λ - cosmobook

Oitava Aula
Introdução à Astrofísica
Reinaldo R. de Carvalho ([email protected])
pdf das aulas estará em http://cosmobook.com.br/?page_id=440
Capítulo 8!
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Atmosferas Estelares!
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O Campo de Radiação!
Opacidade Estelar!
Transferência Radiativa e a Equação de Transferência!
Formação de Linhas Espectrais
O Campo de Radiação
A luz que os astrônomos recebem de uma estrela vem da sua atmosfera, a camada de gás
sobrejacente ao interior opaco. Um fluxo de fotos desta camada libera a energia produzida pelas
reações nucleares que ocorrem no centro da estrela. A temperatura, densidade e composição destas
camadas atmosféricas das quais os fótons escapam, determinam as características de seu espectro
observado. Para interpretar as linhas espectrais observadas devemos descrever como a luz atravessa o
gás que constitui a estrela.
Intensidade Específica: Considere um raio de luz com comprimento de onda entre λ e λ + dλ
passando através de uma superfície de área dA em um ângulo θ dentro de um ângulo sólido dΩ. O
ângulo θ é medido a partir da direção perpendicular à superfície, logo dA cos θ é o elemento de área
dA projetado num plano perpendicular à direção na qual a radiação está viajando.
Definimos então
Eλ dλ é a quantidade de energia que os raios
de luz carregam no cone de ângulo sólido em
um intervalo de tempo dt. Assim, a
intensidade específica é definida como:
A intensidade específica é normalmente referida como intensidade e em coordenadas esféricas
é a quantidade de energia eletromagnética tendo um comprimento de onda entre λ e λ + dλ que
passa no intervalo de tempo dt através da área dA dentro do ângulo sólido dΩ = sen θ dθ d𝝓. Uma
vez que Iλ se propaga no vácuo no limite dΩ → 0 a energia do raio de luz não se espalha. A
intensidade é constante ao longo de qualquer raio que atravessa o espaço.
Em geral, a intensidade específica, Iλ, varia com a direção. A intensidade média da radiação é obtida
integrando a intensidade específica sobre todas as direções e dividindo o resultado por 4𝜋
esterradianos. Em coordenadas esféricas este valor médio é:
Para um campo de radiação isotrópico (mesma intensidade em todas as direções), ⟨ Iλ ⟩ = Iλ.
Radiação de corpo negro é isotrópica e tem Bλ = Iλ .
Densidade Específica de Energia: Para determinar quanta energia é contida no campo de radiação.
usamos uma abstração onde considera-se um cilindro de comprimento dL. A radiação é perfeitamente
refletida nas paredes internas do cilindro. A luz que entra numa extremidade sai na outra. A radiação
que entra no cilindro num ângulo θ atravessa o cilindro em um tempo dt = dL/(c cos θ). A quantidade
de energia dentro do cilindro com comprimento de onda entre λ e λ + dλ que é devido a radiação que
entra num ângulo θ é:
A quantidade dA dL é o volume do cilindro,
logo a densidade específica de energia
(energia por unidade de volume com
comprimento de onda entre λ e λ + dλ ) é
obtida dividindo Eλ dλ por dA dL,
integrando sobre todos os ângulos sólidos
Para um campo de radiação isotrópico, uλ dλ = (4𝜋/c) Iλ dλ, e para a radiação de corpo negro
A densidade de energia total, u, é determinada integrando-se sobre todos os comprimentos de onda,
lembrando que Iλ = Bλ.
onde a ≡ 4σ/c é conhecida como constante de radiação, cujo valor é a = 7.565767 x 10-16 J m-3 K-4.
Fluxo Radiativo Específico: Outra quantidade de interesse é Fλ, o fluxo radiativo específico. Fλ dλ é a
energia que tem um comprimento de onda entre λ e λ + dλ passando a cada segundo através de uma
área unitária na direção do eixo-z:
O fator cos θ determina a componente-z de um raio de luz. Interessante notar que se Iλ é isotrópico,
ou seja existe uma quantidade igual de radiação vindo de todas as direções, então Fλ é zero.
Tanto o fluxo radiativo como a intensidade específica descrevem a luz recebida de um objeto celeste,
mas qual destas quantidades são efetivamente medidas num telescópio ? Isto depende se o objeto é ou
não “resolvido” pelo telescópio:
No caso em que a fonte é resolvida: θ > θmin o menor ângulo que pode ser medido pelo critério de
Rayleigh. Neste caso o que está sendo medido é a intensidade específica, a quantidade de energia, por
segundo passando através da área da abertura no ângulo sólido Ω definido por θmin. Imagine que a
fonte esteja agora a uma distância duas vezes maior. Pela lei do inverso do quadrado, teremos 1/4 da
energia recebida a partir de cada metro quadrado da fonte. Se a fonte é ainda “resolvida” a
quantidade de área da fonte que contribui para a energia dentro do ângulo sólido Ωmin aumenta por
um fator 4, e assim a mesma quantidade de energia alcança cada metro quadrado do detector. A
intensidade específica dos raios de luz da fonte é constante.
