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APOSTILA DE ÁLGEBRA - @ESTUDOPREP (1)

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ESTUDOPREP |1
ESTUDOPREP |2
- MATEMÁTICA BÁSICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
- CONJUNTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
- FUNÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
- MODULAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
- EXPONENCIAL . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
- LOGARITMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .... . . . . . . . . . . . . . . . . 11
- PROGRESSÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . 12
- MATRIZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
- DETERMINANTE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
- ANÁLISE COMBINATÓRIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 16
- PROBABILIDADE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
- NÚMEROS BINOMIAIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 17
- POLINÔMIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 18
- SISTEMAS LINEARES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 20
- NÚMEROS COMPLEXOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
´
matematica
potenciação
- Representamos por an, a potência de base real a e
expoente inteiro n.
an = a . a . a . . . . a
n fatores iguais.
ESTUDOPREP |3
radiciação
- Representamos por n√a , a raiz n-ésima de a.
- n: índice.
n√a = b ↔ bn = a
- a: radicando.
- Raiz quadrada do quadrado de um número.
a, se a > 0
√a2 = |a|
-a, se a < 0
- Potências com expoente racional:
- Toda potência de expoente 1 é igual à base:
a1 = a
- Toda potência de expoente 0 é igual a 1:
a0 = 1
- Potência de expoente inteiro negativo:
a-n = (1/a)n
propriedades
- Produto de potências de mesma base:
am . an = am+n
- Quociente de potências de mesma base:
am/an = am-n
- Produto de potencias de mesmo expoente:
an . bn = (a . b)n
- Potência de uma potência:
(am)n = am.n
ATENÇÃO
(-a)n ≠ -an
(-a)n = (-a) . (-a) ... (-a).
-an = - (a . a . a . . a).
(am)n ≠ amn
(am)n = (am) . (am) ... (am)
amn = am . m . . m
am/n = n√a
propriedades
- Produto de radicais de mesmo índice:
n√a . n√b
- n√a.b
- Divisão de radicais de mesmo índice:
n√a
/ n√b - n√a/b
- Potência de uma raiz:
(n√a)m = n√am
- Potência de outra raiz:
n√m√a
= n.m√a
racionalização
- Denominadores do tipo n√am:
n√am . n√an-m
= n√an = a
- Denominadores do tipo √a + √b: basta multiplicar pelo
conjugado.
√a + √b → √a - √b
√a - √b → √a + √b
Produtos notáveis
- Quadrado da soma de dois termos:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
- Quadrado da diferença de dois termos:
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2
- Produto da soma pela diferença de dois termos:
(a + b).(a - b) = a2 - b2
- Cubo da soma de dois termos:
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
- Cubo da diferença de dois termos:
ESTUDOPREP |4
- Cubo da diferença de dois termos:
(a + b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3
fatoração
- Fator comum:
ax + ay = a (x + y)
- Agrupamento:
ax + ay + bx + by = a (x+y) + b (x+y) = (a+b).(x+y)
- Diferença de quadrados:
a2 - b2 = (a+b)(a-b)
- Trinômio quadrado perfeito:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
- Soma e diferença de cubos:
a3 + b3 = (a + b).(a2 - ab + b2)
- Fatoração do trinômio da forma ax2 + bx + c:
a (x - x1)(x - x2)
X1 e X2 são raízes do trinômio.
porcentagem
- É uma fração de denominador centesimal (é uma fração
de denominador 100).
X % = X/100 = 0,0X
- Para calcularmos uma porcentagem (P%) de x, basta
multiplicarmos a fração por x:
P/100 . X = P% de X.
Lucro e prejuízo
LUCRO = PREÇO DA VENDA – PREÇO DE CUSTO
- Se essa conta for negativa, é prejuízo!
- Lucro sobre o custo = lucro/preço de custo.100%
- Lucro sobre a venda = lucro/preço da venda.100%
Aumento e desconto percentual
- AUMENTO PERCENTUAL: consideremos um valor inicial X
que deve sofrer um aumento de P% de seu valor.
A = P% de X = P/100 . X
XA = (1 + P/100).X
- DESCONTO PERCENTUAL: consideremos um valor inicial
X que deve sofrer um aumento de P% de seu valor.
D = P% de X = P/100 . X
XD = (1 - P/100).X
ESTUDOPREP |5
Conjuntos
Definições
- É qualquer coleção.
CONJUNTO FINITO: possui primeiro e último
elemento.
CONJUNTO INFINITO: não possui último elemento.
CONJUNTO UNIVERSO: conjunto primitivo.
CONJUNTO VAZIO (Ø): não possui elementos.
CONJUNTO UNITÁRIO: possui um único elemento.
- ELEMENTOS: é cada objeto desse conjunto.
- SUBCONJUNTOS: é um pedaço de um conjunto.
INTERSEÇÃO de conjuntos (∩)
- Dado A e B, dois conjuntos, A∩B é o conjunto formado
pelos elementos que, simultaneamente, pertencem a A e
a B.
