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Introdução e análise circuitos

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Capítulo I- Caracterização de um Instrumento de Medida.
Definição e análise de circuitos eléctricos. Simbologia
ÍNDICE
1.1 CARACTERIZAÇÃO DE UM INSTRUMENTO DE MEDIDA E SUAS FUNÇÕES. ....................................... 2
1.2 ESTRUTURA DA DISCIPLINA............................................................................................................................... 4
1.3- SINAL ELÉCTRICO. DEFINIÇÃO DE GRANDEZAS ELÉCTRICAS. ........................................................... 5
1.3.1 SIMBOLOGIA DE COMPONENTES PASSIVOS ............................................................................................................. 8
1.3.2 SIMBOLOGIA DE OUTROS COMPONENTES PASSIVOS................................................................................................ 9
1.3.3 SIMBOLOGIA DE COMPONENTES ACTIVOS ............................................................................................................ 10
1.3.4 SIMBOLOGIA GERAL PARA INTERPRETAÇÃO DE ESQUEMÁTICOS .......................................................................... 11
1.4 CIRCUITO ELÉCTRICO ....................................................................................................................................... 12
1.5 LEIS DE KIRCHOFF .............................................................................................................................................. 13
1.6 ASSOCIAÇÃO DE COMPONENTES PASSIVOS NUM CIRCUITO ELÉCTRICO. ..................................... 13
1.7 VALOR MÉDIO E VALOR EFICAZ. CORRELAÇÃO ENTRE DIFERENTES SINAIS ELÉCTRICOS ... 14
1.8 IMPEDÂNCIA DE UM CIRCUITO ELÉCTRICO .............................................................................................. 18
1.9 SIMPLIFICAÇÃO DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS: TEOREMAS DE THEVENIN E NORTON ............... 18
1.10 PROBLEMAS SOBRE ANÁLISE DE CIRCUITOS .......................................................................................... 19
RESOLUÇÃO ............................................................................................................................................................... 22
1.11 ANÁLISE DE TRANSIENTES EM CIRCUITOS ELÉCTRICOS ................................................................... 23
RESOLUÇÃO ............................................................................................................................................................... 25
1.12 INDUTÂNCIA MUTUA ........................................................................................................................................ 25
1.12 ANÁLISE DE CIRCUITOS COM TRANSFORMADORES ............................................................................. 27
1.13 EXERCÍCIOS POR RESOLVER ......................................................................................................................... 29
A) QUESTÕES DE ÍNDOLE TEÓRICA ..................................................................................................................... 29
B) QUESTÕES DE ÍNDOLE PRÁTICA ..................................................................................................................... 30
I/1
1.1 Caracterização de um Instrumento de Medida e suas Funções.
Por instrumento de medida entende-se o sistema capaz de fornecer informação acerca de
quantidades de algumas variáveis/ grandezas físicas que se pretendem medir e/ou controlar.
Algumas vezes pretende-se também que essa informação seja registada para eventual uso
futuro. Isto é, o instrumento de medida serve três funções básicas: indicar, registar e
controlar, em simultâneo, ou parcelarmente.
Para realizar a sua função de “medir”, o instrumento de medida tem de possuir um
componente capaz de converter a grandeza física num sinal, mecânico ou eléctrico e deste ser
compreendido pelo utilizador, em termos de uma indicação de um ponteiro que se desloca
num dado mostrador graduado (indicação analógica) ou por indicação alfanumérica (indicação
digital). Este componente designa-se por transdutor. No caso vertente, estamos interessados
em instrumentos que convertam a grandeza física a medir num sinal eléctrico (instrumento
electrónico). Tal implica que para além do transdutor, exista também no instrumento de
medida um modificador de sinal, que processe/converta/amplifique o sinal fornecido pelo
transdutor de forma a que este proporcione a indicação desejada, para leitura no
Indicador/mostrador.
A forma de selecção do instrumento de medida mais adequado para medir ou fornecer
informação sobre um dado processo de controlo, tem a ver com a fiabilidade da medida, o
grau de exactidão e resolução instrumental pretendida, para além reproducibilidade de valores.
Em termos industriais, o instrumento de medida constituí a unidade básica do processo de
controlo.
Neste caso concreto, é necessário garantir-se que o transdutor e conversor eléctrico utilizado
são fiáveis e que o erro da medida está minimizado, de acordo com o grau de
reproducibilidade e fiabilidade pretendidos. Tal implica que, de algum modo, se conheça o
valor esperado da grandeza a medir.
Assim, na análise do processo, deve-se ter em conta que:
I/2
1. O comportamento teórico previsto, faz-se recorrendo a modelos matemáticos e é
sempre diferente do real.
2. O comportamento previsto, pode ser simulado em curto espaço de tempo, por recurso a
meios computacionais, que minimizam a aproximação clássica “experimentação, erro,
optimização”.
3. Necessidade de se recorrer a instrumentos fiáveis e exactos.
Na posse de todos estes elementos, os passos a dar para a validação do processo envolvem:
a)
Teste da validação teórica do modelo utilizado;
b)
Formulação genérica das relações empíricas a utilizar;
c)
Determinação das características e desempenho funcional das grandezas em jogo
(materiais, parâmetros do processo, etc.);
d)
Estudo dos fenómenos a controlar/processar, com o intuito de desenvolver uma
metodologia;
e)
Solução Matemática do problema;
f)
Definição do sistema electrónico a utilizar;
g)
Implementação da electrónica subjacente;
h)
Validação do sistema, através da operação de validação.
A estrutura instrumental compatível com a análise de engenharia efectuada, conduz-nos ao
esquemático:
I/3
1.2 Estrutura da disciplina.
Do exposto, constatamos que para a funcionalidade de um instrumento de medida é
importante saber-se como o sinal eléctrico é acondicionado, nomeadamente saber-se
interpretar os componentes de um circuito eléctrico e como ele funciona. A este
conhecimento deve-se acrescentar o conhecimento de erros de medida e formas de
minimizá-los. Na posse destes elementos, será possível exercermos as seguintes funções:
•
Selecção do equipamento mais adequado a um dado tipo de função;
•
Interpretação dos resultados obtidos;
•
Determinação de causas de eventuais avarias e/ou desvios da medida/controlo
efectuado;
•
Definição do tipo de circuitaria eléctrica necessária e/ou sua interpretação.
As valências acima enumeradas constituem o objecto desta disciplina, onde se pretende:
I)
Dar a conhecer os diferentes componentes eléctricos existem e o seu comportamento
em circuitos eléctricos de corrente continua (sinal eléctrico constante ao longo do
tempo) e corrente alterna; formas de associação de componentes eléctricos passivos;
definição de impedância de um circuito. Componentes reactivos e activos da
impedância; formas de análise de circuitos eléctricos; comportamento transientes;
modos de simplificação de circuitos eléctricos; definição de componente eléctrico activo
e sua utilização;
II)
Tipos de instrumentos de medida; padrões e referências em instrumentos de medida;
erros associados a uma medida e forma de os determinar e minimizar; Análise
sistemática de erros; formas de selecção de aparelhos de medida;
III)
Medidores analógicos de corrente continua: medidor d’Arsonval e sua utilização em
instrumentação analógica para medição de correntes, tensões e ohms. Sensibilidade de
um aparelho de medida e efeito de carga. Formas de implementar aparelhos de
medida de multi-escala: o “shunt” de Ayrton.; definição de multímetro e formas de
calibração de aparelhos de medida. Aplicações destes instrumentos.
