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7257 Atividades utilizando o zgrpher

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EXERCÍCIOS SOBRE FUNÇÃO DO 1º GRAU
PROBLEMA 1
Um automóvel desloca-se em uma estrada com velocidade constante. Sabendo que ele
sai do km 15 e duas horas depois passa pelo km 175, faça o que se pede:
a. determine a velocidade desse automóvel;
b. escreva a função que representa esse movimento;
c. faça um tabela relacionando o tempo transcorrido e o km em que ele se encontra;
d. faça o gráfico dessa função utilizando o programa ‘zgrapher’.
Respostas:
a. A velocidade: 80 km/h
b. Função: y = 15 + 80x
c. Tabela:
Tempo/h
0
1
2
3
4
Km
15
95
175
255
335
d. Gráfico: Vamos construir um gráfico a partir de uma tabela de dados. Após abrir
o programa siga os passos abaixo:
1º passo: clique no botão
indicado para digitar a tabela
feita no item “c”
2º passo: digite na tabela
os valores atribuídos.
Selecione também a
espessura, o estilo e a
cor da linha para o
gráfico. (OK)
3º passo: para ajustar os
eixos de acordo com os
dados da tabela clique no
botão indicado.
Observe que sua tabela já está salva no
programa.
Neste espaço aparecerá a listagem de
todas as funções que você trabalhar.
4º passo: clique em
‘eixos x’ para ajustar o
valor mínimo e
máximo que vc deseja
para esse eixo.
Repita o 4º passo para
o eixo ‘y’
Neste espaço você
colocará os valores de
variação para cada eixo.
Se necessário ajuste a
cor de seu gráfico
novamente. (OK)
O gráfico já pode
ser visualizado.
PROBLEMA 2:
Numa fábrica de bichos de pelúcia, o custo para produção de um determinado modelo é
de R$ 12,50 por unidade, mais um custo inicial de R$ 250,00.
a. Escreva a fórmula da função que representa o custo total da produção.
b. Faça o gráfico dessa função.
c. Analise, a partir do gráfico o custo de produção de 50, 80 e 100 unidades do
produto.
Respostas:
a. Fórmula: y = 12,50x + 250
b. Gráfico – este gráfico será construído a partir da função informada. Para isso
siga os passos abaixo.
Passo 1 – clique
no botão indicado
Passo 2: Digite a fórmula da
função no espaço indicado.
Não use espaço e para o
decimal deve-se usar ponto.
Selecione o estilo e espessura
da linha, e a cor para seu
gráfico. (OK)
Para ajustar a medida
dos eixos clique em
eixos (x e y) e proceda
como no exercício
anterior.
Observe que
sua fórmula já
está aparecendo
na ‘lista’.
Você poderá escolher
também a cor dos eixos
x e y, bem como o estilo
das linhas e direção dos
mesmos
Clicando em OK seu gráfico
estará desenhado
Vamos colocar linhas de
grade para que possamos
analisar melhor esse gráfico?
Clique em
‘propriedades’
Clique em ‘grades cartesianas’
e você poderá incluir linhas
horizontais e verticais.
Selecione o quadrinho de ‘linhas
horizontais’ e depois de ‘linhas
verticais’. Informe a distância
entre linhas (normalmente já está
calculada), selecione o estilo, a
espessura e a cor das linhas de
grade. (OK)
Seu gráfico está pronto para ser
analisado!
PROBLEMA 3 – Função Quadrática
Um teatro está apresentando Dom Casmurro, de Machado de Assis. A peça é oferecida
a grupos de x estudantes pelo preço individual de p = (30 – 0,1x) reais.
a) Qual é a fórmula da receita R recebida pelo teatro numa sessão à qual
comparecem x estudantes?
b) Numa sessão em que foram arrecadados R$ 2000,00, quantos estudantes
compareceram?
c) Faço o gráfico da arrecadação e diga quantos estudantes devem comparecer para
que a receita seja máxima, e qual é essa receita máxima.
