tab-integrais

TABELA: Derivadas, Integrais
e Identidades Trigonométricas
•
Derivadas
•
Sejam u e v funções deriváveis de x e n constante.
1. y = un ⇒ y 0 = n un−1 u0 .
2. y = uv ⇒ y 0 = u0 v + v 0 u.
0
0u
.
3. y = uv ⇒ y 0 = u v−v
v2
4. y = au ⇒ y 0 = au (ln a) u0 , (a > 0, a 6= 1).
5. y = eu ⇒ y 0 = eu u0 .
0
6. y = loga u ⇒ y 0 = uu loga e.
7. y = ln u ⇒ y 0 = u1 u0 .
8. y = uv ⇒ y 0 = v uv−1 u0 + uv (ln u) v 0 .
9. y = sen u ⇒ y 0 = u0 cos u.
10. y = cos u ⇒ y 0 = −u0 sen u.
11. y = tg u ⇒ y 0 = u0 sec2 u.
12. y = cotg u ⇒ y 0 = −u0 cosec2 u.
13. y = sec u ⇒ y 0 = u0 sec u tg u.
14. y = cosec u ⇒ y 0 = −u0 cosec u cotg u.
u0
15. y = arc sen u ⇒ y 0 = √1−u
.
2
0
√−u .
1−u2
u0
y 0 = 1+u
2.
−u0
⇒ 1+u2 .
16. y = arc cos u ⇒ y 0 =
17. y = arc tg u ⇒
18. y = arc cot g u
19. y = arc sec u, |u| > 1
0
⇒ y 0 = |u|√uu2 −1 , |u| > 1.
20. y = arc cosec u, |u| > 1
−u0
⇒ y 0 = |u|√
, |u| > 1.
u2 −1
R
1. du = u + c.
R
n+1
2. un du = un+1 + c, n 6= −1.
R du
3. R u = ln |u| + c.
u
4. R au du = lna a + c, a > 0, a 6= 1.
5. R eu du = eu + c.
6. R sen u du = − cos u + c.
7. R cos u du = sen u + c.
8. R tg u du = ln |sec u| + c.
9. Rcotg u du = ln |sen u| + c.
10. R sec u du = ln |sec u + tg u| + c.
11. R cosec u du = ln |cosec u − cotg u| + c.
12. R sec u tg u du = sec u + c.
13. R cosec u cotg u du = −cosec u + c.
14. R sec2 u du = tg u + c.
15. R cosec2 u du = −cotg u + c.
16. u2du
= a1 arc tg ua + c.
+a2
¯
¯
R du
¯
¯
1
2
2
17. u2 −a2 = 2a
ln ¯ u−a
u+a ¯ + c, u > a .
¯
¯
√
R
¯
¯
= ln ¯u + u2 + a2 ¯ + c.
18. √udu
2 +a2
¯
¯
√
R
¯
¯
19. √udu
= ln ¯u + u2 − a2 ¯ + c.
2 −a2
R
= arc sen ua + c, u2 < a2 .
20. √adu
2 −u2
¯ ¯
R
√ du
21.
= 1 arc sec ¯ u ¯ + c.
u u2 −a2
•
•
Identidades Trigonométricas
1. sen2 x + cos2 x = 1.
2. 1 + tg2 x = sec2 x.
3. 1 + cotg2 x = cosec2 x.
2x
4. sen2 x = 1−cos
.
2
1+cos 2x
2
.
5. cos x =
2
6. sen 2x = 2 sen x cos x.
7. 2 sen x cos y = sen (x − y) + sen (x + y).
8. 2 sen x sen y = cos (x − y) − cos (x + y).
9. 2 cos x cos y = cos (x
¡ − y)¢+ cos (x + y).
10. 1 ± sen x = 1 ± cos π2 − x .
Integrais
a
a
Fórmulas de Recorrência
R
n−1
cos au
1. senn au du = − sen ¡au
an
¢R
n−1
+ n
senn−2 au du.
2.
3.
4.
5.
6.
R
R
R
R
R
cosn au du =
tg n au du =
sen au cosn−1 au
an
¡
¢R
+ n−1
n
tg n−1 au
a(n−1)
−
R
cosn−2 au du.
tg n−2 au du.
R
n−1 au
n−2 au du.
cotg n au du = − cotg
a(n−1) − cotg
secn au du =
secn−2 au tg au
a(n−1)
³
´R
+ n−2
n−1
n−2
secn−2 au du.
au cotg au
cosecn au du = − cosec a(n−1)
³
´R
+ n−2
cosecn−2 au du.
n−1