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Lista de Exercı́cios 12 - Centro de Massa
1. Uma criança de m1 =24 kg está 20 m de um adulto
de m2 =80 kg. Onde é o centro de massa desse
sistema?
Resposta: 15,4 m
2. Três pontos de massas de 2 kg cada um está localizado em: x=0 m, x=0.20 m e x=0.50 m. Encontre
o centro de massa do sistema.
Resposta: 0,23 m
8. Um canhão dispara um projétil com uma velocidade inicial ~vo = 20 m/s e um ângulo θo = 60◦
com a horizontal. No ponto mais alto da trajetória,
o projétil explode em dois fragmentos de massas
iguais. Um fragmento, cuja velocidade imediatamente após a colisão é zero, cai verticalmente. A
que distância do canhão cai o outro fragmento, supondo que o terreno é plano e que a resistência do
ar pode ser desprezada?
3. Uma partı́cula de 2 kg tem coordenada xy(-1,20 m,
0,500 m), e uma partı́cula de 4 kg tem coordenadas
xy(0,600 m, -0,750 m). Ambas estão em um plano
horizontal. Em que coordenada x e y deve ser posicionada uma terceira partı́cula de 3 kg para que o
centro de massa do sistema de três partı́culas tenha
coordenadas xy(-0,500 m,-0,700 m)?
Resposta: x=-1,50 m, y=-1,43 m.
4. A figura mostra um sistema de três partı́culas de
massas m1 = 3 kg, m2 = 4 kg e m3 = 8 kg. As
escalas do gráfico são definidas por xs = 2 m e
ys = 2 m. Quais são as coordenadas x e y do centro
de massa do sistema?
Resposta: 53 m
9. Você (massa 80 kg) e Bubba (massa 120-kg) estão
em um barco a remo (massa 60-kg) em um lago
calmo. Você está no centro do barco, remando, e
ele está na parte de trás, a 2 m do centro. Você
se cansa e pára de remar. Bubba se oferece para
remar e, depois que o barco parar, você troca de
lugar. Até que ponto o barco se move? (despreze
qualquer força horizontal exercida pela água).
Resposta: xCM = 1, 07 m, YCM = 1, 33 m
5. Mostre que o centro de massa de um anel semicircular uniforme de raio R e densidade linear de massa
λ é 2R/π.
6. Um taco de beisebol de comprimento L tem uma
densidade linear (massa por unidade de comprimento) dada por λ = λo (1 + x2 /L2 ). Encontre
a coordenada x do centro de massa em termos de
L.
Resposta: 9L/16.
7. Dois patinadores, um de 65 kg e outro de 40 kg,
estão em uma pista de gelo e segura as extremidades de uma vara de 10 m de comprimento e massa
desprezı́vel. Os patinadores se puxam ao longo da
vara até se encontrarem. Qual é a distância percorrida pelo patinador de 40 kg?
Resposta: 6,2 m
Resposta: 0,308 m.
10. Na figura, duas partı́culas são lançadas da origem
do sistema de coordenadas no instante t=0 s. A
partı́cula 1, de massa m1 = 5 g, é lançada horizontalmente para a direita, em um piso sem atrito,
com velocidade escalar de 10,0 m/s. A partı́cula 2,
de massa m2 = 3 g, é lançada com uma velocidade
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escalar de 20,0 m/s e um ângulo tal que se mantém
verticalmente acima da partı́cula 1.
distância de 3,0 m e simetricamente dispostos em
relação ao centro da embarcação. Se, com a troca, a
canoa se desloca 40 cm em relação ao atracadouro,
qual é a massa de Carmelita?
Resposta: 57,7 kg.
13. Na figura, um cachorro de 4,5 kg está em um barco
de 18 kg a uma distância D=6,1 m da margem. O
animal caminha 2,4 m ao longo do barco, na direção
da margem, e para. Supondo que não há atrito
entre o barco e a água, determine a nova distância
entre o cão e a margem.
a) Qual é a altura Hmax alcançado pelo CM do
sistema de duas partı́culas? (na notação de vetores
unitários)
b) Qual é a velocidade de duas partı́culas?
c) Qual é a aceleração do CM ao atingir Hmax ?
11. A figura mostra um arranjo com um trilho de ar
no qual um carrinho está preso por uma corda a
um bloco pendurado. O carrinho tem massa m1 =
0, 60 kg e o centro do carrinho está inicialmente nas
coordenadas xy(-0,50 m, 0,0 m); o bloco tem massa
m2 = 0, 40 kg e o centro do bloco está inicialmente
nas coordenadas xy(0 m, -0,10 m). As massas da
corda e da polia são desprezı́veis. O carrinho é
liberado a partir do repouso, e o carrinho e o bloco
se movem até que o carrinho atinja a polia. O atrito
entre o carrinho e o trilho de ar e o atrito entre a
polia são desprezı́veis.
Resposta: 4,2 m
14. Um carro de 1500 kg se move para oeste com uma
velocidade de 20 m/s, e um caminhão de 3000 kg
está viajando para leste com uma velocidade de
16 m/s. Qual é a velocidade do centro de massa
do sistema?
Resposta: 4 m/s
15. As três partı́culas da figura estão inicialmente em
repouso. Cada uma sofre a ação de uma força externa produzida por um corpo fora do sistema. A
orientação das forças está indicada na figura, e os
módulos são F −1 = 6, 0 N, F2 = 12 N e F3 = 14 N.