Respostas:
→ R = 30x – 0,1x2
2000 = 30x – 0,1x2 → x2 – 300x + 20000 = 0 → x = 100 ou x = 200
a) R = (30 – 0,1x)x
b)
c) Vamos fazer o gráfico e analisa-lo.
Como no exercício
anterior, vamos construir o
gráfico a partir da fórmula.
Então, clique na tecla +F.
Escreva a fórmula do
problema. Use ponto para
indicar a vírgula e ‘^’ para
elevar à potência
Selecione espessura,
estilo e cor do gráfico.
Observe que a fórmula fica
identificada na lista. Se
colocarmos outras, é mais
fácil reconhece-la.
Vamos colocar uma
legenda (nome) para
essa fórmula: ‘valor
ingresso’. OK
O gráfico não está visível,
apenas uma parte dele está
sendo mostrada. Temos
que modificar o valor dos
eixos.
Clique em
propriedades
Começaremos
pelo eixo x.
Arrumando o intervalo.
Como já calculamos que
os valores de x são 100
ou 200, podemos colocar
como ponto máximo e
mínimo um pouco além
desses.
Vamos mudar a cor dos
eixos cartesianos. Vc
pode escolher estilo e
espessura da linha.
Vamos arrumar também o
espaçamento entre esse
intervalo. Vc pode tentar
valores diferentes até que seu
gráfico fique bem visível.
Aqui colocaremos 30 em
‘step’.
OK
Vamos fazer a mesma
coisa para o eixo y.
Intervalo mínimo e
máximo. Lembre-se
que o problema
considerou o valor
2000. Coloque um
pouco mais.
O espaçamento para o
eixo y poderá ser de 250.
Você pode definir outros
valores.
OK
O gráfico está pronto. Coloque
linhas de grade, para que você
possa interpretá-lo melhor.
Lembra-se como fazer?
Observe que neste espaço, o programa
mostra os valores de x e y no ponto
onde você coloca o cursor. Então fica
fácil observar os valores atribuídos a x
e sua variação.
Colocando o cursor no ponto máximo da curva, podemos responder ao item ‘c’ do
problema. O número de alunos que devem comparecer para que a receita seja máxima é
150 alunos. O valor dessa receita é R$ 2250,00.
Outras atividades a serem desenvolvidas:
Seguem mais alguns exercícios que poderão ser trabalhados com o programa.
Não será colocado o ‘passo a passo’ em todos eles, pois considera-se que tanto
professores e alunos já tem condições de utilizá-lo, explorando-o para conseguir do
mesmo o que for necesário para a resolução dos problemas apresentados.
Uma proposta é que o professor forme grupos de alunos e distribua um ou dois
exercícos a cada grupo, pedindo para que resolvam e apresentem à turma a solução.
PROBLEMA 1
Numa cultura de bactérias, o número delas é dado pela função y = 1000. 30,5. x , onde x é
o tempo decorrido em horas, e y a quantidade de bactérias após determinado tempo.
Construa a tabela que mostra a evolução dessas bactérias e em seguida seu gráfico.
Debata com seus colegas sobre esse crescimento.
PROBLEMA 2
Segundo uma lenda antiga, o jogo de xadrez foi inventado na Índia para agradar a um
soberano, como passatempo que o ajudasse a esquecer os aborrecimentos que tivera
com desastrada batalha. Encantado com o invento, o soberano, rei Shirham quis
recompensar seu súdito Sissa Ben Dahir, o inventor do xadrez.
Shirham disse a Sissa que lhe fizesse um pedido, pois ele o atenderia prontamente.
Sissa disse, simplesmente:
- Bondoso rei, dê-me então um grão de trigo pela primeira casa do tabuleiro, dois pela
segunda casa, quatro pela terceira, oito pela quarta, e assim por diante, até grãos chegar
à última casa do tabuleiro, isto é, a 64ª casa.
O rei achou esse pedido demasiado modesto e, sem dissimular seu desgosto, disse a
Sissa:
- Meu amigo, tu me pedes tão pouco, apenas um punhado de grãos de trigo. Eu desejava
cumular-te de muitas riquezas epalácios, servos e tesouros de ouro e prata.
