________________________________________________
► Podemos dizer então, que ela tem o dobro da quantidade da caixa da mãe de Renata.
2) Outra manicure disse que tinha o triplo de esmaltes que tinha a mãe de Renata. Quantos esmaltes tem essa manicure? _______________________________________________
3) Quantas caixas iguais à da mãe de Renata são necessárias para guardar todos os
seus esmaltes. ______________________________________________________________
71
4) Como você fez para calcular a quantidade de esmaltes das manicures?
_____________________________________________________________________
5) Que operação utilizou? _________________________________________________
► Podemos realizar este cálculo por meio de uma operação matemática: a multiplicação de número naturais.
► Multi significa muitos ou muitas vezes. Usamos a operação de multiplicação para
somar muitas vezes o mesmo número.
Quando vamos calcular o número de esmaltes das duas caixas podemos fazer:
36 + 36 = 72
Ou, como estamos somando 2 vezes o número 36, podemos multiplicar 2 vezes o número 36.
dezenas
unidades
3
6
2
X
Ao multiplicarmos as unidades, temos 2 vezes o número 6, que é o mesmo que 6 + 6.
O resultado é 12. Colocamos o número 2 nas unidades e uma dezena deverá ser somada ao
resultado da dezena, após a próxima multiplicação.
dezenas
X
1
3
unidades
6
2
2
Agora, multiplicamos as dezenas. Duas vezes 3 dezenas é igual a 6 dezenas, mais a
dezena que havia, 6 + 1 = 7 dezenas.
Nessa multiplicação, o número 36 é chamado de fator ou multiplicando, o número 2 é
também fator ou multiplicador e 72, que é o resultado, é chamado de produto.
Veja, com base nessa situação, já podemos concluir algumas coisas:
72
Assim, cada vez que vamos aumentando uma quantidade, podemos dizer que ela passa
a ser:
► O dobro, quando o valor da quantidade é aumentado duas vezes,ou seja, multiplicado por 2.
► O triplo, quando o valor da quantidade é aumentado três vezes, ou seja, multiplicado por 3.
► O quádruplo, quando o valor da quantidade é aumentado quatro vezes, ou seja,
multiplicado por 4.
► O quíntuplo, o sêxtuplo... e assim por diante.
Veja outra situação em que a multiplicação aparece:
Janaína está organizando suas sandálias na sapateira de seu guarda-roupa.
De acordo com a imagem acima, responda:
6) Quantas prateleiras tem a sapateira? ______________________________________
7) Quantas sandálias ela colocou em cada prateleira? ___________________________
8) Quantas sandálias ao todo estão organizadas nas 3 prateleiras? _________________
9) Como você fez para calcular sem que fosse necessário contar uma por uma?
______________________________________________________________________
10) Como você pode representar esta situação através de uma multiplicação?
______ x ______
73
Veja, a seguir, mais uma situação em que podemos utilizar a multiplicação:
Na escola onde Rafaela estuda, as meninas podem utilizar calça ou short como uniforme.
E também podem escolher entre 3 modelos diferentes de camisetas.
11) Na sua escola também é assim? _________________________________________
Vamos analisar a situação acima:
12) Considerando blusa, regata e camiseta, Rafaela tem ___________ opções para ir à
escola.
13) E considerando, calça e short, quantas são as opções? ____________________
74
Vamos, então, verificar todas as possibilidades possíveis de combinação que Rafaela
pode fazer para ir à escola. Veja o desenho a seguir.
14) Quantas são as possibilidades? _________________________________________
Você imagina, para este caso, uma outra forma de calcularmos o número de possibilidades sem precisar desenhar todas as opções?
Olhando o desenho e fazendo as combinações entre as cinco peças do uniforme, você
poderá verificar que:
► Para a camiseta, existem ____ possibilidades.
► Para a regata, tem _____ possibilidades.
► Para a blusa, tem _____ possibilidades.
75
Podemos concluir, então, que a multiplicação também pode ser utilizada quando fazemos
combinações, como a situação apresentada, com as peças do uniforme de uma escola.
15) Portanto, somando todas as possibilidades de combinar camiseta, regata e blusa com
a calça e a short, temos: _____ + _____ + _____ = _____
Neste caso, estamos somando 3 vezes o número 2.
Podemos multiplicar para saber quanto é 3 vezes o número 2.
2
x3
6
Assim como a adição, a multiplicação também tem algumas propriedades:
► Podemos trocar a ordem dos fatores que o resultado não se altera.
2x3=3x2
Essa propriedade recebe o nome de propriedade comutativa.
► O número 1 multiplicado por qualquer número natural não altera esse número.
2x1=2e1x2=2
Essa propriedade recebe o nome de elemento neutro.
► Na multiplicação de números naturais podemos associar os fatores de diversas formas que o resultado também não se altera.
(4 x 5) x 2 = 4 x (5 x 2)
Essa propriedade recebe o nome de associativa.
Agora, mostre que você compreendeu essa importante operação, fazendo os exercícios
a seguir.
1. Fernanda fez esta multiplicação, mas apagou o resultado.
76
Ao refazer a conta, Fernanda encontrou que o resultado correto era
(A) 248.
(B) 246.
(C) 126.
(D) 122.
2. Minha professora pediu que eu fosse ao quadro resolver esta multiplicação:
Qual o resultado correto?
(A) 2434
(B) 2664
(C) 4648
(D) 4864
3. Felipe e seu irmão colecionam carrinhos. Felipe possui 43 carrinhos e seu irmão possui o triplo dessa quantia. Quantos carrinhos o irmão de Felipe possui?
(A) 46 carrinhos.
(B) 79 carrinhos.
(C) 126 carrinhos.
(D) 129 carrinhos.
4. Regina tem 12 pirulitos e Paulo tem 5 vezes mais pirulitos que ela. Quantos pirulitos
Paulo tem?
(A) 17 pirulitos.
(B) 50 pirulitos.
(C) 57 pirulitos.
(D) 60 pirulitos.
77
5. Tenho duas saias: uma preta e uma branca. Tenho quatro blusas: uma rosa, uma azul,
uma cinza e uma verde. De quantas maneiras diferentes posso me vestir combinando uma
blusa e uma saia?
(A) 2
(B) 4
(C) 6
(D) 8
6. Para não precisar fazer a soma: 120 + 120 + 120, posso calcular
(A) 2 x 120.
(B) 3 x 120.
(C) 4 x 120.
(D) 120 x 120.
7. Ao calcular 143 x 3 encontrarei o mesmo resultado que
(A) 3 x 143.
(B) 143 + 143.
(C) 143 x 143.
(D) 143 x 1.
8. Pedro Henrique foi a um posto de saúde tomar a vacina da Gripe A - Influenza (H1N1).
Neste posto 290 pessoas de cada um dos 4 grupos a serem imunizados já tinham sido vacinadas. Quantas pessoas, ao todo, vacinaram antes de Pedro Henrique chegar?
(A) 1164 pessoas.
(B) 1160 pessoas.
(C) 860 pessoas.
(D) 294 pessoas.
78
9. Uma das paredes de minha cozinha está sendo revestida com azulejos. Os azulejos
são quadrados e já foram colocados 7, como mostra a figura:
Quantos azulejos faltam para cobrir esta parede?
(A) 15
(B) 8
(C) 7
(D) 6
10. Luiza fez um desenho em uma folha retangular para representar a sala de aula em
que estuda, que tem 6 fileiras e cada fileira tem o mesmo número de carteiras. Sem querer, ela
rasgou um pedaço do desenho, conforme mostra figura a seguir.
Na sala de aula em que Luiza estuda, há quantas carteiras?
(A) 13
(B) 34
(C) 36
(D) 42
79
Em casa, fale com seus familiares sobre quantas situações comuns do dia a dia a
multiplicação pode ser utilizada. Faça também o exercício a seguir.
Você já memorizou a tabuada? Você tem avó, avô, bisavó ou bisavô? Se não, há em sua
rua ou em seu bairro um vizinho que seja idoso? Converse com ele sobre a tabuada e pergunte
como era o estudo da tabuada no tempo em que ele estava na escola.
D
epois dessa conversa, preencha a tabuada chamada pitagórica abaixo. Você
sabe por que ela tem esse nome? Na verdade essa “tábua” foi criada por um
filósofo grego, chamado Pitágoras, que viveu no século VI antes de Cristo. Com
essa “tábua”, podemos encontrar os resultados de todas a tabuadas. Observe que alguns resultados já estão preenchidos e descubra como preenche os espaços vazios.
80
10° ENCONTRO
Continuando com a multiplicação...
Denise está confeccionando o tabuleiro de um jogo e desenhou alguns quadradinhos em
um papel quadriculado e depois coloriu, conforme mostra a figura a seguir.
De acordo com a imagem acima:
1) Quantos quadradinhos vermelhos Denise desenhou? ___________________________
2) E quantos quadradinhos amarelos? _______________________________________
3) Quantos são os quadradinhos amarelos e vermelhos juntos? ___________________
4) Escreva como você fez para calcular o total de quadradinhos?
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
81
5) Escreva outra forma de chegar ao mesmo resultado calculando o número de quadradinhos pela multiplicação retangular que você aprendeu no encontro passado:
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
Veja que podemos calcular os quadradinhos de dois modos:
1º modo: Calculamos os quadradinhos vermelhos.
8 linhas x 3 colunas = 24 quadradinhos
Depois calculamos os quadradinhos amarelos.
8 linhas x 10 colunas = 80 quadradinhos
Somamos os dois valores encontrados.
centenas
+
1
dezenas
unidades
2
4
8
0
0
4
Escrevendo estas operações em forma de expressão numérica ficaria:
8 x 3 + 8 x 10 =
24 + 80 =
104
82
6) Ao todo temos ________ quadradinhos.
2º modo: Juntando os quadradinhos amarelos com os quadradinhos vermelhos.
8 x (3 + 10) = 8 x 13 = 104
3 colunas + 10 colunas = 13 colunas
7) Ao todo temos _____ quadradinhos.
Portanto:
8 x (3 + 10) = 8 x 3 + 8 x 10
Veja o que pode ser observado com base nessa situação:
Se um número multiplica uma adição, então ele multiplica cada parcela dessa adição.
Esta é a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição.
Se o número estiver multiplicando uma subtração, ele multiplica cada termo dessa subtração.
I) 8 x (10 - 3 ) =
8 x 7 = 56
II) 8 x (10 - 3 ) =
8 x 10 - 8 x 3 =
80 - 24 = 56
Esta é a propriedade distributiva da multiplicação em relação à subtração.
Vamos ver se você entendeu:
8) Calcule, aplicando a propriedade distributiva:
a) 4 x (5 + 2) = __________________________________________________________
b) 9 x (6 – 3) = __________________________________________________________
c) 3 x (9 + 4) = __________________________________________________________
d) (4 – 2) x 3 = __________________________________________________________
83
Observe esta outra situação:
A parede de um banheiro é formada por azulejos quadrados, conforme mostra figura a
seguir:
Para não termos que contar um por um, fazemos como na situação anterior: verificamos
o número de linhas e o número de colunas.
9) Esta parede tem _____ linhas de quadradinhos por ____ colunas de quadradinhos.
Armando a operação temos:
x
dezenas
unidades
1
6
Fator ou mutiplicando
1
2
Fator ou multiplicador
Produto
Vamos multiplicar o número 16, 12 vezes. Ou seja, vamos multiplicar 16 por 12 unidades
ou por 1 dezena e 2 unidades.
