Enviado por suelyndala

REVISAOOOOOO

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POTENCIAÇÃO
A potenciação indica multiplicações de fatores iguais. Por exemplo, o produto 3.3.3.3
pode ser indicado na forma 34 Assim, o símbolo an , sendo a um número inteiro e n um
número natural maior que 1, significa o produto de n fatores iguais a a:
RADICIAÇÃO
É a operação matemática inversa da potenciação. Desta forma, podemos encontrar o
resultado de uma raiz buscando a potenciação que tem como resultado a raiz proposta.
Note que se o radicando (x) é um número real e o índice (n) da raiz é um número natural,
o resultado (a) é a raiz enésima de x se an = x.
Exemplo
Qual é o número que multiplicado por ele mesmo 3 vezes dá como resultado 125?
Por tentativa podemos descobrir que:
5 x 5 x 5 = 125, ou seja, 5³ = 125
Escrevendo na forma de raiz, temos:
Portanto, vimos que o 5 é o número que estamos procurando.
Símbolo da Radiciação: o que significa cada termo?
Para indicar a radiciação usamos a seguinte notação:
Sendo,
n o índice do radical. Indica quantas vezes o número que estamos procurando foi
multiplicado por ele mesmo.
X o radicando. Indica o resultado da multiplicação do número que estamos procurando
por ele mesmo.
Exemplos de radiciação:
Atenção! Não esqueça que:
Quando não aparecer nenhum valor no índice do radical, o seu valor é igual a 2. Essa
raiz é chamada de raiz quadrada.
A raiz de índice igual a 3 também recebe um nome especial e é chamada de raiz cúbica.
Se o valor do radicando for zero, independente do índice da raiz, o resultado será zero.
Propriedades da Radiciação: notação e exemplos
As propriedades da radiciação são muito úteis quando necessitamos simplificar radicais.
Propriedade I: radical escrito como potência
Já que a radiciação é a operação inversa da potenciação, todo radical pode ser escrito na
forma de potência.
Propriedade II: operações com índice e expoente
Multiplicação: multiplicando-se índice e expoente pelo mesmo número, a raiz não se
altera.
Divisão: dividindo-se índice e expoente pelo mesmo número, a raiz não se altera.
Propriedade III: operações com radicais de mesmo índice
Multiplicação: multiplica-se os radicandos e mantém-se o índice do radical.
Divisão: divide-se os radicandos e mantém-se o índice do radical.
, sendo b ≠ 0
Propriedade IV: cálculo da potência de uma raiz
A potência da raiz pode ser transformada no expoente do radicando para que a raiz seja
encontrada.
Propriedade V: cálculo da raiz de raiz
A raiz de uma outra raiz pode ser calculada mantendo-se o radicando e multiplicando-se
os índices.
Radiciação e Potenciação: qual a relação entre elas?
A radiciação é a operação matemática inversa da potenciação. Desta forma, podemos
encontrar o resultado de uma raiz buscando a potenciação que tem como resultado a raiz
proposta.
Observe:
Note que se o radicando (x) é um número real e o índice (n) da raiz é um número
natural, o resultado (a) é a raiz enésima de x se an = x.
Exemplos
Simplificação de Radicais: aprenda a fazer passo a passo
Muitas vezes não sabemos de forma direta o resultado da radiciação ou o resultado não
é um número inteiro. Neste caso, podemos simplificar o radical.
Para fazer a simplificação devemos seguir os seguintes passos:
1. Fatorar o número em fatores primos.
2. Escrever o número na forma de potência.
3. Colocar a potência encontrada no radical e dividir por um mesmo número o índice do
radical e o expoente da potência (propriedade da radiciação).
Exemplo
Calcule
Primeiro transformar o número 243 em fatores primos:
Depois colocar o resultado na raiz:
Para simplificar, devemos dividir o índice e o expoente da potenciação por um mesmo
número. Quando isso não for possível, significa que o resultado da raiz não é um
número inteiro.
note que ao dividir o índice por 5 o resultado é igual a 1, desta forma
cancelamos o radical.
Assim,
Operações com Radicais: situações e exemplos
Soma e Subtração
Para somar ou subtrair devemos identificar se os radicais são semelhantes, ou seja, se
apresentam índice e radicando iguais.