IV)
Medidores analógicos de corrente alterna: princípio de funcionamento. Definição de
valor eficaz e médio de um sinal alterno sinusoidal; circuitos de rectificação de meia e
onda completa; Sensibilidade de um medidor de corrente alterna d’Arsonval;
Electrodinamómetro: princípio de funcionamento e sua utilização como medidor de
corrente, tensão e potência (wattimetro); outros medidores de corrente alterna
(palhetas; termopar, detector de envolvente). Aplicações.
V)
Circuito potenciométrico e tensões de referência: circuito potenciométrico básico e
sua utilização em processos de calibração; díodo Zener; aplicações. Pontes de corrente
continua: constituição e forma de funcionamento da ponte de Wheatstone, balanceada
e não balanceada. Ponto de Kelvin, funcionamento e aplicação. Pontes de leitores de
circuitos digitais. Aplicações (loop de Murray e loop de Varley).
VI)
Pontes de corrente alterna: modo de funcionamento e análise das diferentes pontes
existes e seu campo de aplicação (ponte dos ângulos similares, ponte de Maxwell,
ponte dos ângulos opostos, ponte de Wien, ponte de rádio frequência, ponte de
Schering).
VII)
Instrumentos de Medida Electrónicos (EVM): caracterização de um amplificador
diferencial; amplificadores diferenciais em EVM’s; caracterização de um circuito
somador e outro integrador; sensibilidade em EVM e sua utilização na medição de
sinais de corrente continua e alterna: medidor de tensão eficaz. Utilização do
electrómetro como ohmímetro. Medidor do vector de impedância e de tensão.
I/4
VIII)
Osciloscópio: composição e sua funcionalidade; componentes básicos de controlo:
circuitos deflectores verticais e horizontais; amplificadores verticais e horizontais;
sistema de varrimento temporal; sistema de disparo (trigger) e de sincronismo;
atenuadores; pontas de elevada impedância e formas de compensação de sinal.
Aplicações: medidas de tensão; frequência e fase. Figuras de Lissajous.
IX)
Instrumentos de registro e sua aplicação. Geradores de sinal: critério de Barkhausen.
Osciladores áudio e de rádio frequência. Geradores de funções sinusoidais,, de
impulsos e de dente de serra. Aplicações.
X)
Transdutores: definição de transdutor. Classificação de transdutores; tipo de
transdutores; selecção de transdutores. Transdutores resistivos medidores de posição
(potenciómetro), pressão. Transdutores capacitivos, indutivos e piezoeléctricos.
Transdutores medidores de temperatura: o termopar, a resistência, o termístor,
transdutor ultra-sónico. Transdutor fotoeléctrico: o fotomultiplicador, fotocondutores,
foto-díodos (células solares); fototransístor.
XI)
Ruído: definição e fontes de ruído. Formas de medida do ruído. Figuras de ruído.
Técnicas de redução/filtragem do ruído.
XII)
Fibras ópticas em instrumentação: sua constituição/composição e forma de
funcionamento. Vantagens na utilização de sensores de fibras ópticas em instrumentos
de medida.
XIII)
Instrumentos Digitais. Instrumentos digitais versus instrumentos de leitura digital.
Comparação entre um medidor analógico e outro digital. Fiabilidade, exactidão,
precisão e resolução de um instrumento digital. Conversores analógico-digitais.
Circuitos contadores binários e de décadas. Contadores electrónicos. O multímetro
digital. Instrumentos à base de microprocessadores. Aplicações.
XIV) Avarias em instrumentação: classificação e formas de detecção. Procedimentos a
seguir na detecção e sua reparação. Pontos de teste em instrumentação
eléctrica/electrónica. A realização e leitura de esquemáticos.
As grandes áreas anteriormente mencionadas correspondem aos tópicos a abordar ao
longo das 14 semanas efectivas de aulas teóricas, para as quais se pede a comparência dos
alunos, como forma destes mais facilmente ficarem dentro do conjunto de matérias de
índole científicas e técnica a leccionar.
1.3- Sinal Eléctrico. Definição de grandezas eléctricas.
Por sinal eléctrico entende-se o sinal ao qual está associado o transporte de uma dada
energia devido ao fluxo de cargas originado por um gradiente. Ao fluxo de cargas
chamamos de corrente eléctrica, e corresponde ao número de cargas (em Coulomb) que
por unidade de tempo fluem num dado circuito. Para isso, é necessário que esse circuito
seja fechado. Isto é, os terminais de saída do circuito que fornece a energia (designada de
fonte) devem estar ligados entre si através de uma dada carga (impedância). A corrente
exprime-se em Amperes [A=Q/s] e representa-se pela letra I (sinal de corrente continua)
ou i(t) (sinal de corrente alterna).
Ao gradiente que dá origem ao fluxo de cargas, designamos de potencial e ao resultado da
passagem da corrente pela “carga”, designamos por tensão. Ambos exprimem-se em Volts
[V] e representa-se pela letra V (sinal de corrente continua) e por v(t) (sinal de corrente
alterna- cc ou dc). No caso do sinal ser repetitivo no tempo, diz-se que o sinal é periódico
I/5
(c.a ou ac), designando-se o intervalo de tempo em que este se repete por período (T),
sendo normalmente representado em segundo [s]. Ao inverso do período ( número de
vezes por segundo que o sinal se repete) designamos por frequência (
f =
1
). A frequência
T
angular corresponde ao número de revoluções circulares equivalentes do sinal por
segundo: ( ω = 2 × π × f ).
Se o sinal for periódico e tiver a forma de uma onda sinusoidal, diz-se sinal sinusoidal.
V (I)
v(t), i(t)
v(t), i(t)
V (I)
t(s)
t(s)
-V (-I)
Sinal continuo v(t)=V
Sinal alterno sinusoidal do tipo v(t)=Vsin(ωt)
Neste caso tem-se que v(t)=Vsin(ωt), em que V é o valor da amplitude máxima (designada
também de tensão de pico) do sinal sinusoidal.
A fonte que fornece a energia, pode não dificultar a passagem de cargas, de forma a
manter um potencial sempre constante, independentemente das cargas que fluem no
circuito ou pode ter associada uma impedância resistiva muito elevada, de forma a manter
o fluxo de cargas constante. No primeiro caso a fonte designa-se de fonte de tensão,
enquanto no segundo caso se designa de fonte de corrente.
A fonte diz-se ser de corrente contínua (dc) se a amplitude do sinal eléctrico se mantém
invariável ao longo do tempo. Caso contrário o sinal diz-se alterno (ac).
A relação entre corrente e tensão numa da carga (impedância) corresponde à relação:
Vˆ = Zˆ × .Iˆ
(01.1)
onde o acento circunflexo sobre as letras significa que as grandezas em presença são
complexas. Isto é, caracterizadas por possuírem (no plano d’Argand) uma componente real
e uma imaginária.
Zˆ = R + jX
(01.2)
A componente real significa que quando da passagem de energia há consumo desta
enquanto que a componente puramente imaginária corresponde a um não consumo de
energia mas sim ao seu armazenamento, sob a forma de energia eléctrica ou magnética.