Quando os fatores são maiores que 10, podemos calcular esta multiplicação de três modos:
1º modo: Vamos decompor o número 12, que é o multiplicador, em 1 dezena e 2 unidades.
12 x 16 = (10 + 2) x16
84
Depois, como vimos na propriedade distributiva, vamos multiplicar o número 16 por cada
uma das parcelas da adição.
centenas
{
{
10 x 16 + 2 x 16
dezenas
unidades
1
6
1
0
1
6
0
centenas
dezenas
unidades
1
6
x
2
x
2
3
Resolvemos as duas multiplicações, agora é só somar os resultados encontrados.
160 + 32 = 192
10) Ao todo temos _____ quadradinhos.
2º modo: Realizamos a operação toda de uma vez, escrevendo da seguinte forma:
x
dezenas
unidades
1
6
1
2
Primeiro, multiplicamos o número 2 pelo fator 16 (2 x 16 = 32). Escrevemos o 32 na primeira linha, conforme mostrado abaixo.
85
Depois multiplicamos a dezena pelo fator 16, (10 x 16 = 160). Escrevemos o 160 na segunda linha, também como está mostrado a seguir.
Por último, é só somar os dois resultados, veja:
centenas
dezenas
unidades
1
6
1
2
3
2
1
6
0
1
9
2
x
Você percebeu que a casa correspondente à unidade, quando multiplicamos por 10 por
16, tem um zero. Isso significa que não há nenhuma unidade. Em razão disso, inventaram uma
forma econômica de fazer essa multiplicação.
3º modo: Realizamos a operação toda de uma vez, mas vamos multiplicando termo a
termo.
centenas
dezenas
1
x
unidades
1
6
1
2
3
2
1
6
1
9
2
Nessa forma, econômica, multiplicamos 2 unidades vezes 6 unidades, obtendo como
resultado 12, deixamos as duas unidades e fazemos o agrupamento “levando uma dezena”.
Depois multiplicamos 2 vezes 1 dezena, dá 2 dezenas, somando com a 1 dezena que foi para
a casa das dezenas, então dá 3. Assim na primeira linha temos 32 que agora vamos multiplicar
a dezena: 1 dezena vezes 6 unidades, dá, 6 dezenas, então escrevo as 6 dezenas, na coluna
das dezenas, deixando a casa das unidades vazia. Por fim, 1 dezena vezes 1 dezena, é o
mesmo que 10 x 10 = 100, portanto é 1 centena, que registramos na coluna das centenas.
Ao todo temos _____ quadradinhos.
86
Agora, demonstre o que você aprendeu, resolvendo os problemas a seguir, mas antes
termine de preencher a tabela pitagórica abaixo, já explicada no encontro anterior, multiplicando o número da primeira linha com o número da primeira coluna. Consulte essa tabela toda vez
que esquecer uma tabuada.
1. Carlos fez esta multiplicação corretamente, mas apagou o resultado.
425
x 13
-------------Qual foi o resultado obtido por Carlos?
(A) 1275
(B) 1802
(C) 4250
(D) 5525
2. O resultado da multiplicação 34 x 32 é
(A) 66.
(B) 98
(C) 988
(D) 1088
87
3. No meu livro de Matemática apareceu a seguinte multiplicação para eu resolver
O número correto que devo colocar no lugar de cada
é:
(A) 8.
(B) 7.
(C) 6.
(D) 2.
4. Uma passagem de ônibus da cidade onde mora Joana até a cidade onde mora Pedrita
custa 13 reais. O cobrador do ônibus recebeu o valor equivalente a 12 passageiros. Quanto
ele recebeu em dinheiro?
(A) 25 reais
(B) 39 reais
(C) 155 reais
(D) 156 reais
5. Um caminhão transporta 2.500 tijolos em cada viagem que realiza. Se ele fizer 12 viagens, transportando sua carga máxima, quantos tijolos ele irá transportar?
(A) 5.000
(B) 7.500
(C) 25.000
(D) 30.000
6. A professora organizou os trabalhos dos seus alunos para uma exposição em 12 colunas com 26 trabalhos em cada uma delas. O número de trabalhos expostos foi
(A) 312.
(B) 302.
(C) 78.
(D) 38.
88
7. O produto de 50 x 123 é
(A) 173.
(B) 615.
(C) 6150.
(D) 6273.
8. Fizemos uma gincana na escola. O material recolhido será reciclado. Uma equipe
recolheu 5 sacos com 110 latinhas e outra equipe, 3 sacos com 50 latinhas. Quantas latinhas
foram recolhidas ao todo?
(A) 600
(B) 688
(C) 700
(D) 705
9. Gabriel tinha 135 figurinhas. Em uma partida de bafo com Lucas, ganhou o dobro do
que tinha, mas em outra partida, perdeu 75. Com quantas figurinhas Gabriel ficou?
(A) 320
(B) 330
(C) 470
(D) 480
10. A biblioteca da minha escola recebeu uma doação de livros. Foram 4 caixas com
1020, 8 caixas com 150, 5 pacotes com 10 e mais 9 livros. Quantos livros a biblioteca recebeu?
(A) 5339
(B) 5756
(C) 19280
(D) 19192
89
Em
seus
familiares
problemas
do dia aa dia
que envolvem
Em casa,
casa, mostre
mostre aos
novos
problemas
donovos
dia a dia
que envolvem
multiplicação.
a multiplicação.
1. Numa frutaria foram vendidas, em um dia, três dúzias de laranjas, o dobro dessa quantidade de bananas e mais duas dúzias de maçãs. Quantas frutas foram vendidas ao todo?
(A) 80
(B) 108
(C) 128
(D) 132
2. Juliana foi passar as férias na praia e começou a recolher conchinhas. Nos 4 primeiros
dias recolhia 28 por dia. No quinto e último dia, recolheu mais 17. Quantas conchinhas Juliana
levou de sua viagem?
(A) 47 conchinhas.
(B) 51 conchinhas.
(C) 112 conchinhas.
(D) 129 conchinhas.
90
11° ENCONTRO
Divisão de números naturais
Q
uatro turistas chegaram à cidade de Luís Correia, no Piauí, e decidiram fazer um
passeio pela orla em um carro. Foram informados de que o passeio teria uma
duração de 5 horas e um custo de R$ 300,00.
Vamos pensar sobre essa situação e responder as questões a seguir.
1) Qual é o valor do passeio? _______________________________________________
2) Quantas pessoas farão este passeio? ______________________________________
3) Sabendo que todas as pessoas vão pagar o mesmo tanto pelo passeio, como fazemos
para calcular este valor?
______________________________________________________________________
91
4) Qual é o nome desta operação?
______________________________________________________________________
Observe, já podemos concluir algumas coisas. Utilizamos a divisão quando queremos:
► Repartir em partes iguais.
► Saber quantas vezes uma quantidade “cabe” dentro de outra.
Para realizar esta divisão, começamos dividindo pelo número de maior ordem: no caso,
o número das centenas.
Não é possível dividir 3 centenas por 4 e obter centenas como resposta. Assim, decompomos, desagrupamos ou trocamos 3 centenas por 30 dezenas.
Dividindo 30 dezenas por 4, obtemos 7 dezenas e sobram 2 dezenas.
Trocamos 2 dezenas que sobraram por 20 unidades.
92
Dividindo 20 unidades por 4, obtemos 5 unidades e não sobra nada.
5) Então, para realizar o passeio, cada uma das 4 pessoas deverá pagar o mesmo valor, ou seja, R$ ____________________________________________________________.
Vamos saber mais, agora sobre os termos da divisão:
► Em uma divisão, chamamos de dividendo o termo que estamos dividindo.
► Divisor é o número que representa em quantas partes estamos dividindo o dividendo.
► O resultado da divisão chama-se quociente.
► Resto é a quantidade que sobrou desta divisão. Se o resto for zero, a divisão é exata.
Se o resto for qualquer outro número, a divisão é inexata.
93
6) A divisão representada acima é exata ou inexata? _____________________________
Ao finalizar uma divisão podemos verificar se o resultado está correto realizando a prova
real. A multiplicação é a operação inversa da divisão.
Para calcular a prova real multiplicamos o quociente pelo divisor e depois somamos este
resultado ao resto. O resultado final tem que ser o número do dividendo.
quociente x divisor + resto = dividendo
Vamos conferir, tirando a prova real da divisão que fizemos.
7) Multiplicamos o quociente ____________ com o divisor ___________.
centenas
dezenas
unidades
X
8) Ao resultado encontrado, somamos o resto __________________________________
______ + ______ = _______
9) O valor encontrado foi __________________________________________________
10) O dividendo é ________________________________________________________
11) O produto e o dividendo possuem valores iguais ou diferentes? _________________
Se os valores forem iguais você acertou. Tirou a prova real.
Você viu que nós somamos 300 com zero e o resultado foi 300, isso porque o zero é o
elemento neutro da adição. Será que a divisão tem elemento neutro? Será que para a divisão
vale a propriedade comutativa e a propriedade associativa?
Agora, vamos resolver alguns problemas que envolvem a divisão.
94
1. Marta pagou R$ 35,00 por 5 pacotes de chocolate. Quanto custou cada pacote?
(A) R$ 5,00
(B) R$ 6,00
(C) R$ 7,00
(D) R$ 8,00
2. Tenho 64 pirulitos e desejo dividi-los, igualmente, em 4 pacotes. Quantos pirulitos devo
colocar em cada pacote?
(A) 14
(B) 16
(C) 21
(D) 32
3. Daniel recebeu 816 reais por um grafite que fez no muro de uma escola. Ele resolveu
repartir o valor igualmente entre os amigos que o ajudaram. Como eles são 8 ao todo, ele deve
fazer a divisão por 8 pessoas. Quanto cada um receberá?
(A) 12 reais
(B) 13 reais.
(C) 102 reais
(D) 103 reais
4. José quer ir ao show da sua banda preferida, cujo ingresso custa 78 reais. Ele descobriu que se for estudante e levar dois quilos de alimento não perecível, ele pagará apenas a
terça parte do valor do ingresso. José é estudante e levará os dois quilos de alimento, quanto
pagará pelo show?
(A) 39 reais
(B) 34 reais
(C) 26 reais
(D) 22 reais
95
5. Lia tem R$ 50,00. Sabendo que ela tem o dobro da quantia de Pedro, quanto tem Pedro?
(A) R$ 100,00
(B) R$ 50,00
(C) R$ 75,00
(D) R$ 25,00
6. Minha escola está arrecadando peças de roupa para distribuir para comunidades carentes. Já foram arrecadadas 945 peças. As peças serão divididas igualmente entre 7 comunidades. Quantas peças de roupa cada comunidade vai receber?
(A) 115 peças.
(B) 125 peças.
(C) 135 peças.
(D) 145 peças.
7. Em uma caixa, há 30 lápis e na outra há 12 lápis. Quantos lápis devem ser passadas
de uma caixa à outra para que as duas fiquem com a mesma quantidade de lápis?
(A) 6
(B) 7
(C) 8
(D) 9
8. Numa festa, foi possível formar 20 casais diferentes para dançar. Nesta festa havia 4
moças e todas as pessoas presentes dançaram. Quantos eram os rapazes?
(A) 4
(B) 5
(C) 6
(D) 7
96
9. Um auditório possui 64 cadeiras. Elas estão organizadas em fileiras e colunas. Se são
8 as fileiras, quantas são as colunas?
(A) 6
(B) 7
(C) 8
(D) 9
10. A bibliotecária está organizando as estantes da biblioteca da escola. Ela vai colocar
903 livros didáticos de mesmo tamanho em 3 prateleiras. Todas as prateleiras terão a mesma
quantidade de livros. Quantos livros ela deverá colocar em cada prateleira?