A
A
B
B
A
B
A∩B
A
B
A–B
B – SUBCONJUNTO
relações
PERTINÊNCIA
- ∈ (pertence) e ∉ (não pertence).
- Relaciona elementos e conjuntos.
continência
- ⊂ (está contido) e ⊄ (não está contido).
- ⊃ (contém) e ⊅ (não contém).
- Relaciona conjuntos e subconjuntos com outros
conjuntos e subconjuntos.
igualdade
- Dado dois conjuntos A e B, eles são ditos iguais quando
todo elemento de A é também elemento de B e vice e
versa (A = B).
União de conjuntos (∪)
- Dado A e B, dois conjuntos, A∪B é o conjunto formado
pelos elementos pertencentes a A ou a B.
A
A
B
B
A
B
A∪B
A
B
A–B
A
B
A–B=A
complementar
- Dados A e B, dois conjuntos onde B⊂A, notamos o
complementar de B em A como CBA, um conjunto formado
pelos elementos que pertencem a A e não pertencem a
B.
A
B
B
C A=A–B
PROPRIEDADES
- A∩B(B∪C) = (A∩B) ∪ (A∩C).
- A∪(B∩C) = (A∪B) ∩ (A∪C).
- n(A∪B) = n(A) + n(B) – n (A∩B).
CONJUNTOS NUMÉRICOS
Z
R
N
I
Q
N⊂Z⊂Q⊂R / R = Q∪I / I⊂R / Q⊂R
operações
A∪B
A∩B = Ø
(disjuntos)
Diferença entre conjuntos
- Dados A e B, dois conjuntos onde notamos a diferença
entre A e B por (A – B) sendo um conjunto formado pelos
elementos pertencentes a A e não a B.
CONJUNTO – A
O conjunto vazio é um subconjunto de todo
conjunto.
Todo conjunto é subconjunto de si próprio.
A∩B
A∪B
- NÚMEROS NATURAIS (N).
Conjunto formado pelos números cardinais.
N = {0,1,2,3,.. }.
- NÚMEROS INTEIROS (Z).
Conjunto formado pelos números negativos, pelo
zero e pelos números positivos.
Z = {.. ,-2,-1,0,1,2,...}.
Todo número natural é inteiro!
ESTUDOPREP |6
- NÚMEROS RACIONAIS (Q).
Conjunto de todos os números que podem ser
escritos na forma fracionária.
Q = {.. ,-1,0,.. 0,02,.. ½,.. }.
- NÚMEROS IRRACIONAIS (I).
Conjunto de números reais que não podem ser
obtidos pela divisão de dois números inteiros.
I = {√2, π, e.. }
- NÚMEROS REAIS (R).
Conjunto formado por todos os números racionais
e todos os irracionais.
OBSERVAÇÕES
* : não nulos (sem o zero).
+ : não negativos.
- : não positivos.
*+ : positivos não nulos.
*- : negativos não nulos.
intervalos
- Sendo A e B dois números reais, com A < B.
- INTERVALO FECHADO NOS EXTREMOS.
A
B
{x∈R/A ≤ x ≤ B}
- INTERVALO FECHADO EM A E ABERTO EM B.
A
B
{x∈R/A ≤ x < B}
- INTERVALO ABERTO EM A E FECHADO EM B.
A
B
{x∈R/A < x ≤ B}
- INTERVALO ABERTO.
A
B
{x∈R/A < x < B}
ESTUDOPREP |7
definição
- Dado dois conjuntos A e B não vazios, denomina-se
função de A em B (f: A → B) a relação que associa a cada
elemento de A, um único elemento de B.
- DOMÍNIO (D): “ponto de partida”.
- CONTRADOMÍNIO (CD): “chegada”.
- IMAGEM (IM): elementos do CD que possuem
correspondência com o D.
- Para todo elemento do domínio existe um único elemento
associado ao contradomínio.
- Não sobra elementos no domínio.
IM
Y
IM
X
D
D
CD
A
B
- 1 de A para 1 de B.
- BIZU: traçar linhas horizontais!
Será injetora quando cruzar apenas 1 vez.
- Função de 2° grau nunca será injetora!
FUNÇÃO sobrejetora
- Todos os elementos do contradomínio são imagem da
função.
- IM = CD.
- Não pode sobrar elementos em B.
D
X
CD
A
Y
NÃO É FUNÇÃO
D
CD
GRÁFICO
- Nem todo gráfico é função!
- BIZU: traçar retas perpendiculares ao eixo x.
Se cortar em um único ponto: é função.,
Y
FUNÇÃO injetora
- X1  X2 → f(x1)  f(x2).
- Elementos distintos do domínio possuem imagens
distintas.
X
B
FUNÇÃO bijetora
- É simultaneamente injetora e sobrejetora.
- 1 de A encontra 1 de B.
- Não sobre em B.
- D = CD.
É FUNÇÃO
FUNÇÃO PAR
- Uma função é par quando ela é simétrica em relação ao
eixo y.
Y
- f(x) = f(-x).
D
CD
A
B
FUNÇÃO composta
- Duas funções em que o contradomínio de uma é igual ao
contradomínio da outra.
