POTENCIAÇÃO A potenciação indica multiplicações de fatores iguais. Por exemplo, o produto 3.3.3.3 pode ser indicado na forma 34 Assim, o símbolo an , sendo a um número inteiro e n um número natural maior que 1, significa o produto de n fatores iguais a a: RADICIAÇÃO É a operação matemática inversa da potenciação. Desta forma, podemos encontrar o resultado de uma raiz buscando a potenciação que tem como resultado a raiz proposta. Note que se o radicando (x) é um número real e o índice (n) da raiz é um número natural, o resultado (a) é a raiz enésima de x se an = x. Exemplo Qual é o número que multiplicado por ele mesmo 3 vezes dá como resultado 125? Por tentativa podemos descobrir que: 5 x 5 x 5 = 125, ou seja, 5³ = 125 Escrevendo na forma de raiz, temos: Portanto, vimos que o 5 é o número que estamos procurando. Símbolo da Radiciação: o que significa cada termo? Para indicar a radiciação usamos a seguinte notação: Sendo, n o índice do radical. Indica quantas vezes o número que estamos procurando foi multiplicado por ele mesmo. X o radicando. Indica o resultado da multiplicação do número que estamos procurando por ele mesmo. Exemplos de radiciação: Atenção! Não esqueça que: Quando não aparecer nenhum valor no índice do radical, o seu valor é igual a 2. Essa raiz é chamada de raiz quadrada. A raiz de índice igual a 3 também recebe um nome especial e é chamada de raiz cúbica. Se o valor do radicando for zero, independente do índice da raiz, o resultado será zero. Propriedades da Radiciação: notação e exemplos As propriedades da radiciação são muito úteis quando necessitamos simplificar radicais. Propriedade I: radical escrito como potência Já que a radiciação é a operação inversa da potenciação, todo radical pode ser escrito na forma de potência. Propriedade II: operações com índice e expoente Multiplicação: multiplicando-se índice e expoente pelo mesmo número, a raiz não se altera. Divisão: dividindo-se índice e expoente pelo mesmo número, a raiz não se altera. Propriedade III: operações com radicais de mesmo índice Multiplicação: multiplica-se os radicandos e mantém-se o índice do radical. Divisão: divide-se os radicandos e mantém-se o índice do radical. , sendo b ≠ 0 Propriedade IV: cálculo da potência de uma raiz A potência da raiz pode ser transformada no expoente do radicando para que a raiz seja encontrada. Propriedade V: cálculo da raiz de raiz A raiz de uma outra raiz pode ser calculada mantendo-se o radicando e multiplicando-se os índices. Radiciação e Potenciação: qual a relação entre elas? A radiciação é a operação matemática inversa da potenciação. Desta forma, podemos encontrar o resultado de uma raiz buscando a potenciação que tem como resultado a raiz proposta. Observe: Note que se o radicando (x) é um número real e o índice (n) da raiz é um número natural, o resultado (a) é a raiz enésima de x se an = x. Exemplos Simplificação de Radicais: aprenda a fazer passo a passo Muitas vezes não sabemos de forma direta o resultado da radiciação ou o resultado não é um número inteiro. Neste caso, podemos simplificar o radical. Para fazer a simplificação devemos seguir os seguintes passos: 1. Fatorar o número em fatores primos. 2. Escrever o número na forma de potência. 3. Colocar a potência encontrada no radical e dividir por um mesmo número o índice do radical e o expoente da potência (propriedade da radiciação). Exemplo Calcule Primeiro transformar o número 243 em fatores primos: Depois colocar o resultado na raiz: Para simplificar, devemos dividir o índice e o expoente da potenciação por um mesmo número. Quando isso não for possível, significa que o resultado da raiz não é um número inteiro. note que ao dividir o índice por 5 o resultado é igual a 1, desta forma cancelamos o radical. Assim, Operações com Radicais: situações e exemplos Soma e Subtração Para somar ou subtrair devemos identificar se os radicais são semelhantes, ou seja, se apresentam índice e radicando iguais. 