Qual é a aceleração (módulo e orientação) do centro
de massa do sistema?
a) Qual é a aceleração do centro de massa
do sistema carrinho-bloco na notação de vetores
unitários?
b) Qual é o vetor velocidade do CM em função do
tempo?
Resposta:
a) (2,35î-1,57ĵ) m/s2
1,57ĵ)t m/s
b) (2,35î-
12. Ricardo, com 80 kg de massa, e Carmelita, que é
mais leve, estão apreciando o pôr do sol no Lago
Mercedes em uma canoa de 30 kg. Com a canoa imóvel nas águas calmas do lago, o casal troca
de lugar. Seus acentos estão separados por uma
Resposta: aCM,x
0, 53 m/s2 , θ=27◦ .
=
1, 03 m/s2 , aCM,y
=
16. Um sistema consiste em três partı́culas como mostra a figura. Encontre o centro de massa do sistema.
As massas das partı́culas são m1 = m2 = 1, 0 kg e
m3 = 2, 0 kg.
Resposta: ~rCM = (0, 75î + 1, 0ĵ) m
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do sistema Terra-Lua conforme medido a partir do
centro da Terra.
20. Quatro corpos estão situados ao longo do eixo y
da seguinte forma: um de 2,00 kg está a +3,00 m;
outro, de 3,00 kg está a +2,50 m; o terceiro, de
2,50 kg, está na origem e um corpo de 4,00, a 0,500 m. Onde está o centro de massa desses corpos?
Resposta: ~rCM = (0î + 1, 00ĵ) m
17. a) Mostre que o centro de massa de uma barra de
massa M e comprimento L fica meio caminho entre suas extremidades, considerando que ela tenha
massa uniforme por unidade de comprimento.
b) Suponha que uma barra seja não uniforme, tal
que sua massa por unidade de comprimento varie linearmente com x de acordo com a expressão
λ = αx, onde α é uma constante. Encontre a coordenada x do centro de massa como uma fração de
L.
Resposta: a) L/2, b) 2L/3
18. Pediram-lhe que pendurasse uma placa de sinalização por uma única corda vertical. A placa tem
formato triangular, como mostra a figura. Sua
parte inferior deve ser paralela ao chão. A que
distância da extremidade da esquerda da placa você
deve amarra a corda de sustentação?
21. Um pedaço uniforme de folha de metal é moldado
conforme mostra a figura. Calcule as coordenadas
x e y do centro de massa da folha.
22. Exploradores da floresta encontram um monumento antigo na forma de um grande triângulo
isósceles, como mostra a figura. O monumento é
feito de dezenas de milhares de pequenos blocos de
pedra de densidade 3800 kg/m3 . Ele tem 15,7 m de
altura e 64,8 m de largura em sua base, com espessura de 3,60 m em todas as partes da frente para
trás. Antes de o monumento ser construı́do, muitos
anos atrás, todos os blocos de pedra foram colocados no solo. Quanto trabalho os construtores realizam sobre eles para coloc=a-los na posição ao construir o monumento inteiro? Observações: a energia
potencial gravitacional de um sistema corpo-Terra
é definida por Ug = M gyCM , onde M é a massa
total do corpo e yCM é a elevação de seu centro de
massa acima do nı́vel de referência escolhido.
Resposta: 2a/3
19. A massa da Terra é 5,97×1024 kg, e a da Lua é
7,35×1022 kg. A distância de separação entre seus
centros é 3,84×108 m. Localize o centro de massa
Resposta: 3, 57 × 108 J
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23. Uma barra de 30,0 cm de comprimento tem densidade linear (massa por comprimento) definida por
λ = 50, 0 + 20, 0x, onde x é a distância a partir de
uma extremidade, medida em metros, e λ é expressada em gramas/metro.
26. A figura mostra a estrutura de uma molécula de
água. A distância entre os átomos é dada por d =
9, 57 × 10−11 m. Cada átomo de hidrogênio possui
massa igual a 1,0u. Calcule a posição do centro de
massa.
a) Qual é a massa da barra?
b) A que distância da extremidade x = 0 m está
seu centro de massa?
Resposta: xCM = 6, 5 × 10−12 m
24. Um homem de massa m se agarra a uma escada de
corda, suspensa abaixo de um balão com massa M .
O balão está parado em relação ao solo.
a) Se o homem começa a subir a escada com velocidade de intensidade v (em relação à escada), em
que direção e com qual intensidade de velocidade
(em relação à Terra) o balão irá se mover?
b) Qual é o estado do movimento depois de o homem ter parado de subir?
25. A figura mostra uma placa composta com dimensões de 22,0 cm x 13,0 cm x 2,80 cm. Metade da placa é composta de alumı́nio (densidade
= 2,70 g/cm3 ), enquanto a outra metade é de ferro
(densidade = 7,85 g/cm3 ), como mostrado. Onde
é o centro de massa da placa?
27. Dois corpos, cada um constituı́do de pesos de um
conjunto de pesos, são conectados por uma corda
leve que passa sobre uma polia leve, sem atrito, e
com diâmetro de 56,0 mm. Os dois corpos estão
no mesmo nı́vel. Cada corpo tem originariamente
uma massa de 850 g.
a) Localize o centro de massa deles.
b) Trinta e quatro gramas são transferidos de um
corpo para o outro, mas os corpos são impedidos
de se mover. Localize o centro de massa deles.
c) Os dois corpos são agora liberados. Descreva
o movimento do centro de massa e determine sua
aceleração.