X
fog
f (g (x))
FUNÇÃO ímPAR
- Uma função é ímpar quando ela é simétrica em relação
à bissetriz dos quadrantes ímpares.
- f(x) = -f(-x).
Y
f
X
g
ESTUDOPREP |8
FUNÇÃO inversa
- Criar funções a partir de outras.
- Só existe inversa de uma função bijetora.
- Trocar X por Y e Y por X.
- D (f) = IM (f-1).
- D (f-1) = IM (f).
FUNÇÃO do 2° grau
- A, B, C ∈ R.
Y = ax2 + bx + c
- A ≠ 0.
- COEFICIENTE A: determina a concavidade da parábola.
Y
Y
Y
X
X
X
A<0
A>0
FUNÇÃO do 1° grau
Y = ax + b
COEFICIENTE LINEAR
COEFICIENTE ANGULAR
- COEFICIENTE B: indica se a parábola intercepta o eixo y
em seu ramo crescente ou decrescente.
Y
Y
- COEFICIENTE ANGULAR: indica se a função é crescente
ou decrescente.
A ≡ tgθ.
- COEFICIENTE LINEAR: indica o ponto de intersecção da
função com o eixo y.
D = R, CD = R e IM = R.
- RAIZ: é o ponto em que o gráfico intercepta o eixo x.
Ax + B = 0 → x = - B/A.
gráficos
Y
X
X
Y
Y
Y
X
X
B<0
Y
B>0
B=0
Y
b
b
Y
Y
X
X
X
X
a<0
DECRESCENTE
FUNÇÃO CONSTANTE
- É quando o A = 0 e B ≠ 0.
F(x) = B.
Y
X
- COEFICIENTE C: onde toca o eixo y (x=0).
Y
a>0
CRESCENTE
X
C<0
FUNÇÃO IDENTIDADE
- É quando o A = 1 e B = 0.
F(x) = X
Y
C>0
C=0
RAÍZES
- Possui no máximo 2 raízes.
X = - b + √Δ
2a
X = - b ± √Δ
2a
X = - b - √Δ
X
X
X
2a
Soma e produto
X1 + X2 = - B/A
X1.X2 = C/A
FUNÇÃO simétrica
Y
- É quando o A = -1 e B = 0.
F(x) = -X.
X2
B = -S
X
X1 + X2
– SX + P = 0
X1.X2
C=P
ESTUDOPREP |9
delta
Δ < 0: SEM RAÍZES REAIS.
Y
Inequação produto: (a) / (b) ≥ 0
1° - descobrir as raízes (descartar as raízes do divisor).
2° - fazer o estudo de sinal isolado.
3° - montar o quadro de sinais.
Y
X
X
A.(X-X1).(X-X2)
Δ = 0: DUAS RAÍZES REAIS E IGUAIS.
Y
X1 e X2 são raízes.
Y
X
X
Δ > 0: DUAS RAÍZES REAIS E DIFERENTES.
Y
Y
X
X
MÁXIMO E MÍNIMO
Y
Y
Yv
Xv
Xv
X
Yv
A>0
VALOR MÍNIMO
A<0
VALOR MÁXIMO
XV = - b
2a
YV = - Δ
4a
Estudo de sinal
+
Equação reduzida
-
inequação
1° - igualar a zero e descobrir as raízes.
2° - fazer o estudo de sinal.
3° - adequar ao que a inequação pede.
Inequação produto: (a) . (b) ≤ 0
1° - descobrir as raízes.
2° - fazer o estudo de sinal isolado.
3° - montar o quadro de sinais.
X
E S T U D O P R E P | 10
MODULAR
O MÓDULO
- A todo número X podemos associar um número real
denominado módulo ou valor absoluto de X.
X, se X ≥ 0.
|X | =
-X de X < 0.
- O módulo de um número real é sempre não negativo.
propriedades
|X| = |-X|
|X.Y| = |X| . |Y|
|X/Y| = |X|/|Y|
|X |2 = X 2
|X | = 0 → X = 0
|X| = A → X = A ou X = -A
|X| = |Y| → X = Y ou X = -Y
|X| = A → X2 = A2
|X| = |Y| → X2 = Y2
função
- É a função real expressa por uma exponencial.
- 0 < A ≠ 1.
Y = ax
- É uma função injetora.
AX = AY → X = Y.
propriedades
A1 = A.
A0 = 1.
A-n = (1/An).
Am.An = Am+n.
Am/An = Am-n.
An.Bn = (A.B)n.
An/Bn = (A/B)n.
(Am)n = Am.n.
n√Am = am/n.
Gráficos
FUNÇÃO
- É a função de R em R+ que associa elementos de um
conjunto em módulos.
f(X) = X, se X ≥ 0.
f(X) = |X|
f(X) = -X, se X < 0.
- D = R, CD = R e IM = R+.
- A função assume somente valores reais não negativos.
gráfico
- O gráfico pode ser obtido traçando-se o gráfico da
função original e espelhando-se a parte negativa em
relação ao eixo X.