(A) 31 livros.
(B) 301 livros.
(C) 2709 livros.
(D) 2911 livros.
11. A professora pediu que todos calculassem a divisão 825 ÷ 5. Qual o resultado correto
dessa divisão?
(A) 145
(B) 155
(C) 165
(D) 175
12. Papai comprou uma bicicleta por R$ 728,00. Pagou em 8 prestações mensais iguais.
Qual foi o valor de cada prestação?
(A) R$ 71,00
(B) R$ 81,00
(C) R$ 91,00
(D) R$ 101,00
Em casa, procure reconhecer uma situação em que é necessário utilizar a divisão.
Escreva um problema com essa situação e traga-o para discutirmos em sala.
97
98
12° ENCONTRO
Um pouco mais divisão de
números naturais...
V
ocê sabia que mais ou menos trinta câmeras de videomonitoramento estão espalhadas por pontos estratégicos da cidade de Teresina? É o guardião eletrônico.
Esse serviço agiliza os atendimentos da Polícia Militar. São 150 ocorrências por
mês só na capital. Os casos de maior frequência são: acidentes de trânsito com e sem vítimas,
imprudência e uso e tráfico de drogas.
99
Vamos supor que essas 30 câmeras tenham registrado exatamente o mesmo número de
ocorrências.
1) Que operação devemos fazer para calcular o número de ocorrências registradas por
cada câmera?
______________________________________________________________________
C D U
1 5 0
3 0
Não é possível dividir 1 centena por 30 e obter centenas como resposta.
Também não é possível dividir 15 dezenas por 30 e obter dezenas como resposta.
Então vamos dividir 150 unidades por 30.
Obtemos 5, pois 30 x 5 = 150.
CEN DEZ
C
1
1
0
D
5
5
0
UNI
U
0
0
0
3 0
0 0 5
2) Portanto, cada câmera registra ________ ocorrências por mês.
No último encontro, você resolveu vários problemas envolvendo a operação de divisão.
Você deve ter percebido que essa operação nos ajuda a resolver inúmeros problemas da vida
cotidiana.
Vamos resolver mais problemas envolvendo a divisão?
100
1. Vamos realizar uma festa na minha escola. O gasto total será de R$ 240,00. A professora contribuiu com R$ 30,00 e os 30 alunos da turma contribuíram com o restante. Sabendo
que todos os alunos contribuíram com o mesmo valor, qual foi a contribuição, em reais, de
cada aluno?
(A) R$ 7,00
(B) R$ 8,00
(C) R$ 10,00
(D) R$ 12,00
2. Um padeiro preparou 882 pães que foram distribuídos igualmente em 18 cestas para
serem distribuídas. Quantos pães foram colocados em cada cesta?
(A) 49
(B) 319
(C) 900
(D) 3181
3. Uma loja está fazendo uma promoção e está vendendo camisetas por R$ 12,00 cada.
Em um dia de venda totalizou R$ 1044,00 com a venda das camisetas. Quantas camisetas
foram vendidas?
(A) 77
(B) 78
(C) 87
(D) 88
4. Na papelaria, Paula está organizando os envelopes em caixas que cabem 100 envelopes. Têm no total 7.053 envelopes. Ao término do trabalho, quantas caixas ela usará e quantos
envelopes sobrarão?
(A) 7 caixas com 100 envelopes e sobra de 53 envelopes.
(B) 70 caixas com 100 envelopes e sobra de 53 envelopes.
(C) 53 caixas com 100 envelopes e sobra de 70 envelopes.
(D) 705 caixas com 100 envelopes e sobra de 3 envelopes
101
5. Thiago comprou o carro usado do seu irmão por 10.880 reais. Ele deu 5000 reais de
entrada e o restante ele dividiu em 24 prestações iguais. Como seu irmão não cobrou juros de
Thiago, qual será o valor de cada prestação?
(A) 24 reais.
(B) 240 reais.
(C) 245 reais.
(D) 2450 reais.
6. Uma fábrica de chocolates produziu 4050 bombons em um dia. Esses bombons foram
colocados em caixas que cabem 25 bombons cada. Para saber quantas caixas seriam necessárias, o gerente fez uma divisão e viu que poderia encher
(A) 16 caixas.
(B) 106 caixas.
(C) 162 caixas.
(D) 1602 caixas.
7. Um programa distribuirá cento e cinquenta mil cadernos para 75 escolas de uma capital. Quantos cadernos serão distribuídos a cada escola?
(A) 200
(B) 750
(C) 1500
(D) 2000
8. O auditório de uma escola possui 1 224 cadeiras. Elas estão organizadas em fileiras e
colunas. Se são 34 as fileiras, quantas são as colunas?
(A) 33
(B) 34
(C) 35
(D) 36
102
9. Em um dia, numa fábrica foram produzidos 12 426 lápis de cor. Os lápis são armazenados em caixas que cabem 12 lápis. Ao término do dia, quantas caixas foram fechadas e qual
foi a sobra de lápis?
(A) 135 caixas e sobram 6 lápis.
(B) 140 caixas e sobram 6 lápis.
(C) 1035 caixas e sobram 6 lápis.
(D) 1040 caixas e sobram 6 lápis.
Em casa, fale sobre os diferentes problemas de divisão que fez e peça a ajuda de
alguém para resolver o problema a seguir.
No aniversário de 10 anos de uma escola, a diretora comprou diferentes pacotes de balões para enfeitar as salas de aula e os corredores. Como eram muitos balões ela resolveu
pedir ajuda aos alunos do 2°, 3º, 4º e 5º anos para enchê-los. No quadro a seguir, veja quantos
alunos e quantos balões tinham em cada pacote.
1° ano
2° ano
3° ano
4° ano
Balões
190
210
179
167
N° de alunos
32
36
30
28
Considerando-se que os alunos iriam encher a mesma quantidade de balões, quantos
cada um recebeu e quantos sobraram?
1° ano
2° ano
3° ano
4° ano
Balões por aluno
Resto
As professoras resolveram juntar os balões restantes e distribuí-los igualmente para os
29 alunos do 5º ano encherem. Quantos balões cada aluno recebeu? Sobraram balões?
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
103
104
13° ENCONTRO
Múltiplos e divisores
Luiza estava brincando com sua prima em um tabuleiro como o mostrado na figura
abaixo. Elas combinaram de, a partir da saída, pular os números, de dois em dois, até a chegada.
Por meio dessa situação, vamos ver o que podemos aprender.
105
1) Veja os números destacados em azul. Luiza está na casa correspondente ao número
18. Qual será a sequência de números que Luiza irá percorrer até a chegada?
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
Observe:
► Os números que você escreveu são múltiplos de 2.
► Para encontrarmos os múltiplos de um número, basta multiplicar este número por
qualquer número natural.
2) Responda:
0x2=
1x2=
2x2=
3x2=
4x2=
E assim por diante!
► Como os números naturais são infinitos, o conjunto dos múltiplos de um número
também é infinito. Para representar um conjunto infinito, colocamos reticências após a
sequência de números escritos.
Veja o conjunto dos múltiplos de 2:
M(2) = {0, 2, 4, 6, 8...}
3) Agora é a sua vez, continue a sequência dos múltiplos abaixo:
M(3) = {0, 3, 6,____, ____, ____, ____, ____, ____, ____, ____,____, ____...}
M(5) = {0, 5, 10, ____, ____, ____, ____, ____, ____, ____, ____, ____, ____...}
M(7) = {0, 7, 14 ____, ____, ____, ____, ____, ____, ____, ____, ____, ____...}
► Observe que o número zero apareceu em todos os conjuntos dos múltiplos. O zero é
múltiplo de todos os números.
106
Agora, vamos para outra situação.
Comprei 8 pares de brinco. Vou organizá-los em envelopinhos de papel com a mesma
quantidade em cada um.
4) Vamos analisar de quantas formas eu posso organizar estes brincos em envelopes de
modo que os envelopes tenham a mesma quantidade de brincos.
Posso colocar todos em um único envelope? _________
E em 2? _____________
E em 3? _____________
E em 4? _____________
E em 5? _____________
E em 6? _____________
E em 7? _____________
E em 8? _____________
5) Como você fez para descobrir?
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
► Para organizar os brincos em envelopes com a mesma quantidade tenho que realizar
uma divisão exata. Se a divisão for inexata, quer dizer que vão sobrar brincos fora dos
envelopes. E não é isso que quero fazer.
107
Ao realizar as divisões encontramos:
6) Das divisões acima, quais são exatas?
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
Dizemos que um número é divisor de outro quando o resto da divisão é igual a zero.
► Os números cujas divisões são exatas, são divisores de 8.
► O conjunto dos divisores de um número é finito, portanto, não escrevemos reticências
no final da sequência numérica.
Veja o conjunto dos divisores de 8:
D(8) = {1, 2, 4, 8}
Agora é a sua vez:
7) Escreva os divisores dos números abaixo:
D(2) = {1, ___ }
D(3) = {1, ___ }
D(4) = {1, ____, ____ }
D(5) = { ____, ____ }
D(6) = {1, ____, ____, ____ }
108
Já podemos concluir algumas coisas:
► Observe que o número um apareceu em todos os conjuntos dos divisores. O um é
divisor de todos os números.
► Todos os conjuntos encerram com o próprio número. O maior divisor de um número
é ele mesmo.
8) Responda:
O número 3 tem ___ divisores.
O número 4 tem ___ divisores.
O número 5 tem ___ divisores.
O número 6 tem ___ divisores.
Podemos afirmar que, dos números escritos acima, ____ e ____ são números primos,
pois possuem apenas dois divisores.
Mais conclusões...
► Números que possuem apenas dois divisores (o número 1 e ele mesmo) são chamados de números primos.
► O conjunto dos números primos é infinito.
► Alguns números primos:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29...
Vamos agora fazer alguns exercícios sobre as situações apresentadas.
1) Para entrar em um parque, cada visitante paga R$ 2,00. Há quatro caixas no parque.
Ao final do dia, um funcionário confere o valor arrecadado com as entradas. O funcionário
percebeu que havia um erro em um dos caixas, pois um dos valores arrecadados não era um
múltiplo de 2. Em qual dos caixas o valor estava errado?
(A) Caixa 1 - R$ 128,00
(B) Caixa 2 - R$ 324,00
(C) Caixa 3 - R$ 490,00
(D) Caixa 4 - R$ 625,00
109
2) Qual das sequências abaixo é formada apenas por múltiplos de 7?
(A) 0, 3, 6, 9, 12, 15...
(B) 0, 7, 14, 21, 28...
(C) 0, 10, 20, 30, 40, 50...
(D) 0, 25, 50, 75, 100...
3) Veja o que o Patolino está dizendo:
Pensei
em
um
número
maior que 23 e menor que 30. Ele
é múltiplo de 5.
http://globomidia.com.br/televis%C3%A3o/patolino
Em que número o Patolino pensou?
(A) 24.
(B) 25.
(C) 27.
(D) 28.
4) Dos números a seguir, podemos dizer que são divisores de 144 os números
(A) 2 e 3.
(B) 2 e 5.
(C) 3 e 5.
(D) 4 e 7.
110
5) Observe o calendário do mês de fevereiro de 2013.
As datas das quintas-feiras são múltiplos de
(A) 2.
(B) 3.
(C) 5.
(D) 7.
6) Qual das sequências abaixo é formada apenas por múltiplos de 10?
(A) 0, 3, 6, 9, 12, 15...