(nota:
j = − 1 ).
I/6
jX
Z
R
Zˆ = ( R + jX ) = ( R 2 + X 2 〈θ = Zˆ × e jθ
em que
(01.2ª)
X
( R 2 + X 2 = Zˆ e θ = artg
R
0 termo sob a raiz quadrada representa o modulo da grandeza complexa |Z|. O angulo θ
representa o angulo de fase da grandeza complexa. Isto é o angulo que o vector complexo
Z faz com o eixo das ordenadas.
As unidades em que se exprime a impedância são ohms [Ω]. A componente R, designa-se por
resistência está associada à energia que se perde por efeito de Joule. A dissipação dessa
energia no elemento resistivo dá origem à elevação de temperatura. A componente X designase reactância e corresponde à energia eléctrica armazenada, se o componente em causa for
um condensador (a capacidade exprime-se em Farad, [F], exprime-se pelo símbolo C e
representa-se por):
Q = C ×V
(01.3)
ou ao armazenamento de cargas magnéticas, se o elemento em causa for uma indutância
(exprime-se em Henry, [H], exprime-se pelo símbolo L e representa-se por):
Q=
V
L
(01.4)
Se tivermos em conta que i(t)=(dQ/dt), das relações anteriores tira-se que:
i (t ) = C ×
dv(t )
dt
(01.5)
v(t ) = L ×
di (t )
dt
(01.6)
Das equações 01.5 e 01.6, constatamos que:
1. Em d.c. o condensador comporta-se como um circuito aberto (não há passagem de
corrente e as cargas são armazenadas no condensador) e a bobine/indutância,
comporta-se como um curto circuito (tensão aos seus terminais praticamente igual
a zero, pelo facto desta, idealmente, ter R≈0 Ω. Neste caso, no interior da bobine
cria-se um campo magnético, cujo sentido é o da corrente que flui no circuito);
2. Em a.c., o condensador comporta-se como um curto circuito ( o condensador vai
carregando e descarregando, de forma alternada, de tal modo que o valor da carga
armazenada, em regime estacionário é zero) e a bobine como um curto circuito
I/7
magnético ( o valor médio do campo magnético gerado no seio da bobine é igual a
zero).
Por outro lado, também se tira que para sinais eléctricos sinusoidais se tem:
i (t ) = jωC × v(t )
e
v(t ) = jωL × v(t )
(01.7)
Nestas condições tira-se que a reactância capacitiva, Xc é dada por:
Xc = − j
1
ωC
(01.8ª)
e a reactância indutiva é dada por :
XL = jωL
(01.8b)
Aos componentes anteriores (resistência, condensador e bobine), para os quais existe uma
relação linear entre a corrente e a tensão (lei de Ohm), designamos de componentes passivos.
1.3.1 Simbologia de componentes passivos
Os componentes passivos são representados pelos seguintes símbolos.
DC
DC
a) Fonte de tensão dc
b) Fonte de corrente dc
AC
c) Bateria
d) Fonte de tensão ac
AC
e) Fonte de corrente ac
f) Oscilador
I/8
h) Fusível [resistência constituída por um fio
; variável
g) Resistência fixa
condutor
(normalmente
de
cobre),
de
comprimento e diâmetro calibrados para uma
,
dada
intensidade
de
corrente.
A
ultrapassagem dessa intensidade de corrente
faz fundir o fio, tendo em conta a energia
,
;
nesta
j)
fixo
resistência].
, meio
i) Bobina fixa
indutor
dissipada
núcleo
magneto
de
uma
Condensador
;
variável
bobina
permanente
.
;
electrolíticos
Nota,
nos
deve-se
ter
condensadores
em
conta
a
polaridade.
indutância ajustável
l) Transformador de potencial
k) Transformador
m)
Símbolo
negativa
de
polaridade
,
positiva
,
1.3.2 Simbologia de outros componentes passivos
i.
ii.
Símbolo de ligação à terra
Terra comum a vários aparelhos
vi.
ligação à terra por chassis
vii.
Cristal
.
.
viii. Termopar
iii.
Quebra circuitos
ix.
iv.
Termopilha
v.
Elemento térmico
Sistema protecção
viii Botão de ignição
ix) Lâmpada fluorescente
I/9
1.3.3 Simbologia de componentes activos
i.
Válvula a díodo
ii.
Válvula
;
tríodo
iii.
e
pentodo
Díodo de estado sólido: normal
;
Zener
;
; efeito de túnel
; diac
varactor
Triac
; comutador controlado
rectificador
controlado
; fotodíodo
. .
iv.
Transístor bipolar NPN
v.
MOSFET no modo de enriquecimento N
vi.
MOSFET no modo de deplexão N
vii.
JFET N
e PNP
;
.
.
eP
eP
eP
e PNP
viii. Par de Darlington NPN
ix.
x.
Ponte
rectificador
de
onda
completa
xv. Inversor
S
xi.
Portas lógicas: OR
, AND
SET
Q
xvi. FLIP FLOP RS R Q ,
CLR
I/10
,
NOR
NAND
,
J
SET
Q
xvii. JK K Q ,
CLR
,
xviii. Modulador
xii.
(“chopper”)
Amplificador diferencial
xiii. Amplificador operacional
xiv. Circuitos Amp Op
xix. Motor
,
somadores
xx.
,
integradores
multiplicadores;
;
divisor
,
1.3.4 Simbologia geral para interpretação de esquemáticos
a) União rotativa
b) Isolador
c) Reactância indutiva de um sistema
d) Reactância capacitiva de 1 sistema
e) Shunt (c.c.) equivalente
f) Descontínuidade
g) Acoplador direccional
h) Circulador fixo
j) Filtro de frequência
i) Circulador reversível
k)
Adaptador
de
deslocamento
de
fase
l) Tomada de dois condutores
ß
m) Saída de tomada ac
n) Tomada M/F de 3 condutores
I/11
p) Contactos por
o) Gerador de sinal
; relay de bobina
saídas
q) Comutador
e 2
relay com 1
,
relay
r) Símbolo de radiação não ionizante
, e
s) Símbolos de ligação
,
,
,
,
,
,
,
ionizante
u) ponto de soldadura de vários terminais
,
t) Cabo
v) Junção
, terminal
, ponto de teste
x) Jack blindada
e para cabo coaxial
,
y) Estação hidroeléctrica
1.4 Circuito Eléctrico
Por circuito eléctrico entende-se a combinação de componentes passivos e activos, interligados
entre si de forma a permitirem o fluxo de cargas eléctricas desejado e/ou o potencial num
dado componente terminal, designado de carga.
Um circuito eléctrico é constituído por malhas e nódos.
Por malha entende-se o circuito eléctrico fechado, sem derivações e/ou ramificações,
caracterizado pela corrente que passa em todos os seus ramos ser a mesma.
R2
R1
I1
R3
I2
Esquemático com 2 malhas, 4 ramos e 2 dois nódos
Por nódo entende-se o ponto de ligação de vários ramos onde confluem, de forma
convergente e/ou divergente fluxo de cargas diferentes.
No caso de se terem fontes de corrente continua, a polaridade é muito importante e define o
sentido de circulação da carga (do pólo positivo para o pólo negativo, externamente). Por
outro lado, o sentido da tensão gerada, será do pólo positivo para o negativo, internamente.