Y
EXPONENCIAL
Y
Y
1
1
X
X
0<A<1
CRESCENTE
- Não encosta no eixo X.
- Sempre passa pelo ponto (0,1).
- D = R, CD = R e IM = R+*.
A>1
DECRESCENTE
inequaçÃO
Y
Y
Y
X
X
X
inequaçÃO
|X| < A → -A < X < A.
|X| > A → X < - A ou X > A.
X
A>1
AX1
AX2 →
>
X1 > X2
X1
X2
A < A → X1 < X 2
conserva o sinal.
0<A<1
> AX2 → X1 < X2
AX1 < AX2 → X1 > X2
inverte o sinal.
AX1
E S T U D O P R E P | 11
inequação
logaritmo
Y
função
LOGARITMANDO
- 0 < A ≠1
Logab = x
.- B > 0.
BASE.
- É uma função injetora.
- É simétrica à função exponencial.
1
propriedades
Loga1 = 0.
Logaa = 1.
Logabc = c.Logab.
Loga(a.b) = Logaa + Logab.
Loga(a/b) = Logaa – Logab.
Logan√b = Logab1/n = 1/n . Logab.
Logabc = 1/b. Logac.
aLogab = b.
Mudança de base
Logab = Logcb
Logca
≠ 0.
colog
- É oposto ao Log.
Cologab = - logab = loga(1/b)
gráfico
Y
Y
1
1
X
X
A>1
CRESCENTE
0<A<1
DECRESCENTE
- Não interceptam o eixo das ordenadas.
- D = R+*, CD = R e IM = R.
1
X
X
PROPRIEDADE FUNDAMENTAL
Logab = x → ax = b
- Quando a base não vier expressa, fica subentendido que
vale 10.
Condições de existência
I. A base tem que ser um número real positivo e diferente
de 1.
II. O logaritmando tem que ser um número real positivo.
0 < A ≠ 1.
A ≠ 1.
Y
A>1
Logax1 < logax2
x1 > x2
conserva o sinal
0<A<1
Logax2 < logax1
x2 > x 1
Inverte o sinal
1° - condição de existência do logaritmo.
2° - redução dos dois membros da inequação a logaritmos
de mesma base.
3° aplicação das propriedades.
E S T U D O P R E P | 12
~
Progressao
- É uma sequência numérica em que cada termo, a partir
do segundo, é igual à soma do termo anterior com uma
constante (r).
razão
razão
q = an .
r = an - an-1
- P.A. crescente: r > 0.
- P.A. constante: r = 0.
- P.A. decrescente: r < 0.
- MÉDIA ARITMÉTICA:
an - 1
- P.G. crescente: a1 > 0 e q >1 / a1 < 0 e 0 < q < 1.
- P.G. constante: q = 1.
- P.G. alternada: q < 0.
- P.G. decrescente: a1 > 0 e 0 < q < 1 / a1 < 0 e q > 1.
propriedades
a2 = a1 + a3
2
- SOMA DE TERMOS EQUIDISTANTES:
6 + 15 = 21
propriedades
- MÉDIA GEOMÉTRICA:
a32 = a2 . a4
- PRODUTO DE TERMOS EQUIDISTANTES:
(3, 6, 9, 12, 15, 18)
4 . 32 = 128
3 + 18 = 21
(2, 4, 8, 16, 32, 64)
- SOMA DE TERMOS:
- TERMO GERAL:
- É uma sequência numérica que cresce ou decresce pelo
produto por uma taxa constante (q).
sn = (a1 + an).n
2
an = ak + (n-k).r
- NOTAÇÕES ESPECIAIS:
X, X + R, X + 2R.
X – R, X, X + R.
2 . 64 = 128
- SOMA DE TERMOS:
FINITA:
sn = a1.(qn -1)
INFINITA:
s∞ = a1
- TERMO GERAL:
q-1
1-q
an = ak . qn-k
- NOTAÇÕES ESPECIAIS:
X/Q, X, X.Q
X, X.Q, X.Q2
E S T U D O P R E P | 13
- TRANSPOSTA (AT): linha vira coluna e coluna vira linha.
MATRIZ
COLUNA
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
DIAGONAL
SECUNDÁRIA
LINHA
Ex:
Aij
DIAGONAL
PRINCIPAL
classificação
- LINHA: possui uma única linha (1 x n).
- PROPRIEDADES:
(AT)T = A.
(A + B)T = AT + BT.
(A.B)T = BT . AT
- INVERSA (A-1): uma matriz A, quadrada de ordem n, dizse inversível se, e somente se, existir uma matriz B,
quadrada de ordem n, tal que:
A.B=B.A=I
a11 a12 a13
- COLUNA: possui uma única coluna (m x 1).
a11
a21
a31
- QUADRADA: n° de linhas = n° de colunas.
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
- NULA: todos os elementos são iguais a zero.
0 0 0
0 0 0
- DIAGONAL: toda matriz quadrada em que os elementos
não pertencentes à diagonal principal são iguais a zero.
A
0
0
0 0
B 0
0 C
- IDENTIDADE: matriz diagonal, na qual todos os elementos
da diagonal principal são iguais a 1.