Como Sissa insistisse em seu pedido original, o rei ordenou a seus auxiliares e criados
que tratassem de satisfazê-lo. O administrador do palácio real mandou que um dos
servos buscasse um balde de trigo e fizesse logo a contagem.
Um balde com cerca de 5 kg de trigo contém aproximadamente 115 000 grãos (se quiser
conferir pode fazer você mesmo a contagem...); essa quantia foi suficiente para chegar à
16ª casa do tabuleiro, mas não além.
Veja como podemos escrever o pedido de Sissa:
1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ....... ou ainda:
20 + 21 + 22 + 23 + 24 + .......... + 2 63
Para chegar à 17ª casa seriam necessários 1 + 2 + 22 + 23 + 24 + .......... + 217 = 131071
grãos de trigo.
Observe que no pedido de Sissa, a quantia de grãos correspondentes a cada casa,
pode ser escrito em forma de potência. O que varia é o expoente dessa potência que
assume um valor de acordo com a posição da casa que está ocupando no tabuleiro.
Podemos então dizer que a quantia de grãos que será colocada em cada casa é de “2x
grãos”.
Se chamarmos a quantia de grãos em cada casa de y, teremos: y = 2x
Faça um gráfico e analise porque diz-se que o rei não conseguiu pagar a Sissa o seu
pedido.
PROBLEMA 3
Um automóvel, a 30 km/h, é freado e pára depois de percorrer mais 8 metros. Se freado
a 60 km/h, quantos metros percorrerá até parar?
Propondo-se dessa maneira, poderemos pensar que as grandezas aí envolvidas,
velocidade V e a distância D percorrida até parar são diretamente proporcionais e achar
que a resposta é 16 m. Mas isto é falso.
O certo é que a ‘distância é proporcional ao quadrado da velocidade’, pelo
menos dentro de certos limites de velocidade, e isso não foi dito explicitamente no
enunciado do problema.
Essa lei significa que D1 e D2 são as distâncias correspondentes, respectivamente,
às velocidades V1 e V2. Ou seja:
D1 / V12 = D2 / V22
Com os dados concretos do nosso problema, se tomarmos V1 = 30 km/h, então
D1 = 8 m; e se pusermos V2 = 60 km/h, teremos a equação para determinar a distância
D2, correspondente à “velocidade de freagem”.
8 / 302 = D2 / 602
Resolva a equação e veja quantos metros o automóvel percorrerá até parar.
Você deve ter achado 32 metros. Vale a pena reparar no aumento da distância de
freagem, que passou de 8 para 32 metros quadriplicou. Quando a velocidade foi de 30
para 60 km/h, duplicou.
Mas, desse cálculo isolado, não podemos concluir que será sempre assim. Se
quisermos saber o que ocorre com outras velocidades, podemos fazer novos cálculos,
usando o mesmo raciocínio.
Calcule as distâncias de freagem correspondentes às velocidades de 40, 60, 80,
100 e 120 km/h.
Agora construa uma tabela numérica de velocidades e distâncias
correspondentes e faça a representação gráfica (utilizando o programa) da mesma. Isso
permitirá compreender melhor o que está acontecendo com a distância de freagem, à
medida que a velocidade aumenta.
Observe atentamente o gráfico e os quadros para bem entender o efeito da
velocidade de um automóvel na distância em que ele ainda percorre até parar, desde o
momento em que o motorista utiliza os freios.
Quando a velocidade duplica, triplica, quadruplica etc., a distância de freagem
fica multiplicada por 4, 9, 16, etc., o que mostra o perigo das altas velocidades.
Em seguida descubra através da “regressão”, qual a fórmula que nos dá a
distância de freagem, em função da velocidade do automóvel.
Pesquise, em revistas especializadas sobre automóvel, qual a velocidade de
freagem dos carros novos, compare ao apresentado neste problema e discuta com a
turma sobre as conseqüências das altas velocidades em nossas estradas.
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