Aplicações

FUNÇÕES EXPONENCIAIS
Leia e descubra que eu não vim
do além
28/02/2011
Prof. Me. Armando Paulo da Silva
Coordenação da Matemática
1
De potência em potência
Os primeiros registros de cálculos utilizando
potências são encontrados em tabelas babilônicas,
que remontam a, aproximadamente, 1000 a.C. Tais
tabelas eram utilizadas para a resolução de
problemas específicos e continham, em geral, 10
potências sucessivas de um mesmo número.
28/02/2011
Prof. Me. Armando Paulo da Silva
Coordenação da Matemática
2
O vocábulo potência vem de uma palavra
grega que os pitagóricos empregaram para
designar um número elevado ao quadrado.
No século III da era cristã, Diofante de
Alexandria, em sua obra Arithmética,
apresentou a utilização de abreviações
específicas para potências, bem como a
aplicação de algumas regras de operações e
nomes especiais para potências com
expoentes negativos.
28/02/2011
Prof. Me. Armando Paulo da Silva
Coordenação da Matemática
3
A generalização do conceito de
potência deve-se, no entanto, ao bispo
francês Nicole Oresme que, no século
XIV, incluiu em seus trabalhos
potências com expoentes racionais e
irracionais,
além
de
uma
sistematização
das
regras
de
operações com potências.
28/02/2011
Prof. Me. Armando Paulo da Silva
Coordenação da Matemática
4
Devem-se a Nicolas Chuquet, no século XV,
as primeiras utilizações de potências com
expoente zero e a representação de
expressões algébricas que envolviam
potências.
Finalmente, no século XVII, René Descartes
passou a empregar a notação de potência
na forma hoje utilizada.
28/02/2011
Prof. Me. Armando Paulo da Silva
Coordenação da Matemática
5
FUNÇÕES EXPONENCIAIS
28/02/2011
Prof. Me. Armando Paulo da Silva
Coordenação da Matemática
6
FUNÇÕES EXPONENCIAIS
28/02/2011
Prof. Me. Armando Paulo da Silva
Coordenação da Matemática
7
FUNÇÕES EXPONENCIAIS
28/02/2011
Prof. Me. Armando Paulo da Silva
Coordenação da Matemática
8
FUNÇÕES EXPONENCIAIS
28/02/2011
Prof. Me. Armando Paulo da Silva
Coordenação da Matemática
9
FUNÇÕES EXPONENCIAIS
28/02/2011
Prof. Me. Armando Paulo da Silva
Coordenação da Matemática
10
Gráfico da função exponencial
f ( x)  2
28/02/2011
Prof. Me. Armando Paulo da Silva
Coordenação da Matemática
x
11
FUNÇÕES EXPONENCIAIS
28/02/2011
Prof. Me. Armando Paulo da Silva
Coordenação da Matemática
12
Gráfico da função exponencial
x
1
f ( x)     1
2
28/02/2011
Prof. Me. Armando Paulo da Silva
Coordenação da Matemática
13
FUNÇÕES EXPONENCIAIS
28/02/2011
Prof. Me. Armando Paulo da Silva
Coordenação da Matemática
14
EQUAÇÕES EXPONENCIAIS
28/02/2011
Prof. Me. Armando Paulo da Silva
Coordenação da Matemática
15
Resolva as equações exponenciais
28/02/2011
Prof. Me. Armando Paulo da Silva
Coordenação da Matemática
16
Resolva as equações exponenciais
28/02/2011
Prof. Me. Armando Paulo da Silva
Coordenação da Matemática
17
Inequações exponenciais
Para resolver as inequações, utiliza-se a seguinte
propriedade de funções exponenciais.
28/02/2011
Prof. Me. Armando Paulo da Silva
Coordenação da Matemática
18
Resolva as inequações exponenciais
28/02/2011
Prof. Me. Armando Paulo da Silva
Coordenação da Matemática
19
Aplicação de Inequação
Algumas colônias de bactérias proliferam,
inicialmente, numa escala exponencial. Supondo
que a quantidade de bactérias de uma colônia
em função do tempo, em horas, seja dada pela
função f(x)=2x, a partir de qual hora a
população será maior ou igual a 1.000.000 de
bactérias? Se necessário, use:
.
28/02/2011
Prof. Me. Armando Paulo da Silva
Coordenação da Matemática
20
Aplicações
1) Juros compostos capitalizados continuamente ou
certos tipos de crescimento exponencial
(populações de cidades, população de uma
cultura de bactérias, etc.).
C=C0.e r.t
28/02/2011
Prof. Me. Armando Paulo da Silva
Coordenação da Matemática
21
Aplicações
2) Certos tipos de decréscimo exponencial como
ocorre na Desintegração Radioativa, Perdas
Contínuas, etc.
Q=Q0.e - r.t
28/02/2011
Prof. Me. Armando Paulo da Silva
Coordenação da Matemática
22
28/02/2011
Prof. Me. Armando Paulo da Silva
Coordenação da Matemática
23
Vejamos, agora, após 60 minutos:
P(60)= 1000.e 60k = 1000.e (10k).6 = 1000.46=
1000.4096=4.096.000
Após 1 hora, existirão 4.096.000 bactérias.
28/02/2011
Prof. Me. Armando Paulo da Silva
Coordenação da Matemática
24
APLICAÇÕES
1. Suponhamos que a população de uma certa
cidade seja estimada, para daqui a x anos, em
habitantes. Estima-se que, durante
o 3º ano, essa população:
a)Se manterá constantes;
b)Aumentará em até 125 habitantes; *
c)Aumentará em até 250 habitantes;
d)Diminuirá de até 125 habitantes;
e)Diminuirá de até 250 habitantes.
28/02/2011
Prof. Me. Armando Paulo da Silva
Coordenação da Matemática
25
APLICAÇÕES
2. Um recenseamento realizado em 2000 indicou que a
população de um determinado país era de 120 milhões
de habitantes. Considerando, a partir de 2000, um
crescimento anual de 2,0 %, pode-se estabelecer a
relação P(t)=p(1+2/100)t ou P(t)=p.1,02t, que expressa a
população P em função do tempo t em anos, sendo p o
valor de 120.000.000.
a) Construa o gráfico de P(t) para
b) Estime a população desse país em 2010 e no ano 2020.
c) Depois de quantos anos a população desse país atingiu
124.848.000 habitantes?
28/02/2011
Prof. Me. Armando Paulo da Silva
Coordenação da Matemática
26
APLICAÇÕES
3.
a)
b)
c)
Uma indústria de peças reorganizou sua
produção de tal forma que esta tenha uma
crescimento anual de 50%. Em 2004, ano da
implantação do novo plano de produção, a
indústria fabricou 40.000 peças.
Determine a lei que expressa a produção P em
função do tempo t em anos, a partir de 2004
Esboce o gráfico de P(t)
Em que ano a indústria atingirá a produção de
303.750 peças?
28/02/2011
Prof. Me. Armando Paulo da Silva
Coordenação da Matemática
27
APLICAÇÕES
4.
Uma substância química radioativa apresenta
meia vida de 20 anos (meia-vida é o tempo que
o elemento radioativo leva para desintegrar
metade de sua massa radioativa). Sabendo que
a massa inicial da substância é de 200 g,
determina a função f que relaciona o tempo t
com a massa desintegrada [f(t)]. Faça o gráfico
de f e determine a massa restante após 1
século (supõe-se que a desintegração é
uniforme no decorrer do tempo t).
28/02/2011
Prof. Me. Armando Paulo da Silva
Coordenação da Matemática
28
Considerações para resolução
A lei de desintegração de material radioativo,
temos que
onde f(t) é a quantidade de rádio no instante t e
mo é a massa inicial e k é a meia-vida, sendo
ambas constantes positivas.
28/02/2011
Prof. Me. Armando Paulo da Silva
Coordenação da Matemática
29
Resolução
28/02/2011
Prof. Me. Armando Paulo da Silva
Coordenação da Matemática
30
Resolução
DESINTEGRAÇÃO DE UMA SUBSTÂNCIA
RADIOATIVA
m = 200e-0,0347t
250
m (g)
200
150
100
50
0
0
20
40
60
80
100
120
t (anos)
28/02/2011
Prof. Me. Armando Paulo da Silva
Coordenação da Matemática
31
APLICAÇÕES
5. O crescimento de uma certa cultura de bactérias
obedece à função x(t)=c.ekt, onde x(t) é o
número de bactérias no tempo
ecek
são constantes positivas. Verificando-se que o
número inicial de bactérias x(0) duplica em 4
horas, quantas se pode esperar no fim de 6
horas?Se a metade da quantidade inicial M(0)
desaparece em 1.600 anos, qual será
a
quantidade que se perde em 100 anos?
28/02/2011
Prof. Me. Armando Paulo da Silva
Coordenação da Matemática
32
APLICAÇÕES
6.
Uma substância radioativa está em
processo de desintegração de tal modo
que, no instante t, a quantidade não
desintegrada é A(t) – A(0).e -3t, onde A(0)
indica a quantidade de substância no
instante t=0. Qual será o tempo
necessário para que a metade da
quantidade inicial se desintegre?
28/02/2011
Prof. Me. Armando Paulo da Silva
Coordenação da Matemática
33
APLICAÇÕES
7. Colocando numa panela 200g de água,
inicialmente a 50 OC, sua temperatura vai
caindo até atingir a temperatura ambiente
de 20 OC. Suponha que esse resfriamento
ocorra segundo a lei T=20+30.10 – t (onde
T é a temperatura da água, em OC, t horas
após o início da experiência, faça um
esboço do gráfico da temperatura da
água em função do tempo.
28/02/2011
Prof. Me. Armando Paulo da Silva
Coordenação da Matemática
34
APLICAÇÕES
8. Em contraposição ao crescimento exponencial,
existe, também, o decréscimo ou abatimento
exponencial, que é dado por D(t) = D0.e – k . t
(k>0), onde o sinal negativo significa a
diminuição com o tempo. Nessas condições,
quanto valerá daqui a 10 anos um automóvel
cuja linha deixou de ser fabricada, sabendo que
se desvaloriza na base de 7% ao ano e que
hoje, ele vale R$ 23.000,00?
28/02/2011
Prof. Me. Armando Paulo da Silva
Coordenação da Matemática
35
APLICAÇÕES
9. O crescimento de uma certa cultura de bactérias
obedece à função N(t)=200.3kt.
N representa o número de bactérias no instante
t, t é o tempo em horas e k é uma constante a
ser obtida.
A produção tem início para t=0. Decorridas 12
horas, há um total de 600 bactérias. Calcule a
constante k. Qual o número de bactérias, 36
horas depois que se iniciou a produção?
28/02/2011
Prof. Me. Armando Paulo da Silva
Coordenação da Matemática
36
APLICAÇÕES
10. A temperatura interna de uma geladeira (se ela
não for aberta) segue a lei T(t)=25.(0,8)t, onde t é
o tempo (em minutos) que permanece ligada e T
é a temperatura (em graus Celsius).
a) Qual é a temperatura interna da geladeira no
instante em que ela foi ligada?
b) Quantos graus Celsius essa temperatura
alcança dois minutos depois que a geladeira
começou a funcionar?
28/02/2011
Prof. Me. Armando Paulo da Silva
Coordenação da Matemática
37
APLICAÇÕES
11. O preço de um automóvel novo é Po (em
reais). Ele sofre uma desvalorização de
10% ao ano.
a) Expresse a lei que dá o preço Pn desse
automóvel após n anos de uso.
b) Um carro zero custa 45.400. Após 5 anos
anos de uso, qual será o seu valor?
28/02/2011
Prof. Me. Armando Paulo da Silva
Coordenação da Matemática
38
APLICAÇÕES
12. A lei de decaimento radioativo do rádio
no tempo
é dado por M(t)=Mo.e-kt, onde
M(t) é a quantidade de rádio no instante t
e Mo e k são constantes positivas. Se a
metade da quantidade inicial M(0)
desaparece em 1.600 anos, qual será a
quantidade que se perde em 100 anos?
28/02/2011
Prof. Me. Armando Paulo da Silva
Coordenação da Matemática
39
APLICAÇÕES
28/02/2011
Prof. Me. Armando Paulo da Silva
Coordenação da Matemática
40