I/12
1.5 Leis de Kirchoff
1. O somatório das quedas de tensão ao longo de uma malha fechada é igual a zero
2. O somatório de todas as correntes num nódo é igual a zero
No caso do esquema que encima se mostra tem-se:
Malha 1 − E + R1 I 1 − R1 I 2 = 0
(01.9ª)
Malha 2 : − R1 I 1 + ( R2 + R3 + R1 ) = 0
(01.9b)
Em termos de nódos tem-se:
I G = I R1 + I R 2
1.6 Associação de componentes passivos num circuito eléctrico.
a) Associação de resistências
Tendo em conta as leis de Kirchoff anteriormente enunciadas tem-se que:
1. A resistência equivalente (Re) de n resistências ligadas em série (passa a mesma
corrente em todas elas) é dada por:
Re = R1 + R2 + ... + Rn
(01.10ª)
2. A resistência equivalente de n resistências ligadas em paralelo (sujeitas ao mesmo
potencial) é dada por:
1
1
1
1
=
+
+ ... +
Re R1 R2
Rn
(01.10b)
a) Associação de condensadores
Tendo em conta as leis de Kirchoff anteriormente enunciadas tem-se que:
3. A capacidade equivalente (Ce) de n condensadores ligados em paralelo (sujeitos ao
mesmo potencial) é dada por:
C e = C1 + C 2 + ... + C n
(01.11ª)
4. A capacidade equivalente de n condensadores ligados em série (sujeitas ao mesmo
fluxo de cargas) é dada por:
1
1
1
1
=
+
+ ... +
C e C1 C 2
Cn
(01.11b)
a) Associação de indutâncias
Tendo em conta as leis de Kirchoff anteriormente enunciadas tem-se que:
5. A indutância equivalente (Le) de n bobinas ligadas em série (passa a mesma corrente
em todas elas) é dada por:
I/13
Le = L1 + L2 + ... + Ln
(01.12ª)
6. A indutância equivalente de n bobinas ligadas em paralelo (sujeitas ao mesmo
potencial) é dada por:
1
1
1
1
=
+
+ ... +
Le L1 L2
Ln
(01.12b)
1.7 Valor médio e valor eficaz. Correlação entre diferentes sinais eléctricos
a) Valor médio e valor eficaz
Por definição, o valor médio de um dado sinal eléctrico é dado por:
Y av
1
=
T
T
∫ y ( t ) dt ,
(01.13)
0
onde T é o período.
Tendo em conta esta definição, conclui-se que o valor médio de um sinal dc corresponde ao
seu próprio valor, enquanto que para sinais sinusoidais, o seu valor é zero.
Por valor eficaz entende-se:
T
1
Yef =
y 2 (t )dt .
∫
T 0
(01.14)
Se y(t) for uma função sinusoidal do tipo Ymsinwt, Yef=Ym/√2. Nestas condições, tem-se que
Yav=0 e Yef=0,707Ym.
Se o sinal a analisar não for sinusoidal, deve-se ter em conta o factor de forma, definido como
sendo a razão entre o valor eficaz e o valor médio:
T
FF =
Yef
Yav
=
1
Yav = ∫ y (t )dt
T 0
T
(01.15)
1
y 2 (t )dt
∫
T 0
b) Correlação entre sinais eléctricos
Por ângulo de fase entende-se a desfasagem existente entre os sinais de corrente e tensão,
num dado ramo ou circuito eléctrico. Tratando-se de sinais sinusoidais, estes podem ser
representados por grandezas complexas, tais que
r
r
i = I m e jωt e v = Vm e jωt .
(01.16)
i) Carga puramente resistiva
I/14
Num dado circuito eléctrico ac, se a tensão e a corrente forem ambos funções sinusoidais no
tempo, a forma como estes sinais se correlacionam entre si tem a ver com a natureza da
carga. No caso da carga ser puramente resistiva, não existe qualquer deslocamento das
funções de onda, uma em relação à outra, sendo os zeros da função, os máximos e mínimos,
localizados para os mesmos tempos. De acordo com a lei de Ohm, tem-se que
r
r
v = Ri ,
(01.17)
onde R é um escalar. Nestas condições, o ângulo de fase entre a corrente e a tensão vale 0
graus. Isto é, a corrente e a tensão estão em fases. O componente passivo não introduz
qualquer variação de fase, designando-se por isso de componente activo.
Neste caso diz-se que os sinais estão em fase.
v(t), i(t)
V (I)
t(s)
-V (-I)
i(t)= Isin(ωt)
ii) Carga puramente capacitiva
Quando a carga é puramente capacitiva, existe um deslocamento entre si, no tempo, das
funções que traduzem o andamento sinusoidal da corrente e da tensão.
Neste caso tem-se que:
r 1
−jr
v = ∫ I m e jωt dt =
i.
ωC
C
(01.18)
Isto é a corrente está “avançada” em relação à tensão de 90 graus, π/2 radianos (o
equivalente à desfasagem devida ao operador -j). Isto é, o condensador comporta-se como um
“número imaginário puro”, um componente passivo não dissipador de energia (armazena-a
sob a forma de energia eléctrica), estando desfasada de -90 graus em relação à resistência.
Por isso designa-se de reactância capacitiva. Isto é, o equivalente a T/4.
Importante realçar que o angulo de fase condiciona o deslocamento das funções no tempo
(desfasagem), não tendo qualquer influência no período ou frequência do sinal eléctrico.
I/15
v(t), i(t)
t(s)
i(t)= Isin(ωt)
ii) Carga puramente indutiva
No caso de no circuito existir uma bobina pura, tem-se que:
r
r
d
v = L I m e jωt = jωLi .
dt
(01.19)
Isto é a corrente está “atrasada” em relação à tensão de 90 graus, π/2 radianos (o equivalente
à desfasagem devida ao operador j e a T/4). Isto é, a bobina comporta-se como um “número
imaginário puro”, um componente passivo não dissipador de energia (armazena-a sob a forma
v(t), i(t)
de energia magnética), estando desfasada de +90 graus em relação à resistência. Por isso
t(s)
i(t)= Isin(ωt)
c) Outros tipos de carga
Para outros tipos de carga, a desfasagem é condicionada pelo valor de θ da impedância em
causa. Para combinações do tipo RC ou RL, o angulo de fase é de 45º (π/8), pelo que no
primeiro caso a corrente estará em avanço desse valor e no segundo caso, a corrente estará
em atraso desse valor. Outras combinações traduzir-se-ão em outros tantos deslocamentos,
função da fase da impedância da carga em análise.
I/16
d) potencia
Por potencia define-se a energia que por unidade de tempo se fornece a uma dada carga a
partir de uma dada fonte.
A potencia instantânea corresponde a:
p(t ) = i (t ) × v(t )
01.16
v(t), i(t)
i(t)= Isin(ωt)
t(s)
p(t)
Isto é, o sinal eléctrico resultante passa a ter um valor médio diferente de zero.
No caso de sinais dc P=I×V.
Por potência activa (Pa) designa-se a potência que é realmente consumida pela carga, em
condições em que a desfasagem entre a corrente e a tensão é de 0 graus. Portanto, toda a
energia dissipada numa resistência pura corresponde à potência activa (real) desse mesmo
circuito.
