Direções e planos cristalinos
– DIREÇÕES E PLANOS NO CRISTAL
• a, b e c definem os eixos
de um sistema de
coordenadas em 3D.
Qualquer linha (ou
direção) do sistema de
coordenadas pode ser
especificada através de
dois pontos: · um deles
sempre é tomado como
sendo a origem do
sistema de coordenadas,
geralmente (0,0,0) por
convenção;
– DIREÇÕES E PLANOS NO CRISTAL
– DIREÇÕES E PLANOS NO CRISTAL
DIREÇÕES NOS CRISTAIS
• São representadas entre colchetes= [hkl]
• Quando passa pela origem
Direções Cristalográficas – Índices de Miller
Exercício: Determine os Índices de Miller das direções A, B e C, da figura abaixo.
Direção A:
1. alvo= 1, 0, 0; origem= 0, 0, 0
2. alvo - origem = 1, 0, 0
3. sem frações
4. [1 0 0]
Direção B:
1. alvo= 1,1,1; origem= 0, 0, 0
2. alvo - origem = 1, 1, 1
3. sem frações
4. [1 1 1]
Direção C:
1. alvo= 0, 0, 1; origem= 1/2, 1, 0
2. alvo - origem = -1/2, -1, 1
3. 2 (-1/2, -1, 1) = -1, -2, 2
4. [1 2 2]
– DIREÇÕES E PLANOS NO CRISTAL
– DIREÇÕES E PLANOS NO CRISTAL
DIREÇÕES PARA O SISTEMA CCC
• No sistema ccc os
átomos se tocam ao
longo da diagonal do
cubo, que corresponde a
família de direções <111>
• Então, a direção <111> é
a de maior
empacotamento atômico
para o sistema ccc
Direções Cristalográficas – Índices de Miller
Algumas observações importantes:
-direção e suas múltiplas são idênticas: [111] [222];
-índices de Miller simétricos não são da mesma direção, ou seja,
direções e suas negativas não são idênticas: [111] [111];
FAMÍLIA DE DIREÇÕES: conjunto de Índices de Miller onde todos tem mesma
simetria.
Exemplo para
simetria cúbica:
Direções Cristalográficas em Metais – FATOR DE
EMPACOTAMENTO LINEAR
As propriedades de muitos materiais são direcionais, por isso é importante saber
alguns parâmetros que definem estas propriedades.
DEFINIÇÃO: É quanto da direção (vetor) está definitivamente coberta por átomos.
O valor deve ser entre 0 e 1 ou entre 0 e 100%.
FELI = (nº de raios presentes na direção) x (raio atômico)
Unidade de Comprimento
DADOS
n° raios na direção: 2r, 4r
Unidade de comprimento: ao, dFACE, DCUBO
Direções Cristalográficas em Metais – DENSIDADE LINEAR
DEFINIÇÃO: É o número de átomos por unidades de comprimento. A resposta é
dada em átomos/A.
LI = (n° átomos na direção)
(unidade de comprimento)
DADOS
n° átomos da direção: cada 2r = 1 átomo
Unidade de comprimento: ao, dFACE, DCUBO
Direções Cristalográficas em Metais – DISTÂNCIA DE
REPETIÇÃO LINEAR
DEFINIÇÃO: De quanto em quanto o centro de um átomo se repete em uma dada
direção. É o inverso da densidade linear. A resposta é dada em A.
DR = (unidade de comprimento equivalente a distância de 2r)
DADOS
Unidade de comprimento: ao, dFACE/2, DCUBO/2
Direções Cristalográficas em Metais
Exercício: Calcule a distância de repetição, densidade linear e o fator de
empacotamento para a direção [1 1 1] do Cu CFC. (ao=3,6151 A)
RESPOSTA – ETAPAS DE RESOLUÇÃO
1.Desenhar uma célula unitária genérica e marcar a direção de análise;
2.Fazer a projeção da direção;
Distância de repetição
3.Realizar os cálculos necessários;
o centro do átomo se repete a cada
diagonal do cubo
Dr = a0 √3
Dr = 3,6151 x √3
Dr = 6,262 A
Direções Cristalográficas em Metais
Exercício: Calcule a distância de repetição, densidade linear e o fator de
empacotamento para a direção [1 1 1] do Cu CFC. (ao=3,6151 A)
Densidade linear
LI = 1 átomo / D cubo (Dr) = 1/ 6,262
LI = 0,1597 átomos/A
Fator de empacotamento linear
FELI = 2r/ Dcubo = 0,408
Direções Cristalográficas em Metais
Exercício : Calcule a densidade linear para a direção [1 0 0] do Potássio.