Por outro lado, é o fluxo radiativo que medimos para
uma fonte não-resolvida. Na medida que a fonte esteja
mais e mais distante, em algum momento θ < θmin .
Neste caso a energia recebida da fonte dispersará
através do padrão de difração determinado pela
abertura do telescópio.
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Uma vez que a luz chegando ao detector deixa a
superfície da fonte de todos os ângulos, o detector está
efetivamente integrando a intensidade específica sobre
todas as direções - isto é a definição de fluxo radiativo.
Na medida que a distância à fonte aumenta, a
quantidade de energia que cai dentro do disco de Airy
diminui com o inverso do quadrado da distância.
Pressão de Radiação
Um fóton possui energia, E, e a equação da energia relativística nos diz que o fóton carrega
momentum, p = E/c e portanto exerce uma pressão de radiação. Esta pressão pode ser derivada da
mesma forma que a pressão de um gás de moléculas num compartimento fechado é encontrada.
Consideremos a figura abaixo.
Consideremos fótons que incidem e refletem de uma
superfície perfeitamente refletora, de área dA, em um
ângulo θ, em um ângulo sólido dΩ. A variação na
componente z do momentum dos fótons com
comprimentos de onda entre λ e λ + dλ que são refletidos
da área dA em um intervalo de tempo dt é:
Dividimos dpλ por dt e dA. Mas pela segunda e terceira lei de Newton, -dpλ /dt é a força exercida pelos
fótons sobre a área dA, embora o sinal - apenas indique que a força é na direção -z. Assim, a pressão
de radiação é (dpλ /dt)/dA produzida pelos fótons dentro do ângulo sólido dΩ. Integrando sobre todo o
hemisfério de todas as direções incidentes obtemos Prad,λ dλ, que é a radiação exercida pelos fótons
com comprimento de onda entre λ e λ + dλ:
Da mesma forma que a pressão de um gás existe em todo o volume onde o gás se encontra, e não
somente nas paredes do recipiente onde se localiza o gás, a pressão de radiação de um gás de fótons
existe em todos os pontos do campo de radiação. Imagine que retiremos a superfície refletora, dA, e no lugar colocamos uma superfície matemática. Os
fótons incidentes agora passarão através de dA, ao invés de refletidos os fótons virão do outro lado,
através de dA. Desta forma, para um campo de radiação isotrópico, não haverá modificação na
equação exceto pelo fator 2, que surge devido a variação no momentum dos fótons refletidos. Outra
modificação é que agora a integração angular é estendida sobre todos os ângulos sólidos.
A pressão de radiação total produzida por fótons de todos os comprimentos de onda é encontrado pela
integração da equação anterior.
Para a radiação de corpo negro, pode ser mostrado que
Assim, a pressão de radiação de um corpo negro é 1/3 da densidade de energia.
Opacidade Estelar
A classificação de espectros estelares é ainda um processo em andamento. Mesmo propriedades simples
como temperatura superficial são difíceis de determinar visto que estrelas não são exatamente
representadas por um corpo negro. A equação de Stefan-Boltzmann é apenas um valor adequado que
requer aprimoramento.
Da figura ao lado ve-se o quanto o espectro solar se
afasta da distribuição de corpo negro, no entanto o
decréscimo em intensidade produzido por uma densa
série de linhas metálicas de absorção é o mais visível.
Este efeito é denominado “line blanketing”.
Temperatura e Equilíbrio Termodinâmico Local: Vários são os conceitos de temperatura de uma
estrela e são definidos de acordo com o processo físico sendo descrito:
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Temperatura efetiva: a qual é obtida a partir da lei de Stefan-Boltzmann e é um importante
parâmetro global da estrela.
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Temperatura de excitação: aquela definida pela equação de Boltzmann
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Temperatura de ionização: aquela definida pela equação de Saha
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Temperatura cinética: é aquela definida na equação de Maxwell-Boltzmann
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Temperatura de cor: aquela obtida ajustando o espectro contínuo de uma estrela com uma função de
Planck.
Com exceção da temperatura efetiva, todas as outras se aplicam para qualquer localização dentro da
estrela e variam de acordo com as condições do gás. Embora definidas de maneiras distintas as
temperaturas de excitação, ionização, cinética e de cor são iguais para o caso simples de um gás
confinado dentro de uma “caixa ideal”. O gás confinado de partículas e a radiação de corpo negro
estão em equilíbrio, onde então não existe um fluxo “liquido” de energia através da caixa ou entre a
matéria e a radiação. Qualquer processo (exemplo absorção de um fóton) ocorre na mesma taxa que
seu processo inverso (emissão de um fóton). Esta condição é chamada equilibro termodinâmico.
Uma estrela não está em perfeito equilíbrio termodinâmico. Fluxo de energia ocorre através da
estrela e a temperatura, independente de como é definida, varia com a localização dentro da estrela.