Por potência reactiva (Q) designa-se a potência que não é consumida num dado circuito,
correspondendo a energia armazenada sob a forma magnética (numa bobina ideal) ou
eléctrica (condensador ideal).
Por potência aparente (S) designa-se a potência total que é debitada sobre um dado circuito
(corresponde à soma vectorial das potências activa e reactiva). Exprime-se normalmente em
VA.
De acordo com as definições anteriores, para o circuito em causa tem-se: p=vi=(R+jωL)i2,
onde
r
r
P = Ri 2 = RI 2
(componente real),
r
r
Q = jω i 2 = jω I 2
(componente imaginária) e
r
S = RI 2 + I 2ω 2 L2 e jθ , onde θ é designado de ângulo de perdas, dado por: θ=tg-10,5(ωL/R).
I/17
Por factor de potência (pf) designa-se o valor de cosθ=R/Z=P/S, que representa a
percentagem de energia total que é realmente convertida em energia útil (P).
1.8 Impedância de um circuito eléctrico
A impedância (Z) de um ramo ou de um circuito eléctrico completo é definida como
correspondendo á razão entre a função tensão e a função corrente. Tratando-se de funções
sinusoidais, esta razão é caracterizada por uma amplitude e um angulo.
r
r
a) Atendendo às definições anteriores, tem-se que v = ( R1 + R2 )i . Isto é, o angulo de
desfasagem é zero. A impedância será
r vr v jφ
Z=r = e ,
i
i
(01.20)
em que v/i corresponde ao módulo da razão entre a tensão e a corrente e φ ao angulo de fase
(igual a zero, neste caso particular).
Neste caso tem-se que
r
Z = ( R1 + R2 )e j 0 = R1 + R2
(0.1.21)
b) Para o caso de se ter uma resistência em série com um condensador, tem-se:
r
1
j
) = ( R 2 + 2 2 e jφ ,
Z = (R −
ωC
ω C
onde tgφ =
(01.22)
1
−1
→ φ = tg −1 (−
)
ωCR
ωCR
c) Para o caso de se ter uma resistência associada em série com uma bobina tem-se:
r
Z = ( R + jωL) = ( R 2 + jωLe jφ ,
onde tgφ =
ωL
R
→ φ = tg −1 (
ωL
R
(01.23)
)
(ver os problemas que se seguem a partir de 01.10 ).
1.9 Simplificação de circuitos eléctricos: teoremas de Thevenin e Norton
Muitas vezes, a análise de malhas de circuitos eléctricos torna-se bastante complexa, tendo
em conta o número de ramos e malhas fechadas a serem analisados.
Em termos de análise dos circuitos, esta será feita tendo em conta as leis de Kirchoff aplicada
a malhas fechadas (análise de tensões) ou de nódulos) análise de correntes). Para qualquer
das análises, é possível simplificar o processo tendo em conta os seguintes teoremas:
Teorema de Thevenin (aplicado a malhas fechadas). Qualquer malha linear activa com uma
saída aos terminais AB pode ser substituída por uma fonte de tensão equivalente V’ em série
com uma impedância equivalente Z’. A tensão equivalente de Thevenin é a tensão em circuito
I/18
aberto medida aos terminais AB e a impedância equivalente de Thevenin è a impedância da
rede vista a partir dos terminais AB quando todas as fontes de tensão internas da malha são
curto-circuitadas (anuladas).A polaridade da tensão equivalente de Thevenin deve ser
escolhida de modo a que a corrente resultante e que passe na impedância equivalente tenha o
mesmo sentido da do circuito originário.
Teorema de Norton (aplicado a nódulos). Em qualquer malha activa com uma saída aos
terminais AB pode ser substituída por uma fonte de corrente equivalente I’ em paralelo com
uma impedância equivalente Z’. A fonte de corrente equivalente é a corrente resultante de
passagem aos terminais AB quando estes são curto-circuitados e a impedância equivalente é a
impedância vista aos terminais AB quando todas as fontes internas são anuladas.
1.10 Problemas sobre Análise de Circuitos
I- Análise de circuito dc
Problema 01.1- A corrente IT divide-se entre dois ramos paralelos de um circuito tendo
resistências R1 e R2. Deduza as fórmulas que lhe permitem calcular as correntes I1 e I2 em
cada um dos ramos, bem como o valor da resistência equivalente (Re) do circuito.
Como os ramos estão em paralelo, a diferença de
R2
potencial è a mesma. Isto é, V=I1R1 e V=I2R2. Por outro
lado, a corrente total é igual à soma das correntes em
I2
IT
cada ramo, pelo que:
IT=I1+I2,
donde
IT=V/R1+V/R2=
C
V(1/R1+1/R2)=V/Re,
I1
donde se tira:
I
R1
V
1/Re=1/R1+1/R2⇒Re=(R1R2)/(R1+R2)
Em termos de correntes nos ramos, devemos ter em
conta que:
IT= I1R1(1/R1+1/R2) ou :
IT= I2R2(1/R1+1/R2), donde se tira que:
I1=IT(R2/(R1+R2) e I2=IT(R1/(R1+R2)
Problema 01.2- Duas fontes de tensão VA e VB actuam sobre o mesmo circuito, como se
mostra na figura. Qual a corrente que passa no circuito e a potência que cada uma delas
debita.
1
A corrente que circula na malha fechada é a mesma.
Aplicando a lei de Kirchoff tem-se:
20+I×1-50+I×2=0, donde se tira que I=-10 A. Assim, a
20V
I
50V
2
potência debitada por cada uma das fontes será:
I/19
P1=20×-10=-200W e P2=50×10=500W. Isto é, a potência
útil no circuito é de 300 W.
II- Análise de circuitos ac
Problema 01.3- A um circuito constituído por uma indutância pura de 0,02 H aplicou-se um
sinal sinusoidal v(t)=150sin1000t. Determine a corrente I(t) instantânea, a potência p(t) e o
valor médio da potência.
Da análise da malha do circuito tira-se:
i
v(t) L
i = 1 / L ∫ v(t )dt = 1 / 0,02∫ 150 sin 1000tdt
i=150/0.02(-cos1000t/1000)=-7,5cos1000t A.
p(t)= -150(7,5)(1/2sin2000t)=-562,5sin2000t W.
P é obviamente igual a zero.
Problema 01.4- Considere a montagem do circuito do problema anterior em que se associou
em série com a indutância do circuito uma outra de valor igual a 0,05H. Determine a
indutância equivalente Le.
Sabe-se que v(t)=Ledi/dt=L1di/dt+L2di/dt, donde se conclui que Le=L1+L2=0,08H.
Problema 01.5- Considere a montagem de indutâncias da figura que se segue. Determine a
corrente em cada um dos ramos e a indutância equivalente.
Sabe-se que v(t)=Lldi1/dt=L2di2/dt e que i(t)=i1+i2, pelo que:
i (t ) = 1 / L1 ∫ v(t )dt + 1 / L2 ∫ v(t )dt = (1 / L1 + 1 / L2 ) ∫ v(t )dt . Assim, tem-se
i(t)
i2 L2
que:
1/Le=(1/L1+1/L2), donde Le=(L1L2)/(L1+L2) e se tem que:
i1 =
i1 L1
v(t)
L2
L1
i (t ) e i2 =
i (t )
L1 + L2
L1 + L2
Problema 01.6- Repita o problema I.4, substituindo as bobinas do circuito por condensadores
(C1 e C2).