RESPOSTA
Dados: K: Estrutura CCC
Raio Atômico: 0,2312 nm ou 2,312A
LI = n° átomos
unid comprimento
LI = 1/2 + 1/2
ao
ao= 4r/√3
LI = 0,187 átomos/Å
Exercício : Qual a densidade linear, FE e DR na direção [1 1 0] para o Cu?
– DIREÇÕES E PLANOS NO CRISTAL
PLANOS CRISTALINOS
Planos Cristalográficos – Índices de Miller
ÍNDICES DE MILLER PARA PLANOS:
1.Definir três pontos onde o plano corta os eixos x, y e z. Plano paralelo a algum
eixo tem coordenada igual a ∞;
2.Calcular os recíprocos dos valores obtidos (1/x, 1/y, 1/z).
3.Se necessário, estes 3 números são mudados para resultar o conjunto dos
mínimos inteiros por multiplicação ou divisão usando um fator comum.
4.Escrever entre parênteses, e se houver n° negativo o sinal é colocado sobre
x y z
este número:
(h k l)
OBS: Se o plano passar pela origem, desloque-o
– DIREÇÕES E PLANOS NO CRISTAL
PLANOS CRISTALINOS
• São representados de maneira similar às direções
• São representados pelos índices de Miller = (hkl)
• Planos paralelos são equivalentes tendo os mesmos
índices
Planos (010)
São paralelos aos eixos x
e z (paralelo à face)
Cortam um eixo (neste
exemplo: y em 1 e os
eixos x e z em )
1/ , 1/1, 1/ = (010)
– DIREÇÕES E PLANOS NO CRISTAL
PLANOS CRISTALINOS
Planos (110)
• São paralelos a um eixo
(z)
• Cortam dois eixos
(x e y)
• 1/ 1, 1/1, 1/ = (110)
Planos (111)
• Cortam os 3 eixos
cristalográficos
• 1/ 1, 1/1, 1/ 1 = (111)
– DIREÇÕES E PLANOS NO CRISTAL
Planos (020) a esquerda e (110) a direita:multiplicidade 12
– DIREÇÕES E PLANOS NO CRISTAL
PLANOS CRISTALINOS
– DIREÇÕES E PLANOS NO CRISTAL
PLANOS CRISTALINOS (120) e (121)
– DIREÇÕES E PLANOS NO CRISTAL
Planos Cristalográficos – Índices de Miller
Família de planos: em cada célula unitária os planos formam um grupo
equivalente que tem índices particulares devido a orientação de suas
coordenadas.
Exemplo: planos da família {1 1 0}:
(1 1 0) (1 0 1) (0 1 1)
(1 1 0) (1 0 1) (0 1 1)
Planos Cristalográficos – Índices de Miller
FAMÍLIA DE PLANOS {110}
é paralelo a um eixo
z
y
x
Planos Cristalográficos – Índices de Miller
FAMÍLIA DE PLANOS {111}
é paralela a um eixo
Planos Cristalográficos – Índices de Miller
A simetria do sistema cúbico faz com que a família de planos tenha o mesmo arranjo e
densidade;
Deformação em metais envolve deslizamento de planos atômicos:
Deslizamento ocorre mais facilmente nos planos e direções de
maior densidade atômica
CCC
Família de planos {110}:
maior densidade atômica
CFC
Família de planos {111}:
maior densidade atômica
Planos Cristalográficos em Metais – FATOR DE
EMPACOTAMENTO PLANAR
As propriedades de muitos materiais tem relação direta com um determinado
plano cristalográfico, por isso é importante saber alguns parâmetros que definem
estas propriedades.
DEFINIÇÃO: É a área de um plano que está definitivamente coberta por átomos. O
valor deve ser entre 0 e 1 ou entre 0 e 100%.