Algumas regiões da estrela são mais quentes e outras mais frias - não existe uma caixa ideal neste
caso. Na medida que as partículas do gás colidem umas com as outras e interagem com o campo de
radiação absorvendo e/ou emitindo fótons, a descrição dos processos de excitação e ionização tornamse muito complexos.
Mesmo assim, o caso ideal pode ser utilizado se a distância sobre a qual a temperatura varia
significativamente for grande comparada com a distância percorrida pelas partículas e fótons entre
colisões (livre percurso médio). Neste caso, denominado equilíbrio termodinâmico local (ETL), as
partículas e os fótons não podem escapar o ambiente local e assim estão confinados a um volume
limitado de temperatura “quase” constante.
Exemplo: A fotosfera é a camada da atmosfera do Sol onde os fótons escapam para o espaço. De
acordo com um modelo de atmosfera do Sol a temperatura em uma região da fotosfera varia de 5580
K a 5790 K sobre uma distância de 25.0 km. A distância característica sobre a qual a temperatura
varia é:
Como esta escala de altura se compara com a distância média atravessada por um átomo antes que
ele colida com outro átomo ? A densidade da fotosfera é da ordem de 𝝆 = 2.1 x 10-4 kg m-3, consistindo basicamente de átomos de
Hidrogênio neutro no estado fundamental. Assumindo um gás puro de Hidrogênio, o número de
átomos por metro cúbico é
onde mH é a massa de um átomo de Hidrogênio.
Em um sentido aproximado dois desses átomos
colidirão se seus centros passam a uma distância
igual ou menor do que dois raios de Bohr um do
outro. Como mostrado na figura ao lado podemos
assumir um problema equivalente - um átomo de
raio igual a duas vezes o raio de Bohr movendo-se
com velocidade 𝑣 através de uma coleção de pontos
estacionários que representam os centros dos outros
átomos.
Num intervalo de tempo t, este átomo percorre uma distância 𝑣t cobrindo um cilindro de volume V =
𝛑(2a0)2 𝑣t = σ𝑣t, onde σ ≡𝛑(2a0)2 é a seção de choque de colisão do átomo nesta aproximação clássica.
Dentro deste volume V, existem nV = nσ𝑣t átomos pontuais com os quais o átomo que se move vem a
colidir. Desta forma, a distância média percorrida entre colisões é
A distância ℓ é o livre caminho médio entre colisões. Um cálculo mais detalhado usando a distribuição
de velocidade Maxwelliana para todos os átomos, fornece um livre caminho médio que é menor por
um fator √2.
Para um átomo de Hidrogênio, σ = 𝛑(2a0)2 = 3.52 x 10-20 m2 e portanto ℓ = 1/nσ = 2.27 x 10-4 m.
Este livre caminho médio é vários bilhões de vezes menor do que a escala de distância característica
sobre a qual a temperatura varia. Logo os átomos no gás “veem” uma temperatura cinética
essencialmente constante entre colisões. Eles estão confinados dentro um volume limitado do espaço
na fotosfera. Obviamente, isto não é verdade para os fótons uma vez que a fotosfera do Sol é a
camada visível da superfície solar. Assim, fótons escapam livremente ao espaço. Para melhor explicar
o livre caminho médio dos fótons, é necessário examinar a interação das partículas com os fótons em
detalhe.
A Definição de Opacidade
Agora consideremos um feixe de luz atravessando um gás. Qualquer processo que remova fótons do feixe
será coletivamente chamado de “absorção”. Neste sentido, absorção inclui espalhamento dos fótons assim
como “verdadeiras” absorções de fótons por elétrons que fazem uma transição para níveis superiores.
Uma variação de intensidade, dIλ, de um raio luminoso de comprimento de onda λ, quando atravessa um
gás, é proporcional a sua intensidade, Iλ, à distância atravessada, ds, e à densidade do gás, 𝝆. Isto é:
A distância s é medida ao longo da trajetória percorrida pelo feixe. O sinal “-” mostra que a intensidade
diminui com a distância devido à absorção dos fótons. A quantidade 𝜿λ é chamada coeficiente de
absorção, ou opacidade, com o subscrito λ indicando que a opacidade depende do comprimento de onda.
A opacidade é a seção de choque para fótons absorvidos de comprimento de onda λ, por unidade de
massa estelar e tem unidades de m2 kg-1. Em geral a opacidade de um gás é função de sua composição,
densidade e temperatura.
Exemplo: Considere um feixe de luz atravessando um gás com intensidade inicial Iλ,0 em s = 0. A
intensidade final Iλ,f após a luz atravessar uma distância s é determinada através da integração da equação
acima.