1º caso – Radicais semelhantes
Para somar ou subtrair radicais semelhantes, devemos repetir o radical e somar ou
subtrair seus coeficientes.
Veja como fazer:
Exemplo I: soma de radicais semelhantes
Exemplo II: subtração de radicais semelhantes
Exemplo III: soma e subtração com radicais semelhantes
2º caso – Radicais semelhantes após simplificação
Neste caso, devemos inicialmente simplificar os radicais para se tornarem semelhantes.
Depois, faremos como no caso anterior.
Exemplo I: simplificação e soma de radicais
Exemplo II: simplificação e subtração de radicais
3º caso – Radicais não são semelhantes
Calculamos os valores dos radicais e depois efetuamos a soma ou a subtração.
Exemplo I: soma de radicais não semelhantes
Exemplo II: subtração de radicais não semelhantes
(valores aproximados, pois a raiz quadrada de 5 e de 2 são números irracionais)
Multiplicação e Divisão
1º caso - Radicais com mesmo índice
Repete a raiz e realiza a operação com os radicandos.
Exemplo I: multiplicação de radicais com mesmo índice
Exemplo II: divisão de radicais com mesmo índice
2º caso - Radicais com índices diferentes
Primeiro, devemos reduzir ao mesmo índice, depois realizar a operação com os
radicandos.
Exemplo I: multiplicação de radicais com índices diferentes
Exemplo II: divisão de radicais com índices diferentes
ÁLGEBRA
As expressões algébricas são formadas por três itens básicos: números
conhecidos, números
desconhecidos e operações
matemáticas.
As expressões
numéricas e algébricas seguem a mesma ordem de resolução. Dessa maneira, operações
dentro
de
parênteses
têm
prioridade
sobre
as
outras,
assim
como multiplicações e divisões têm prioridade sobre adições e subtrações.
Os números desconhecidos são chamados de incógnitas e normalmente são
representados por letras. Alguns livros e materiais também os denominam de variáveis.
Os números que acompanham essas incógnitas são chamados de coeficientes.
Assim sendo, são exemplos de expressões algébricas:
1) 4x + 2y
2) 16z
3) 22xa + y – 164x2y2
Valor numérico das expressões algébricas
Quando a incógnita deixa de ser um número desconhecido, basta substituir seu valor
na expressão algébrica e resolvê-la do mesmo modo que as expressões numéricas. Para
tanto, é preciso saber que o coeficiente sempre multiplica a incógnita que acompanha.
Como exemplo, vamos calcular o valor numérico da expressão algébrica a seguir,
sabendo que x = 2 e y = 3.
4x2 + 5y
Substituindo os valores numéricos de x e y na expressão, teremos:
4·22 + 5·3
Observe que o coeficiente multiplica a incógnita, mas, para facilitar a escrita, o sinal de
multiplicação é omitido nas expressões algébricas. Para finalizar a resolução, basta
calcular a expressão numérica resultante:
4·22 + 5·3 = 4·4 + 5·3 = 16 + 15 = 31
Vale dizer que duas incógnitas que aparecem juntas também estão sendo multiplicadas.
Se a expressão algébrica acima fosse:
2xy + xx + yy = 2xy + x2 + y2
Seu valor numérico seria:
2xy + x2 + y2 = 2·2·3 + 22 + 33 = 12 + 4 + 9 = 25
Monômios
Monômios são expressões algébricas formadas apenas por multiplicação de números
conhecidos e incógnitas. São exemplos de monômios:
1) 2x
2) 3x2y4
3) x
4) xy
5) 16
Perceba que números conhecidos são considerados monômios, assim como apenas
as incógnitas. Além disso, o conjunto de todas as incógnitas e seus expoentes é chamado
de parte literal, e o número conhecido é chamado de coeficiente de um monômio.
Todas as operações matemáticas básicas em monômios podem ser realizadas com alguns
ajustes nas regras e algoritmos.