1
0
0
0 0
1 0
0 1
A D
B E
C F
A B C
D E F
A matriz B é denominada inversa de B.
- PROPRIEDADES:
(AB)-1 = B-1 . A-1
(AT)-1 = (A-1)T
(A-1)-1 = A
A.B = B.A = I
A . A-1 = A
- COMO ACHAR?
2
5
1 x A
C
3
B
D
=
1
0
0
1
- SIMÉTRICA: A = AT
- ANTISSIMÉTICA: A = - AT
- INVOLUTIVA: A2 = I
IGUALDADE
- São iguais se, somente se, possuem a mesma ordem e
todos os elementos correspondentes iguais
A = (Aij)m.n A = B
B = (bij)p.q
M=P
N=Q
ADIÇÃO
- Só é possível se as matrizes forem de mesma ordem.
3 2 1
1 2 3
4 5 6 + -3 -2 -1
5 3
3
-5PROPRIEDADES:
A + B = B + A.
(A+B) + C = A + (B+C).
A + 0 = A.
A + (-A) = 0.
=
1+3 2+2 3+1
4-3 5-2 6-1
E S T U D O P R E P | 14
subtração
- Só é possível se as matrizes forem de mesma ordem.
A - B = A + (-B)
MULTIPLICAÇÃO
Por um número real
2 4 6
k. 8 10 12
14 16 18
2k 4k 6k
8k 10k 12k
14k 16k 18k
=
- PROPRIEDADES:
1 . A = A / -1 . A = -A.
0 . A = 0.
A . (C + B) = A . C + A . B.
MATRIZ X MATRIZ
- O produto só existe se o número de colunas de um é
igual ao número de linhas do outro.
A = (aij)m.n x B+ (bij)n.p
C = (cij)m.p
2 3 1
4 0 2
14 16 18
2.1 + 3.0 + 1.4
1.1 + 0.0 + 2.4
x
1 -2
0 5
4 1
2(-2) + 3.5 + 1.1
1(-2) + 0.5 + 2.1
- PROPRIEDADES:
A.B≠ B.A
(A . B) . C = A . (B . C)
A.I=A
A (B + C) = A.B + A.C
=
6 12
9 0
E S T U D O P R E P | 15
DETERMINANTE
definição
- O determinante de uma matriz A quadrada de ordem n,
indicado por detA, é um número obtido a partir de algumas
operações com os seus elementos.
- 1ª ORDEM: é o próprio elemento.
a11
Det = a11
- 2ª ORDEM: diagonal principal – diagonal secundária.
a11 a12
a21 a22
Det = a11 . a22 – a12 . a21
- 3ª ORDEM: regra de sarrus.
1º repete-se as 2 primeiras colunas.
Diagonal principal – diagonal secundária.
a11 a12 a13 a11 a12
a21 a22 a23 a21 a22
a31 a32 a33 a31 a32
Teorema de laplace
- Escolher uma linha e calcular o determinante.
2 1 5
4 3 2
7 6 8
4.a21 + 3.a22 + 2.a23
- COFATOR: Aij = (-1)i+j . mij
cofator
menor complementar
- MENOR COMPLEMENTAR:
1º: escolher um termo.
2º: riscar a linha e a coluna do termo.
3º: calcular o det dos números não riscados.
2 1 5
4 3 2
7 6 8
4 3
7 6
chió
- Serve apenas quando A11 = 1.
- Permite abaixar a ordem do det.
mij
- 1º: eliminar a 1ª linha e a 1ª coluna.
- 2º: subtrair do produto dos elementos da mesma fila.
- 3º: a matriz formada possui o mesmo determinante.
1 2 5
-1 4 -10
3 3 -4
=
4-(-2).(-1) -10-5.(-1)
3-(-2).(3) -4-5.3
Teorema de jacobi
- Adicionando a uma fila de uma matriz A quadrada de
ordem n, uma outra fila paralela previamente multiplicada
por uma constante, obteremos uma nova matriz A’, tal
que, det A’ = det A.
A propriedade auxilia na introdução de zeros na
matriz, facilitando o cálculo do determinante.
1 -3 5
2 4 -3
4 1 6
1 0 5
2 10 -3
4 13 6
2° coluna = 2° coluna + (3).1° coluna
Teorema de binet
- Sejam A e B matrizes quadradas de ordem n, então:
Det (A.B) = detA . detB.
propriedades
- detA = detAT.
- TROCAR FILAS: detA = -detA
- 2 FILAS PARALELAS IGUAIS: detA = 0.
- UMA FILA COM TODOS OS ELEMENTOS NULOS: detA=0.
- SE MULTIPLICAR UMA FILA POR UM NÚMERO
QUALQUER: K.detA.
- SE MULTIPLICAR TODA A MATRIZ POR UM NÚMERO
QUALQUER: Kn.detA. (n = ordem da matriz)
- SE POSSUIR 2 FILAS PROPORCIONAIS: det = 0.
- DETA = DETB + DETC: se as matrizes forem idênticas
exceto por uma fila que é a soma da fila das 2 outras
matrizes.