FEPL = (nº de átomos no plano) x (área do circulo)
(área do plano)
DADOS
N° de átomos no plano: 1 átomo = 1 círculo completo
Área do círculo: r2
Área do plano: ?????
Planos Cristalográficos em Metais – DENSIDADE PLANAR
DEFINIÇÃO: É o número de átomos por unidade de comprimento. A resposta é
dada em átomos/cm2
ρPL = (nº de átomos no plano)
(área do plano)
DADOS
N° de átomos no plano: 1 átomo = 1 círculo completo
Área do plano: ?????
Planos Cristalográficos em Metais – DISTÂNCIA
INTERPLANAR
DEFINIÇÃO: É a distância de dois planos com mesmos índices de Miller. A
resposta é dada em A. Depende do tipo de célula unitária e do Índice de Miller.
DI (h k l) =
a0
.
√(h2 + k2 + l2)
DADOS
a0 = CS, CCC, CFC
(h k l) = índices de Miller de um dos planos
Planos Cristalográficos em Metais
Exercício: Calcule o fator de empacotamento planar, a densidade planar e a
distância interplanar para os planos (0 1 0) e (0 2 0) do sistema cúbico simples do
polônio, o qual tem a0 = 3,34 10-8 cm.
RESPOSTA – ETAPAS DE RESOLUÇÃO
1.Desenhar uma célula unitária genérica e marcar os planos a partir dos índices de Miller;
2.Fazer a projeção dos planos;
3.Realizar os cálculos necessários;
(020)
(010)
Planos Cristalográficos em Metais
Exercício: Calcule o fator de empacotamento planar, a densidade planar e a
distância interplanar para os planos (0 1 0) e (0 2 0) do sistema cúbico simples do
polônio, o qual tem a0 = 3,34 10-8 cm.
RESPOSTA – PLANO (010)
FEPL = (Nº de átomos no plano) x (r2)
(área do plano)
FEPL = 1 átomo x (r2) = 0,79
ao2
ρPL = (nº de átomos no plano)
(área do plano)
ρPL = 1 átomo = 8,96 x 1014 átomos/cm2
ao2
DI (h, k, l) =
a0
.
√(h2 + k2 + l2)
d (h k l) =
3,34 A = 3,34 Å
√(02 + 12 + 02)
Planos Cristalográficos em Metais
Exercício: Calcule o fator de empacotamento planar, a densidade planar e a
distância interplanar para os planos (0 1 0) e (0 2 0) do sistema cúbico simples do
polônio, o qual tem a0 = 3,34 10-8 cm.
RESPOSTA – PLANO (020)
FEPL = (Nº de átomos no plano) x (r2)
(área do plano)
FEPL = 0 átomo x (r2) = 0
ao2
ρPL = (nº de átomos no plano)
(área do plano)
ρPL = 0 átomo = 0
ao2
DI (h, k, l) =
a0
.
√(h2 + k2 + l2)
d (h k l) =
3,34 A = 1,67 Å
√(02 + 22 + 02)
Planos Cristalográficos em Metais
Exercício: Calcule o fator de empacotamento planar, a densidade planar e a
distância interplanar para o planos (1 0 0) do sistema CCC do do potássio, o qual
tem um raio atômico igual a 0,2312 nm.
RESPOSTA – ETAPAS DE RESOLUÇÃO
1.Desenhar uma célula unitária genérica e marcar os planos a partir dos índices de Miller;
2.Fazer a projeção dos planos;
3.Realizar os cálculos necessários;
Planos Cristalográficos em Metais
Exercício: Calcule o fator de empacotamento planar, a densidade planar e a
distância interplanar para o planos (1 0 0) do sistema CCC do do potássio, o qual
tem um raio atômico igual a 0,2312 nm.
RESPOSTA – PLANO (100)
ao = 4r
√3
FEPL = (Nº de átomos no plano) x (r2)
(área do plano)
ao = 4 x 2,312 = 5,34 A
√3
FEPL = 1 átomo x (r2) = 0,58
ao2
ρPL = (nº de átomos no plano)
(área do plano)
DI (h, k, l) =
a0
.