Adição e subtração de monômios
Só podem ser realizadas quando os monômios possuem parte literal idêntica. Quando
isso acontecer, some ou subtraia apenas os coeficientes, mantendo a parte literal dos
monômios na resposta final. Por exemplo:
2xy2k7 + 22xy2k7 – 20xy2k7 = 4xy2k7
Multiplicação e divisão de monômios
A multiplicação de monômios não necessita de que as partes literais sejam iguais. Para
multiplicar dois monômios, multiplique primeiro os coeficientes e, depois, multiplique
incógnita a incógnita usando propriedades de potência. Por exemplo:
4x3k2yz·15x2k4y = 60x3 + 2k2 + 4y1 + 1z = 60x5k6y2z
A divisão é feita da mesma maneira, entretanto, dividem-se os coeficientes e utiliza-se
a propriedade da divisão de potências de mesma base para a parte literal.
Para mais exemplos e detalhes, consulte o texto sobre divisão de monômios clicando aqui.
Polinômios
Polinômios são expressões algébricas formadas pela adição algébrica de monômios.
Assim, um polinômio nasce quando somamos ou subtraímos dois monômios
distintos. Atenção: todo monômio também é polinômio.
Veja alguns exemplos de polinômios:
1) 2x + 2x2
2) 2x + 3xy + 3y
3) 2ab + 16 – 4ab3
Adição e subtração de polinômios
É feita colocando-se lado a lado todos os termos semelhantes (monômios que possuem
parte literal igual) e somando-os. Quando os polinômios não possuem termos
semelhantes, eles não podem ser somados ou subtraídos. Quando polinômios possuem
um termo que não é semelhante a nenhum outro, esse termo não é somado nem subtraído,
apenas repetido no resultado final. Por exemplo:
(12x2 + 21y2 – 7k) + (– 15x2 + 25y2) =
12x2 + 21y2 – 7k – 15x2 + 25y2 =
12x2 – 15x2 + 21y2 + 25y2 – 7k =
– 3x2 + 46y2 – 7k
Multiplicação de polinômios
A multiplicação de polinômios sempre é feita com base na propriedade distributiva da
multiplicação sobre a adição (também conhecida como chuveirinho). Por meio dela,
devemos multiplicar o primeiro termo do primeiro polinômio por todos os termos do
segundo, depois o segundo termo do primeiro polinômio por todos os termos do segundo
e assim sucessivamente até que todos os termos do primeiro polinômio tenham sido
multiplicados.
Para isso, é claro, usamos as propriedades de potência quando necessário. Por exemplo:
(x2 + a2)(y2 + a2) = x2y2 + x2a2 + a2y2 + a4
Divisão de polinômios
É o procedimento mais difícil das expressões algébricas. Uma das técnicas mais usadas
para dividir polinômios é muito parecida com a usada para divisão entre números reais:
procuramos um monômio que, multiplicado pelo termo de grau mais alto do divisor, seja
igual ao termo de grau mais alto do dividendo. Depois, basta subtrair do dividendo o
resultado dessa multiplicação e “descer” o resto para continuar a divisão. Por exemplo:
(x2 + 18x + 81):(x + 9) =
x2 + 18x + 81 | x + 9
– x2 – 9x
x+9
9x + 81
– 9x – 81
0
ATIVIDADES
1. Entre as alternativas abaixo, assinale a de menor valor:
2. O
valor
da
expressão é igual a:
3. Um adulto humano saudável abriga cerca de 100 bilhões de bactérias, somente
em seu trato digestivo. Esse número de bactérias pode ser escrito como
4.
a)
b)
c)
Determine o valor de cada uma das potências abaixo:
25¹
150°
(7/9)-2
5. As potências (-2)4 e -24 são iguais ou diferentes? E qual o resultado?
6.
a)
b)
c)
d)
O valor da expressão 20x³ + 2 x ² y5, para x = -4 e y = 2 é:
256
-400
400
-256
7. Fatore o radicando de
e encontre o resultado da raiz.
8. Qual o valor de x na igualdade
9. Sabendo-se que -3 é raiz de P(x) = x³ + 4x² - ax + 1, calcule o valor de a.
10. Resolva p(x) + q(x), sendo:
11. Resolva p(x) – q(x) , sendo:
12. Resolva p(x) . q(x), sendo:
13. O resto da divisão do polinômio x³ + 3x² - 5x + 1 por (x-2) é:
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