- MATRIZ TRIANGULAR: det da diagonal principal.
- det (A.A-1) = det I.
- det A . det A-1 = 1.
- det (A-1) = 1/detA.
E S T U D O P R E P | 16
´
PROBABILIDADE
analise
pfc
- Se um determinado evento pode ocorrer de X maneiras,
e um outro evento pode ocorrer de Y maneiras
(independente do resultado do primeiro evento), então os
dois juntos podem ocorrer de X.Y maneiras.
fatorial
- É um número natural inteiro positivo, o qual é
representado por n!.
- É calculado pela multiplicação desse número por todos
os seus antecessores até chegar ao número 1.
n! = n . (n-1)!
P(A) = N(A)
N(E)
- EVENTO: é o fato desejado.
- ESPAÇO AMOSTRAL: é o conjunto de todos os possíveis
resultados do experimento aleatório.
- EVENTO CERTO: evento coincide com o espaço amostral.
P(E) = 1.
- EVENTO IMPOSSÍVEL: o evento é o conjunto vazio.
P(E) = 0.
- EVENTO COMPLEMENTAR: evento que ocorre quando o
outro não ocorre.
EC
1! = 0! = 1.
A ORDEM IMPORTA?
SIM
NÃO
ARRANJO
COMBINAÇÃO
arranjo
- É o tipo de agrupamento em que um grupo é diferente
de outro pela ordem ou natureza dos elementos
componentes.
An,p = n! .
(n-p)!
combinação
- A ordem dos elementos não é considerada.
Cn,p = n! .
(n-p)! p!
- COM REPETIÇÃO:
- CIRCULAR:
PCN = (N-1)!
N(Ω) = N(E) + N(EC)
multEplica
Ou
souma
LEI BINOMIAL
P(E) = ( NK )PK . QN-K
CONDICIONAL
- A probabilidade de ocorrer B dado que A já ocorreu.
A
B
P(B/A) = P(A∩B)
P(A)
UNIÃO
EXCLUSIVOS
B
A
P(AUB) = P(A) . P(B/A)
PN = n!
PNA,B = N!
A!.B!
E
E
permutação
- SIMPLES:
casos favoráveis (evento).
casos possíveis (espaço amostral).
A
SIMULTÂNEOS
B
P(AUB) = P(A) + P(B) - P(B∩A)
INTERSECÇÃO
P(A∩B) = P(A) . P(B/A)
- INDEPENDENTE: P(A∩B) = P(A) . P(B)
E S T U D O P R E P | 17
´
Numeros
definição
- Dado dois números naturais, n e p, chamamos número
binomial ao par de valores ( NP ), onde:
( NP ) =
N! .
, com N ≥ P.
(N-P)!P!
N
P
( ) lê-se: binomial de N sobre P.
( NP ) = CN,P
N
( 0 ) = 1.
( N1 ) = N.
( NN ) = 1.
( NP ) = N .
N-P
( )
( NP ) + ( P+1N ) = ( N+1
P+1 )
LINHAS
1
4 1
10 5 1
. . .
1
2 1
3 3 1
4 6 4 1
1
2 1
3 3 1
4 6 4 1
- Refere-se à potência na forma (x + y)n, onde x e y são
números reais e n é um número natural.
- É um método simples que permite determinar a enésima
potência de um binômio.
PROPRIEDADES
- Em qualquer linha, dois binomiais equidistantes dos
extremos são complementares (iguais).
( 05 ) ( 51 ) ( 25 ) ( 35 ) ( 45 ) ( 55 )
5
- A soma dos elementos de uma coluna do triângulo de
Pascal (começando no primeiro elemento da coluna) é igual
ao elemento que está avançado uma linha e uma coluna
sobre a última parcela.
Binômio de newton
COLUNAS
1
1
(1)
2
2
(1 ) (2 )
1
1
1
1
1
TRIÂNGULO DE PASCAL
1
3
6
10
.
1 = 20
1 + 1 = 21
1 + 2 + 1 = 22
- A soma dos elementos de uma diagonal, começando do
primeiro elemento da diagonal, é igual ao elemento que
está imediatamente abaixo da sua última parcela.
- RELAÇÃO DE STIFEL:
1
2
3
4
5
.
( 00 )
1
( 20 )
(0 )
1
1
1
1
1
PROPRIEDADES
- NÚMEROS BINOMIAIS COMPLEMENTARES:
1
1
1
1
1
1
.
- A soma de todos os binomiais da linha n do triângulo de
Pascal é 2n.
10
10
5
1
- A soma de dois binomiais consecutivos de uma mesma
linha é igual ao binomial situado imediatamente abaixo do
binomial da direita.
( 00 )
1
( 01 ) + ( 1 )
2
( 20 )
(1 )
2
(2)
N
N
(X + Y)N = ( N0 )XN + ( 1 )XN-1Y + . . + ( N )YN
Tem n + 1 parcelas.
Os expoentes de X decrescem de n a 0 e os de
Y crescem de 0 a n.
