VERIFICAÇÃO: Dados do problema: a) Cada filho tem o número de

Exercícios Resolvidos XI
1 – Sabe-se que a função polinomial
f(x) de grau 3, admite como raízes, os
números
x1 = 1, x2 = 2 e x3. Sobre a raiz x3,
podemos afirmar:
a) pode ser um número complexo
b) é necessariamente, um número
natural
c) é necessariamente um número inteiro
d) é necessariamente um número
irracional
e) é um número real
SOLUÇÃO:
Ora, o número de raízes complexas de
uma equação algébrica é
necessariamente um número par, já que,
se a+bi for raiz, então o conjugado a-bi
também será raiz.
Portanto, se a terceira raiz da equação
não pode ser um número complexo,
então ela será necessariamente um
número real, o que nos leva à alternativa
E.
2 – FUVEST 94 – Um casal tem filhos e
filhas. Cada filho tem o número de
irmãos igual ao número de irmãs.
Cada filha tem o número de irmãos
igual ao dobro do número de irmãs.
Qual o total de filhos e filhas do casal?
a) 3 b) 4
c) 5
d) 6
e) 7
SOLUÇÃO:
Trata-se de um problema simples de
sistemas de equações do primeiro grau.
Vejamos:
Seja x o número de filhos e y o número
de filhas.
É óbvio que um filho qualquer possui x –1
irmãos e y irmãs. OK?
É também óbvio, que uma filha qualquer
possui y – 1 irmãs e x irmãos.
Pelo enunciado do problema, vem
imediatamente que:
x – 1 = y ........................eq 1
x = 2(y – 1).....................eq 2
Uma vez armado o sistema acima, o
problema ficou bem simples:
Teremos, substituindo o valor de x da eq
2 na eq 1:
2(y – 1) – 1 = y  y = 3
Daí, substituindo o valor de y na eq 1,
resulta: x = 4.
Portanto, a soma procurada vale: x + y =
4 + 3 = 7, o que nos leva tranqüilamente
à alternativa E.
VERIFICAÇÃO:
Dados do problema:
a) Cada filho tem o número de irmãos
igual ao número de irmãs.
Realmente, sendo 4 filhos, cada um tem
3 irmãos, que é igual ao número de irmãs
(y = 3 = n.º de filhas)
b) Cada filha tem o número de irmãos
igual ao dobro do número de irmãs.
Realmente, sendo 3 filhas, cada uma
delas possui duas irmãs. O número de
irmãos, sendo igual a 4 (x = 4 filhos), é
exatamente o dobro do número de irmãs.
3 – Numa árvore pousam pássaros. Se
pousarem dois pássaros em cada
galho, fica um galho sem pássaros. Se
pousar um pássaro em cada galho,
fica um pássaro sem galho. Determine
o número de pássaros e o número de
galhos.
SOLUÇÃO:
Sendo g o número de galhos e p o
número de pássaros, poderemos
escrever:
2(g – 1) = p
g=p–1
Resolvendo o sistema de equações
acima, encontraremos:
P = 4 e g = 3. Portanto, são 4 pássaros e
3 galhos.
4 – FUVEST 96 – Qual dos cinco
números abaixo relacionados, não é
um divisor de 1015 ?
a) 25
b) 50
c) 64
d) 75
e) 250
SOLUÇÃO: Observe que:
25 = 52
50 = 2.25 = 2.52
64 = 26
75 = 3.25 = 3.52
250 = 25.10 = 52.10
Observe também que 10 é divisível por 2,
por 5 e por 10, mas não é divisível por 3.
Logo, a alternativa (D) que contém um
não divisor de 10, é a solução do
problema.
5 – Sabendo-se que x2 + 2y2 + 3xy + x +
y = 20 e x + 2y = 3, determine o valor
de x + y.
SOLUÇÃO:
Inicialmente, vamos fatorar o primeiro
membro da expressão dada.
Teremos: (acompanhem com bastante
atenção!)
x2 + 2y2 + 3xy + x + y =
x2 + y2 + y2 + 2xy + xy + x + y =
(x2 + 2xy + y2) + (y2 + xy + x + y) =
(x + y)2 + [y(x + y)] + (x + y) =
(x + y)2 + (x + y) (y + 1) =
(x + y) [(x + y) + (y + 1)] =
(x + y) (x + 2y + 1)
Portanto, (x + y) (x + 2y + 1) = 20
Como é dado que x + 2y = 3,
substituindo, vem:
(x + y) (3 + 1) = 20  4(x + y) = 20 e,
finalmente vem que x + y = 5.
Problema - (galhos da árvore)
Numa árvore pousam pássaros,
estando 8 pássaros em cada galho,
sobram 2 galhos sem pássaros, se
pousassem 2 pássaros em cada galho,
dois pássaros ficariam voando calcule o
numero de galhos da arvore. R= 3
galhos
Resolução
p ---> número de pássaros
g ---> número de galhos
De acordo com o enunciado temos:
p= 8(g-2) (I)
p= 2g+2 (II)
Igualando (I) e (II) teremos:
8(g-2)= 2g+2 ---> 8g-16= 2g+2 --> 6g= 18 ---> g= 3