(B) 0, 25, 50, 75, 100...
(C) 0, 10, 20, 30, 40, 50...
(D) 0, 7, 14, 21, 28...
7) Os números 20, 35, 45, 50, 65 e 80 são múltiplos de
(A) 2.
(B) 3.
(C) 5.
(D) 7.
8) São divisores de 18 os números
(A) 1, 2, 7 e 18.
(B) 1, 2, 3, 5 e 18.
(C) 1, 2, 4, 6, 9 e 18.
(D) 1, 2, 3, 6, 9 e 18.
111
9) Minha professora pediu que eu identificasse, entre os números abaixo, que alternativa
apresenta somente números primos. Qual alternativa eu devo assinalar?
(A) 1, 2, 3, 5, 7, 8
(B) 5, 7, 11, 13, 17, 23
(C) 2, 3, 4, 5, 6, 7
(D) 3, 5, 7, 13, 15, 18
10) Forme uma dupla para jogar o jogo abaixo.
Vocês vão precisar apenas do jogo e de lápis e borracha. Siga agora os seguintes passos:
a) Tirem “par ou impar” para ver quem começa o jogo.
b) Quem ganhar, começa o jogo escolhendo qualquer número do tabuleiro. Nele marca
um x ou um círculo, conforme combinado.
c) O colega deve, então, marcar todos os múltiplos e divisores daquele número com o
mesmo símbolo de marcação já utilizado.
d) Quando ele chegar ao final ou errar, deve escolher um número para que o outro marque os múltiplos e divisores.
e) Ganha o jogo quem tiver a maior quantidade de números marcados.
f) Se um jogador marcar um número errado, ele deve parar imediatamente e não poderá
marcar outros números. Se um jogador falar um número e o adversário não souber identificar
os seus múltiplos e divisores, ele próprio pode marcar ganhando pontos para si.
112
Em casa, converse com sua família sobre os números primos e escreva a sequência dos números primos de 1 a 50.
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
113
114
14° ENCONTRO
Revendo as quatro operações
Ricardo e Teresa se casaram ontem. O primo de Ricardo realizou a brincadeira da venda
de pedaços de gravata durante a festa.
Conseguiram arrecadar entre os convidados:
05 notas de R$ 20,00
15 notas de R$ 10,00
13 notas de R$ 5,00
26 notas de R$ 2,00
115
A
pós o recebimento do dinheiro, Ricardo e Tereza fizeram uma doação de
R$ 43,00 para uma instituição de caridade e dividiram o restante em três partes
iguais. Guardaram duas partes para as primeiras despesas de casados e utilizaram uma delas para dar entrada em um fogão.
1) Você já foi a uma festa de casamento?
_____________________________________________________________________
2) Conhece a brincadeira descrita acima?
_____________________________________________________________________
Vamos analisar a situação deste casal.
Realize os cálculos no espaço abaixo para verificar quanto eles arrecadaram em dinheiro:
3) Qual foi o valor arrecadado?
_____________________________________________________________________
Fizeram uma doação de R$ 43,00. Calcule quanto sobrou.
116
4) Quanto reais sobraram? ________________________________________________
Este valor foi dividido em 3 partes iguais. Calcule.
5) Cada parte equivale a ______________________________________________ reais.
Uma parte foi utilizada para pagar o valor de entrada de um fogão. Calcule quanto sobrou.
6) O valor que sobrou vai ser guardado para despesas futuras. Sobraram _______ reais.
Observe:
► Para sabermos quantos reais eles ainda têm, precisamos realizar todas as operações
que conhecemos: adição, subtração, multiplicação e divisão.
► Podemos chegar a este mesmo resultado, montando uma expressão numérica.
● Como calculamos primeiro o valor arrecado na festa, colocamos esta situação dentro
de parênteses ( ).
5 notas de 20 reais = 5 x 20
15 notas de 10 reais = 15 x 10
13 notas de 5 reais = 13 x 5
26 notas de 2 reais = 26 x 2
117
● Para saber o valor total arrecadado, somamos o resultado de cada multiplicação.
(5 x 20 + 15 x 10 + 13 x 5 + 26 x 2)
● Agora, deste valor arrecadado, vamos subtrair a doação de 43 reais.
(5 x 20 + 10 x 15 + 5 x 13 + 2 x 26) – 43
● O resultado dos parênteses menos 43 será dividido em 3 partes iguais. Então precisamos de outro símbolo, diferente dos parênteses para realizar a próxima operação. Inserimos os colchetes [ ].
[(5 x 20 + 10 x 15 + 5 x 13 + 2 x 26) – 43] : 3
● O valor encontrado corresponde a 1 parte do que foi dividido em 3. Mas sabemos que
sobrarão 2 partes, pois ele utilizarão 1 delas para a entrada do fogão. Portanto, vamos
multiplicar o resultado encontrado por 2. Precisamos acrescentar outro símbolo: as chaves { }.
{[(5 x 20 + 10 x 15 + 5 x 13 + 2 x 26) – 43] : 3} x 2=
► Aí está nossa expressão. Para resolvê-la, utilizamos o mesmo procedimento feito
para montá-la.
As expressões numéricas devem ser resolvidas seguindo esta ordem:
1º) parênteses
2º) colchetes
3º) chaves
► A ordem de resolução das operações também deve ser observada e seguida, obrigatoriamente, desta forma:
1º) divisão ou multiplicação (a que aparecer primeiro)
2º) adição ou subtração (a que aparecer primeiro)
118
A resolução:
{[(5 x 20 + 10 x 15 + 5 x 13 + 2 x 26) – 43] : 3} x 2 =
{[(100 + 150 + 65 + 52) – 43] : 3} x 2 =
{[367 – 43] : 3} x 2 =
{324 : 3} x 2 =
108 x 2 = 216
Observe que, embora nesta expressão a divisão esteja presente, ela se encontra na última etapa de resolução: na resolução das chaves.
À medida que resolvemos todas as operações que estão dentro dos parênteses, colchetes ou chaves, eliminamos o símbolo que as continha.
Agora, vamos resolver alguns problemas semelhantes aos que foram apresentados.
1. Fabrício coleciona selos. Ao organizar sua coleção, contou 412. Percebeu que 17
estavam rasgados, e retirou-os do álbum. No dia seguinte comprou outro álbum e mais 34
selos. Distribuiu sua coleção em 11 páginas do novo álbum. Cada página ficou com a mesma
quantidade de selos.
Quantos selos Fabrício colocou em cada página?
(A) 37
(B) 38
(C) 39
(D) 40
119
2. Helena e Rafael foram juntos ao supermercado fazer umas compras. Combinaram de
dividir igualmente a despesa. Compraram um pacote de feijão de 1 kg por R$ 2,00; 1 lata de
leite em pó por R$12,00; um pacote de macarrão parafuso por R$ 2,00 e uma caixa de sabão
em pó de 1 kg por R$ 6,00. Helena pagou tudo com uma nota de R$ 50,00.
Faça os cálculos:
a. Quantos reais eles gastaram no supermercado?
____________________________________________________________________
b. Quanto Helena recebeu de troco?
____________________________________________________________________
c. Quanto cada um deverá pagar pela despesa total do supermercado?
____________________________________________________________________
d. Escreva uma expressão numérica com todos os dados do problema e diga o seu resultado?
______________________________________________________________________
3. Anita ganhou no seu aniversário, R$ 38,00 da sua mãe e R$ 25,00 da sua tia. O pai e
o avô deram R$ 40,00 cada um. Anita pagou a dívida de R$ 17,00 que tinha com seu irmão e
gastou a metade do que sobrou. Quantos reais sobraram?
(A) R$ 43,00
(B) R$ 63,00
(C) R$ 86,00
(D) R$ 126,00
120
4. A professora pediu para Lucas resolver a expressão numérica:
http://mdmat.mat.ufrgs.br/PEAD/banco_de_atividades/num_op/num_op_12_0_1.html
Que resultado Lucas encontrou?
(A) 23
(B) 24
(C) 25
(D) 26
5. Visconde e Emília estavam conversando no Sítio do Pica-pau Amarelo:
“— Vamos ver agora uma Igualdade bem complicada, cheia de Termos e Fatores, isto é,
com vários sinais aritméticos. Esta, por exemplo — e escreveu no rinoceronte:
4x3+7x5–9x3=?
— Ché! — exclamou Emília fazendo focinho. — Essa conta vai dar dor de cabeça.”
http://www.nilsonmachado.net/sema20121026_2.pdf
Ajude Emília a calcular esta expressão sem dor de cabeça. Marque o resultado correto.
(A) 20
(B) 74
(C) 173
(D) 258
121
6. Rafael escondeu a boneca de Juliana e só deu uma dica: Se você encontrar o resultado da minha expressão numérica, poderá achar a boneca observando os locais onde os
números estão posicionados.
http://mdmat.mat.ufrgs.br/PEAD/banco_de_atividades/num_op/num_op_12_0_1.html
Onde está a boneca de Juliana?
(A) Atrás do carro.
(B) Ao lado da casa.
(C) À frente da árvore.
(D) O resultado não aparece.
7. Rafaela tinha 38 papéis de carta. Sua tia viajou e trouxe para ela, de presente, 3 pacotes com 26 papéis de carta em cada um. 13 papéis eram repetidos e ela deu para Márcia.
Quantos papéis de carta Rafaela tem agora?
(A) 65
(B) 77
(C) 78
(D) 103
8. Nete desafiou Renata:
- Renata, qual é o valor desta expressão?
http://mdmat.mat.ufrgs.br/PEAD/banco_de_atividades/num_op/num_op_12_0_1.html
122
Renata, então, resolveu corretamente e disse que o valor da expressão era
(A) 7.
(B) 8.
(C) 9.
(D) 10.
9. A professora de Matemática pediu que alguns alunos realizassem composições com
figuras geométricas. Cada figura tinha um valor em pontos conforme a tabela:
FIGURA
PONTOS
triângulo menor
1
triângulo maior
4
quadrado menor
2
quadrado maior
5
círculo menor
3
círculo maior
6
Observe as composições feitas por 4 alunos.
http://mdmat.mat.ufrgs.br/PEAD/banco_de_atividades/num_op/num_op_10.html
123
Dois alunos juntos obtiveram 42 pontos. Quais foram estes alunos?
(A) Guilherme e Natália
(B) Guilherme e Jonas
(C) Natália e Cristiane
(D) Cristiane e Jonas
10. Ricardo e Antônio vendem cachorro-quente. Ricardo vende cachorro-quente durante
o dia e Antônio vende à noite. Eles dividem igualmente o que recebem, retirando as despesas.
Hoje, Ricardo vendeu R$ 58,00 e Antônio vendeu R$ 68,00. Retirando os R$ 26,00 gastos com
pão e salsicha, quanto cada um vai receber?
(A) R$ 50,00
(B) R$ 63,00
(C) R$ 100,00
(D) R$ 126,00
Em casa, procure saber qual foi a última compra feita e escreva-a na forma de um
problema, citando o que foi comprado, o total da compra e como foi pago. Traga o problema para ser resolvido em sala.
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
124
15° ENCONTRO
Números racionais
O QUE É NÚMERO RACIONAL? SIMPLIFICAÇÃO DE FRAÇÕES
E EQUIVALÊNCIA DE FRAÇÕES
Vamos pensar sobre uma situação comum do nosso dia a dia..
A
castanha do Brasil, mais conhecida como castanha do Pará, é muito nutritiva e
bastante apreciada no mundo inteiro. Veja acima um fruto da castanheira.