A soma dos expoentes de a e de b
- TERMO GERAL DO BINÔMIO DE NEWTON:
N
TK+1 = ( K )XN-KYK
E S T U D O P R E P | 18
^
POLINÔMIOS
2° - multiplicamos 2x por x2 – 2x + 3 e vemos “quanto
falta para 2x3 – 8x2 + 7x – 5”
P(X) = AnXn + An-1Xn-1 + . . + A1X1 + A0
2x3 – 8x2 + 7x – 5 x2 – 2x + 3
- 2x3 + 4x2 - 6x
2x
2
- 4x + x – 5
FUNÇÃO POLINOMIAL
termo independente
- P(K) = O → K é raiz.
- P(1) = soma dos coeficientes.
- FORMA FATORADA: P(X) = (X-A)(X-B)(X-C).
- GRAU: é o número de raízes.
É representado pelo maior expoente de polinômio.
- POLINÔMIOS IDÊNTICOS: dois polinômios serão idênticos
quando tiverem os coeficientes respectivamente iguais.
3x4 + ax3 + x2 – x + b = cx4 + 2x3 – dx2 + 10ex
3° - enquanto o grau do resto for maior ou igual ao grau
do divisor, continuamos a divisão.
2x3 – 8x2 + 7x – 5 x2 – 2x + 3
- 2x3 + 4x2 - 6x
2x - 4
2
- 4x + x – 5
4x2 – 8x + 12
- 7x + 7
* FIM DA DIVISÃO: grau menor que o divisor.
Método de descartes
P(X) = D(X) . Q(X) + R(X)
A = 2 / B = 0 / C = 3 / D= -1 / E = -1/10
- O grau do quociente é a diferença entre os graus dos
polinômios.
- O resto possui grau menor que o grau do divisor.
Soma e subtração
- Agrupar termos de mesmo grau.
- COMUTATIVA: A + B = B + A.
- ASSOCIATIVA: A + (B + C) = (A + B) + C.
- ELEMENTO NEUTRO: A + 0 = A.
- ELEMENTO OPOSTO: A + (-A) = 0.
P(X) = x4 + 2x3 + 3x2 + 4x + 5 ÷ D(X) = x3 + 1
1° - estimamos o quociente Q(X) e o resto R(X) da divisão.
x4 + 2x3 + 3x2 + 4x + 5 = (ax + b).(x3 + 1) + (cx2 + dx + e)
MULTIPLICAÇÃO
- Multiplique termo a termo.
- COMUTATIVA: A . B = B . A
- ASSOCIATIVA: A . (B . C) = (A . B) . C
- DISTRIBUTIVA: A . (B + C) = A .B + A.C
- GRAU DE A.B: grau de A + grau de B.
2° - igualar os coeficientes.
divisão
Teorema do resto
- Somente para divisores de 1° grau.
A(X) =
Q(X)
x4 + 2x3 + 3x2 + 4x + 5 = ax4 + bx3 + cx2 + (a+d)x + (b+e)
a = 1 / b = 2 / c = 3 / d = 3 / e = 3.
Método da chave
POLINÔMIO P(X) DIVISOR D(X)
RESTO R(X) QUOCIENTE Q(X)
2x3
–
8x2
+ 7x – 5 ÷ B(X) =
R(X)
x2
P(X) = (X – A) . Q(X) + R
– 2x + 3
1° - dividimos inicialmente 2x3 por x2.
2x3 – 8x2 + 7x – 5 x2 – 2x + 3
2x
- O resto da divisão de P(X) por (X – A) é r = P(A).
P(X) = x4 – 3x2 + 2x - 1 ÷ D(X) = x – 2
(x = 2)
P(2) = 24 – 3.22 – 2.2 -1 → P(2) = 7 = R
E S T U D O P R E P | 19
TEOREMA DE D’ALEMBERT
- Para que um polinômio seja divisível por (X – A), é preciso
que o resto seja igual a zero, ou seja, P(A) = 0.
GIRARD
Ax2 + Bx + C
X1 + X2 = -B/A.
X1 . X2 = C/A.
- Determine K para que o polinômio P(X) = Kx3 + 2x2 + 4x
-2 seja divisível por (X + 3) → P(-3) = 0.
Ax3 + Bx2+ Cx + D
X1 + X2 + X3 = -B/A.
X1.X2 + X1.X3 + X2.X3 = C/A.
X1.X2.X3 = -D/A
K(-3)3 + 2(-3)2 + 4(-3) – 2 = 0 → K = 4/27
Briot - ruffini
- Somente para divisores de 1° grau.
TRANSFORMAÇÃO
2x3 – 3x2 – 5x + 1 x – 3 (x = 3)
3
X
2 -3 -5 1
2
3
4 13
Para ser raiz tem que dar zero.
1° - repetir o 1° número.
2° - multiplicar pelo divisor.
3° - somar com o próximo número.
raízes
- Uma constante complexa K é a raiz ou zero de um
polinômio P(X) se, e somente se: P(K) = 0.
Y = K . X → X = Y/K
- Obter a equação cujas raízes são o dobro das raízes da
equação.