√(h2 + k2 + l2)
ρPL = 1 átomo = 3,507 x 1014 átomos/cm2
ao2
d (h k l) =
5,34 A = 5,34 Å
√(12 + 02 + 02)
Planos Cristalográficos em Metais: Sistema Hexagonal
Grande parte do conhecimento sobre as diferentes estruturas moleculares em
sólidos cristalinos é resultado de investigações de experimentos de difração de
raios-x.
O FENÔMENO DA DIFRAÇÃO
Difração ocorre quando uma onda encontra uma série de obstáculos
regularmente espaçados, que (1) são capazes de espalhar esta onda, e (2) têm
espaçamentos que são comparáveis em magnitude ao comprimento de onda.
Além disso, o fenômeno de difração é uma consequência de correlações de fase
específicas que são estabelecidas entre duas ou mais ondas que são espalhadas
pelos obstáculos.
Quando um feixe de raios-x é dirigido à um material cristalino, uma parte destes
raios serão espalhados em todas as direções pelos elétrons associados com cada
átomo ou íon que fica no caminho do feixe de energia seguindo a lei de Bragg:
n= 2d sen
onde “n” é a ordem de reflexão, que pode ser qualquer inteiro (1,2,3,....)
consistente com “sen “ não excedendo a unidade; “” é o comprimento de
onda; “d” é o espaçamento atômico (equivalente a distância interplanar ); “” é o
ângulo de difração com a superfície e “2” é o ângulo de difração medido
experimentalmente;
ABC = n
AB = BC = d sen
A magnitude da distância entre os dois planos adjacentes e paralelos de átomos
(isto é, o espaçamento interplanar dhkl ) é uma função dos índices de Miller (h, k e
l) bem como os parâmetros da rede.
CS
CCC
DI (h, k, l) =
a0
.
√(h2 + k2 + l2)
CFC
O DIFRATÔMETRO
Fonte
Detector
•
•
•
•
T= fonte de raios X
S= amostra
C= detector
O= eixo no qual a amostra e o
detector giram
Exemplo de difração de raios X em ferro policristalino.
Exercício: Uma amostra de ferro CCC foi colocada num difratômetro de raios X
incidentes com =0,1541nm. A difração pelos planos {110} ocorreu para 2=
44,704o. Calcule o valor do parâmetro de rede do ferro CCC (considere a difração
de 1a ordem, com n=1).
RESPOSTA
d[110] = ???
2= 44,704o e = 22,352o
1= 2.d[hkl] sen
d[110]= / 2 sen = 0,1541nm / 2(sen 22,35o) = 0,2026 nm
ao(Fe)
d[110]= ao / √(h2+k2+l2)
ao(Fe)= d[110] x √(h2+k2+l2) = 0,2026nm x (1,414) = 0,287 nm
INTRODUÇÃO
Os sólidos cristalinos reais não apresentam uma organização estrutural perfeita
como os sólidos ideais. A sua estrutura é composta por uma variedade de
defeitos e imperfeições que afetam as propriedades dos materiais. Controlar as
imperfeições, significa obter materiais com diferentes propriedades e com novas
aplicações. Podem existir diferentes tipos de imperfeições na rede e eles são
classificados segundo a ordem de grandeza da estrutura:
1) vibrações da rede
2) defeitos pontuais
3) defeitos lineares
4) defeitos planares
5) defeitos volumétricos
Defeitos possíveis em um material
a partir da dimensão em que ocorrem
na estrutura
Vibrações de Rede
São movimentos da rede cristalina que são quantizadas por fônons (partículas
que designam um quantum de vibração em um retículo cristalino rígido). São
conhecidos como os Bósons de Higgins ou a partícula de Deus.