Três amigos: Paulo, Beto e Zeca, derrubaram um coco de uma castanheira. Eles abriram
o coco e encontraram 12 castanhas dentro dele.
Os três quebraram as castanhas e comeram todas, enquanto conversavam ao pé da
castanheira.
125
Beto comeu 5 castanhas e Paulo comeu 4 castanhas.
Zeca ficou reclamando e dizendo que o Beto come muito.
Situações como essa são frequentes em nosso dia a dia. Vamos pensar sobre ela, respondendo algumas questões:
1) Quantas castanhas eles tiraram do coco? __________________________________
2) Como se poderia dividir esse número de castanhas, sem sobrar resto?
______________________________________________________________________
3) Qual foi o número de castanhas que Zeca comeu? ___________________________
4) Que fração do total de castanhas Beto comeu? E Paulo? E Zeca?
Beto comeu
Paulo comeu
Zeca comeu
5) A fração que corresponde ao que o Zeca comeu pode ser simplificada? ___________
6) Como? ______________________________________________________________
7) Eu posso simplificar a fração que representa as castanhas que Beto comeu?
______________________________________________________________________
8) Por que? ____________________________________________________________
______________________________________________________________________
9) E a fração do Paulo, é possível simplificar? _________________________________
10) Como? _____________________________________________________________
11) Que fração corresponderia à metade das castanhas? _________________________
12) Qual é a fração que corresponde às castanhas que o Paulo e o Zeca comeram juntos? ______________________________________________________________________
126
13) Essa fração pode ser simplificada? ______________________________________
14) Afinal, o Beto comeu mais ou menos que a metade das castanhas? ____________
15) Beto comeu ________________ da metade das castanhas, pois para comer metade, ele teria que comer __________ castanhas.
16) Que fração é equivalente a 1 das castanhas, na situação dos amigos? ___________
3
17) Se todos comessem o mesmo número de castanhas, cada um teria comido quantas?
______________________________________________________________________
Veja quantas coisas podemos concluir com base nessa situação comum a todos nós!
► Uma fração corresponde a uma razão entre dois números inteiros.
► Existem diferentes formas de se representar uma mesma fração.
► Podemos reduzir, ou equivaler, uma fração até torná-la irredutível.
► Para trocar a representação de uma fração, basta multiplicar ou dividir os dois números por um mesmo valor.
Mostre agora, o quanto você aprendeu, respondendo as questões a seguir.
1) Renato, André e eu estávamos fazendo as atividades de matemática que foram passadas para casa na residência de André. Sua mãe trouxe para o lanche 9 cocadinhas. Renato,
o mais guloso, comeu logo 4, André 2 cocadas e eu comi 3.
A fração das cocadas que André comeu foi
(A)
9
2
(B)
9
4
(C)
3
9
(D)
2
9
127
2) Fazendo a simplificação da fração de cocadas que comi em relação ao total de cocadas que a mãe de André trouxe, posso dizer que comi
(A)
1
9
das cocadas.
(B)
2
3
das cocadas.
(C)
1
3
das cocadas.
(D)
3
9
das cocadas.
3) Paula, Marcela, André e Aninha foram comemorar o aniversário de Claudinha em sua
casa. Sua mãe assou pizzas e serviu, dividindo cada pizza em oito pedaços. Veja a foto a seguir.
Disponível em: galerado4ano.blogspot.com. Acessado em 27/11/2012
Ela serviu os convidados e logo viu que a pizza se reduziu à metade. Isso significa dizer
que ela serviu
128
(A)
1
2
da pizza.
(B)
8
4
da pizza.
(C)
1
8
da pizza.
(D)
3
8
da pizza.
4) Nas figuras abaixo, as áreas escuras são partes tiradas do inteiro. A parte escura que
equivale aos 3 tirados do inteiro é
5
5) Veja a figura a seguir.
A parte sombreada da figura representa
(A)
3
5
(B)
5
3
(C)
3
8
(D)
8
3
129
6) De uma cartela com 12 comprimidos, Leila já tomou 4
6) De uma cartela com 12 comprimidos, Leila já tomou 4
6) De uma cartela com 12 comprimidos, Leila já tomou 4
Que fração dos comprimidos da cartela Leila já tomou?
Que fração dos comprimidos da cartela Leila já tomou?
4
(A) 4
(A) 8
8
Que fração
dos comprimidos da cartela Leila já tomou?
12
(B) 12
(B) 4
4
(A) 4
8
4
(C) 4
12
(C) 12
(B) 12
4
2
(D) 2
(D) 4
4
(C) 4
12
7) Na 2festa de aniversário de Luana encheram muitos balões. Ao pendurá-los na parede,
(D)Na festa de aniversário de Luana encheram muitos balões. Ao pendurá-los na parede,
7)
4
1
observou-se que 1 dos balões estouraram. Pode-se então dizer que
observou-se que 5 dos balões estouraram. Pode-se então dizer que
5
7) Na festa de aniversário de Luana encheram muitos balões. Ao pendurá-los na parede,
(A) de todos os balões, apenas um estourou.
(A) de todos os
um estourou.
1 balões, apenas
(B) de todos
cincoestouraram.
estouraram.Pode-se então dizer que
observou-se
que os balões,
dos balões
5 balões, cinco estouraram.
(B) de todos os
(C) um de cada cinco balões estourou.
(C) um de cada cinco balões estourou.
(D) de
ficaram
cincoapenas
balões.um estourou.
(A)
todoscheios,
os balões,
(D) ficaram cheios, cinco balões.
(B) de todos os balões, cinco estouraram.
Converse
com sua
as situações interessantes que viu hoje e faça com
(C)
um de cada
cincofamília
balõessobre
estourou.
Converse com sua família sobre as situações interessantes que viu hoje e faça com
alguém
atividades
(D)as
ficaram
cheios,abaixo.
cinco balões.
alguém as atividades abaixo.
1)
Se uma com
mexerica
tem 18sobre
gomosase situações
será repartida
entre 4 pessoas
dehoje
forma
que com
uma
Converse
sua família
interessantes
que viu
e faça
1)
o seutem
pai,18
sua
mãe eouserá
quem
puder entre
te ouvir
o quantodeaprendeu
sobre
1) Mostre
Se umapara
mexerica
gomos
repartida
4 pessoas
forma que
uma
delas
vaias
comer
6 gomos,
outra vai comer 2 gomos e as outras vão comer quantidades iguais
alguém
atividades
abaixo.
números
um inteiro
representados
na forma
de fração.
explicandoiguais
para
delas vaimaiores
comer 6que
gomos,
outra vai
comer 2 gomos
e as outras
vão Escreva,
comer quantidades
de gomos, responda, então:
essa
pessoa,
a históriaentão:
do doce de amendoim.
de gomos,
responda,
1) Se uma mexerica tem 18 gomos e será repartida entre 4 pessoas de forma que uma
______________________________________________________________________
são
as frações
davai
mexerica
cadaepessoa
vai vão
comer?
delasa.
vaiQuais
comer
6 gomos,
outra
comer que
2 gomos
as outras
comer quantidades iguais
______________________________________________________________________
a. Quais são as frações da mexerica que cada pessoa vai comer?
______________________________________________________________________
de gomos,
responda, então:
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
a. Quais são as frações da mexerica que cada pessoa vai comer?
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
130 ______________________________________________________________________
130
2) Aproveite para dar exemplos de fração imprópria e número misto.
b. Das frações que você encontrou, alguma é redutível?
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
c. E alguma é irredutível?
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
d. Como ficam todas as frações quando são escritas em suas formas irredutíveis?
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
2) Uma melancia foi dividida em 20 fatias iguais. 12 pessoas comeram uma fatia da melancia e duas pessoas comeram três fatias cada. Responda:
a. Quais são as frações que representam as quantidades da melancia que as pessoas
comeram?
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
b. Alguma dessas frações pode ser representada de outra forma?
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
c. Que fração representaria a metade da melancia?
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
d. Qual é a fração que corresponde à parte que foi comida pelas duas pessoas que comeram mais?
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
e. Sobrou melancia? Que fração representa a quantidade de melancia que sobrou?
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
131
3) Na sala, a professora promoveu uma competição para saber quem mais sabia frações.
Ela colocou sobre a mesa fichas com diversas frações e pediu que os alunos localizassem
duas frações equivalentes.
Veja as frações que quatro alunos escolheram:
Cláudia
Carlos
Vinícius
Andréa
1
1
e
2
3
9
3
e
12
4
8
2
e
25
5
3
1
e
8
8
Quem marcou ponto?
(A) Cláudia.
(B) Carlos.
(C) Vinícius.
(D) Andréa.
132
16° ENCONTRO
Fração imprópria e número misto
Vamos pensar em outra situação comum do nosso dia a dia...
P
ara a festa junina, a mãe de Pedro fez doces de amendoim. Ela colocou os doces
em pequenas formas retangulares como as representadas abaixo, e depois cortou o doce de cada forma em seis fatias de mesmo tamanho , conforme mostra a
figura
Pedro e alguns amigos seus comeram várias fatias do doce de amendoim feito por sua
mãe.
133
Vamos pensar sobre essa situação respondendo algumas questões:
1) Cada fatia representa que fração do doce de uma forma?
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
2) Quem comeu apenas 3 fatias de doce, comeu que fração de um doce? Como se lê
essa fração?
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
3) Quem comeu exatamente 5 fatias, comeu que fração de um doce? Como se lê essa
fração?
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
4) E quem comeu 6 fatias , comeu que fração de um doce? Como se lê essa fração?
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
5) Considerando-se as seis fatias, eles representam que parte de um doce?
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
6) Agora, imagine que Pedro tenha comido 8 fatias. Que fração representa a quantidade
de doce comida por Pedro?
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
7) Essa fração é maior ou menor que um inteiro? Por quê?
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
8) Essa fração que você encontrou, pode ser simplificada? Como?
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
9) Que fração irredutível ela representa?
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
134
10) Quem comeu 9 fatias, comeu mais ou menos que um doce inteiro?
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
11) Qual fração de um doce foi comida por quem comeu 9 fatias de doce?
______________________________________________________________________
12) Essa fração que você encontrou tem quantos sextos a mais que um inteiro? (Lembre-se que o inteiro tem seis sextos)
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
Agora, observe as seguintes frações:
5 7 10 4
, , e
6 6 6 6
13) Quais delas representam mais que um doce inteiro? Por quê?
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
Agora, compare o numerador com o denominador em cada uma das frações da questão
anterior.
14) Nas frações que representam mais que um doce inteiro, quem é maior, o numerador
ou o denominador?
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
As frações maiores que um inteiro são chamadas de FRAÇÕES IMPRÓPRIAS.
15) Agora, suponha que Pedro tenha comido 15 fatias de doce. Nesse caso, a fração que
representa o total de pedaços de doce que Pedro comeu durante a festa é
.
Ele comeu mais de um doce? Ele comeu mais ou menos que dois doces?
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
135
Pinte as fatias de doce que Pedro comeu:
Você percebeu que ele comeu
16) Por isso, qual é a forma mais simples de se falar a quantidade de doces que Pedro
comeu?
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
A forma mais simples de se representar uma fração maior que um inteiro pode ser um
número misto.
No caso do Pedro, temos
15
1
1
=2+ =2
6
2
2
17) Essa última representação é chamada de número misto. Você consegue imaginar por
que tem esse nome?
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
18) Como se escreve a fração 7 na forma de um número misto?
6
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
1
19) Se alguém comeu pedaços de doce que correspondem ao número misto 1 , essa
3
pessoa comeu quantos fatias de doce?
