Departamento de Matemática da Universidade de Aveiro

Departamento de Matemática da Universidade de Aveiro
ANÁLISE MATEMÁTICA II
2007/08
Soluções da Folha 2: Representações em série; convergência de sucessões e séries de
funções
1. (a)
e−x
∞
X
(−1)n xn
=
n!
n=0
(b)
sin x2
=
∞
X
(−1)n x4n+2
(c) cos
x=
∞
X
(−1)n xn
(2n)!
n=0
(d)
1−cos x
x2
=
=1−
∞
X
(−1)n x2n
n=0
(e) sinh(2x) =
(2n + 2)!
=
(2n + 1)!
(f) 2 cos2 x = 1 + cos(2x) =
=2−
(g)
1+x
1−x
+
=1+2
16x4
4!
∞
X
− ... +
x
x2
(−1)n xn
+
− ... +
+ ..., x ≥ 0.
2!
4!
(2n)!
= 2x +
8x3
22n+1 x2n+1
+ ... +
+ ..., x ∈ R.
3!
(2n + 1)!
∞
X
(−1)n 22n x2n
n=0
4x2
2!
x6 x10
(−1)n x4n+2
+
− ... +
+ ..., x ∈ R.
3!
5!
(2n + 1)!
1
x2 x4
(−1)n x2n
−
+
− ... +
+ ..., x ∈ R\{0}.
2!
4!
8!
(2n + 2)!
∞
X
22n+1 x2n+1
n=0
x2 x3
(−1)n xn
−
+ ... +
+ ..., x ∈ R.
2!
3!
n!
= x2 −
(2n + 1)!
n=0
√
=1−x+
(2n)!
(−1)n 22n x2n
(2n)!
=
+ ..., x ∈ R.
xn = 1 + 2x + 2x2 + ... + 2xn + ..., |x| < 1.
n=1
(h) (x + 1)ex = 1 +
∞
X
n+1
n=1
n!
xn = 1 + 2x + (1 +
1 2
n+1 n
)x + ... +
x + ..., x ∈ R.
2!
n!
3. (a) (fn )n∈N converge pontualmente para f definida por f (x) =
0, se x = 0
.
1, se x ∈]0, 1]
Estudo da convergência uniforme:
√
√
Como lim n x − 1 = 1 pode-se concluir que sup | n x − 1| ≥ 1 e, consex→0+
x∈[0,1]
quentemente, a convergência não é uniforme em [0, 1].
Outra justificação possı́vel para a não convergência uniforme da função f em
[0, 1]:
Como f não é contı́nua, a sucessão de funções contı́nuas (fn )n∈N não pode
convergir uniformemente para f em [0, 1].

 0, se |x| < 1
1
, se |x| = 1 .
(b) (fn )n∈N converge pontualmente para f definida por f (x) =
 2
1, se |x| > 1
Como f não é contı́nua, a sucessão de funções contı́nuas (fn )n∈N não converge
uniformemente em R.
Estudo da convergência uniforme recorrendo à definição:
1
x2n
= ,
−
1
lim |fn (x) − f (x)| = lim 2
x→1+
x→1+ 1 + x2n
donde resulta que sup |fn (x) − f (x)| não converge para 0 quando n → ∞.
x∈R
(c) (fn )n∈N converge pontualmente para f : R → R definida por f (x) = x.
Estudo da convergência uniforme:
x
(i) Como, para cada n ∈ N, lim n sin
− x = +∞, não existe (em R)
x→∞
n
x
sup n sin
− x .
n
x∈R
Consequentemente (fn )n∈N não converge uniformemente em R.
(ii) Seja gn (x) = x − n sin nx . Como gn0 (x) = 1 − cos nx ≥ 0, ∀x ∈ [−r, r],
gn é crescente. Tendo em conta que gn é uma função ı́mpar no intervalo
centrado [−r, r],
x
r
|x − n sin
| ≤ |r − n sin
|, ∀x ∈ [−r, r].
n
n
r
x Como lim |r − n sin
| = 0, tem-se lim sup x − n sin
= 0.
n→∞
n→∞ x∈[−r,r]
n
n
Portanto, (fn )n∈N converge uniformemente para f .
(d) (fn )n∈N converge pontualmente para a função nula
em ]1, +∞[. Para cada
ex ex
n ∈ N, lim n = +∞, logo não existe sup n e, portanto, (fn )n∈N não
x→∞ x
x>1 x
converge uniformemente em ]1, +∞[.