Para o caso específico de um gás uniforme de densidade e opacidade constante temos:
A intensidade cai exponencialmente, caindo de um fator e-1 sobre uma distância ℓ = 1/𝜿λ𝝆. Na
fotosfera solar onde 𝝆 = 2.1 x 10-4 kg m-3, a opacidade no comprimento de onda de 500 nm é 𝜿500 =
0.03 m2 kg-1. Assim, a distância característica que o fóton viaja antes de ser removido do feixe é ℓ = 1/
𝜿500𝝆 = 160 km. Lembrando que a distância característica sobre a qual a temperatura varia na fotosfera, como
calculado anteriormente, é
Assim, os fótons da fotosfera não “vêm” uma temperatura constante, e portanto o equilíbrio
termodinâmico local (ETL) não é estritamente válido na fotosfera. Embora muitas vezes a
aproximação ETL seja usada em cálculos de atmosferas estelares, os resultados devem ser vistos com
cautela.
Profundidade óptica
Para fótons espalhados, a distância característica ℓ é na verdade o livre caminho médio dos fótons. A
partir da equação para o livre caminho médio, apresentada anteriormente temos que ℓ = 1/𝜿λ𝝆 = 1/
nσλ. Tanto 𝜿λ𝝆 como nσλ podem ser pensados como representando a fração de fótons espalhados por
metro de distância viajada. Notemos que o livre caminho médio é diferente para fótons de diferentes
comprimentos de onda.
É conveniente definir uma grandeza denominada “profundidade óptica”, 𝜏λ, da seguinte forma:
onde s é a distância medida ao longo da trajetória do fóton na sua direção de movimento, como na
figura.
A diferença em profundidade óptica entre a posição inicial de um raio
de luz ( s = 0 ) e sua posição final, após atravessar uma distância s é:
Notemos que Δ𝜏λ < 0. As camadas mais externas podem ser tomadas
como em 𝜏λ = 0 para todos os comprimentos de onda, depois disso o
raio de luz viaja sem impedimento até chegar ao observador na Terra.
Com esta definição de 𝜏λ = 0, a equação anterior fornece a profundidade óptica inicial, 𝜏λ,0 de um raio
de luz que atravessou uma distância s até alcançar o topo da atmosfera.
Combinando a equação anterior com a equação abaixo, já apresentada anteriormente, podemos
calcular o declínio na intensidade de um raio que atravessa o gás de uma profundidade óptica 𝜏λ, para
alcançar o observador.
Assim, se a profundidade óptica do ponto inicial do raio de luz é 𝜏λ = 1, a intensidade do raio de luz
irá decair de um fator e-1 antes que escape da estrela.
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!
A profundidade óptica pode ser pensada como o número de livres percursos médios a partir da posição
original até a superfície, como medido ao longo da trajetória do raio de luz.
Se 𝜏λ ≫ 1 para um raio de luz passando através de um volume de gás, o gás é dito ser opticamente
espesso; Se 𝜏λ ≪ 1 o gás é dito opticamente fino. Como a profundidade óptica depende do
comprimento de onda, um gás pode ser opticamente espesso em um comprimento de onda e
opticamente fino em outro comprimento de onda.
Por exemplo, a atmosfera da Terra é opticamente fina à luz visível mas é opticamente espessa a
comprimentos de onda do raio-X (veja figura abaixo).
Em geral as medidas do fluxo radiativo de uma estrela e da magnitude aparente, são corrigidas da
absorção da luz pela atmosfera da Terra. A figura abaixo mostra a geometria do problema.
A figura mostra que um raio de intensidade Iλ,0 entrando a
atmosfera da Terra em um ângulo θ e viajando até o
telescópio. A intensidade da luz detectada no telescópio é Iλ
; o problema é determinar o valor de Iλ,0. Se tomamos 𝜏λ =
0 no telescópio e h sendo a altura da atmosfera, então a
profundidade óptica da trajetória do raio de luz através da
atmosfera pode ser determinada usando a equação
Usando ds = -dz / cos θ = -sec θ dz, temos
onde 𝜏λ,0 é a profundidade óptica para um fóton viajando verticalmente (θ = 0). Substituindo na
equação
temos a intensidade da luz recebida no telescópio
Existem duas incógnitas nesta equação, Iλ,0 e 𝜏λ,0; nenhuma das duas pode ser obtida através de uma
só observação. Na medida que a Terra gira sobre seu eixo, o ângulo θ variará e um gráfico de várias
medidas pode ser feito mostrando a intensidade recebida, Iλ, como função de sec θ. Como mostrado
na figura abaixo, a inclinação da linha de melhor ajuste aos dados fornece -𝜏λ,0.
Extrapolando a linha de melhor ajuste para sec θ = 0, obtém-se Iλ,0. Assim, pode-se corrigir as
observações pela absorção atmosférica.
Fontes de Opacidade
A opacidade de um material estelar é determinado pelos detalhes de como fótons interagem com as
partículas (átomos, íons, e elétrons livres). Se os fótons passam a σλ de uma partícula, onde σλ é a
seção de choque da partícula, o fóton pode ser absorvido, ou espalhado. Na absorção, o fóton deixa de
existir e sua energia é transferida à energia térmica do gás. No espalhamento o fóton continua, mas
em outra direção. Seja como for, absorção e espalhamento tiram fótons de um feixe de luz numa certa
direção, e assim ambos contribuem para a opacidade, 𝜿λ, do material estelar.