P(X) = x3 + 5x2 – 7x + 11
Y = 2x → x = Y/2
3
(Y/2) + 5(Y/2)2 – 7Y/2 + 11 = 0
Y3/8 + 5Y2/4 – 7Y/2 + 11 = 0 (x8)
Y3 + 10Y2 – 28Y + 88 = 0
ADITIVA
Y=X+A→X=Y-A
- Obter a equação cujas raízes são duas unidades
menores que as raízes da equação.
- TEOREMA DAS RAÍZES COMPLEXAS: seja um complexo
Z = a + bi uma raiz de um polinômio, seu conjugado (Z = a
– bi) também será raiz.
O número de raízes complexas sempre é par.
Método das tentativas
1° - pegar todas as possíveis raízes inteiras: todos os
divisores do termo independente.
3x2 + 2x2 – 2x + 4
A
T.I.
±1, ±2, ±4.
2° - pegar todas as possíveis raízes fracionárias: raízes
inteiras/A
±1/3, ±2/3, ±4/3.
3° - testar todas as possíveis raízes: se zerar, é raiz!
MULTIPLICATIVA
P(X) = 2x3 – 5x – 2
Y=x-2→ x=Y+2
2(Y + 2)3 – 5(Y + 2) -2 = 0
2Y3 + 12Y2 + 19Y + 4 =0
recíproco
P(X) = 0.
P(1/X) = 0.
P(X) = Xn . P(1/X)
1ª ESPÉCIE (SINAIS IGUAIS).
PAR: forma normal de resolver.
ÍMPAR: X1 = -1.
2ª ESPÉCIE (SINAIS DIFERENTES).
PAR: X1 = -1 e X2 = 1 (SEM TERMO CENTRAL)
ÍMPAR: X1 = -1.
E S T U D O P R E P | 20
sistemas
definição
- É um conjunto de equações lineares da forma:
A11X1 + A12X2 + . . + A1NXN = B1.
A21X1 + A22X2 + . . + A2NXN = B2.
:
:
AM1X1 + AM2X2 + . . + AMNXN = BN
- É um sistema linear de m equações e n incógnitas.
classificação
possível
Determinado
(1 solução)
indeterminado
( várias soluções )
- POSSÍVEL E DETERMINADO: tem apenas uma solução.
D ≠ 0.
X+Y=8
2X – Y = 1
- POSSÍVEL E INDETERMINADO: infinitas soluções.
D = D1 = D2 = D3 = . . = DN = 0.
X+Y=8
2X + 2Y = 16
impossível
Não tem solução.
D = 0 e Dx ≠ 0.
X + Y = 10
X – Y = 10
REGRA DE CRAMER
- É utilizada na resolução de sistemas SPD.
A1X + B1Y = C1
A2X + B2Y = C2
A1 B1
D= A B
2
2
X = DX
D
C1 B1
DX = C B
2
2
Y = DY
D
A1 C1
DY = A C
2
2
ESCALONAMENTO
- Fazer manipulações algébricas para sumir com os
termos.
E S T U D O P R E P | 21
Complexos
- Um número complexo é todo número na forma:
Z = a + bi
NÚMERO COMPLEXO
CONJUGADO DE UM NÚMERO COMPLEXO
- Para se obter o conjugado de um número complexo
basta trocar o sinal do coeficiente da parte imaginária.
Z = a + bi → Z = a – bi
Y
Z
PARTE IMAGINÁRIA DE Z
PARTE REAL DE Z
Quando a = O → Z = bi (n° imaginário puro).
Quando b = 0 → Z = a (n° real).
- UNIDADE IMAGINÁRIA: i
i = √-1
PLANO DE ARGAND-GAUSS
EIXO IMAGINÁRIO (Y)
b
|Z| = √A2 + B2
P(a,b)
a
EIXO REAL (X)
IGUALDADE DE NÚMEROS COMPLEXOS
- Dois números complexos são iguais quando suas partes
reais e imaginárias forem respectivamente iguais.
Z1 = Z2 / A1 = A2 / B1 = B2.
OPERAÇÕES COM NÚMEROS COMPLEXOS
X
Z
- O produto de um número complexo pelo seu conjugado
é sempre um número real.
Z . Z ∈ R.
POTÊNCIAS DE I
- i0 = 1.
- i1 = i.
- i2 = -1.
- i3 = -i.
REPETE DE 4 EM 4
ARGUMENTO
- A medida do ângulo θ, formado por OP com o eixo das
abscissas é denominada argumento do complexo Z.
Y
θ = Arg(z)
ADIÇÃO
Z1 + Z2 = (A + C) + (B + D)I
SUBTRAÇÃO
Z1 - Z2 = (A - C) + (B - D)I
MULTIPLICAÇÃO
Z1 . Z2 = (AC – BD) + (AD + BC)I
DIVISÃO
Z1 = A + BI . C – DI
Z2 C + DI . C – DI
θ
X
COSθ = A/|Z|.
SENθ = B/|Z|.
FORMA TRIGONOMÉTRICA
Z = |Z|(COSθ + i.SENθ)
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