0, se x ∈ [0, 1[
5. (a) (fn )n∈N converge pontualmente para f definida por f (x) =
.
1
2 , se x = 1
(b) –
(c) Seja gn (x) =
xn
1+xn ,
x ∈ [0, 21 ]. Como gn é crescente tem-se
1 n
xn 2 ≤
0 ≤ sup n,
n
1 + 12
x∈[0, 1 ] 1 + x
2
donde resulta que lim
n→∞
xn = 0. Logo (fn )n∈N converge uniformesup 1 + xn 1
x∈[0, 2 ]
mente em [0, 21 ]. Da convergência uniforme conclui-se que
Z x
Z x
lim
fn (t)dt =
lim fn (t)dt = 0.
n→∞ 0
0 n→∞
6. (a) (fn )n∈N converge pontualmente em R para a função nula. Para provar a convergência uniforme num intervalo não contendo o ponto 0 considerem-se dois
casos:
nx
1
(i) a, b > 0: Para qualquer x ∈ [a, b], |fn (x) − f (x)| = 1+n
2 x2 ≤ na . Assim,
1
1
. Como lim
= 0, lim sup |fn (x) − f (x)| = 0.
sup |fn (x) − f (x)| ≤ na
n→∞ na
n→∞ x∈[a,b]
x∈[a,b]
(ii) a, b < 0: (faz-se de modo análogo).
Z 1
R1
R1
1
ln(1 + n2 ) = 0.
(b) 0 f (x) dx = 0 0 dx = 0 e lim
fn (x) dx = lim
n→∞ 0
n→∞ 2n
(c) (fn )n∈N não converge uniformemente em [0, 1], pois sup |fn (x) − f (x)| = 21 .
x∈[0,1]
7. (fn )n∈N converge
pontualmente em R para a função nula f (x) = 0, x ∈ R. Como
sup 1 sin(nx) = 1 → 0, (fn )n∈N converge uniformemente em R. Como fn0 (x) =
x∈R
n
n
cos(nx) não converge pontualmente, também não converge uniformemente em R.
Não existe por isso qualquer contradição com os resultados obtidos nas aulas.
≤
8. Como sin(kx)
4
4
x +k 1
,
k4
∞
X
sin(kx)
∀x ∈ R, ∀k ∈ N, pelo critério de Weierstrass a série
x4 + k 4
k=1
sin(kx)
x4 +k4
é uniformemente convergente. Adicionalmente, fk (x) =
define uma sucessão
de funções contı́nuas, logo s é contı́nua.
1 1
9. (a) Como x2 +k
2 ≤ k 2 , ∀x ∈ R, ∀k ∈ N, pelo critério de Weierstrass a série
∞
P
1
é uniformemente convergente.
x2 +k2
k=1
(c)
(d)
∞
P
1
é uma série de funções contı́nuas e
x2 +k2
k=1
∞ R
∞
R1
P
P
1
1
1
1
gente, 0 s(x) dx =
k arctan k .
0 x2 +k2 dx =
k=1
k=1
∞
P
2x
s0 (x) = −
.
(x2 +k2 )2
k=1
∞
R
P
1
x
s(x)dx =
k arctan k + C, C ∈ R.
k=1
(b) Como
uniformemente conver-
10. (a) Dado x ∈]0, 1], existe n0 ∈ N tal que x > n10 (basta tomar n0 > x1 ). Assim,
para todo n > n0 , tem-se x > n1 e, por conseguinte, fn (x) = n e−nx . Logo
lim fn (x) = lim n e−nx , para todo x ∈]0, 1].
n→∞
n→∞
(b) Para cada x ∈ [0, 1], tem-se lim fn (x) = 0. Consequentemente,
n→∞
Z
0
Por outro lado,
1
Z
lim fn (x) dx =
n→∞
1
0 dx = 0.
0
R n1 2 −1
R1
−nx dx =
f
(x)dx
=
1 ne
n
0 n e x dx + n
0
Z 1
3
3
−n
−e
= .
lim
fn (x) dx = lim
n→∞ 0
n→∞ 2e
2e
R1
3
2e
− e−n . Logo
(c) Uma vez que (fn )n∈N é uma sucessão de funções contı́nuas (verificar), a convergência não pode ser uniforme atendendo ao que foi visto na alı́nea (b).