Configuração cristalina ideal
só ocorre hipoteticamente
temperatura do zero absoluto
Configuração cristalina real
ocorre nas demais temperaturas
As vibração dos átomos na rede provoca distorções no cristal;
Defeitos Pontuais Quanto a Forma – VAZIOS - VACÂNCIAS
DEFINIÇÃO: É a falta de um ou mais átomos em uma rede cristalina metálica;
CAUSAS: Resultante do empacotamento imperfeito na solidificação inicial ou em
decorrência de vibrações térmicas dos átomos em temperaturas elevadas;
CONSEQUÊNCIAS: Distorção da rede;
Defeitos Pontuais Quanto a Forma – VAZIOS - VACÂNCIAS
O número de vacâncias em uma rede cristalina varia com a temperatura e pode
ser determinado pela seguinte equação:
nv = n exp (-Q/RT)
DADOS
nv: n° de vacâncias/cm3
n: n° de pontos na rede/cm3
Q: energia necessária para produzir a vacância (J/mol)
R: cte dos gases (8,31 J/molK)
T: temperatura em °K
Defeitos Pontuais Quanto a Forma – VAZIOS - VACÂNCIAS
Exercício : Calcule o n° de vacâncias por centímetro cúbico e o n° de vacâncias
por átomos de cobre, quando o cobre está (a) a temperatura ambiente, (b) 1084°C.
Aproximadamente 83600 J/mol são requeridos para produzir uma vacância no
cobre. Dados: a0 = 3,6151 x 10-8 cm, Q = 83600 J/mol e R = 8,31J/mol K.
RESPOSTA – ETAPAS DE RESOLUÇÃO
1.Determinar o número de átomos/cm3;
2.Determinar o número de vacâncias/cm3 em cada temperatura;
3.Determinar o número de vacâncias/átomos de Cu em cada temperatura;
Defeitos Pontuais Quanto a Forma – VAZIOS - VACÂNCIAS
Exercício 20: Calcule o n° de vacâncias por centímetro cúbico e o n° de vacâncias
por átomos de cobre, quando o cobre está (a) a temperatura ambiente, (b) 1084°C.
Aproximadamente 83600 J/mol são requeridos para produzir uma vacância no
cobre. Dados: a0 = 3,6151 x 10-8 cm, Q = 83600 J/mol e R = 8,31J/mol K.
Número de átomos/cm³ (n)
n = _____ n° átomos/célula____ = 4 átomos/célula (CFC) = 8,47 x 1022 átomos Cu/cm3
volume da célula unitária
(3,6151 x 10-8)3
Número de vacâncias/cm³ (nv) – T ambiente e T=1084°C
nv = n exp (-Q/RT)
Número de vacâncias/átomos de Cu (nv/n) – T ambiente e T=1084°C
Defeitos Pontuais Quanto a Forma – VAZIOS - VACÂNCIAS
Exercício: Calcule o n° de vacâncias por centímetro cúbico e o n° de vacâncias
por átomos de cobre, quando o cobre está (a) a temperatura ambiente, (b) 1084°C.
Aproximadamente 83600 J/mol são requeridos para produzir uma vacância no
cobre. Dados: a0 = 3,6151 x 10-8 cm, Q = 83600 J/mol e R = 8,31J/mol K.
Número de vacâncias/cm³ (nv) – T ambiente (298°K)
nv = (8,47 x 1022) exp [-83600/(8,31 x 298)]
nv = 1,847 x 108 vacâncias/cm3
Número de vacâncias/átomos de Cu (nv/n) – T ambiente (298°K)
nv = 1,847 x 108 vacâncias/cm3
n = 8,47 x 1022 átomos de Cu/cm3
nv/n = 2,18 x 10-15 vacâncias/ átomos de Cu
Defeitos Pontuais Quanto a Forma – VAZIOS - VACÂNCIAS
Exercício 20: Calcule o n° de vacâncias por centímetro cúbico e o n° de vacâncias
por átomos de cobre, quando o cobre está (a) a temperatura ambiente, (b) 1084°C.
Aproximadamente 83600 J/mol são requeridos para produzir uma vacância no
cobre. Dados: a0 = 3,6151 x 10-8 cm, Q = 83600 J/mol e R = 8,31J/mol K.