Neste caso as capacidades C1 e C2 encontram-se associadas em série. Nestas condições v(t)=
v1+v2.
Tendo
em
conta
que
i(t)=Cdv(t)/dt,
obtém-se
v(t ) = 1 / C1 ∫ i (t )dt + 1 / C 2 ∫ i (t )dt = (1 / C1 + 1 / C 2 ) ∫ i (t )dt , pelo que :
1/Ce=1/C1+1/C2 e portanto Ce=(C1C2)/(C1+C2)
I/20
Problema 01.7- Repita o problema I.5, substituindo as indutâncias por capacidades,
determinando para este caso o valor da capacidade equivalente.
Neste caso as capacidades encontram-se associadas em paralelo, pelo que i(t)=i1+i2 e
i1=C1dv/dt e i2=C2dv/dt, pelo que:
i(t)=(C1+C2)dv/dt, donde se tira que Ce=C1+C2
Problema 01.8 Determine o valor médio e valor eficaz de um dado sinal eléctrico y(t)=Ysinωt.
Por definição, o valor médio de um dado sinal eléctrico é dado por:
T
1
Yav = ∫ y (t )dt , onde T é o período. Por outro lado, o valor eficaz é dado por:
T 0
T
Yef =
1
y 2 (t )dt . Se y(t) for uma função sinusoidal do tipo asinwt, Yef=a/√2
∫
T 0
Nestas condições, tem-se que Yav=0 e Yef=0,707Ym.
Problema 01.9- Determine o valor eficaz do sinal eléctrico v(t)= 50+ 30sinωt.
De
acordo
1
V =
2π
2
ef
2π
com
∫ (50 + sin
0
as
definições
dadas
no
problema
I.8,
tem-se
2π 2
1
) dt =
(2500.2π + 0 + 900π ) = 2950 → Vef = 54,3V
T
2π
Outra forma de calcular é o de substituir a componente sinusoidal por uma grandeza
complexa, isto é: va=30ej t, pelo que Vef=(502+0,5.302)0,5=54,3 V.
Problema 01.10- Determine qual o ângulo de desfasagem entre a corrente e tensão e a
impedância num circuito que possua os seguintes componentes associados em serie:
a)
Duas resistências eléctricas
b) Um condensador e uma resistência
c) Uma bobina e uma resistência
Problema 01. 11- Determine qual o valor da potência dissipada numa resistência de 10
ohms, quando por ela passa uma corrente i(t)= 14,14 cosωt.
O valor da potência instantânea é dado por: p=vi=Ri2=2000cos2
1
π
10
médio é dado por Pav = ∫ pdωt = 1000W ou : Pav =
π 0
2π
t. O correspondente valor
2π
∫ (14,14 cos ωt )
2
dωt = 1000W .
0
I/21
Problema 01.12- Num dado circuito eléctrico constituído por uma bobina e uma resistência
ligadas em série, determine a potência activa e aparente do circuito.
Problema 01.13- Considere um dado circuito que apresenta uma impedância Z=3+j4 ao qual
se aplica uma tensão V=100ej30. Determine os valores de P,Q, S e pf.
I=V/Z=20ej(-23). Assim tem-se: P=RI2 e P=3×202=1200 W; Q=XI2 e Q=4×202= 1600 W;
S=ZI2=(9+16)0,5×202=200 VA.
Pf=P/S=0,98.
Problema 01.14- Determine o circuito equivalente de Thévenin da rede eléctrica que a seguir
se indica:
5Ω
2Ω
j3H
A
10 V ~
I1
I2
j5H
6Ω
B
Resolução
Para a determinação do circuito equivalente de Thévenin, considera-se primeiro que os
terminais AB estão em aberto, onde I2 é calculado através de:
5 + j 5 10
− j5 0
− j 50
I2 =
=
= −0,569 + j 0,178 = 0,596 A∠ − 72,63º
5 + j5 − j5
− 25 + j80
− j 5 8 + j8
Nestas condições, a tensão aos Terminais AB (VAB) será dada por:
V AB = 6 × I 2 ⇒ V AB = 3,576V∠ − 72,63º
Para o cálculo da impedância equivalente, considera-se a fonte em cc, analisando-se o circuito
a partir dos terminais AB. Nestas condições, a impedância equivalente é o resultado de se ter a
resistência de 6 Ω, em paralelo com o resultado da soma de 2+j3 com o circuito paralelo de 5Ω
e j5, com obtendo-se:
I/22
Z Th
⎡ 5 × j5
⎤
+ 2 + j 3⎥
6⎢
5 + j5
⎦ = 3,32 + j1,41(Ω)
= ⎣
⎡ 5 × j5
⎤
+ 2 + j 3⎥
6+⎢
⎣ 5 + j5
⎦
1.11 Análise de transientes em circuitos eléctricos
I- excitação a partir de sinais dc
Quando um dado circuito eléctrico é comutado de uma posição de ligado para desligado, ou
vice-versa, existe um período transiente durante o qual os valores de corrente e tensão
associados aos diferentes ramos variam do seu valor inicial para o novo valor estacionário.
Para o caso de se ter um circuito do tipo RL, análise do circuito deve obedecer às leis de
Kirchoff,
Assim tem-se
Ri + L
di
= V ,. Fazendo di/dt=D, obtém-se:
dt
( D + R / L)i = V / L . Trata-se de uma equação homogénea
Ii
Vi
R
L
I
e do primeiro grau que apresenta uma solução do tipo
y=yc+yp, onde yc corresponde à solução complementar da
equação e yp à solução particular.
Isto é:
y = y c + y p = ce at + e at ∫ e − at (V / R)dt , onde a=R/L e c é uma constante arbitrária
determinada a partir das condições iniciais. Como no instante inicial i=0, tira-se que c=-V/R,
obtendo-se para solução final a equação:
i=
V
(1 − e −( R / L )t )
R
(01.24)
Este tipo de equação é conhecida como uma função exponencial crescente, aplicável no
instante em que se liga um dado circuito, tendo por assimptota o valor de V/R. À razão R/L
designa-se de constante de tempo e representa o intervalo de tempo necessário para a função
atingir 63% do seu valor máximo (e-1).
Quando se desliga o circuito a equação anterior fica reduzida a:
i=−
V −( R / L )t
e
.
R
(01.25)
O comportamento da tensão será o inverso do referido para a corrente. Isto é, quando a
corrente cresce, a tensão tende para zero e quando a corrente desce, a tensão tende para o
seu valor máximo (porquê?).
Para o caso de um circuito do tipo RC (substituir a bobina no circuito anterior por um
condensador), quando se liga o circuito tem-se:
I/23
1
idt + Ri = v(t ) ,
C∫
(01.26)
donde se obtém que
vc=V(1-e-t/RC).