Em geral, existem quatro fontes principais de opacidade disponíveis para remover fótons estelares do
feixe de luz. Cada um envolve uma variação no estado quântico de um elétron, e os termos “ligado” e
“livre” são usados para descrever se o elétron está “ligado” a um átomo ou íon em seus estados
iniciais e finais.
1- Transição ligado-ligado (excitações e de-excitações): ocorrem quando um elétron em um átomo faz
uma transição de um estado orbital para outro. Um elétron pode fazer uma transição de um nível
inferior de energia para outro superior quando um fóton é absorvido. Assim, 𝜿λ,liglig, opacidade ligadoligado, é pequena exceto nos comprimentos de onda específicos capazes de produzir uma transição
atômica para um nível superior.
Se um elétron absorve um fóton e retorna diretamente ao seu orbital inicial, então um único fóton é
emitido em uma direção aleatória. O resultado desta seqüência de absorção-emissão é essencialmente
um fóton espalhado. Se, ao contrário, o elétron faz uma transição para um orbital diferente do inicial,
então o fóton original não é recuperado e o processo é de verdadeira absorção.
Se, enquanto num estado excitado, o átomo colide com uma partícula vizinha, de-excitação colisional
pode acontecer. Neste caso a energia perdida torna-se parte da energia térmica do gás.
Outro importante resultado do processo de absorção é a degradação da energia média dos fótons no
campo de radiação. Se um fóton é absorvido mas dois são emitidos na medida que o elétron realiza o
processo em cascata, então a energia média dos fótons é reduzida por dois.
2 - Absorção ligado-livre (fotoionização): Ocorre quando um fóton incidente tem energia o suficiente
para ionizar um átomo.
O elétron livre resultante pode ter qualquer energia, assim qualquer fóton com comprimento de onda
λ ⩽ hc/χn, onde χn é a energia de ionização do orbital “n”, pode remover um elétron do átomo. Logo
𝜿λ,ligliv, a opacidade ligado-livre, é uma fonte de opacidade do contínuo.
O processo inverso de emissão livre-ligado ocorre quando um elétron livre recombina com um íon,
emitindo um ou mais fótons em direções aleatórias. Este processo também contribui para reduzir a
energia média dos fótons no campo de radiação.
3 -Absorção livre-livre: é um processo de espalhamento. Ocorre quando um elétron livre na vizinhança
de um íon absorve um fóton, causando um aumento na velocidade do elétron. Neste processo o íon é
necessário para a conservação de energia e momentum (veja exercício no final da aula). Já que o
mecanismo pode ocorrer para um domínio continuo de comprimentos de onda, a opacidade livrelivre, 𝜿λ,livliv, contribui para a opacidade do contínuo. Pode também acontecer que o elétron ao passar perto do íon perca energia emitindo um fóton, o que
causa o elétron diminuir sua velocidade. Este processo de emissão livre-livre é conhecido como
“bremsstrahlung”, que significa Bremsen= frear e Strahlung= radiação.
4 - Espalhamento por Elétrons: Um fóton é espalhado e não absorvido por um elétron livre através de
um processo chamado espalhamento Thompson. Podemos pensar, neste caso, que o elétron oscila no
campo eletromagnético do fóton. No entanto, como o elétron é pequeno, torna-se um alvo pobre para
o fóton incidente, o que resulta numa seção de choque pequena. Isto significa que espalhamento por
elétrons é mais efetiva como fonte de opacidade quando a densidade de elétrons é muito alta, o que
requer altas temperaturas. Na atmosfera de estrelas muito quentes o espalhamento por elétrons, 𝜿λ,esp,
domina a opacidade do continuo.
Exemplo: A energia de um elétron no orbital n = 2 de um átomo de Hidrogênio é dado E2 = -13.6/22 =
-3.40 eV. Um fóton deve ter uma energia de no mínimo χ2 =3.40 eV para remover o elétron do átomo.
Assim, qualquer fóton com comprimento de onda λ ⩽ hc/χ2 = 3647 Å é capaz de ionizar um átomo de
Hidrogênio no primeiro estado excitado (n=2). A opacidade do material estelar de repente aumenta
para λ ⩽ 3647 Å, e o fluxo radiativo medido para a estrela diminui. Este corte abrupto no contínuo é
denominado “Balmer Jump”. O tamanho do Balmer Jump em estrelas quentes depende da fração de
átomos de Hidrogênio que estão no primeiro estado de excitação. Esta fração é determinada pela
equação de Boltzmann, assim uma medida do tamanho do Balmer Jump pode ser usada para
determinar a temperatura da atmosfera.
OBAFGKM
a cor (u-v) será máxima quando n20/n, a fração de todos os átomos de Hidrogênio que estão no
primeiro estado de excitação, for máxima, e isso ocorre para uma temperatura aproximada de 9600 K
para uma estrela A0.
