Exercícios de Mecânica 2 1 – Seja ⃗A = 3t ̂i − (t2 + t)̂j + (t3 − 2t2

Exercícios de Mecânica 2
1 – Seja ⃗
A /dt 2
A /dt e (b) d 2 ⃗
A = 3 t ̂i − ( t 2 + t ) ̂j + ( t 3 − 2 t 2 ) k̂ . Calcular (a) d ⃗
instante t = 1 .
2 – Se
⃗
A = t ̂i − sint k̂ e
3 – Se
⃗
A (u) = 4 ( u − 1 ) ̂i − ( 2u + 3 ) ̂j + 6 u 2 k̂ , avaliar (a)
2
∫1 ( u ̂i
no
d ⃗ ⃗
( A⋅B )
dt
⃗
B = cos t ̂i + sint ̂j + k̂ , calcule
3
∫2 ⃗A ( u)du
, (b)
− 2 k̂ )⋅⃗
A ( u)du .
B (u) que satisfaz d 2 ⃗
4 – Obter o vetor ⃗
B /du2 = 6u ̂i − 48 u2 ̂j + 12 k̂ onde
⃗
⃗ / du = ̂i + 5 ̂j para u = 0 .
B = 2 ̂i − 3 k̂ e d B
5 – Uma partícula se move ao longo da trajetória ⃗r =( t 2 + t ) î + ( 3 t − 2 ) ̂j + ( 2t 3 − 4 t 2 ) k̂
. Obter (a) a velocidade, (b) a aceleração, (c) a magnitude da velocidade ou velocidade escalar e (d)
a magnitude da aceleração no instante t = 2 .
6 – Uma partícula se move ao longo da curva definida por x = e−t cos t , y = e−t sin t ,
z = e−t . Achar a magnitude da (a) velocidade e (b) aceleração no instante de tempo t .
7 – Os vetores posição de duas partículas são dados respectivamente por
r⃗1 = t ̂i − t 2 ̂j + ( 2 t + 3 ) k̂ e r⃗2 = ( 2t − 3 t 2) ̂i + 4 t ̂j − t 3 k̂ . Achar (a) a velocidade
relativa e (b) a aceleração relativa da segunda partícula com relação à primeira no instante
t = 1 .
8 – Achar (a) o vetor unitário tangencial T̂ , (b) o vetor unitário normal N̂ , (c) o raio de
curvatura R e (d) a curvatura κ da curva x = t , y = t 2 /2 , z = t
1 2̂
t j + t k̂ . Obter (a) a velocidade,
2
(b) a velocidade escalar, (c) a aceleração, (d) a magnitude da aceleração, (e) a magnitude da
aceleração tangencial, (f) a magnitude da aceleração normal.
9 – Uma partícula se move com vetor posição ⃗r = t ̂i +
10 – Uma partícula move-se em um círculo de raio 20 cm . Se a sua velocidade tangencial é
40 cm/ s , determinar (a) sua velocidade angular, (b) sua aceleração angular, (c) sua aceleração
normal.
11 – Uma partícula em movimento circular tem velocidade de 3600 revoluções por minuto num
círculo de raio 100 cm e desenvolve uma desaceleração constante de 5 radianos / s^2, (a) Quanto
tempo passará até que a partícula pare? (b) Qual distância terá a partícula viajado?
12 – Uma escada de 25 m AB está apoiada contra uma parede vertical OA. Se a base da escada é
puxada com velocidade de 12 m/s, determine (a) a velocidade e (b) a aceleração do topo da escada
A no instante quando B está a 15 m da parede.
Gabarito
1) (a) 3 ̂i − 3 ̂j − k̂ , (b) −2 ̂j + 2 k̂
2)
−t⋅sin t
3) (a) 6 ̂i − 8 ̂j + 38 k̂ , (b) -28
4)
( u3 + u + 2 ) ̂i + ( 5 u − 4 u4 ) ̂j + ( 6 u2 − 3 ) k̂
5) (a) 5 ̂i + 3 ̂j + 8 k̂ , (b) 2 ̂i + 16 k̂ , (c) 7 √ 2 , (d) 2 √ 65
6) (a)
√ 3 e−t , (b) √ 5 e−t
7) (a) −5 ̂i + 6 ̂j − 5 k̂ , (b) −6 ̂i + 2 ̂j − 6 k̂ .
8) (a) ( ̂i + t ̂j + k̂ ) / √ t 2 + 2 , (b) (−t ̂i + 2 ̂j − t k̂ ) / √ 2 t 2 + 4 , (c)
( t 2 + 2 )3 /2 / √ 2 , (d) √ 2/ ( t2 + 2 )3/ 2
9) (a) ̂i + t ̂j + k̂ , (b)
√ 2/ √ t 2 + 2
10) (a) 2 rad /s , (b)
√ t2
+ 2 , (c)
̂j , (d) 1 , (e) t / √ t 2 + 2 , (f)
0 rad /s 2 , (c) 80 cm/s 2
11) (a) 75,4 s (b) 1,42×106 cm
12) (a) 9 m/s para baixo, (b) 11,25 m/s 2 para baixo