(01.27)
II- Excitação a partir de sinais ac
No caso de o sinal eléctrico aplicado ao circuito ser alterno (variável no tempo), ter-se-á que:
a) Circuito RL série
Ri+Ldi/dt=Vmsinωt, ou ( D + R / L)i
i p = e −( R / L )t ∫ e ( R / L )tVm / L sin ωtdt =
= Vm / L sin ωt , donde se tira que:
Vm
R + (ωL)
2
2
sin(ωt − tan −1 (ωL / R))
(01.28)
Isto é:
⎡
⎤
Vm
i p = e −( R / L )t ⎢
sin( − tan −1 (ωL / R )⎥ +
⎢⎣ R 2 + (ωL) 2
⎥⎦
Vm
R + (ωL)
2
2
sin(ωt − tan −1 (ωL / R ))e
(01.29)
b) Circuito RC série
1
idt + Ri = V sin(ωt )
m
C∫
Neste caso tem-se:
ic=ce-t/RC e i p =
Vm
R + (ωC )
2
−2
sin(ωt + tan −1 (1 / ωCR )
(01.30)
e:
⎡
⎤
Vm
i = −e −t / RC ⎢
sin(tan −.1 (1 / ωCR )⎥ +
⎢⎣ R 2 + (ωC ) − 2
⎥⎦
Vm
R + (ωC )
2
−2
sin(ωt + tan −1 (1 / ωCR )
(01.31)
Problema 01.15- Determine a corrente transiente que se estabelece no circuito série RLC que
abaixo se indica, sabendo que V=50 V, R=3kΩ, L=10H e C=200μF. Determine também a
corrente máxima que passa pelo circuito.
I/24
Resolução
3K Ω j10H
A
i
50 V
200 μF
~
B
Em termos transientes a queda de tensão aos terminais da bobina (VB) e condensador (VC) é
dada por: VB=Ldi/dt e VC=(1/200×10-6)∫idt, enquanto que a queda de tensão aos terminais da
resistência (VR) é: VR=3000i. Pelas leis de Kirchoff aplicadas a um circuito transiente tem-se
que VR+VB+VC=50, ou seja: (D2+300D+500)i=0, onde D representa o operador d/dt.
Resolvendo a equação diferencial obtém-se para soluções: D1=-298,3 e D2=-1,67, donde se
tem que:
i(t)=c1exp(-1,67t)+c2exp(-298,3t). Para o cálculo das constantes c1 e c2 deve-se ter em conta
as condições fronteira iniciais. Isto é, para t=0, i=0 e para t=∞, i=0. Nestas condições tira-se
que c1==0,168 e c2= -0,168.
Para o cálculo da corrente máxima, pomos di/dt=0 e obtém-se da equação anterior de i(t) o
correspondente valor de t. Isto é, t=0,175 s. Substituindo este valor na equação geral, obtémse: I=0,161 A.
1.12 Indutância mutua
A tensão aos terminais de uma dada bobina é dada por vL=Ldi/dt, onde a constante de
proporcionalidade se designa de auto-indutância do circuito. No sistema de unidades SI esta
auto-indutância exprime-se em weber/ampere ou henry.
Numa bobina com N espiras, a força electromotriz induzida é dada por:
vL = N
dφ
dφ
⇒L=N
,
dt
di
(01.32)
onde Ndφ representa o fluxo de ligação do circuito do fluxo magnético φ.
Se tivermos duas bobinas (1 e 2, respectivamente) próximas uma da outra, a corrente i1 que
atravessa a bobina 1 estabelece um fluxo magnético φ1. Parte desse fluxo abrange somente a
bobina 1 e por isso, designaremos por φ11. Outra parte irá também abranger/”abraçar” a
bobina 2, dando origem a uma tensão v2, que de acordo com a lei de Faraday será dada por:
v2 = N 2
dφ12
.
dt
(01.33)
Como φ12 está relacionado com a corrente i1, v2 é proporcional à razão de variação de i1 ou
seja:
v2 = M
di1
,
dt
(01.34)
I/25
onde M designado de indutância mutua entre as duas bobinas. Isto é:
M = N2
dφ12 N 2φ12
≈
di1
i1
(01.35)
De modo similar, quando a bobina 2 é atravessada por uma corrente i2, tem-se que
M ≈
N 1φ 21
.
i2
(01.36)
Designa-se de coeficiente de acoplamento k entre duas bobinas à razão:
k=
φ12 φ 21
=
φ1 φ 2
.
Isto é: M = k L1 L2 .
Problema 01.16- Considere um dado circuito eléctrico constituído por duas bobinas enroladas
sobre um dado núcleo ferromagnético, em que a primeira (L1) o fluxo magnético originado é
descendente e a outra (L2) o fluxo magnético originado é ascendente. Sabendo que a
resistência do circuito é R, determine a equação que lhe dá a tensão instantânea que se
estabelece aos terminais do circuito e a respectiva impedância, em regime estacionário
Tendo em conta que a tensão da indutância mutua
que se estabelece em cada uma das bobinas é devido
à corrente I que atravessa a outra bobina, de acordo
R
i(t)
i1 L1
2jωM
L2
com o esquema que se tem ao lado, tem-se
Ri + L1
di
di
di
+ L2 − 2 M
= v , donde se tira que, em
dt
dt
dt
regime estacionário a impedância do circuito é dada
por:
Z = R + jω ( L1 + L2 − 2 M )
(01.38)
Problema 01.17- Duas bobinas possuindo auto-indutâncias de L1= 0,05H e L2=0,2H
encontram-se suficientemente próximas de tal modo que k=0,5. Sabendo que a bobina 2 tem
100 espiras, se a corrente que atravessa a bobina 1 for i1=5sin(400t), determine a tensão que
se desenvolve aos terminais da bobina 2 e o máximo fluxo que se desenvolve na bobina 1.
De acordo com as forma anteriores (tem-se que M=0,5(0,05×0,2)0,5=0,05H. Nestas condições
tem-se que: v2=M(di1/dt)= 100cos400t.
Nestas condições tira-se que:
I/26
φ12 = 10 −3 ∫ 100 cos 400tdt = 0,25 × 10 −3 sin 400t .
weber. Nestas condições, tem-se que
φ1 max =
Isto é, o máximo fluxo de φ12 é de 0,00025
φ12 max
k
= 0,5 × 10 −3 weber .
1.12 Análise de Circuitos com transformadores
O transformador é um componente eléctrico baseado
no efeito da auto-indução entre bobinas enroladas em
torno
de
um
núcleo
ferromagnético,
que
actua
i1
R1
φ2
φ1
L1
R2
i2
L2
directamente no valor da corrente e tensão dos
terminais de saída (neste caso, com a designação 2,
M
no esquema ao lado).
Para compreensão do funcionamento deste circuito, vamos considerar que associado com
qualquer das malhas existe uma fonte de tensão v.
Nestas condições tem-se:
R1i1 + L1
R 2 i 2 + L2
di1
di
± M 2 = v1
dt
dt
di2
di
± M 1 = v2
dt
dt
(01.39)
(01.40)
Onde o sinal da componente devida a M é dependente do sentido do enrolamento das espiras
da bobina, relativamente ao sentido arbitrado para a acorrente, na respectiva malha.