Transferência Radiativa
Uma estrela estar em equilíbrio significa dizer que não há variação na energia total contida dentro de
qualquer camada da atmosfera estelar ou interior. Ou seja, todos os processos envolvendo absorção
ou emissão de energia deve estar em preciso balanço através da estrela. Aqui, discutiremos a
competição entre os processos de absorção e emissão.
Processos de Emissão de Fótons
Qualquer processo que adiciona fótons ao feixe de luz será chamado de emissão. Cada uma das
quatro fontes de opacidade apresentadas anteriormente tem seus processos inversos de emissão:
ligado-ligado, livre-livre (Bremsstrahlung), livre-ligado e espalhamento por elétrons. Numa estrela não existe então um fluxo direto de fótons direto à superfície, carregando energia para
fora à velocidade da luz. Ao invés disso, fótons individuais viajam com o feixe de luz somente
temporariamente, na medida que são espalhados em direções aleatórias, seguindo seus encontros com
as partículas do gás.
A Equação de Transferência
Nesta seção desenvolveremos e resolveremos a equação básica de transferência radiativa usando
várias suposições básicas. Vamos considerar os processos de emissão que aumentam a intensidade do raio de luz de
comprimento de onda λ na medida que este viaja através do gás. O aumenta na intensidade dIλ é
proporcional a ds, a distância viajada na direção do raio de luz, e 𝝆, a densidade do gás. Para pura
emissão temos
onde jλ é o coeficiente de emissão do gás. O coeficiente de emissão, que tem unidades de m s-3 st-1, varia
com o comprimento de onda. Combinando os processos de absorção e emissão que afetam o raio de
luz temos:
ao longo do percurso do raio de luz atuam processos de absorção e emissão, que são determinados
pelas condições locais em cada ponto da trajetória. A razão das taxas de emissão e absorção
determina quão rapidamente a intensidade do feixe de luz varia e descreve a tendência da população
de fótons no feixe refletir a fonte local de fótons no material estelar.
Assim, dividimos a equação anterior por -𝜿λ 𝝆 ds.
A razão dos coeficientes de emissão e absorção é chamada função fonte, Sλ = jλ/𝜿λ. Esta função
descreve como fótons originalmente viajando no feixe são removidos e recolocados por fótons da
vizinhança do gás. Escrevemos então a equação anterior como:
Esta é uma das formas da equação de transferência radiativa, em geral referida como equação de
transferência. Vemos que se a intensidade da luz não varia com a distância, então a intensidade é
igual a função fonte, Iλ = Sλ. Se a intensidade é maior que a função fonte, então dIλ / ds é menor do que
zero e a intensidade diminui com a distância, e vice-versa.
Caso Especial da Radiação de Corpo Negro
A função fonte para o caso especial da radiação de corpo negro pode ser encontrada considerando
uma caixa contendo gás opticamente espesso mantidos uma temperatura constante T. As partículas
confinadas e a radiação de corpo negro estão em equilíbrio termodinâmico, não havendo um fluxo
“liquido” de energia através da caixa ou entre as partículas do gás e a radiação. Com as partículas e
os fótons em equilíbrio, individualmente e um com o outro, cada processo de absorção é balanceado
pelo processo inverso de emissão. A intensidade da radiação é descrita pela função de Planck, Iλ = Bλ. Além disso, uma vez que a
intensidade é constante através da caixa, dIλ /ds = 0, e assim Iλ = Sλ. Para o caso do equilíbrio
termodinâmico, a função fonte é igual à função de Planck, Sλ = Bλ.
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Uma estrela não está em perfeito equilíbrio termodinâmico, existe um fluxo “liquido” de energia do
centro para a superfície. Assim, podemos imaginar uma profundidade tal que o livre caminho médio
do fóton é comparável a escala de altura da temperatura, desta forma podemos considerar que os
fótons estão confinados a um volume limitado onde a temperatura pode ser considerada constante.
Estas são as condições para o equilíbrio termodinâmico local (ETL) e neste caso a função fonte é igual
a função de Planck, Sλ = Bλ.
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Em suma, dizer que Iλ = Bλ. é dizer que o campo de radiação é descrito por uma função de Planck,
enquanto que Sλ = Bλ descreve a fonte física da radiação, jλ /𝜿λ, como aquela produzida por um corpo
negro.
Exemplo: Para ver como a intensidade tende a se tornar igual ao valor local da função fonte, imagine
um feixe de luz de intensidade inicial Iλ,0 = 0 em s = 0, entrando um volume de gás de densidade
constante, 𝝆, e opacidade constante, 𝜿λ, e uma função fonte constante, Sλ. Com estas considerações a
equação de transferencia
Pode ser resolvida para a intensidade da luz como uma função da distância s viajada pelo feixe
através do gás.
Inicialmente temos:
Com 𝜿λ, 𝝆 e Sλ. independentes de posição, a equação acima pode ser integrada como:
onde Iλ,0 é o valor da intensidade específica em s = 0. Isto resulta em:
Para o caso de Sλ = 2 Iλ temos:
Como mostrado na figura anterior quanto maior
𝜿λ 𝝆s mais a razão das intensidades se aproxima
de 2.