1º caso – Radicais semelhantes Para somar ou subtrair radicais semelhantes, devemos repetir o radical e somar ou subtrair seus coeficientes. Veja como fazer: Exemplo I: soma de radicais semelhantes Exemplo II: subtração de radicais semelhantes Exemplo III: soma e subtração com radicais semelhantes 2º caso – Radicais semelhantes após simplificação Neste caso, devemos inicialmente simplificar os radicais para se tornarem semelhantes. Depois, faremos como no caso anterior. Exemplo I: simplificação e soma de radicais Exemplo II: simplificação e subtração de radicais 3º caso – Radicais não são semelhantes Calculamos os valores dos radicais e depois efetuamos a soma ou a subtração. Exemplo I: soma de radicais não semelhantes Exemplo II: subtração de radicais não semelhantes (valores aproximados, pois a raiz quadrada de 5 e de 2 são números irracionais) Multiplicação e Divisão 1º caso - Radicais com mesmo índice Repete a raiz e realiza a operação com os radicandos. Exemplo I: multiplicação de radicais com mesmo índice Exemplo II: divisão de radicais com mesmo índice 2º caso - Radicais com índices diferentes Primeiro, devemos reduzir ao mesmo índice, depois realizar a operação com os radicandos. Exemplo I: multiplicação de radicais com índices diferentes Exemplo II: divisão de radicais com índices diferentes ÁLGEBRA As expressões algébricas são formadas por três itens básicos: números conhecidos, números desconhecidos e operações matemáticas. As expressões numéricas e algébricas seguem a mesma ordem de resolução. Dessa maneira, operações dentro de parênteses têm prioridade sobre as outras, assim como multiplicações e divisões têm prioridade sobre adições e subtrações. Os números desconhecidos são chamados de incógnitas e normalmente são representados por letras. Alguns livros e materiais também os denominam de variáveis. Os números que acompanham essas incógnitas são chamados de coeficientes. Assim sendo, são exemplos de expressões algébricas: 1) 4x + 2y 2) 16z 3) 22xa + y – 164x2y2 Valor numérico das expressões algébricas Quando a incógnita deixa de ser um número desconhecido, basta substituir seu valor na expressão algébrica e resolvê-la do mesmo modo que as expressões numéricas. Para tanto, é preciso saber que o coeficiente sempre multiplica a incógnita que acompanha. Como exemplo, vamos calcular o valor numérico da expressão algébrica a seguir, sabendo que x = 2 e y = 3. 4x2 + 5y Substituindo os valores numéricos de x e y na expressão, teremos: 4·22 + 5·3 Observe que o coeficiente multiplica a incógnita, mas, para facilitar a escrita, o sinal de multiplicação é omitido nas expressões algébricas. Para finalizar a resolução, basta calcular a expressão numérica resultante: 4·22 + 5·3 = 4·4 + 5·3 = 16 + 15 = 31 Vale dizer que duas incógnitas que aparecem juntas também estão sendo multiplicadas. Se a expressão algébrica acima fosse: 2xy + xx + yy = 2xy + x2 + y2 Seu valor numérico seria: 2xy + x2 + y2 = 2·2·3 + 22 + 33 = 12 + 4 + 9 = 25 Monômios Monômios são expressões algébricas formadas apenas por multiplicação de números conhecidos e incógnitas. São exemplos de monômios: 1) 2x 2) 3x2y4 3) x 4) xy 5) 16 Perceba que números conhecidos são considerados monômios, assim como apenas as incógnitas. Além disso, o conjunto de todas as incógnitas e seus expoentes é chamado de parte literal, e o número conhecido é chamado de coeficiente de um monômio. Todas as operações matemáticas básicas em monômios podem ser