Número de vacâncias/cm³ (nv) – T=1084°C (1357°K)
nv = (8,47 x 1022) exp [-83600/(8,31 x 1357)]
nv = 5,11 x 1019 vacâncias/cm3
Número de vacâncias/átomos de Cu (nv/n) - T=1084°C(1357°K)
nv = 5,11 x 1019 vacâncias/cm3
n = 8,47 x 1022 átomos de Cu/cm3
nv/n = 6,03 x 10-4 vacâncias/ átomos de Cu
Defeitos Pontuais Quanto a Forma - INTERSTICIAIS
DEFINIÇÃO: Quando um átomo é abrigado nos interstícios da rede cristalina;
CONSEQUÊNCIAS: Distorção da rede;
Defeitos Pontuais Quanto a Forma - SUBSTITUCIONAIS
DEFINIÇÃO: Quando um átomo é substituído por outro de tamanho igual, maior
ou menor dentro da rede cristalina;
CONSEQUÊNCIAS: Distorção da rede;
Defeitos Pontuais Quanto a Forma – DEFEITO FRENKEL
DEFINIÇÃO: Quando um íon desloca-se de sua posição original na rede cristalina
(formando uma lacuna -vazio) para uma posição intersticial;
CONSEQUÊNCIAS: Distorção da rede;
OBS: Somente para sólidos iônicos;
Defeitos Pontuais Quanto a Forma – DEFEITO SCHOTTKY
DEFINIÇÃO: Quando ocorre uma lacuna de um par de íons em uma rede
cristalina;
CONSEQUÊNCIAS: Distorção da rede;
OBS: Somente para sólidos iônicos;
Defeitos Lineares
DEFINIÇÃO: É o desalinhamento de planos atômicos no cristal. Também
chamados de discordâncias;
CAUSAS: Origem térmica, mecânica ou por saturação de defeitos pontuais –
associadas a cristalização e a deformação do cristal;
CONSEQUÊNCIAS: Deformação, falha e rompimento do material;
POSSIBILIDADES: A quantidade e o movimento das discordâncias podem ser
controlados :
-pelo grau de deformação (conformação mecânica)
-por tratamentos térmicos
Defeitos Lineares – Tipos de Discordâncias
DISCORDÂNCIA TIPO CUNHA
Defeitos Lineares – Vetor de Burgers
A magnitude e a direção da distorção da rede é expressa na forma de um vetor
chamado, vetor de Burgers (b) e corresponde à distância de deslocamento dos
átomos ao redor da discordância.
Linha da
discordância
de aresta
O vetor de Burgers
ḃ é perpendicular à linha de discordância
em uma discordância de aresta.
Defeitos Lineares – Vetor de Burgers
Linha da
discordância
de aresta
O vetor de Burgers
ḃ é perpendicular à linha de discordância
em uma discordância de aresta.
Defeitos Lineares – Vetor de Burgers - discordância helicoidal
O vetor de Burger, para a
discordância tipo espiral é
paralelo à direção da linha de
discordância.
Defeitos Lineares
Exercício: Supondo a estrutura CCC hipotética com ao=4A e com uma
discordância como na figura abaixo, determine a direção e o comprimento do
vetor de Burgers.
Defeitos Lineares
Exercício: Supondo a estrutura CCC hipotética com ao=4A e com uma
discordância como na figura abaixo, determine a direção e o comprimento do
vetor de Burgers.
RESPOSTA
D(hkl)= ao/(h2+k2+l2)0,5
D(222)= 4/(22+22+22)0,5 = 1,15 A
Defeitos Planares ou Interfaciais
DEFINIÇÃO: São fronteiras que apresentam duas dimensões e normalmente
separam regiões dos materiais que apresentam diferentes estruturas cristalinas
ou orientações cristalográficas.
SUPERFÍCIES EXTERNAS
Mais evidente dos defeitos de superfície devido a descontinuidade;
Coordenação atômica na superfície não é comparável a dos átomos no interior do
cristal;
Átomos superficiais tem seus vizinhos em apenas um lado, logo possuem mais
energia e estão menos firmemente ligados aos átomos externos;
Defeitos Planares ou Interfaciais
CONTORNOS DE GRÃOS
Microestrutura de metais e outros materiais sólidos consistem de muitos grãos;
Grão: porção de material onde o arranjo cristalino é idêntico, variando sua
orientação;
Contorno de grão: fronteira entre os grãos
Defeitos Volumétricos
Existem outros defeitos em todos os materiais sólidos que são muito maiores
do que aqueles discutidos até aqui. Estes incluem poros, trincas, inclusões
estranhas e outras fases. Elas são normalmente introduzidas durante as etapas
de processamento e de fabricação. Abaixo , óxido de alumínio fabricado por
sinterização apresentando alto teor de porosidade.