Modelo de Atmosfera Plano Paralelo
A equação de transferência é a ferramenta básica para descrever a passagem de um feixe de luz
através da atmosfera de uma estrela. A intensidade da luz depende da direção em que o feixe viaja e
os coeficientes de absorção e emissão dependem da temperatura e da densidade de uma maneira
bastante complexa.
Para se entender sobre as condições físicas na atmosfera estelar, como temperatura e densidade, é
importante saber onde uma linha espectral é formada. Um grande esforço tem sido feito no sentido de
resolver e compreender as implicações da equação de transferência, e várias técnicas foram
desenvolvidas para simplificar a análise consideravelmente.
A equação de transferência pode ser escrita em termos da profundidade óptica.
Infelizmente, uma vez que a profundidade óptica é medida ao longo da trajetória do raio de luz, nem
a profundidade óptica nem a distância, s, na equação de transferencia correspondem a um
profundidade geométrica única na atmosfera. Assim, a profundidade óptica deve ser substituída por
uma medida de posição .
A atmosfera das estrelas próximas da seqüência principal são fisicamente “finas” comparadas com o
tamanho da estrela. O raio de curvatura da atmosfera é assim muito maior do que sua “espessura” e
assim podemos considerar a atmosfera como uma camada plano paralela.
Consideremos a figura abaixo
A profundidade óptica vertical, 𝜏λ,𝝂 (z), é definida como
Comparando esta equação com a equação de definição da profundidade óptica, verificamos que esta
equação acima é justamente a profundidade óptica inicial de um raio de luz viajando verticalmente de
uma posição inicial (z < 0) até a superfície (z = 0) onde 𝜏λ,𝝂 = 0. No entanto, um raio de luz partindo da
mesma posição inicial num ângulo θ, viajará uma distância maior até a superfície. Assim, a
profundidade óptica medida ao longo da trajetória do raio de luz até a superfície, 𝜏λ , é maior do que
a profundidade óptica vertical, 𝜏λ,𝝂. Já que dz = ds cos θ, as duas profundidades ópticas são
relacionadas por
Esta é a versão da equação de transferência que normalmente é utilizada na aproximação planoparalela.
Perfis de Linhas Espectrais
A forma de uma linha espectral individual contém valiosa informação sobre o ambiente no qual esta
foi formada.
Largura Equivalente
A figura ao lado mostra um gráfico de fluxo, Fλ, como
função do comprimento de onda de uma linha de
absorção típica. No gráfico, Fλ é expresso como fração de
Fc, o valor do fluxo no espectro contínuo fora dos limites
da linha de absorção.
A quantidade (Fc - Fλ)/Fc é denominada profundidade da
linha. A “importância” de uma linha espectral, no sentido
de sua maior contribuição em relação ao continuo é
medida em termos da Largura Equivalente, que é
definida como a largura da área retangular da figura
Onde a integral é sobre todo o intervalo de comprimento de onda definindo a linha espectral. A linha
espectral da figura é denominada opticamente fina por que em nenhum comprimento de onda o fluxo
foi completamente bloqueado. A opacidade do material estelar, 𝜿λ, é maior no comprimento de onda
λ0. Isto significa que o centro da linha é formada em regiões mais altas da atmosfera estelar (mais
frias).
Se a opacidade 𝜿λ aumenta em um certo comprimento de onda, então a distância real a qual podemos
“ver” para dentro da estrela diminui para aquele comprimento de onda. Um observador não “vê”
muito profundo em comprimentos de onda onde a opacidade é maior do que a opacidade do contínuo.
Isto implica que se a temperatura da atmosfera estelar diminui para as regiões externas da estrela
então a intensidade da radiação para uma certa profundidade óptica diminuirá para aqueles
comprimentos de onda para os quais a opacidade é maior, resultando em linhas de absorção no
espectro.
Processos que alargam as linhas espectrais
Três processos principais são responsáveis pelo alargamento de uma linha espectral.
1 - Alargamento Natural
Lembremos que um elétron num estado excitado ocupa seu orbital por somente um breve intervalo de
tempo, Δt. Assim, a energia orbital não pode ter um valor preciso e esta imprecisão é dada pelo
principio da incerteza - ΔE ≈ Δt / . O tempo de vida do elétron no estado fundamental pode ser
assumido como infinito e assim ΔE = 0. Elétrons podem fazer transições dentro destes níveis de
energia “incertos”, produzindo uma incerteza no comprimento de onda do fóton absorvido ou
emitido. Como Efóton = h c / λ então mostrar que
Onde Δti é o tempo de vida do elétron em seu estado inicial e Δtf é o tempo de vida no estado final.
