Funções trigonométricas - SpeedServ

Profª Cristiane Guedes
FUNÇÕES
TRIGONOMÉTRICAS
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1
Circunferência Trigonométrica
2
Equivalência:  rad = 180o
y
B
P
+
1
A’
A
O
1
x
-
B’
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Seno e Cosseno
3
y
/2
x  cos q
P
y

q
y  senq
0
x
X
sen q  cos q  1
2
3/2
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2
Função Seno
4
Periodicidade :
sen x = sen ( x + 2)
• A função y = sen x é periódica e tem período igual
a 2 radianos.
• Se f(x) = a + b.sen(cx + d)  período de f =
Paridade :
sen x = - sen (- x)
• A função y = sen x é ímpar.
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2
c
Gráfico: y = sen x
Sen
1,5
Domínio: (,  )
Imagem : [1,  1]
1,0
0,5
0,0
-360
-270
-180
-90
0
90
180
270
360
-0,5
-1,0
-1,5
5
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Vamos partir da função seno e introduzir parâmetros, um
de cada vez, observando as consequências geométricas
sobre o gráfico.
A função geral tem o formato: y = a sen (bx + c) + d
Gráficos de y = sen x e y = 2 . sen x (a = 2; b = c = d = 0)
O coeficiente a influi na amplitude da função.
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Gráficos de y = sen x e y = sen 2x (a = c = d = 0; b = 2)
O coeficiente b altera o período da função.
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Gráficos de y = sen x e y = sen(x + 1) (a = b = d = 0; c = 1)
O parâmetro denotado pela letra c provoca uma translação horizontal no
gráfico da função.
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Gráficos de y = sen x e y = sen x + 1 (a = b = c = 0; d = 1)
Nesse caso, o parâmetro d desloca o gráfico verticalmente.
9
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Função Cosseno
10
Periodicidade :
cos x = cos ( x + 2)
• A função y = cos x é periódica e tem período igual
a 2 radianos.
• Se f(x) = a + b. cos(cx + d)  período de f =
Paridade :
•A
cos x = cos (- x)
função y = cos x é par.
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2
c
Gráfico: y = cos x
Cos
1,5
Domínio : (,  )
1,0
Imagem : [1,  1]
0,5
0,0
-360
-270
-180
-90
0
90
180
270
360
-0,5
-1,0
-1,5
11
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Tangente
12
y
t
B
P
t // y
M
tg 

A’
O
AM  tg 
A
x
senθ
tgθ 
cosθ
B’
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Função Tangente
13
Periodicidade :
tg x = tg ( x + )
• A função y = tg x é periódica e tem período igual a
 radianos.

• Se f(x) = a + b. tg (cx + d)  período de f =
Paridade :
•A
tg x = -tg (- x)
função y = tg x é ímpar.
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c
tg
Gráfico: y = tg x
-360
-270
-180
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
-1
-90
0
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-10
90
π
(2n  1); n  Z
2
Imagem : (,  )
Domínio : θ 
14
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180
270
360
Cot
Gráfico: y = cotg x
1
cotθ 
tgθ
-360
-270
-180
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
-1 0
-90
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-10
Domínio : θ  n ; n  Z
Imagem : (,  )
15
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90
180
270
360
Gráfico da Secante e Cossecante
16
Sec
-360
-270
-180
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
-1 0
-90
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-10
Csc
90
1
secθ 
cosθ
180
270
360
-360
-270
-180
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
-90 -1 0
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-10
cscθ 
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90
180
1
senθ
270
360
Relações Fundamentais
17
sen2 x + cos2x = 1
senx
tgx 
cos x
1
cos x
cot gx 

tgx senx
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1
sec x 
cos x
1
cos sec x 
senx
2
2
sec x  1  tg x
cos sec x  1  cot g x
2
18
2
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Adição de arcos
19
a) cos (a + b) = cos a.cos b – sen a.sen b
b) cos (a - b) = cos a.cos b + sen a.sen b
c) sen (a + b) = sen a.cos b + sen b.cos a
d) sen (a - b) = sen a.cos b - sen b.cos a
tga  tgb
e) tg (a  b) 
1  tga.tgb
tga  tgb
f ) tg (a  b) 
1  tga.tgb
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Arcos Duplos
20
a) cos(2a) = cos2a – sen2a
b) sen(2a) = 2.sen a.cos a
c) tg(2a) =
2.tg x
2
1 - tg2 x
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