Aplicando a regra do “saca rolhas”, concluímos que o sentido positivo dos fluxos nas 2 bobinas
é o que se mostra na figura. Isto é, opõem-se entre si, pelo que os sinais das tensões das
auto-induções é contrário ao originado pelos componentes passivos (R e L). Isto é:
R1i1 + L1
R 2 i 2 + L2
di1
di
− M 2 = v1
dt
dt
di2
di
− M 1 = v2
dt
dt
(01.41ª)
(01.41b)
Se estivermos em presença de sinais periódicos sinusoidais tem-se:
( R1 + jωL1 ) I 1 − jωMI 2 = V1
(01.42a)
( R2 + jωL2 ) I 2 − jωMI 1 = V2
(01.43b)
Isto é, temos um sistema de equações do tipo
I/27
Z 11 I 1 ± Z 12 I 2 = V1
(01.44ª)
Z 21 I 1 ± Z 22 I 2 = V2
(01.44b)
onde Z21=Z12
Ao circuito de entrada do transformador designamos por primário enquanto que o circuito de
saída se designa por secundário.
Uma forma prática de determinarmos a polaridade dos fluxos causados por uma bobina é
colocarmos um ponto do lado de cima ou inferior da bobina, de modo a que o sentido seja o
mesmo. Isto é, se tivermos um transformador em que o enrolamento do primário é da
esquerda para a direita e o do secundário é da direita para a esquerda, o ponto no primário
deve ser marcado na parte superior do enrolamento do primário e na parte inferior do
enrolamento secundário.
Problema 01.18- Obtenha o circuito equivalente da montagem do transformador que se
segue. Determine qual o valor da tensão aos terminais da reactância –j10, utilizando para isso
o circuito equivalente.
i1
5
φ2
φ1
j5
v1=10
Circuito equivalente
5
i2
j5
i(t)
j2
-j10
j2
5
v1
=10ej90
v1=10
i1 j5
5
j5
v2=10ej90c
-j10
As bolas a negrito representam o sentido do fluxo, de acordo com os respectivos
enrolamentos. Nestas condições tem-se:
(5-j5)I1 (5+j3)I2=10
(5+j3)I2 (10+j6)= 10-j10, donde se tira que:
5 + j3 ⎤
⎡ 10
⎢10 − j10 10 + j 6⎥
⎦ = 1,015e j113,95 , nestas condições, a queda de tensão aos terminais da
I1 = ⎣
⎡5 − j 5 5 + j 3 ⎤
⎢5 + j 3 10 + j 6⎥
⎣
⎦
reactância –j10 é:
I/28
V=I1(-j10)=10,15ej23,95 (V).
1.13 Exercícios por Resolver
A) Questões de índole Teórica
R1. Diga o que entende opor instrumento de medida e quais as suas funções
R.2 Indique quais os constituintes de um aparelho de medida indicando quais as funções do
transdutor e indicador
R.3 O que entende por sinal eléctrico.
R.4 Explique de forma sucinta o que entende por corrente eléctrica, potencial e tensão
R.5 O que entende por impedância de um circuito eléctrico? Quais as suas componentes?
R.6 Explique de forma resumida as diferenças existentes entre uma resistência e um
condensador, em termos de consumo de energia.
R.7 Indique por que símbolos representaria: uma bateria; uma fonte de tensão continua; uma
fonte de corrente alterna; uma resistência; uma bobina; um condensador; um fusível; um
transformador; um elemento térmico, um botão de ignição; uma união rotativa; um acoplador
direccional; uma junção; um terminal de terra.
R.8 O que entende por malha e nódulo de um circuito eléctrico?
R.9 O que entende por leis de Kirchoff?
R.10 O que entende por componentes passivos activos e reactivos, num circuito eléctrico?
R.11 . Explique o que entende por associação série e paralelo de componentes passivos. Dê
exemplos.
R.12 O que entende por valor médio e valor eficaz de um dado sinal eléctrico? Se o sinal for
continuo e tiver uma amplitude A, indique qual o respectivo valor médio e eficaz. Se por
ventura o sinal for alterno e A representar o valor de pico, indique qual o valor médio e eficaz.
R.13 O que entende por ângulo de fase? Se tiver ligados em série uma resistência e um
condensador, diga qual a desfasagem da tensão aos terminais dos dois componentes.
R.14 O que entende por potencia? Quais as diferenças entre potencia, aparente, activa e
reactiva?
R.15 O que entende por teorema de Thevenin? Para que serve?
I/29
R.16 O que entende por teorema de Norton? Onde se aplica?
R.17 O que entende por indutância mutua?
R.18 O que entende por transformador. Para que serve e quais os seus principais
constituintes.
B) Questões de índole Prática
P1) Suponha que tem associados em série 3 resistências de valores respectivamente iguais a
20kΩ, 100 kΩ e 1 MΩ. Indique qual o valor de resistência equivalente?. Se as resistências
estivessem ligadas a uma fonte de tensão continua de 5 V, qual o valor da corrente que
passaria nas 3 resistências bem como a respectiva tensão aos terminais de cada uma delas.
P2) Repita o problema anterior, mas agora no caso das resistências estarem associadas em
paralelo.
P3) Suponha que tem 3 condensadores ligados em série e ligados a uma fonte de tensão de 5
V. Sabendo que as capacidades são de 4 μF, 100 nF e 200 pF, determine
a) O valor da capacidade equivalente.
b) A corrente e tensão aos terminais de cada um dos condensadores.
P4) Repita o problema anterior, mas agora para as capacidades ligadas em paralelo.
P5) Suponha que tem um dado circuito eléctrico em que tem um condensador de 200 nF
ligado em série com uma resistência de 100 kΩ, aos terminais de uma fonte de tensão de 5V.
Determine
a) A corrente que circula no circuito
b) A impedância do circuito
c) O tempo que o condensador demora a carregar.
P6) Repita o problema anterior mas agora para o caso em que a fonte usada é sinusoidal, com
um valor de tensão de pico de 50V e f=50 Hz. Para este caso calcule também as componentes
de potencia activa, reactiva e aparente.
P7) Repita o problema anterior, substituindo agora no circuito o condensador por uma bobina
de 0,2 mH.
P8) Considere a associação em paralelo de uma resistência de 20 kΩ e de um condensador de
0,01mF e ligados a uma fonte de 20 V. Indique:
a) a tensão aos terminais de cada um dos componentes
b) A corrente que circula em cada um dos componentes
c) O tempo de carga do condensador
I/30
P9) Repita o problema anterior, mas agora para o caso da fonte ser alterna e sinusoidal, com
f=100 Hz.
P10) Suponha que tem um circuito constituído por uma fonte dc de 10 V ligada em série com
uma resistência de 20 kΩ e uma outra de 100 kΩ. Aos terminais desta, estão ligadas outras
duas resistências (2ª malha) de valores iguais a 5 kΩ e 75 kΩ. Determine:
a) a Corrente que circula em cada uma das malhas
b) A corrente total fornecida pela fonte de alimentação
c) A tensão aos terminais da resistência de 75 kΩ.
d) Suponha que pretende interromper o circuito aos terminais da resistência de 75 kΩ,
para ligar uma outra carga. Nestas circunstâncias, determine o circuito equivalente de
Thevenin, calculando a respectiva tensão, resistência equivalente.
e) Relativamente à alínea anterior, determine qual a corrente que circularia na nova carga
de 200 kΩ
Sites a Consultar
www.tpub.com (integrated publishing);
http://hyperphysics.phy_astr.gsu.edu;
www.standrews.ac.uk;
www.micro.com;
http://regentspred.org/regents/maths;
www.sonoma.edu/users;
http://acept.la.asu.edu/courses/phs110/ds3/chapter3d.html;
I/31
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