Exemplo: O tempo de vida de um elétron no primeiro e no segundo estado excitado do átomo de
Hidrogênio é Δt = 10-8 s. O alargamento natural da linha de Hα do Hidrogênio, λ = 656.3 nm é então:
Δ λ ≈ 4.57 x 10-14 m = 4.57 x 10-5 nm
2 - Alargamento Doppler
Em equilíbrio térmico, os átomos de um gás, cada um de massa m, estão movendo-se aleatoriamente
com uma distribuição de velocidades descrita pela distribuição de Maxwell-Boltzmann com o valor
mais provável de velocidade dado por 𝝂mp = √2𝜿𝙏/𝒎. Os comprimentos de onda da luz absorvida ou
emitida pelo átomos no gás são deslocados de acordo com a equação Δλ/λ = ±⎢𝝂r ⎢/c. Assim, a largura
de uma linha espectral devido ao alargamento Doppler pode ser aproximado por
Exemplo: Para os átomos de Hidrogênio na fotosfera do Sol (T = 5777 K), o alargamento Doppler da
linha de Hα deve ser
Δ λ ≈ 0.0427 nm
3 - Alargamento Colisional
Os orbitais de um átomo pode ser perturbado em uma colisão com um átomo neutro ou por um
encontro envolvendo o campo elétrico de um íon. O resultado de colisões individuais é chamado
alargamento colisional e o efeito estatístico dos campos elétricos de um grande número de interação
com íons é denominado alargamento por pressão. Em ambos os casos o resultado depende do tempo
médio entre colisões e encontros com outros átomos e íons.
Uma cálculo mais preciso do alargamento natural é dado pela equação
Assim, usando o livre caminho médio, podemos escrever
onde m é massa de um átomo, σ é sua seção de choque, e n é a densidade numérica de átomos. Assim,
podemos escrever a largura da linha espectral devido ao alargamento por pressão como
Podemos perceber agora a razão física porque linhas mais estreitas são observadas em estrelas
gigantes e super-gigantes. A razão é porque a densidade numérica é menor em suas atmosferas mais
extensas. O alargamento por pressão “alarga” as linhas formadas na atmosfera de estrelas da
seqüência principal (mais densas), onde colisões ocorrem mais freqüentemente.
Exemplo: Considere átomos de Hidrogênio na atmosfera do Sol onde a temperatura é 5777 K e a
densidade numérica 1.5 x 1023 m-3. Assim, o alargamento de pressão da linha Hα é
Δ λ ≈ 2.36 x 10-5 nm
Este valor é da mesma ordem de grandeza do alargamento natural calculado anteriormente (4.57 x
10-5 nm). Contudo, se a densidade numérica de átomos na atmosfera de uma estrela é muito maior, a
largura de linha será muito maior também - mais de uma ordem de magnitude, algumas vezes.
Alargamento Natural
Alargamento Doppler
Alargamento Colisional
Δ λ ≈ 4.57 x 10-5 nm
Δ λ ≈ 0.0427 nm
Δ λ ≈ 2.36 x 10-5 nm
Exercícios
1 - Calcule a energia dos fótons de corpo negro dentro do seu olho. Compare esta medida com a
energia no visível dentro do seu olho quando olhando uma lâmpada de 100 Watts que está a 1 metro
de distância. Considere o seu olho como uma esfera de raio igual a 1.5 cm e a uma temperatura de 37
℃. A área da pupila do olho é cerca de 0.1 cm2. Porque fica escuro quando você fecha os olhos ?
2 - a)Encontre uma expressão para nλdλ, a densidade numérica dos fótons emitidos por um corpo
negro (número de fótons por m3) com um comprimento de onda entre λ e λ + dλ.
b) Encontre o número total de fótons dentro de um forno de um fogão de cozinha a uma temperatura
de 477 K, assumindo um volume de 0.5 m3.
3 - a) Use o resultado do problema anterior para mostrar que a energia média por fóton, u/n é dada
por
lembrando que a densidade total de energia, u, é dada por u = 4σT4/c, onde σ, a constante de StefanBoltzmann é dada por σ = 2𝛑5𝜿4/15c2h3.
b) Encontre a energia média por fóton de um corpo negro no centro do Sol onde T = 1.57 x 107 K e na
fotosfera solar, onde T = 5777 K. Expresse sua resposta em unidades de elétron-volts (eV).
4 - Demonstre a equação para a pressão de radiação de um corpo negro.
5 - Considere um corpo negro esférico de raio R e temperatura T. Através da integração da equação
do fluxo radiativo específico (Veja figura descritiva)
com Iλ = Bλ sobre todas as direções para fora da estrela, obtenha a equação de Stefan-Boltzmann na
forma (você deverá integrar sobre todos os comprimentos de onda e sobre toda a superfície da esfera).
6 - Usando a velocidade média quadrática, 𝑣mq, calcule o livre caminho médio das moléculas de
Nitrogênio da sua sala de aula (temperatura ambiente de 300 K). Qual é o tempo médio entre
colisões? Considere que o raio de uma molécula de Nitrogênio é cerca de 0.1 nm e que a densidade do
ar é 1.2 kg m-3. Uma molécula de Nitrogênio contem 28 núcleons (prótons e neutrons)
7 - Use as leis de conservação da energia relativística e momentum para provar que um elétron
isolado não pode absorver um fóton.