___________________________________________________________________
136
20) As frações maiores que um inteiro são chamadas de impróprias. Qual fração imprópria é igual ao número 3
5
?
4
______________________________________________________________________
Agora, observe as frações
⇒ , ,
,
,
,
2
3
e
e suas classes de equivalência:
3
4
,
Observe que há frações com denominadores iguais nos dois conjuntos.
21) As frações equivalentes a
___ e ___ e ____ e ____.
2
3
ea
que têm denominadores iguais ou comuns são
3
4
22) Nas figuras abaixo estão representadas algumas frações. Em cada caso, escreva a
fração imprópria e o número misto correspondente:
a)
a)
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
b)
b)
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
137
c)
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
d)
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
e)
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
Vocês perceberam quanta matemática nós podemos aprender em uma situação como
essa?
► As frações maiores que um inteiro, possuem uma outra representação que é chamada de número misto.
► Um número misto tem uma parte inteira e uma parte fracionária;
► Algumas frações são chamadas de aparentes, porque na verdade representam números inteiros, é o caso, por exemplo, de
6 12
e
6 6
► Quando a fração representa um número maior que um inteiro ela é chamada de imprópria;
138
► Para transformar uma fração imprópria em um número misto basta separar o número
de inteiros contidos na fração.
Mostre agora, o quanto você aprendeu, respondendo as questões a seguir.
1) Das frações abaixo, marque a imprópria.
(A)
4
7
(B) 8
5
(C)
12
17
(D) 5
9
2) Das frações abaixo, qual é maior que 2 inteiros?
(A)
12
7
(B)
6
5
(C)
13
8
(D)
14
5
3) Que fração corresponde a cada um dos números mistos a seguir?
(A) 3
2
_____
5
(B) 7
1
8
_____
139
(C) 8
2
_____
3
(D) 1
5
_____
6
4) Que número misto corresponde a cada uma das frações abaixo?
(A)
12
7
_____
(B) 7
_____
3
2
_____
(D) 9
_____
5
(C)
5
(E)
15
2
_____
5) O número misto 3 1 transformado em fração imprópria resulta em
4
(A)
(B)
(C)
(D)
140
13
4
1) Mostre para o seu pai, sua mãe ou quem puder te ouvir o quanto aprendeu sobre
números maiores que um inteiro representados na forma de fração. Escreva, explicando para
essa pessoa, a história do doce de amendoim.
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
2) Aproveite para dar exemplos de fração imprópria e número misto.
Exemplo de uma fração imprópria:
______________________________________________________________________
Exemplo de um número misto:
______________________________________________________________________
141
142
17° ENCONTRO
Comparação e equivalência de frações
Vamos considerar mais algumas situações do nosso dia a dia...
S
ITUAÇÃO 1: Quatro amigos, Marcos, João Paulo, Isabela e Raiane, foram a uma
pizzaria e pediram uma pizza, que já se encontrava dividida em 8 fatias iguais,
mas eles não comeram igualmente.
143
Veja quanto cada um comeu:
Marcos
João Paulo
Isabela
Raiane
1. Em relação à pizza inteira, qual foi a fração que cada um dos amigos comeu?
a) Marcos comeu ______________.
b) João Paulo comeu ___________.
c) Isabela comeu ______________.
d) Raiane comeu ______________.
2. Ao comparar o que cada um comeu, podemos dizer que:
a) quem comeu mais foi _________________.
b) quem comeu menos foi _______________.
c) comeram a mesma quantia _______________ e _______________.
d) Eles comeram juntos a pizza inteira, que pode ser representada pela fração
____________.
144
3. A que conclusão você chega em relação à comparação de frações de mesmo denominador?
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
S
ITUAÇÃO 2 - Vamos agora imaginar que os quatro amigos tenham comido a
mesma pizza, mas agora com seus familiares, no final de semana. Cada um disse que tinha comido uma fração diferente do que comeram juntos. Eles queriam
agora saber quem tinha comido mais ou menos. Veja o que cada um fala e ilustre o que cada
um comeu da pizza. Lembre-se que a divisão da pizza é indicada pelo denominador e o que
comeu de cada divisão deve ser colorido, como no primeiro exemplo.
Marcos: - Eu comi
1
da pizza.
4
João Paulo: - Eu comi
1
da pizza.
3
Isabela: - Eu comi
1
da pizza.
8
Raiane: - Eu comi
1
da pizza.
5
Observe que temos numeradores iguais e denominadores diferentes. Para descobrirmos
quem comeu mais ou menos pizza, foi necessário imaginar a mesma pizza dividida nas partes
indicadas pelo denominador.
Agora, responda às questões:
4. Quem comeu mais pizza foi _________________, porque sua pizza estava dividida
em um ____________ número de partes.
5. Quem comeu menos pizza foi _________________, porque sua pizza estava dividida
em um ____________ número de partes.
145
6. A que conclusão você chega em relação à comparação de frações de mesmo numerador e denominador diferente?
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
Vejam as conclusões que podemos tirar com base nessa situação comum a todos nós!
► Quando os denominadores das frações comparadas são iguais, a maior fração é a
representado pelo que tem o maior numerador.
► Quando os numeradores são iguais e os denominadores diferentes, a maior fração é
representada pelo que tem o menor denominador e a menor fração é representada pelo
que tem o maior denominador.
► Para compararmos frações de numeradores e denominadores diferentes, é necessário calcular o mínimo múltiplo comum dos denominadores para, em seguida, compará-las.
SITUAÇÃO 3 - Vamos agora imaginar que os quatro amigos tenham falado as frações
descritas a seguir e que você também vai colorir, ilustrando o que cada um comeu, conforme
o primeiro exemplo.
Marcos: - Eu comi
1
da pizza.
2
João Paulo: - Eu comi
2
da pizza.
4
Isabela: - Eu comi
3
da pizza.
6
Raiane: - Eu comi
4
da pizza.
8
7. Quem comeu mais e menos pizza? ________________________________________
146
8. A que conclusão você chega em relação à comparação das frações?
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
9. Encontre cinco frações equivalentes a 1
3
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
10. Converse com o colega ao seu lado e, juntos, pensem: há um processo prático para
encontrar frações equivalentes, sem ter que fazer desenhos? Expliquem
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
11. Agora encontre cinco frações equivalentes a
a) 1 _________________________________________________________________
3
b) 1 _________________________________________________________________
4
c) 1 _________________________________________________________________
4
d) 3 _________________________________________________________________
5
► Vejam as conclusões que podemos tirar dessa situação:
► Por meio de frações equivalentes podemos comparar frações.
► Comparar frações de mesmo denominador é mais fácil do que com denominadores
diferentes.
Uma fração é equivalente a outra quando elas representam a mesma porção do inteiro.
SITUAÇÃO 4 - Thiago e Mônica foram a pizzaria. Eles pediram pizzas individuais de
mesmo tamanho. Thiago comeu
da sua pizza e Mônica comeu 6 da sua pizza. Quem co8
meu mais?
147
Nessa situação, aparentemente não dá para saber quem comeu mais. Uma solução é
fazer o desenho.
Observe que Thiago e Mônica comeram o mesmo tanto da pizza. Thiago comeu
Mônica comeu
6
e
8
3
, mas veja:
4
3x2 6
3
=
(Se multiplicarmos no numerador e denominador da fração
por 2, encontra4 x2 8
4
6
mos como fração equivalente . Desta forma nem teríamos que fazer desenhos).
8
Vamos ver um exemplo?
Exemplo 1: Priscila comeu
3
7
de uma pizza e Pedro comeu
de uma pizza de mes5
10
mo tamanho. Dá para saber que ambos comeram mais que a metade, mas quem comeu mais?
Solução: é possível encontrar uma fração equivalente a
veja:
3
com denominador igual a 10,
5
3x2=6
7
3x2 6
3
7
<
é menor que
(
=
, podemos concluir então que
5x2=10 10
5x2 10
5
10
2
7
12. Berenice comeu
de uma pizza e José comeu
de outra pizza de mesmo tama3
9
nho. Quem comeu mais?
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
148
13. Carlos comeu
quem comeu mais?
10
3
de uma pizza e Estela comeu de outra pizza de mesmo tamanho
12
4
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
Você deve ter percebido que até aqui, os denominadores eram múltiplos um do outro: 10
é múltiplo de 5, 9 é múltiplo de 3 e 12 é múltiplo de 4. Para vermos se você está esperto mesmo
resolva o exercício a seguir:
14. Gustavo comeu
Quem comeu mais?
2
3
de uma Pizza e Lílian comeu de uma pizza de mesmo tamanho.
3
4
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
Veja a conclusão que podemos tirar com base nessa situação e nas atividades que resolvemos.
Para compararmos frações de numeradores e denominadores diferentes, temos que
fazer com que elas tenham o mesmo denominador. Para isso, é só encontrar frações equivalentes.
DESAFIO
Em uma aula de Matemática, a professora falou do cúbito ou côvado, que era uma
medida-padrão usada há cerca de 4.000 anos pelos egípcios e outros povos. O cúbito era
uma unidade de medida bastante usada que correspondia à distância do cotovelo até a ponta
do dedo médio. Havia várias medidas para o cúbito, mas o cúbito egípcio media aproximadamente 52 centímetros. Em alguns lugares, o cúbito ou côvado correspondia a 3 palmos como
mostra a figura a seguir.
149
Disponível em: http://dc427.4shared.com/doc/yDEauOC4/preview.html /. Acessoem 28nov2012.
Depois de falar sobre essas medidas, ela usou o próprio braço como unidade de medida
e, então, com um barbante do tamanho do seu cúbito mediu as alturas de alguns alunos da
turma. Ela encontrou as seguintes medidas:
-2
1
3
Eliana - 1
2
3
Maria
2
1
4
Dora -
2
1
2
Nélio - 1
5
6
Carlos - 2
3
4
Laura - 2
2
3
Paulo - 2
1
6
Ana
João -
-2
Depois disso, ela pediu que os alunos formassem uma fila por ordem de tamanho, começando pela Eliana e terminando com o Carlos.
1) Se a fila foi organizada por ordem de tamanho, da Eliana até o Carlos, a ordem de
tamanho é crescente (do menor para o maior) ou decrescente (do maior para o menor)?
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
2) É fácil ver que a Eliana é menor que o Carlos, certo? Mas quem é maior, Dora, João,
Paulo ou Ana? Por quê?
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
150
3) E Laura? Em que local da fila ela fica?
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
Há outra forma de respondermos as perguntas acima, fazendo menos contas. Para isso
podemos usar uma reta numerada. Observe o que foi feito para marcar na reta numerada abaixo a medida da altura da Eliana em cúbitos.
2
4) Agora, use a reta abaixo e represente a altura de Laura ( 2 ).
3
5) Na reta abaixo, represente a altura de Dora ( 2
1
).
2
6) Na reta abaixo, represente a altura de João ( 2
1
).
4
Vejam quantas coisas podemos concluir com base nessa situação comum a todos
nós!
► Para comparar números racionais é melhor que eles tenham o mesmo denominador;
► Podemos representar números em uma reta numerada;
► A representação na reta ajuda na hora de saber qual número é maior que outro.
Mostre agora, o quanto você aprendeu, respondendo as questões a seguir.
151
1) Qual fração é maior:
5
4
ou 6 ? ___________________________________________
2) Qual fração é maior:
3
7
ou 2 ? ____________________________________________
5
9
3
3) Qual fração é maior: 2 ou ? ____________________________________________
4
5
4) Para comparar frações, às vezes basta usar a representação como número misto.