realizadas com alguns ajustes nas regras e algoritmos. Adição e subtração de monômios Só podem ser realizadas quando os monômios possuem parte literal idêntica. Quando isso acontecer, some ou subtraia apenas os coeficientes, mantendo a parte literal dos monômios na resposta final. Por exemplo: 2xy2k7 + 22xy2k7 – 20xy2k7 = 4xy2k7 Multiplicação e divisão de monômios A multiplicação de monômios não necessita de que as partes literais sejam iguais. Para multiplicar dois monômios, multiplique primeiro os coeficientes e, depois, multiplique incógnita a incógnita usando propriedades de potência. Por exemplo: 4x3k2yz·15x2k4y = 60x3 + 2k2 + 4y1 + 1z = 60x5k6y2z A divisão é feita da mesma maneira, entretanto, dividem-se os coeficientes e utiliza-se a propriedade da divisão de potências de mesma base para a parte literal. Para mais exemplos e detalhes, consulte o texto sobre divisão de monômios clicando aqui. Polinômios Polinômios são expressões algébricas formadas pela adição algébrica de monômios. Assim, um polinômio nasce quando somamos ou subtraímos dois monômios distintos. Atenção: todo monômio também é polinômio. Veja alguns exemplos de polinômios: 1) 2x + 2x2 2) 2x + 3xy + 3y 3) 2ab + 16 – 4ab3 Adição e subtração de polinômios É feita colocando-se lado a lado todos os termos semelhantes (monômios que possuem parte literal igual) e somando-os. Quando os polinômios não possuem termos semelhantes, eles não podem ser somados ou subtraídos. Quando polinômios possuem um termo que não é semelhante a nenhum outro, esse termo não é somado nem subtraído, apenas repetido no resultado final. Por exemplo: (12x2 + 21y2 – 7k) + (– 15x2 + 25y2) = 12x2 + 21y2 – 7k – 15x2 + 25y2 = 12x2 – 15x2 + 21y2 + 25y2 – 7k = – 3x2 + 46y2 – 7k Multiplicação de polinômios A multiplicação de polinômios sempre é feita com base na propriedade distributiva da multiplicação sobre a adição (também conhecida como chuveirinho). Por meio dela, devemos multiplicar o primeiro termo do primeiro polinômio por todos os termos do segundo, depois o segundo termo do primeiro polinômio por todos os termos do segundo e assim sucessivamente até que todos os termos do primeiro polinômio tenham sido multiplicados. Para isso, é claro, usamos as propriedades de potência quando necessário. Por exemplo: (x2 + a2)(y2 + a2) = x2y2 + x2a2 + a2y2 + a4 Divisão de polinômios É o procedimento mais difícil das expressões algébricas. Uma das técnicas mais usadas para dividir polinômios é muito parecida com a usada para divisão entre números reais: procuramos um monômio que, multiplicado pelo termo de grau mais alto do divisor, seja igual ao termo de grau mais alto do dividendo. Depois, basta subtrair do dividendo o resultado dessa multiplicação e “descer” o resto para continuar a divisão. Por exemplo: (x2 + 18x + 81):(x + 9) = x2 + 18x + 81 | x + 9 – x2 – 9x x+9 9x + 81 – 9x – 81 0 ATIVIDADES 1. Entre as alternativas abaixo, assinale a de menor valor: 2. O valor da expressão é igual a: 3. Um adulto humano saudável abriga cerca de 100 bilhões de bactérias, somente em seu trato digestivo. Esse número de bactérias pode ser escrito como 4. a) b) c) Determine o valor de cada uma das potências abaixo: 25¹ 150° (7/9)-2 5. As potências (-2)4 e -24 são iguais ou diferentes? E qual o resultado? 6. a) b) c) d) O valor da expressão 20x³ + 2 x ² y5, para x = -4 e y = 2 é: 256 -400 400 -256 7. Fatore o radicando de e encontre o resultado da raiz. 8. Qual o valor de x na igualdade 9. Sabendo-se que -3 é raiz de P(x) = x³ + 4x² - ax + 1, calcule o valor de a. 10. Resolva p(x) + q(x), sendo: 11. Resolva p(x) – q(x) , sendo: 12. Resolva p(x) . q(x), sendo: 13. O resto da divisão do polinômio x³ + 3x² - 5x + 1 por (x-2) é:
