EXERCÍCIOS SOBRE FUNÇÃO DO 1º GRAU PROBLEMA 1 Um automóvel desloca-se em uma estrada com velocidade constante. Sabendo que ele sai do km 15 e duas horas depois passa pelo km 175, faça o que se pede: a. determine a velocidade desse automóvel; b. escreva a função que representa esse movimento; c. faça um tabela relacionando o tempo transcorrido e o km em que ele se encontra; d. faça o gráfico dessa função utilizando o programa ‘zgrapher’. Respostas: a. A velocidade: 80 km/h b. Função: y = 15 + 80x c. Tabela: Tempo/h 0 1 2 3 4 Km 15 95 175 255 335 d. Gráfico: Vamos construir um gráfico a partir de uma tabela de dados. Após abrir o programa siga os passos abaixo: 1º passo: clique no botão indicado para digitar a tabela feita no item “c” 2º passo: digite na tabela os valores atribuídos. Selecione também a espessura, o estilo e a cor da linha para o gráfico. (OK) 3º passo: para ajustar os eixos de acordo com os dados da tabela clique no botão indicado. Observe que sua tabela já está salva no programa. Neste espaço aparecerá a listagem de todas as funções que você trabalhar. 4º passo: clique em ‘eixos x’ para ajustar o valor mínimo e máximo que vc deseja para esse eixo. Repita o 4º passo para o eixo ‘y’ Neste espaço você colocará os valores de variação para cada eixo. Se necessário ajuste a cor de seu gráfico novamente. (OK) O gráfico já pode ser visualizado. PROBLEMA 2: Numa fábrica de bichos de pelúcia, o custo para produção de um determinado modelo é de R$ 12,50 por unidade, mais um custo inicial de R$ 250,00. a. Escreva a fórmula da função que representa o custo total da produção. b. Faça o gráfico dessa função. c. Analise, a partir do gráfico o custo de produção de 50, 80 e 100 unidades do produto. Respostas: a. Fórmula: y = 12,50x + 250 b. Gráfico – este gráfico será construído a partir da função informada. Para isso siga os passos abaixo. Passo 1 – clique no botão indicado Passo 2: Digite a fórmula da função no espaço indicado. Não use espaço e para o decimal deve-se usar ponto. Selecione o estilo e espessura da linha, e a cor para seu gráfico. (OK) Para ajustar a medida dos eixos clique em eixos (x e y) e proceda como no exercício anterior. Observe que sua fórmula já está aparecendo na ‘lista’. Você poderá escolher também a cor dos eixos x e y, bem como o estilo das linhas e direção dos mesmos Clicando em OK seu gráfico estará desenhado Vamos colocar linhas de grade para que possamos analisar melhor esse gráfico? Clique em ‘propriedades’ Clique em ‘grades cartesianas’ e você poderá incluir linhas horizontais e verticais. Selecione o quadrinho de ‘linhas horizontais’ e depois de ‘linhas verticais’. Informe a distância entre linhas (normalmente já está calculada), selecione o estilo, a espessura e a cor das linhas de grade. (OK) Seu gráfico está pronto para ser analisado! PROBLEMA 3 – Função Quadrática Um teatro está apresentando Dom Casmurro, de Machado de Assis. A peça é oferecida a grupos de x estudantes pelo preço individual de p = (30 – 0,1x) reais. a) Qual é a fórmula da receita R recebida pelo teatro numa sessão à qual comparecem x estudantes? b) Numa sessão em que foram arrecadados R$ 2000,00, quantos estudantes compareceram? c) Faço o gráfico da arrecadação e diga quantos estudantes devem comparecer para que a receita seja máxima, e qual é essa receita máxima. Respostas: → R = 30x – 0,1x2 2000 = 30x – 0,1x2 → x2 – 300x + 20000 = 0 → x = 100 ou x = 200 a) R = (30 – 0,1x)x b) c) Vamos fazer o gráfico e analisa-lo. Como no exercício anterior, vamos construir o gráfico a partir da fórmula. Então, clique na tecla +F. Escreva a fórmula do problema. Use ponto para indicar a vírgula e ‘^’ para elevar à potência Selecione espessura, estilo e cor do gráfico. Observe que a fórmula fica identificada na lista. Se colocarmos outras, é mais fácil reconhece-la. Vamos colocar uma legenda (nome) para essa fórmula: ‘valor ingresso’. OK O gráfico não está visível, apenas uma parte dele está sendo mostrada. Temos que modificar o valor dos eixos. Clique em propriedades Começaremos pelo eixo x. Arrumando o intervalo. Como já calculamos que os valores de x são 100 ou 200, podemos colocar como ponto máximo e mínimo um pouco além desses. Vamos mudar a cor dos eixos cartesianos. Vc pode escolher estilo e espessura da linha. Vamos arrumar também o espaçamento entre esse intervalo. Vc pode tentar valores diferentes até que seu gráfico fique bem visível. Aqui colocaremos 30 em ‘step’. OK Vamos fazer a mesma coisa para o eixo y. Intervalo mínimo e máximo. Lembre-se que o problema considerou o valor 2000. Coloque um pouco mais. O espaçamento para o eixo y poderá ser de 250. Você pode definir outros valores. OK O gráfico está pronto. Coloque linhas de grade, para que você possa interpretá-lo melhor. Lembra-se como fazer? Observe que neste espaço, o programa mostra os valores de x e y no ponto onde você coloca o cursor. Então fica fácil observar os valores atribuídos a x e sua variação. Colocando o cursor no ponto máximo da curva, podemos responder ao item ‘c’ do problema. O número de alunos que devem comparecer para que a receita seja máxima é 150 alunos. O valor dessa receita é R$ 2250,00. Outras atividades a serem desenvolvidas: Seguem mais alguns exercícios que poderão ser trabalhados com o programa. Não será colocado o ‘passo a passo’ em todos eles, pois considera-se que tanto professores e alunos já tem condições de utilizá-lo, explorando-o para conseguir do mesmo o que for necesário para a resolução dos problemas apresentados. Uma proposta é que o professor forme grupos de alunos e distribua um ou dois exercícos a cada grupo, pedindo para que resolvam e apresentem à turma a solução. PROBLEMA 1 Numa cultura de bactérias, o número delas é dado pela função y = 1000. 30,5. x , onde x é o tempo decorrido em horas, e y a quantidade de bactérias após determinado tempo. Construa a tabela que mostra a evolução dessas bactérias e em seguida seu gráfico. Debata com seus colegas sobre esse crescimento. PROBLEMA 2 Segundo uma lenda antiga, o jogo de xadrez foi inventado na Índia para agradar a um soberano, como passatempo que o ajudasse a esquecer os aborrecimentos que tivera com desastrada batalha. Encantado com o invento, o soberano, rei Shirham quis recompensar seu súdito Sissa Ben Dahir, o inventor do xadrez. Shirham disse a Sissa que lhe fizesse um pedido, pois ele o atenderia prontamente. Sissa disse, simplesmente: - Bondoso rei, dê-me então um grão de trigo pela primeira casa do tabuleiro, dois pela segunda casa, quatro pela terceira, oito pela quarta, e assim por diante, até grãos chegar à última casa do tabuleiro, isto é, a 64ª casa. O rei achou esse pedido demasiado modesto e, sem dissimular seu desgosto, disse a Sissa: - Meu amigo, tu me pedes tão pouco, apenas um punhado de grãos de trigo. Eu desejava cumular-te de muitas riquezas epalácios, servos e tesouros de ouro e prata. Como Sissa insistisse em seu pedido original, o rei ordenou a seus auxiliares e criados que tratassem de satisfazê-lo. O administrador do palácio real mandou que um dos servos buscasse um balde de trigo e fizesse logo a contagem. Um balde com cerca de 5 kg de trigo contém aproximadamente 115 000 grãos (se quiser conferir pode fazer você mesmo a contagem...); essa quantia foi suficiente para chegar à 16ª casa do tabuleiro, mas não além. Veja como podemos escrever o pedido de Sissa: 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ....... ou ainda: 20 + 21 + 22 + 23 + 24 + .......... + 2 63 Para chegar à 17ª casa seriam necessários 1 + 2 + 22 + 23 + 24 + .......... + 217 = 131071 grãos de trigo. Observe que no pedido de Sissa, a quantia de grãos correspondentes a cada casa, pode ser escrito em forma de potência. O que varia é o expoente dessa potência que assume um valor de acordo com a posição da casa que está ocupando no tabuleiro. Podemos então dizer que a quantia de grãos que será colocada em cada casa é de “2x grãos”. Se chamarmos a quantia de grãos em cada casa de y, teremos: y = 2x Faça um gráfico e analise porque diz-se que o rei não conseguiu pagar a Sissa o seu pedido. PROBLEMA 3 Um automóvel, a 30 km/h, é freado e pára depois de percorrer mais 8 metros. Se freado a 60 km/h, quantos metros percorrerá até parar? Propondo-se dessa maneira, poderemos pensar que as grandezas aí envolvidas, velocidade V e a distância D percorrida até parar são diretamente proporcionais e achar que a resposta é 16 m. Mas isto é falso. O certo é que a ‘distância é proporcional ao quadrado da velocidade’, pelo menos dentro de certos limites de velocidade, e isso não foi dito explicitamente no enunciado do problema. Essa lei significa que D1 e D2 são as distâncias correspondentes, respectivamente, às velocidades V1 e V2. Ou seja: D1 / V12 = D2 / V22 Com os dados concretos do nosso problema, se tomarmos V1 = 30 km/h, então D1 = 8 m; e se pusermos V2 = 60 km/h, teremos a equação para determinar a distância D2, correspondente à “velocidade de freagem”. 8 / 302 = D2 / 602 Resolva a equação e veja quantos metros o automóvel percorrerá até parar. Você deve ter achado 32 metros. Vale a pena reparar no aumento da distância de freagem, que passou de 8 para 32 metros quadriplicou. Quando a velocidade foi de 30 para 60 km/h, duplicou. Mas, desse cálculo isolado, não podemos concluir que será sempre assim. Se quisermos saber o que ocorre com outras velocidades, podemos fazer novos cálculos, usando o mesmo raciocínio. Calcule as distâncias de freagem correspondentes às velocidades de 40, 60, 80, 100 e 120 km/h. Agora construa uma tabela numérica de velocidades e distâncias correspondentes e faça a representação gráfica (utilizando o programa) da mesma. Isso permitirá compreender melhor o que está acontecendo com a distância de freagem, à medida que a velocidade aumenta. Observe atentamente o gráfico e os quadros para bem entender o efeito da velocidade de um automóvel na distância em que ele ainda percorre até parar, desde o momento em que o motorista utiliza os freios. Quando a velocidade duplica, triplica, quadruplica etc., a distância de freagem fica multiplicada por 4, 9, 16, etc., o que mostra o perigo das altas velocidades. Em seguida descubra através da “regressão”, qual a fórmula que nos dá a distância de freagem, em função da velocidade do automóvel. Pesquise, em revistas especializadas sobre automóvel, qual a velocidade de freagem dos carros novos, compare ao apresentado neste problema e discuta com a turma sobre as conseqüências das altas velocidades em nossas estradas.