9
Qual dessas frações é a maior: 9 , 8 ou ?
5
2
3
______________________________________________________________________
31
21
ou
?
5) Qual dessas frações é a maior: 29 ,
4
3
2
______________________________________________________________________
6) Outra forma interessante para se comparar frações é representá-las na reta numerada. Para isso, usamos a representação de número misto, sempre que possível. Represente na
reta numerada abaixo as frações: 5 , 8 e 11 .
2
4
4
7) Cinco colegas da escola, André, Francisco, Anísio, Clara e Luiza saíram juntos para fa9
;
zer um passeio por um mesmo caminho. Até agora, André andou 6 do caminho; Francisco
8
Anísio 3 , Clara 4 e Luíza
8
6
12
. Os amigos que se encontram no mesmo ponto do caminho são
(A) André e Anísio.
(B) André e Francisco.
(C) Clara e Luiza.
(D) Francisco e Luiza.
8) Quatro meninos participaram de uma competição de natação. Três minutos após a
152
2
da piscina, Pedro
4
1
3
3
havia percorrido da piscina, Felipe havia percorrido da piscina e Artur havia percorrido
2
5
4
da piscina.
largada, dois meninos estavam empatados. Fernando havia percorrido
Quais os dois meninos que estavam empatados?
(A) Fernando e Pedro.
(B) Fernando e Artur.
(C) Pedro e Felipe.
(D) Felipe e Artur.
Com base no que foi visto, chame um colega e, juntos, criem e escrevam um problema
em que vocês possam comparar frações.
153
154
18° ENCONTRO
Adição e subtração de frações
Vamos pensar sobre mais uma situação comum do nosso dia a dia...
J
oão e Antônio compraram duas pizzas do mesmo tamanho. Uma delas, eles dividiram em quatro pedaços e a outra, em oito pedaços.
João comeu um pedaço de cada pizza e Antônio comeu três pedaços da pizza que foi
dividida em oito pedaços.
Situações como essa são frequentes em nosso dia a dia. Vamos pensar sobre esta situação, respondendo algumas questões:
155
1) Que fração da pizza representa a parte que Antônio comeu?
______________________________________________________________________
2) Quais frações de cada uma das pizzas João comeu?
______________________________________________________________________
3) Os dois pedaços que João comeu eram do mesmo tamanho? Qual deles era maior?
______________________________________________________________________
4) É possível contar os pedaços que João comeu e dizer, como você fez no caso do Antônio, qual foi a fração da pizza que ele comeu?
______________________________________________________________________
Os dois amigos ficaram em dúvida sobre quem comeu mais pizza. Vamos ajudar a resolver essa questão?
5) O pedaço maior que João comeu equivale a quantas vezes o pedaço menor que ele
comeu?
______________________________________________________________________
6) É possível representar o pedaço maior de pizza que João comeu por meio de frações
equivalentes. O pedaço maior equivale a que fração da pizza que foi cortada em oito pedaços?
______________________________________________________________________
7) Usando a fração equivalente que você achou na pergunta anterior podemos contar
quantos pedaços menores de pizza João comeu. Quantos desses pedaços ele comeu ao todo?
______________________________________________________________________
8) Diga agora, qual dos dois amigos comeu mais pizza.
______________________________________________________________________
Vejam quantas coisas podemos concluir com base nessa situação comum a todos nós!
156
► Não podemos adicionar diretamente frações que têm denominadores diferentes, antes temos que encontrar frações equivalentes de mesmo denominador, para em seguida
efetuar a adição;
► Para calcular a soma de duas frações de mesmo denominador, basta somar os numeradores e conservar o denominador.
Vamos pensar em outra situação que acontece muito frequentemente.
Disponível em: http://www.cripaqui.com.br/lembs_imp/pgs/Infantil.html - Acesso em 17/12/2012
Três amigos: Alexandre, Paula e Juliana, compraram alguns saquinhos de balas de goma.
Eles decidiram anotar o quanto cada um comia das balas de cada saquinho. Por isso fizeram
as anotações abaixo:
Alexandre comeu
2
5
das balas de um saquinho antes da merenda,
saquinho na hora da merenda e
renda.
Paula comeu
1
4
1
5
2
5
1
3
1
3
das balas de um sa-
das balas de um saquinho durante a aula depois da merenda.
das balas de um saquinho antes da merenda,
quinho na hora da merenda e
das balas de um
das balas de um saquinho durante a aula depois da me-
das balas de um saquinho antes da merenda,
quinho na hora da merenda e
Juliana comeu
1
3
1
2
1
6
das balas de um sa-
das balas de um saquinho durante a aula depois da merenda.
Agora, vamos pensar sobre isso, respondendo algumas questões:
157
9) Que fração das balas de um saquinho Alexandre e Juliana comeram juntos antes da
merenda?
______________________________________________________________________
10) Foi fácil encontrar essa fração? Por que?
______________________________________________________________________
11) Também é fácil saber a fração das balas de um saquinho que Alexandre e Juliana
comeram antes da merenda, junto com a fração das balas de um saquinho que Paula comeu
depois da merenda. Que fração foi essa?
______________________________________________________________________
12) Agora, se você quiser saber que fração das balas de um saquinho os três comeram
na hora da merenda já não é tão simples. Por quê?
______________________________________________________________________
13) Para fazer a adição dessas frações teremos que usar frações equivalentes, ou seja
temos que encontrar frações que tenham mesmo denominador. Como 6 é múltiplo de 3, podemos pensar em uma fração equivalente a
1
3
e que tenha denominador igual a 6?
______________________________________________________________________
14) Qual fração é equivalente a
1
2
e tem denominador igual a 6?
______________________________________________________________________
15) Se representamos as frações
1
3
e
1
2
por frações equivalentes de denominador 6 fica
mais fácil fazer a soma de que fração das balas de um saquinho os amigos comeram na hora
da merenda. Que fração é essa?
______________________________________________________________________
158
16) Use a ideia de frações equivalentes e diga: que fração das balas de um saquinho que
os amigos comeram antes da hora da merenda?
______________________________________________________________________
17) Essa fração é maior ou menor que um inteiro?
______________________________________________________________________
18) Sobraram balinhas em um saquinho quando os amigos comeram antes da merenda?
______________________________________________________________________
19) As balas que sobraram no saquinho correspondem a que fração das balas de um
saquinho?
______________________________________________________________________
20) Qual fração das balas de um saquinho os três comeram na aula depois da merenda?
______________________________________________________________________
21) Os três juntos comeram mais ou menos que um saquinho de balas na aula depois da
merenda?
______________________________________________________________________
Vejam quantas coisas podemos concluir com base nessa situação comum a todos
nós!
► Podemos fazer a adição e a subtração de frações quando elas têm o mesmo denominador;
► Para fazer a adição ou a subtração de frações com o mesmo denominador, basta
operar os numeradores e conservar o denominador;
► Não podemos fazer diretamente a adição e nem a subtração de frações com denominadores diferentes;
► Para fazer adição ou subtração de frações com denominadores diferentes precisamos escrever antes as frações em uma forma equivalente, de modo que todas fiquem
com denominadores iguais.
159
Mostre agora, o quanto você aprendeu, respondendo as questões a seguir.
1) Luana fez um bolo e o repartiu com seus três filhos. Zeca comeu 3 pedaços, Pedro
comeu 2, Marta comeu 1. Sabendo-se que o bolo foi dividido em 12 pedaços iguais, que parte
do bolo foi consumida?
(A)
1
2
(B)
1
3
(C)
1
4
(D)
1
24
2) Calcule as somas das frações abaixo:
a)
2 7 1
+ + =
3 3 3
b)
2 1
+ =
5 3
c)
2 1
+
=
7 14
d)
1 2 1
+ + =
4 5 2
e)
2 5 3
+ +
=
5 4 10
f)
1 6 9
+ +
=
2 7 14
g)
160
2 1
− =
3 3
3 1
− =
5 5
h)
i)
7 1
− =
5 3
j)
8 2
− =
9 3
k)
9 3
− =
12 4
3) Uma pizza de presunto foi dividida em oito pedaços e Joana comeu um desses pedaços. Uma segunda pizza, de banana e caramelo, do mesmo tamanho da outra, foi dividida
em quatro pedaços e Joana comeu novamente um desses pedaços. Quanto Joana comeu de
pizzas, somando os dois pedaços?
(A)
2
4
(B)
3
4
(C)
3
8
(D)
4
8
4) Observe as frações representadas pelas figuras. Que fração é representada pelas
duas partes da figura juntas?
a)
_______________________
b)
_________________________
161
c)
_________________________
d)
_________________________
e)
_________________________
5) Observe o modelo e faça a representação das frações mostradas nas figuras abaixo e depois
efetue a adição dessas frações.
a.
b.
c.
d.
162
=
1 3
+
4 8
=
=
2 3 5
+ =
8 8 8
e.
f.
6) Agora, use a ideia que você observou acima e faça as adições de frações abaixo.
1
1
a. 4 + 2 =
b.
1 1
+ =
3 6
c. 1 + 7 =
5
10
d.
2 9
+
=
7 14
e.
3 1
+ =
8 2
f. 5 + 3 =
14
7
g. 8 + 2 =
5
15
3 1
+
=
h. 4 12
i.
5 1
+ =
12 2
163
7) Maria comprou uma torta e a dividiu em 7 fatias de mesmo tamanho. José comeu 2
fatias, Cláudia comeu 1 e Nete comeu também 1 fatia. Que fração da torta sobrou?
(A)
2
7
(B)
3
7
(C)
4
7
(D)
7
4
8) Antônio vende frutas em uma banca. Das 15 mangas que tinha colocado na banca,
vendeu
2
1
para Lucas e para Eduardo. Que fração das mangas foi vendida?
5
3
(A)
(B)
(C)
(D)
9) Na sala de aula do 5º ano A,
3
dos alunos são meninos. O restante são mulheres. Que
5
parte da turma se compõe de meninas?
164
(A)
1
5
(B)
2
5
(C)
3
5
(D)
4
5
1
1
10) Do bolo de banana que mamãe fez, Marcinho comeu e Adriana, . Que fração do
6
5
bolo foi comida?
(A)
5
6
(B)
(C)
(D)
Convide um amigo e façam juntos a atividade a seguir.
Use duas folhas de papel do mesmo formato e do mesmo tamanho para fazer a atividade
seguinte.
a. Dobre uma das folhas ao meio e marque a dobra. Que fração da folha representa uma
das partes da folha que você encontrou?
______________________________________________________________________
b. Dobre a outra folha ao meio por três vezes seguidas e marque as dobras. Que fração
da folha representa cada uma das partes que você encontrou?
______________________________________________________________________
c. A segunda fração que você encontrou é uma parte da primeira. A primeira fração corresponde a quantas vezes a segunda fração que você encontrou?
______________________________________________________________________
d. Faça agora, com as partes da folha, a representação da adição:
1 4
+
2 8
.
165
166
19° ENCONTRO
Multiplicação de frações
Vamos usar mais uma situação comum do nosso dia a dia para entender números racionais...
A mãe de Paulo fez um bolo e o dividiu em oito fatias iguais. Ela comeu uma das fatias do
bolo, então ele ficou parecido com o que se vê na figura abaixo.
P
aulo pediu para levar para a escola a metade das fatias que ficaram do bolo, para
dividir com seus amigos na hora da merenda.
Situações como essa são frequentes em nosso dia a dia. Vamos pensar sobre ela,
respondendo algumas questões.
167
1) O bolo que Paulo tinha estava dividido como nesta figura:
Que fração do bolo corresponde a cada uma das fatias?
____________________
2) Qual foi o número de fatias do bolo que ficaram?
____________________
3) Que fração do bolo todo representa essas fatias restantes?
____________________
Como restaram 7 fatias, ele vai ter que levar 3 pedaços e meio, mas ele não quer que
nenhum amigo coma fatia de tamanho diferente, por isso, ele resolveu dividir todas as fatias
do bolo ao meio. Na figura abaixo, parta cada fatia do bolo ao meio e diga que fração do bolo
todo representa cada uma das novas fatias.
4) Dividindo todas as fatias ao meio, quantos fatias de bolo ficam no total?
____________________
5) E agora, quantas ele deve levar para a escola?
____________________
6) Dessa forma, que fração representa a quantidade de fatias que ele levará para a escola?
____________________
168
Considere agora que a mãe de Paulo só o deixou levar para a escola 1 do que ficou
3
do bolo. Ele, então resolveu dividir cada fatia do bolo em três como mostra a figura a seguir.
Oberve as figuras seguintes e responda as perguntas que se seguem.
7) Se dividirmos cada uma das fatias do bolo em três partes iguais, quantas novas fatias
de bolo teremos ao todo?
_________________________
8) Considerando que o bolo estava inicialmente dividido em oito fatias, que fração representa cada nova fatia, ou seja, que fração representa um terço de um oitavo?
_________________________
9) Que fração do bolo Paulo levará para a escola nesse caso?
_________________________
Vejam o que podemos concluir com base nessa situação comum a todos nós!
► Para efetuar o produto de um número natural por uma fração, multiplicamos o número
natural pelo numerador e conservamos o denominador. Veja:
3x
1 3
=
8 8
► Para efetuar o produto entre duas frações basta fazer o produto dos numeradores e
o produto dos denominadores. Veja:
1 1 1
x =
3 8 24
► Para calcular a fração de uma quantidade, basta multiplicar a fração pela quantidade.
Agora você já sabe como se multiplicam frações. Vamos fazer alguns exercícios para
treinar esse aprendizado.
169
1) Faça as multiplicações dadas a seguir.
2
3
a. 2 × _______________________
3
5
b. 2 × = _______________________
2
3
c. 5 × = _______________________
d.
3 2
× = _______________________
5 7
e.
6 2
× =
7 3
_______________________
2) Calcule:
170
a.
1
3
de
2
.
9
b.
1
3
de 45. __________________________________________
c.
1
2
de
d.
1
2
de 24. __________________________________________
e.
2
3
de
f.
2
3
de 18. ___________________________________________
2
.
7
9
10
2
.
7
___________________________________________
___________________________________________
. _________________________________________
g.
1
4
de
h.
1
4
de 36. __________________________________________
___________________________________________
i.
1
5
de
2
.
9
j.
1
5
de 35. _________________________________________
___________________________________________
3) Antônio saiu em viagem de férias com seus pais. No primeiro dia da viagem eles vão
percorrer a metade do caminho e então vão parar para dormir. Na hora do almoço eles pararam em um posto de gasolina e o pai de Antônio avisou que eles já tinham percorrido três
oitavos do que deveriam percorrer no primeiro dia. Que fração do caminho todo, eles já haviam
percorrido até esta parada?
(A)
(B)
(C)
(D)
4) Em minha sala de aula há 36 alunos. Desses,
lheres?
são mulheres. Quantas são as mu-
(A) 4
(B) 16
(C) 20
(D) 24
5) Do suco feito para servir na hora do lanche, sobraram 3 jarras com
uma. Juntando as três jarras, quanto sobrou de suco?
1
de suco em cada
3
(A) Uma jarra completa.
(B)
2
de uma jarra.
3
(C)
3
de uma jarra.
9
(D)
1
jarra.
2
171
1
do livro e hoje ela leu duas vezes mais.
4
Quantas páginas ela já leu do livro, sabendo-se que ele tem 24 páginas?
6) Maria está lendo um livro. Ontem, ela leu
(A) 6 páginas.
(B) 12 páginas
(C) 18 páginas.
(D) 24 páginas.
7) Mamãe havia colhido 32 mangas. Zezinho e Bete pegaram algumas dessas mangas
1
para chupar. Como eles estavam aprendendo frações na escola, Zezinho disse que pegou
8
das 32 mangas e Bete disse que pegou
das mangas. Quantas mangas foram retiradas por
Zezinho e Bete juntos?
(A) 4 mangas.
(B) 6 mangas.
(C) 8 mangas.
(D) 12 mangas.
Em casa, conte aos seus familiares o que aprendeu e pense com eles uma situação
do dia a dia de vocês em que podem usar frações para resolvê-la. Escreva-a em seu caderno e traga para discutir em sala.
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
172
20° ENCONTRO
Fração inversa e divisão de frações
Vamos usar mais uma situação comum do nosso dia a dia para entender a divisão de
números racionais...
Marcelo tem dois irmãos. Ele e seus irmãos têm álbuns de figurinhas. O pai de Marcelo
comprou 20 pacotes de figurinhas para Marcelo e seus irmãos. Cada pacote tem seis figurinhas. O pai de Marcelo disse que eles deveriam dividir as figurinhas entre si em quantidades
iguais.
Agora, vamos pensar sobre essa situação...
173
Responda as questões a seguir.
1) Qual foi o total de figurinhas que Marcelo e seus irmãos ganharam de seu pai?
_________________________
2) Como eles são três, o pai deles disse que cada um deve ficar com que fração do total
de figurinhas?
_________________________
3) Você já aprendeu, em outras aulas, que para encontrar uma fração de uma quantidade
basta multiplicar essa quantidade pela fração, multiplique as respostas das questões anteriores e diga: quantas figurinhas cada irmão deve receber?
_________________________
4) Há outra forma de calcular essa quantidade, basta dividir o total de figurinhas por três,
se você fizer a conta deste jeito, qual será a quantidade de figurinhas de cada irmão?
_________________________
5) As quantidades de figurinhas de cada irmão que você encontrou são as mesmas, nas
duas formas de calcular, certo?
_________________________
6) Quais são, então, as duas formas de calcular a metade de 80?
_________________________
_________________________
7) E quais são as duas formas de se calcular a quarta parte de 20?
_________________________
_________________________
174
8) O que você encontrou nas questões acima corresponde ao uso de uma fração inversa.
2 é o inverso de
1
2
,
1
3
é o inverso de 3 e 4 é o inverso de
1
.
4
Qual é o inverso de 8?
_________________________
9) Qual é o inverso de
3
5
?
_________________________
10) Qual é o inverso de
7
8
?
_________________________
Vejam quantas coisas podemos concluir com base nessa situação comum a todos nós!
► Encontramos o inverso de uma fração quando trocamos numerador por denominador
e vice-versa;
► Dividir uma quantidade por um número é o mesmo que multiplicar essa quantidade
pelo inverso desse número.
11) Você já viu que dividir é o mesmo que multiplicar pelo inverso. Use o que você aprendeu aqui e faça as divisões a seguir:
a.
3
÷2 =
4
4
5
b. 3 ÷ =
c.
1 7
÷ =
3 6
d.
3 1
÷ =
2 4
175
Vejam quantas coisas podemos concluir com base nessa situação comum a todos nós!
► Dividir uma quantidade por um número é o mesmo que multiplicar essa quantidade
pelo inverso desse número;
► A divisão é a operação inversa da multiplicação;
► Para fazer uma divisão entre frações, basta multiplicar a primeira pela inversa da
segunda.
Mostre agora, o que você aprendeu, respondendo as questões a seguir.
1) Se vamos distribuir uma dúzia de balas entre quatro crianças, quais são as duas formas de fazer a conta para que cada criança receba o mesmo número de balas?
_________________________
_________________________
2) Um pacote tem 24 bolinhas de gude e será dividido entre três meninos em partes
iguais, quais são as duas formas que temos para calcular o número de bolas de gude que cada
menino receberá?
_________________________
_________________________
3) Quais são as duas formas que temos para calcular o número de cartas de baralho que
cada um de cinco jogadores vai receber, se o baralho tem 55 cartas e será dividido igualmente
entre todos?
_________________________
_________________________
4) Nas respostas das questões 1, 2 e 3 você usou números e suas frações inversas.Em
suas respostas quais foram os números e as frações inversas de cada um?
_________________________
_________________________
_________________________
5) Qual é a fração inversa de 9?
_________________________
176
6) Qual é o inverso de cada uma das frações abaixo:
a.
1
7
_________________________
b.
2
3
_________________________
c.
2
5
_________________________
d.
5
4
_________________________
e.
4
3
_________________________
7) Agora faça as divisões apresentadas abaixo:
a.
2 5
÷ =
3 4
b.
1 7
÷
= _________________________
4 12
c.
2 9
÷
= _________________________
7 14
d.
2 8
÷ = __________________________
3 5
_________________________
177
8) Paula tem
1
de um bolo. Ela quer dividir igualmente entre 6 pessoas. Que fração do
3
bolo cada uma receberá?
(A)
(B)
(C)
(D)
9) A distância da casa de Carlinhos até sua escola é 900 metros. Ele já percorreu
caminho. Quantos metros ele percorreu?
2
do
3
(A) 300
(B) 450
(C) 600
(D) 700
10) A prova de matemática tinha 10 questões. Mateus já respondeu
Mateus já respondeu?
3
. Quantas questões
5
(A) 3
(B) 5
(C) 6
(D) 8
11) Maurina ganhou uma caixa com 12 chocolates. Para economizar os seus chocolates,
ela decidiu comer somente
(A) 4 dias.
(B) 6 dias.
(C) 12 dias.
(D) 24 dias.
178
1
deles por dia. Em quantos dias ela comerá os seus chocolates?
4
12) Cláudia foi à loja comprar tecido para as toalhas de mesa que faz para vender. A peça
que lhe interessou custa 120 reais. Ela só precisa de
3
dessa peça. Quanto ela pagará?
4
(A) 10 reais.
(B) 30 reais.
(C) 90 reais.
(D) 110 reais.
Em casa, discuta com sua família o que aprendeu e escreva uma situação cotidiana
em que poderá ter a oportunidade de utilizar esses conhecimentos.
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
179
Referenciais bibliográficos
BERTONI, Nilza Eigenheer. Pedagogia: Educação e Linguagem Matemática. Brasília: PEDEaD, Universidade de Brasília, 2007.
BERTONI , Nilza Eigenheer A Construção do Conhecimento sobre Número Fracionário Boletim de Educação Matemática - Bolema, Rio Claro (SP), Ano 21, nº 31, 2008, p. 209 a 237
BERTONI, Nilza E. Educação e Linguagem Matemática IV: frações e números fracionários. Brasília: Universidade de Brasília, 2009.
KAMII, Constance. A criança e o número: implicações da teoria de Piaget para atuação junto a escolares
de 4 a 6 anos. Campinas, São Paulo : Papirus, 1990.
MONTEIRO, Cecília; PINTO, Hélio; FIGUEIREDO, Nisa. As frações e o desenvolvimento do sentido de
número racional. Disponível em: http://arquivo.ese.ips.pt/ese/projectos/sentidonumero/Fraccoes_EM.pdf. Acesso
em: 05jan2013.
POLYA, George. A arte de resolver problemas. Rio de Janeiro: Interciência, 1995
VERGNAUD, Gérard. A Criança, a matemática e a Realidade. Trad. De Maria Lucia Faria Moro. Curitiba:
Editora UFPR, 2009. 322p
180